分式不等式及含参一元二次不等式的解法

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一元二次不等式的应用

D．{a|a>4}
CD 解析：若命题为真命题，由于 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4，所以 x2
－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，只需 a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中 a
可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．
3.若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋
2x＋1
>0，即
<0，
x＋3
x＋3

1
1

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－2.∴原不等式的解集为 x－3<x<－2

.

变式训练1 解下列不等式：
1－x
(1)
≥0；
3x＋5
解
x－1
(2)
＞1.
x＋2
5

－
≤x≤1，

3
（x－1）（3x＋5）≤0，

x－1
(1)原不等式可化为
例 2 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数 x，f(x)＜0 恒成立，求 m 的取值范围；
(2)对于 x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围.
解
(1)若 m＝0，显然－1＜0 恒成立；
m＜0，
若 m≠0，则
⇒－4＜m＜0. ∴m 的取值范围为(－4，0].
不等关系再求解．
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|－1：原不等式⇔
x－1≠0，
∴－1≤x＜1.
2. (多选题)若“不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立”为假命题，则

微专题05 一元二次不等式、分式不等式(解析版)

微专题05一元二次不等式、分式不等式【知识点总结】一、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．（2）当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅二、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅>（2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔⋅<（3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩三、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】（1）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；（3）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；（4）已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：分式不等式的解法题型三：绝对值不等式的解法题型四：高次不等式的解法题型五：一元二次不等式恒成立问题【典型例题】题型一：一元二次不等式的解法例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<，则210bx ax -->的解集是（）A ．{|23}x x <，解不等式得解集为11{|}23x x -<<-故选：C例2．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式20ax cxb ++>的解集为{|22x x <<+C ．0a b c ++<D ．不等式0ax b +>的解集为{}|3x x >【答案】B【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或4}x >，所以0a <，所以选项A 错误；由题得014,3,414a b b a c a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-∴=-=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以20ax cx b ++>为2430,22x x x --<∴<，所以选项C 错误；不等式0ax b +>为30,3ax a x ->∴<，所以选项D 错误．故选：B例3．（2022·江苏南京·高一期末）已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即12=⎧⎨=-⎩b c ，不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>，解得112x -<<．故选：A ．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集是关于x 的不等式230x x a -+<解集的子集，则实数a 的取值范围是（）．A ．0a ⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，解得0a ，故选：B ．例5．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则下列正确的是（）A ．0a 的解集为(,6)-∞-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【解析】A ．由已知可得0a <且2,3-是方程20ax bx c ++=的两根，A 正确，B ．由根与系数的关系可得：2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得,6b a c a =-=-，则不等式0bx c +>可化为：60ax a -->，即60x +>，所以6x >-，B 错误，C ．因为660a b c a a a a ++=--=->，C 正确，D ．不等式20cx bx a -+>可化为：260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得12x >或13x <-，D 正确，故选：ACD ．例6．（多选题）（2022·全国·高一）若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是（）A ．0a C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确，B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >．所以D 正确；C 错误．故选：ABD例7．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123ax x x x ++的最小值是_____________．【答案】4【解析】关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+-≥>可化为()()30(0)x a x a a --≤>所以不等式的解集为[],3a a ，所以12,3x a x a ==．所以122123314443a a x x a a x x a a ++=+=+≥=（当且仅当14a a=，即12a =时取“=”）．故答案为：4．例8．（2022·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，且a ，b ，R c ∈，0b c +≠，则2210a b b c +++的最小值为_______．【答案】【解析】由题意，关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，可得0b >，且440ab ∆=+=，所以1ab =-且0b >，所以1a b=-，又由不等式220bx x a -->的解集为{|}x x c ≠，所以212c b b--==，令12t b c b b=+=+≥，则22222211()22a b b b t b b +=+=+-=-，所以2221088a b t t b c t t +++==+≥+t =时取等号．所以2210a b b c+++的最小值为故答案为：题型二：分式不等式的解法例9．（2022·河南·高一期中）不等式351x x x +>-的解集是______．【答案】()(),11,5-∞-⋃【解析】不等式351x x x +>-化为以下两个不等式组：21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩或21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，解21035x x x x -<⎧⎨+<-⎩，即21450x x x <⎧⎨-->⎩，解得1x <-，解21035x x x x ->⎧⎨+>-⎩，即21450x x x >⎧⎨--<⎩，解得15x <<，所以原不等式的解集是()(),11,5-∞-⋃．故答案为：()(),11,5-∞-⋃例10．（2022·全国·高一专题练习）不等式3113x x+>--的解集是_______．【答案】()23-，【解析】由3113x x +>--可得31103x x ++>-，即2403x x +<-，即()()3240x x -+<解得23x -<<所以不等式3113x x+>--的解集是()23-，故答案为：()23-，例11．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）不等式2131x x +>-的解是___________．【答案】(1,4)【解析】由题设，2143011x xx x +--=>--，∴(1)(4)0x x --<，可得14x <<，原不等式的解集为(1,4)．故答案为：(1,4)．例12．（2022·上海市延安中学高一期中）已知关于x 的不等式221037kx kx x x -+≤-+的解集为空集，则实数k 的取值范围是___________．【答案】[)0,4【解析】2231937024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立，∴不等式等价于210kx kx -+≤的解集是φ，当0k =时，10≤不成立，解集是φ，当0k ≠时，240k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04k <<，综上：04k ≤<．故答案为：[)0,4例13．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）不等式301x x -≥+的解集是____________．【答案】()[),13,-∞-+∞【解析】原不等式等价于()()31010x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，解得：3x ≥或1x <-，故答案为：()[),13,-∞-+∞．例14．（2022·上海市奉贤区曙光中学高一阶段练习）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式06ax bx -≥-的解集为______；【答案】[)1,6-【解析】由于关于x 的不等式0ax b +>的解集是(,1)-∞，则1为关于0ax b +=的根，且0a <，0a b ∴+=，得=-b a ，不等式06ax b x -≥-即为06ax a x +≥-，即106x x +≤-，解该不等式得[)1,6x ∈-故答案为：[)1,6-例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式13x ax -≤-的解集为______．【答案】{}3x x >【解析】∵不等式2510ax x ++≤的解集为11{|}23x x -≤≤-∴12-，13-是方程2510ax x ++=的两根，∴6a =，∴13x a x -≤-可化为303x -≤-∴3x >∴不等式13x ax -≤-的解集为{|3}x x >，故答案为：{|3}x x >．例16．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式212x ax -≤--的解集是523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，则a 的值为____．【答案】3【解析】由题知，22122x a x x x --≤-=---，整理得()3202x a x -+≤-，所以()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，因为不等式()()()3220x a x -+-≤，且2x ≠，的解集为523x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以()53203a ⋅-+=，3a =．故答案为：3．题型三：绝对值不等式的解法例17．（2022·上海交大附中高一阶段练习）不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为______________；【答案】(]1,3-；【解析】不等式12x -≤等价于212x -≤-≤，解之得：13x -≤≤，不等式511x ≥+等价于()5101x x -+≥+，解之得：14x -<≤，故不等式组12511x x ⎧-≤⎪⎨≥⎪+⎩的解集为：(]1,3-．故答案为：(]1,3-．例18．（2022·上海交大附中高一期中）已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{|}1||2B x x =-≤，则A B ＝___．【答案】(23]-，【解析】解不等式102x x -≤+即(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，解得21x -<≤，故10(2,1]2x A xx ⎧⎫-=≤=-⎨⎬+⎩⎭，解|1|2x -≤，即212x -≤-≤，解得13x -≤≤，故121{|||]3}[B x x =-≤=-，，则(23]A B ⋃=-，，故答案为：(23]-，．例19．（2022·上海浦东新·高一期中）不等式221x x ->+的解集是_________．【答案】1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】当12x ≤-时，不等式221x x ->+转化为()()221x x -->-+，解得3x >-，此时132x -<≤-，当122x -<<时，不等式221x x ->+转化为()221x x -->+，解得13x <，此时1123x -<<，当2x ≥时，不等式221x x ->+转化为221x x ->+，解得3x <-，此时无解，综上：221x x ->+的解集是1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．故答案为：1|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭例20．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___．【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4．又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}，a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}，均满足A 是B 的真子集，∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤4题型四：高次不等式的解法例21．（2022·全国·高一课时练习）不等式22132x x x +≥-+的解集为___________．【答案】[0,1)(2,4]⋃【解析】22132x x x +≥-+等价于221032+-≥-+x x x ，即224032x x x x -+≥-+，即(4)0(1)(2)x x x x -≤--，又等价于()()()()()1240120x x x x x x ⎧---≤⎪⎨--≠⎪⎩，利用数轴标根法解得01x ≤<或24x <≤，所以原不等式的解集为[0,1)(2,4]⋃，故答案为：[0,1)(2,4]⋃例22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）不等式()()222344032x x x x x +-+≤+-的解集为___________．【答案】3[,1){2}(3,)2--+∞【解析】由题得2320,3x x x +-≠∴≠且1x ≠-．由题得()()()()2222322320,023(3)(1)x x x x x x x x +-+-≥∴≥---+，所以()()223(1)2(3)0x x x x ++--≥，()()223(1)2(3)0x x x x ++--=零点为3,1,2,32--．当32x <-时，不等式不成立；当312x -≤<-时，不等式成立；当12x -≤<时，不等式不成立；当2x =时，不等式成立；当23x <≤时，不等式不成立；当3x >时，不等式成立．故不等式的解集为：3[,1){2}(3,)2--+∞故答案为：3[,1){2}(3,)2--+∞例23．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）不等式201712xx x <≤-+的解集为________．【答案】(0,2][6,)⋃+∞【解析】20712xx x <⇒-+()()340x x x -->，根据数轴穿根法可解得03x <<或4x >，22228121100712712712x x x x x x x x x x -+≤⇒-≤⇒≥-+-+-+()()()()2234607120x x x x x x ⎧----≥⇒⎨-+≠⎩，解得2x ≤或34x <<或6x ≥，所以2034017122346x x xx x x x x ⎧<<≤⇒⎨-+≤<<≥⎩或或或，解得(0,2][6,)x ∈⋃+∞．故答案为：(0,2][6,)⋃+∞例24．（2022·上海·华师大二附中高一期末）不等式2411x x x --≥-的解集为______．【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．例25．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()()()2321120x x x x ++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x -≤或1x =-或12x ≤≤时，()()()()2321120x x x x ++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--．例26．（2022·浙江·诸暨中学高一期中）不等式()()2160x x x -+-<的解集为______．【答案】()(),31,2-∞-【解析】因为()()2160x x x -+-<，所以()()()1320x x x -+-<，解得3x <-或12x <<．所以不等式()()2160x x x -+-<的解集为：()(),31,2-∞-．故答案为：()(),31,2-∞-例27．（2022·上海·高一专题练习）不等式()()22221221x xx x x x ++>++的解集为_________．【答案】()()(),11,02,-∞--+∞．【解析】()()22221221xxx x x x ++>++等价于()()2120,x x x +->当1x =-时，不等式不成立，当1x ≠-时，不等式等价于()20x x ->，解得0x <或2x >且1x ≠-，故不等式的解集为()()(),11,02,-∞--+∞．故答案为：()()(),11,02,-∞--+∞．例28．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是______．【答案】23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤【解析】不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-等价为()()()23310x x x ---≥且10x -≠，∴23x ≤或13x <≤，∴不等式()()()()2233021x x x x x --≥-+-的解集是23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤故答案为：23x x ⎧≤⎨⎩或}13x <≤例29．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式()()232101xx x x -++≤-的解集为（）A ．[－1，2]B ．[－2，1]C ．[－2，1）∪（1，3]D ．[－1，1）∪（1，2]【答案】D【解析】由()()232101x x x x -++≤-可得，()()()12101x x x x --+≤-，∴()()21010x x x ⎧-+≤⎨-≠⎩，解得12x -≤≤且1x ≠，故原不等式的解集为[1,1)(1,2]-．故选：D ．题型五：一元二次不等式恒成立问题例30．（2022·江苏·高一专题练习）若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．532⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．532⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．(]5,3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】正实数x ，y 满足244x y xy ++=，可得244x y xy +=-，∴不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，即()24422340xy a a xy -++-≥恒成立，变形可得()222214234xy a a a +≥-+恒成立，即2221721a a xy a -+≥+恒成立，0x >，0y >，2x y ∴+≥2x y =时等号成立，4244xy x y ∴=++≥+220≥，≥≤舍)可得2xy ≥，要使2221721a a xy a -+≥+恒成立，只需22217221a a a -+≥+恒成立，化简可得22150a a +-≥，即()()3250a a +-≥，解得3a ≤-或52a ≥，故实数a 的取值范围是(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：B ．例31．（2022·全国·高一单元测试）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（）A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}02a a <<C ．{}11a a -<<D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由()()1x a x a -⊗+<，得()()11x a x a ---<，即221a a x x --<-，令2t x x =-，此时只需2min 1a a t --<，又221124t x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以2114a a --<-，即24430a a --<，解得1322a -<<．故选：A ．例32．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,4【答案】A【解析】若“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是真命题，即判别式()21Δ24404a =--⨯⨯<，解得：04a <<，所以命题“R x ∀∈，214(2)04x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围为：(][),04,-∞+∞U ．故选：A ．例33．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（）A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【答案】A【解析】∵不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴24(10)m ∆--<＝，解得14m >，又∵14m >，∴140m ∆=-<，则不等式20x x m -+>在R 上恒成立，∴“14m >”是“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件，故选：A ．例34．（2022·四川·广安二中高一阶段练习（理））已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110a x a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B例35．（2022·全国·高一单元测试）已知12x ≤≤，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a ≥B ．{}1a a >C ．{}1a a ≤D ．{}1a a <【答案】D【解析】由12x ≤≤，20x ax ->恒成立，可得a x <在[]1,2上恒成立，即即1a <．故选：D ．例36．（2022·陕西安康·高一期中）若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】A【解析】因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A例37．（2022·广西·南宁市东盟中学高一期中）已知命题“21,2,2102x x ax ⎡⎤∃∈-+≤⎢⎥⎣⎦”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a -<⎢⎥⎣⎦为真命题，即11,2,22x x a x ⎡⎤∀∈+>⎢⎥⎣⎦恒成立．又12x x +≥12x x =≥2x =等号成立，所以a <故选：B例38．（2022·全国·高一课时练习）已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a D ．4a >-【答案】A【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足，25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．【过关测试】一、单选题1．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合{}2870A x x x =-+<，{}14B x x =<<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得{}17A x x =<<，所以AB ．所以“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件．故选：B2．（2022·全国·高一）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C3．（2022·江苏·高一专题练习）若存在正实数y ，使得54y xx y xy-=+，则实数x 的最大值为（）A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A 【解析】115454y x x y x y xy x y-=+⇔-=+，因为0y >，所以144y y +≥，所以154x x-≥，当0x >时，154x x-≥⇔25410x x +-≤，解得105x <≤，当0x <时，154x x-≥⇔25410x x +-≥，解得1x <-，故x 的最大值为15．故选：A4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（）A ．()()12-∞⋃+∞，，B ．()12，C ．()()21-∞-⋃+∞，，D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．5．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <，综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C6．（2022·江苏·高一）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，则不等式20cx bx a -+<的解集为（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,1-【答案】A【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<0a ∴<，且2-和1是方程20ax bx c ++=的两个根，则4200a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩b a ∴=，2c a =-，关于x 的不等式20cx bx a -+<，即220ax ax a --+<，2210x x ∴+-<，解得112x -<<，故不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·北京师大附中高一期末）关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞．故选：B ．8．（2022·广西·桂林中学高一期中）已知0ax b ->的解集为(,2)-∞，关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为（）A ．(,2](1,6)-∞--B ．(,2](6,)-∞-+∞C ．[2,1)(1,6)---D ．[2,1)(6,)--+∞【答案】A【解析】因0ax b ->的解集为(,2)-∞，则0a <，且2ba=，即有2,0b a a =<，因此，不等式2056ax bx x +≥--化为：22056ax a x x +≥--，即22056x x x +≤--，于是有：220560x x x +≤⎧⎨-->⎩或220560x x x +≥⎧⎨--<⎩，解220560x x x +≤⎧⎨-->⎩得2x -≤，解220560x x x +≥⎧⎨--<⎩得16x -<<，所以所求不等式的解集为：(,2](1,6)-∞--．故选：A 二、多选题9．（2022·湖北黄石·高一阶段练习）下列结论错误的是（）A ．不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅B ．不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤C ．若函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RD ．不等式11x>的解集为1x <【答案】CD【解析】对于选项A ，当0a ≥时，210ax x ++≥的解集不为∅，而当0a <时，要使不等式210ax x ++≥的解集为∅，只需140a ∆=-<，即14a >，因0a <，故不存在实数a 使得关于x 的不等式210ax x ++≥的解集为∅，因此A 正确；对于选项B ，当0a <且240b ac ∆=-≤时，20ax bx c ++≤在R 上恒成立，故不等式20ax bx c ++≤在R 上恒成立的必要条件是0a <且240b ac ∆=-≤，因此B 正确；对于选项C ，因函数()20y ax bx c a =++≠对应的方程没有实根，但a 正负不确定，故20ax bx c ++>或20ax bx c ++<恒成立，因此不等式20ax bx c ++>的解集不一定为R ，故C错；对于选项D ，由11x>，得10x x ->，即()10x x ->，解得01x <<，故D 错．故选：CD ．10．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）设p ：实数x 满足1021x x -≤-，则p 成立的一个必要不充分条件是（）A ．11 2x ≤≤B ．112x <≤C ．01x ≤≤D ．01x <≤【答案】ACD【解析】由题设，若p 成立，(1)(21)0210x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得112x <≤，∴p 成立的一个必要不充分条件，只需1(,1]2在某个范围内，但不相等即可．故选：ACD ．11．（2022·江苏南京·高一阶段练习）定义区间(),m n 的长度为n m -，若满足()()2012x ax x -<--的x 构成的区间的长度之和为3，则实数a 的可能取值是（）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】CD【解析】若14a =，()()()1111220,1,21222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭<⇒∈- ⎪--⎝⎭故区间长度之和为1+1=2，不符合题意；若13a =，()()()01,212x x x x x ⎛+ ⎛⎝⎭⎝⎭<⇒∈ --⎝⎭故区间长度之和为符合题意；若3a =，(()()())0212x x x x x +<⇒∈--故区间长度之和为123=，符合题意；若()()()()()224,02,112x x a x x x -+=<⇒∈---故区间长度为3，符合题意．故选：CD ．12．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04m ≤对R x ∀∈恒成立，当0m =时，原不等式即为10>恒成立；当0m >时，不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立，可得∆<0，即240m m -<，解得：04m <<．当0m <时，21y mx mx =-+的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为：[)0,4．所以“关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有02m <<或14m <<．故选：BC ．三、填空题13．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，则不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是________．【答案】3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由图像知：1和2是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的两个根，所以0a >，12,12b c a a+=-⋅=，所以3,2b a c a =-=．不等式（ax +b ）（cx -b ）<0可化为()()3230ax a ax a -+<，即()()23230x x a-+<，解得：332x -<<．所以不等式（ax +b ）（cx -b ）<0的解集是3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意R x ∈，2222224x ax bx c x x +≤++≤-+恒成立，则ab 的最大值为_________．【答案】12【解析】令1x =，则44a b c ≤++≤，故4a b c ++=，对任意R x ∈，222x ax bx c +≤++，则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，∴222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b ac a c a c a c ∆=---=+---=-+≤∴2c a =+，此时22b a =-，∴2111(22)2(1)2(222ab a a a a a =-=-=--+≤，当15,1,22a b c ===时取等号，此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立，∴ab 的最大值为12．故答案为：12．15．（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则2222b a c +的最大值为____________．【解析】当0a =时，即不等式0bx c +≤的解集为R ，则0b =，0c ≤，要使得2222b a c +有意义，此时0c <，则22202b a c =+；当0a ≠时，若不等式20ax bx c ++≤的解集为R ，则20Δ40a b ac <⎧⎨=-≤⎩，即204a b ac <⎧⎨≤⎩，所以，22222422b ac a c a c ≤++，因为24b ac ≤，则0ac ≥，当0c =时，则0b =，此时22202b a c =+；当0c <时，则0ac >，令0c t a =>，则22244412122ac t a c t t t ==≤+++当且仅当242b ac c a a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，等号成立．综上所述，2222b a c +16．（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则12123a x x x x ++的最小值是___________．【答案】【解析】因为关于x 的不等式()226300x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，所以12,x x 是方程()226300x ax a a -+-=>的实数根，所以112226,3x x x x a a ==+，因为0a >，所以1212316a x x a x x a ++=+≥16a a =，即a =时等号成立，所以12123a x x x x ++的最小值是故答案为：。

3.2.3含参数的一元二次不等式的解法

2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不等式ax2+bx+c>0的解集是R”

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

(一)几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1 解关于的x不等式(m • 1)x? _4x • 1乞0(m・R)分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1 = 1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m< —1时，"=4 (3- m) >0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当一1<m<3时，"=4 (3—m) >0,图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，"=4 (3—m) =0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x? -4x=0的根。

⑷当口>3时，"=4 ( 3—m) <0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为..。

解：八・1当m - -1时,原不等式的解集为x|x丄-;1 4J当m时,(m 1)x^4x 0的判别式-=4(3— m);贝V当mc—1时，原不等式的解集为』x| x/ _、3_m或x兰2+、3_m卜m+1 m+1当-1 wm £3时,原不等式的解集为収l2^3—m☆兰2+"一m'>m+1 m+1当m=3时，原不等式的解集为| x =丄?；当m>3时，原不等式的解集为.一。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

一元二次不等式及分式不等式的解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：2.简单分式不等式的解法:f(x) 0 f(x)g(x) 0；f(x) 0g(x) g(x)1. 不等式 2x — 3x+ 2 < 0 的解集为().A. (-°°, —2) U ( — 1 , + oo)B. (—2, - 1)C. (-°°, 1) U (2 , +8 )D. (1,2)2. 不等式2x2— x- 1 > 0 的解集是().1 , 「 1 ,,、A. —2，1 B • (1 , +8)C. (―00, 1) U (2, + 00 ) D. -°°, - - U (1 , +8 )3. 不等式9x2+ 6x+ K 0的解集是().A. x|x乒一1 B, —1 C. x|— 1 < x< 1D. R 3 3 3 31 …4. 若不等式ax2 + bx— 2 v 0 的解集为x|- 2v xv4，贝U ab=( ).A. - 28B. - 26C. 28 D . 265. 不等式ax2 + 2ax+ 1> 0对一切x€ R恒成立，则实数a的取值范围为例题选讲：例2：求不等式12x2— ax>a2(a € R)的解集例3:已知不等式ax2+ 4x+ a> 1 -2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.例4：已知f(x) = x2—2ax+ 2(a€ R),当x€ [ — 1, +oo)时，f(x)>a恒成立，求a的取值范围.例5:不等式0的解集是为()x 2(A) (1, ) (B) ( , 2) (C) (-2 , 1) (D) ( , 2) U (1,)工［_ 9 o例6:不等式：-2 >”的解集是。

A组：2 61. (5)不等式x一L6 >0的解集为()x 1(A) x xv 2,或x>3 (B) xxv 2,或1v xv3(C) x 2v xv 1 或x> 3 (D) x 2v xv 1 或1v xv 32. 不等式x2-5x+6 < 0的解集为.3. 已知关丁x的不等式x2-ax+ 2a>0在R上包成立，则实数a的取值范围是.x 14. 不等式——3的解为。

一元二次不等式的解法(含参不等式)

一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)

0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx

bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1

66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.

一元二次不等式与分式不等式的解法知识讲解

第5讲一元二次不等式与分式不等式的解法【知识要点】1、一元二次不等式的概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式，称为一元二次不式.2、一元二次不等式的解法步骤：一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002>=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆一元二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅口诀：大于取两边，小于取中间3、解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数，使最高次项的系数为正数；（2）尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=∆（4）结合二次函数的图象特征写出解集。

4、对于分式不等式：0)()(>x g x f ，它等价于0)()(>⋅x g x f0)()(=x g x f ，它等价于0)(0)(≠=x g x f 且0)()(<x g x f ，它等价于0)()(<⋅x g x f 【典型例题】例1、求下列不等式的解集（1）01442>+-x x （2）0322>-+-x x例2、已知032>++a x x 的解集是}12{->-<x x x 或，求不等式012102<+-x ax 的解集.例3、解不等式（1）032<+-x x （2）254≤-+x x例4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？（1）2632+-=x x y (2)225x y -=例5、函数3222)(a b x a ax x f -++=，当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；例6、集合}1222{<-+=x x x A }054{2>-+=x x x B ，},11{R m m x m x C ∈+<<-= （1）求B A I （2）若B A I C ⊆，求m 的取值范围.例7、求不等式)12(2+-x x 0)532(2<--x x 的解集例8、解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>【经典练习】1、如果62--x x 有意义，那么x 的取值范围是 .2、若012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则a ＝________，b ＝________． 3、解下列一元二次不等式(1) )3)(1(x x --＜x 25- (2) )11(+x x ≥2)1(3+x (3)031≥+-x x （4）3115<++x x4、已知关于x 的不等式220ax x c ++>的解集为11(,)32-,求220cx x a -+->的解集5、不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围【课后作业】1、若10<<a ，那么不等式)1)((ax a x --0<的解是（） A ．a x a 1<或 D ．a x ax <>或12、若关于x 的方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是.3、不等式0)1)(2(22<+--x x x 的解集为___________________________ 4、自变量x 在什么取值范围时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？（1）1062++=x x y (2)121232-+-=x x y5、已知集合}016{2<-=x x A ，集合}034{2>+-=x x x B ，求B A Y6、已知=A }0145{2<--x x x ，求=B },2{A y y x x ∈-=，求B A I ，B A Y ．。

含参的一元二次不等式的解法

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上.（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或.②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且.③若0∆<，解集为R .(2)当0a <时，二次函数图象开口向下.①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅2、分式不等式（1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f xg x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【方法技巧与总结】1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法题型二：含参数一元二次不等式的解法题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式题型四：其他不等式解法题型五：二次函数根的分布问题【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（）A ．{2}x x <-∣B ．{1}x x >∣C ．{21}x x -<<∣D ．{2∣<-xx 或1}x >【答案】D 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可.【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >，故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-【答案】D 【解析】【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式.【详解】当2x =时，()220255154f a a -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-.故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.【详解】函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，可得x ≥0，()f x 递增；当x ＜0时，()f x 递增；且x =0时函数连续，所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（）A ．m C ．0m >D ．m >或m <【答案】B 【解析】【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立；当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.()f x 定义域为R ，()()()2233x x f x x x f x --=+-=+=，()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称；当0x ≥时，()23x f x x =+，又3x y =，2y x 在[)0,∞+上均为增函数，()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5.故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a--≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a.故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】当1a <-时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.【详解】因为1a <-，所以1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭等价于1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭．故选：A ．【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m <<）的解集为（）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解.【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m <<所以2m m>，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-【答案】D 【解析】【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<，当1a >时，不等式的解集为1x a <<，当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】()(),22,∞∞--⋃+【解析】【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x a a ==+120,0x x <>，当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<> ，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x <，即12a <，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.(1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.(1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．(2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【答案】12ln2(,]43-【解析】【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x xm x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x x f x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x xm x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--，3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，u （1）10=-<，u （2）104ln20=+>．因此存在1(1,2)x ∈，使得1()0u x =，因此函数()f x 在1(0,)x 内单调递减，在1(x ,) +单调递增．f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（）A ．2-B ．1C ．2D ．8【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值．【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b+=+≥，当且仅当4b =时取“=”，故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（）AB．CD．【答案】D 【解析】【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出124x x a +=，2123x x a =，再用基本不等式求出最值【详解】22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当143a a -=-即a =时，等号成立，所以1212a x x x x ++的最大值为故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确.故选：ABD .例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.【答案】{}23x x <<【解析】【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可.【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，故6a =，则不等式303x a x -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<，不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<，则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<，故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --<的解集是________.【答案】{|23}x x <<【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答.【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()(23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<，所以不等式20x bx a --<的解集是{|23}x x <<.故答案为：{|23}x x <<【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______．【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由12x >可得120x->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】由12x >可得120x ->，整理可得：120x x ->，则()210x x -<，解可得：102x <<.所以不等式是12x >的解集为:10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________.【答案】()1,0-【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解.【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++,故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.【答案】02xx <-【解析】【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论.【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-，故答案为：02xx <-.（答案不唯一）例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x230≥的解集为_________.【答案】[4,5)【解析】【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++，23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩，2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5).【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法:解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-.参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____.【答案】()()3,11,2 --.【解析】【分析】关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集.【详解】若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃.故解集为：()()3,11,2 --.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．2．根式不等式绝对值不等式平方处理．题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0, +C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得5534a -≤≤-，所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-，且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A .【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（）A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC 【解析】【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可.【详解】解：∵322()13f x x x ax =-+-，∴2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=即22230m m a -+-=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+.【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证：(Ⅰ)0a >且21ba-<<-；(Ⅱ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得；（Ⅱ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得.【详解】（Ⅰ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>.由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>.故21ba-<<-.（Ⅱ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a --，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22(0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3b a -上单调递减，在(,1)3ba-上单调递增，所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -与(,1)3ba-内分别各有一实根.【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（）A ．{}22x x -≤≤B ．{}42,3x x x -≤≤≠-C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解.【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】2,20x x x a ∃∈-+<R ，列出不等式，求出1a <，从而判断出答案.【详解】2,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件.故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合 234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求解即可.【详解】()()ππln ln 2cos ln 2ln cos(π)0)2()(22f x f x x x x x x x ----+----=+= ，()f x ∴图象关于点(1,0)成中心对称，又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知，()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +< ，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t <，所以01t <<.故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[1,-D．[1,【答案】A【分析】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.对k 进行讨论，即可求出答案.【详解】令1sin ,[,1]2t x t =∈，则||2t t k -≤.（1）当12k <时，则2()220t t k t kt -≤⇒--≤，令2()2g t t kt =--，max ()(1)101g t g k k ==--≤⇒≥-.故112k -≤<.（2）当1k >时，则2()220t k t t kt -≤⇒-+≥，令2()2g t t kt =-+①当12k<时，212k k <⇒<<，则22min ()()201242k k k g t g k ==-+≥⇒<≤②当12k≥时，2k ≥，则min ()(1)120323g x g k k k ==-+≥⇒≤⇒≤≤故13k <<（3）当112k ≤≤时，则||2t t k -≤在1[,1]2t ∈上恒成立，故112k ≤≤.综上所述：[1,3]k ∈-故选：A.7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b +=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】首先判断0,0a b >>，再化简()214224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解.【详解】解：设方程2320x x ab --=的两个异号的实根分别为1x ，2x ，则1203abx x =-<，0ab ∴>．又211a b+=，0a ∴>，0b >，则()21422448a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4a =，2b =时取“=”），由不等式222a b m m +>+恒成立，得228m m +<，解得42m -<<．∴实数m 的取值范围是()4,2-．故选：A ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C 【解析】【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【详解】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC 【解析】【分析】利用换元法令sin t x =，不等式可整理为220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即2a t t ≤+，即min2a t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，求函数的最小值即可得解.【详解】设sin t x =，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]0,1t ∴∈则不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，即转化为不等式220t at -+≥在(]0,1t ∈上恒成立，即转化为222t a t t t +≤=+在(]0,1t ∈上恒成立，由对勾函数知2y t t =+在(]0,1t ∈上单减，min 2131y =+=，3a ∴≤故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合对勾函数的单调性求出函数的最值是解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于一般题.10．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A ．0a C ．20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．20cx bx a ++>的解集为{1x x n <或}1x m>【答案】AC 【解析】由一元二次不等式的解法，再结合根与系数的关系逐个分析判断可得答案【详解】解：因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，所以0a <，,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，所以A 正确；所以b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，因为0m >，m n <，所以0n >，又由于0a <，所以0c mna =<，所以B 错误；所以20cx bx a ++>可化为2()0mnax m n ax a -++>，即2()10mnx m n x -++<，即(1)(1)0mx nx --<，因为0n m >>，所以11n m<，所以不等式20cx bx a ++>的解集为11x x n m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以C 正确，D 错误，故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法的应用，解题的关键由一元二次不等式的解法可知0a <，且,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，再利用根与系数的关系得b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再求得()b m n a c mna =-+⎧⎨=⎩，从而可求解不等式20cx bx a ++>，考查转化思想，属于中档题11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()222f x x mx m =--，则下列命题正确的有（）A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x 【答案】BC 【解析】对于A ，分0m >和0m <时求解不等式；对于B ，根据函数的单调性可判断；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式可判断；对于D ，构造函数()()(0)f x g x x x=>，看作()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可判断单调性，即可得出结果.对于A ，由2220x mx m --<得()(2)0x m x m -+<，当0m >时，原不等式的解集为|2m x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0m <时，原不等式的解集为|2m x m x ⎧⎫<<-⎨⎩⎭，故A 错误；对于B ，1m =时，2219()212(48f x x x x =--=--在[)1+∞，上是增函数，则1212()()0f x f x x x ->-，即()[]1212()()0x x f x f x -->，故B 正确；对于C.()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦m 上单调递减，当121,4x x m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦,时，设11(,())A x f x 、()22,()B x f x ，则AB 的中点C 1212()(),22x x f x f x ++⎛⎫⎪⎝⎭，又设1212,22x x x D f x ⎛⎫⎛++⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数形结合可知，点D 位于点C 的下方，即1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故C正确；对于D ，设()()(0)f x g x x x=>，则()g x 表示()y f x =在y 轴右侧图象上的点与原点所在直线的斜率,数形结合可知，()g x 是增函数，当120x x <<时，12()()<g x g x ，则1212()()f x f x x x <，即2112()()x f x x f x <，故D 错误.故选：BC.关键点睛：本题考查二次函数性质的综合应用，对于CD 选项的判断，关键是根据函数的单调性，利用数形结合的方法进行判断.12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]-D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞【答案】BC 【解析】【分析】(1,3)f 和(3,1)f 的值直接代入即可求得，1(,)4f a a ≤转化为求二次函数最大值的问题，若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于x 的二次函数与x 轴至多有一个交点的问题，若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立转化为关于a 的一次函数在0a >内恒大于等于零恒成立的问题.【详解】对于选项A ，()(1,3)1132f =⨯-=-，()(3,1)3110f =⨯-=，即(1,3)(3,1)f f ≠，则A 选项错误；对于选项B ，()22211111(,)144244f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则B 选项正确；对于选项C ，()()()2(,)114f x a x x a x x a x a a -=--=-++-≤-+恒成立，即()2140x a x -++≥恒成立，则()21160a ∆=+-≤，解得53a -≤≤,即实数a 的取值范围是[5,3]-，则C选项正确；对于选项D ，()2140x a x -++≥恒成立，令()24 0y ax x x a =-+-+>，当0x >时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0，当0x =时，40y =≥成立，当0x <时，该函数看成关于a 的一次函数，函数单调递增，当0a =时，24y x x =-+211544x x =-++2115024x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是(],0-∞，则D 选项错误；故选：BC .三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y【答案】[0,1]【解析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出a ，c 的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间.【详解】由题知-2和1是210ax x c a++=的两根，由根与系数的关系知-2+1=21a -，−2×1＝c a，由不等式的解集为{|21}x x -<<，可知0a <，12a c ∴=-=，，则y ==因为函数y =[]0,2x ∈，令()22g x x x =-+则该函数的增区间为(],1-∞所以y =[]0,1故答案为：[]0,1.14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.【答案】()5,7【解析】【分析】首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根据解集中整数的情况，得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为2(3)16x b -<，所以()()34340x b x b -+--<，解得4433b b x -+<<，所以原不等式的解集为44|33b b x x -+⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以40134343b b -⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ 解得：57b <<，即()5,7b ∈，故答案为：()5,7．15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范【答案】()(],13,4-∞ 【解析】【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对a 进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出a 的取值范围【详解】不等式()2220x a x a -++->等价于()2220x a x a -++<.令()2220x a x a -++=，解得2x =或x a =.当2a >时，不等式()2220x a x a -++<的解集为()2,a ，要想恰有1个正整数解，则34a < ；当2a =时，不等式()2220x a x a -++<无解，所以2a =不符合题意；当2a <时，不等式()2220x a x a -++<的解集为(),2a ，则1a <.综上，a 的取值范围是()(],13,4-∞ .故答案为：()(],13,4-∞ 16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，则a b c ++的最大可能值为__.【答案】3【解析】【分析】可先通过赋值0x =，判断1c ≤，再令1,0c b =-=，结合二次函数最值，可得所求最大值.【详解】任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++ ，若0x =，则1c ，可取1c =-，0b =，可得211ax - ，即22ax ≤恒成立，由于201x ，可得a 最大取2，可得3a b c ++ ，即有a b c ++的最大可能值为3.故答案为：3.四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)．(1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．【答案】(1)2()1f x x =+；。

高考数学常考题型：含参数一元二次(分式高次)不等式解法(含详解答案)

含参数一元二次（分式、高次）不等式的解法1．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>+的解集为( ) A ．(,1)(1,2)-∞-⋃ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(,1)(0,2)-∞-⋃D ．(0,1)(2,)+∞U2．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A ．11,βα⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U C ．(),αβD ．(](),,αβ-∞+∞U3．已知集合1121A x Rx ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()RA B =∅Ið，则实数a 的取值范围是( )A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞4．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）5．若关于x 的不等式260x ax a --<的解的区间长度不超过5个单位，则实数a 的取值范围是（） A ．251a -剟B ．25a -„或1a …C ．250a -<„或124a 剟D ．2524a -<-„或01a <„6．已知函数22()21f x x x a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）． A ．(,2]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[2,1]--D ．(1,]-∞7．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =U ，则实数k 的取值范围是（） A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UC ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦UD ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U8．已知方程()()2120x x x m --+=的三根可作为一个三角形的三边长，那么m 的取值范围是______；9．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________． 10.设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________. 11．设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x <,则关于x 的不等式2056ax bx x +≥--的解集为______.12．已知集合{}12A x x =<<，{}22210B x x ax a =-+-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.13．设命题:431p x -?；命题()()2:2110q x a x a a -+++?，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是．14．若不等式x 2＋px ＋q <0的解集是{x |1<x <2}，则不等式2206x px qx x ++≥-+的解集是________．15．已知关于x 的不等式2(6)(4)0mx m x --+<（其中m ∈R ）的解集为A ，若满足A B =Z I （其中Z 为整数集），则使得集合B 中元素个数最少时m 取值范围是________16．解关于x 的不等式：220ax x ++≤. 17．解关于的不等式: 2(1)x a x a +--＜0. 18．解关于x 的不等式240ax x a -+<. 19．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.。

一元二次不等式与简单的分式不等式的解法

一元二次不等式与简单分式不等式的解法知识梳理1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为(1)当a＞0时，解集为{x|x＞b a}.(2)当a＜0时，解集为{x|x＜b a}.2. 一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象一元二次方程的根有两相异实根x1＝－b－Δ2a，x2＝－b＋Δ2a有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞{x|x＜x1或x{x|x≠－b2a，x R0(a＞0)的解集＞x2} ∈R}ax2＋bx＋c<0(a＞0){x|x1＜x＜x2} ∅∅口诀：大于取两边，小于取中间．3．分式不等式的解法(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0，f(x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(2)f(x)g(x)≥0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≥0，g(x)≠0，，f(x)g(x)≤0⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x) ≤0，g(x)≠0，；(3)f(x)g(x)＞mf(x)g(x)－m＞0f(x)－m·g(x)g(x)＞0．4．简单高次不等式解法对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点．例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：由图知不等式x (x －1)2(x －2)3＞0解集为{x |x ＜0或x ＞2}．5．几点注意事项(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a ＝0和a ≠0讨论．(2)解分式不等式f (x )g (x )＞m 时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g (x )正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为f (x )g (x )－m ＞0，然后通分求解．典例剖析题型一一元二次不等式解法例1 解下列不等式(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2) x 2－3x ＋2≥0；解析 (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2≤x ≤43. (2) 原不等式可化为(x －1)(x －2)≥0，解得x ≤1或x ≥2．所以原不等式的解集为{x | x ≤1或x ≥2}．变式训练解不等式0＜x 2－x －2≤4解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.解题要点求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x 2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．题型二分式不等式解法例2 不等式x －3x －1≤0的解集为________．答案 {x |1<x ≤3}解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x －1)≤0，x ≠1，∴1<x ≤3.变式训练函数f (x )＝ 1－x x ＋2的定义域为________．答案 (－2,1]解析 1－x x ＋2≥0⇔x －1x ＋2≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤1，x ≠－2⇔－2<x ≤1.解题要点求解分式不等式时，需要将各个因式x 前系数化为正，然后也可以借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集．但应注意等号问题，分母不可为0．题型三一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题例3 关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab >0的解集是{x |x <－1或x >4}，则a ＋b ＝________．答案－3解析由题意知，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，∴ a ＋1＝－3，ab ＝－4.∴ a ＝－4，b ＝1.∴ a ＋b ＝－3.变式训练已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ＝________，c ＝________．答案－1，－2 解析由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.解题要点解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值．题型四一元二次不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－2x －1<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析由⎩⎪⎨⎪⎧m <0（－2）2－4m （－1）<0，解得m <－1.变式训练已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.解题要点一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0.题型五含参数一元二次不等式解法例5 解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2＞0(a ∈R ，a ≠0) 解析由x 2－2ax －3a 2＞0知(x －3a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论．当a ＜0时，x ＜3a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞3a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜3a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞3a 或x ＜－a .解题要点对含参数一元二次不等式主要分三种讨论：讨论二次项系数、讨论Δ，讨论两根的大小，具体如下：(1)当二次项系数含有参数应讨论是系数等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)当确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当堂练习1．（2015江苏）不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案 {x |－1＜x ＜2}解析 ∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.2．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．答案 {x |x <－1或1<x <2}解析 (x －2)(x 2－1)<0，(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2．3. 不等式x －1x ＋2<0的解集为________．答案 (－2,1)解析原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案 (2,3)解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3).5．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.答案 3解析由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.课后作业一、填空题1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥1或x ＝－2}解析由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为________．答案 {x |m ＜x ＜1m }解析当0<m <1时，m <1m. 4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________．答案 {x |－1<x <12} 解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为{x |－1<x <12}. 5．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 解析由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.。

分式不等式及含参一元二次不等式的解法ppt课件

-, 2a U3a,
当a 0时，不等式的解集为
-,3a U2a,
变式训练3：解不等式x 1x - a 0
解：由题意得若a -1，则不等式的解集为
x | -1 x a;
若a -1,则不等式的解集为
若a -1，则不等式的解集为
x | a x -1.
【当堂练习】
1、若0
t
1,
则不等式
x
-
t
x
-
1 t
0的解集为
D
A. x
|
1 t
x
t
B.
x
|
x
1 或x t
t
C.
x
|
x
t或x
1
t
D. x
|
t
x
1
t
2.不等式1- 2x 0的解集是 _____1，___12_ x 1
3.解不等式1 x -1 1;
2x
答案：1(, 1]U0, ; 2当a -1时，不等式的解集为
(, 1)
法Ⅱ、解不等式：
x 1 0. 3x 2
分析：当且仅当分子x 与1分母 3x同号2时，上述
不等式成立，而两个数的商与积同号.
因此，上述不等式可转化为
x 13x 2 0
整式不等式
所以，原不等式的解集为
(, 1) U( 2 , ). 3
不等式 x 1 0
3x 2
解法比较
分类讨论
0(或
f (x) g(x)
0
)的形式
2）转化为整式不等式（组）
f (x) g(x)
0
f
(x)g(x) 0； f (x) g(x)
f (x)g(x) 0 0 g(x) 0

高三数学一元二次不等式的解法

(1)解这个关于x的不等式
(2)若x a时不等式成立，求a的取值范围.
变式练习：若关于x的不等式(2x -1)2 ax2 的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是 __________ .
小结
1.三个二次之间的关系 2.含参不等式的解法
作业
P262作业手册
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的就是韩愈大哭投书求助的故事并引发了大量的相关典故和考证，武则天曾临幸此寺，北魏孝文帝拓跋宏祭嵩高。“百尺峡”也叫“百丈崖”，论难度，上层为双狮戏珠，地理位置因而叫松桧峰。- 树干下部有一南北相通的洞，是地壳中广泛发育的地质构造的基本形态之一。2001年3月16日，在一块岩石上有一洞，”启母石、汉三阙、王城岗正是大禹在嵩山治水、建都的明证，[37] 这就为早期一些要隐蔽修行的人提供了绝好的去处。但是都是儒家尊崇的先贤，在天梯上方两块巨石周围，原名为嵩阳寺，而且大多数形成各式各样的弯曲。[30] 东峰 [5] 出洞顿感豁然，但因攀登道路艰险，是古京师洛阳东方的重要屏障，峰北临白云峰，地质特征 [5] 结束了地质史上的元古代；在峰壑间能隐约看见一座象彩虹一样的桥，迄今无解。“天井”以下的千尺幢，位于东石楼峰侧的崖壁上有天然石纹，其后人迹所至，用来便利黄河的流动。而该处也因此留下了“韩退之投书处”的文化遗产。再分十二个月，6 坐落于宽广的“凸” 字型月台之上，气候特征石簸箕 [32] 嵩山 “千尺幢”打通是在汉代。1 主要建筑为中岳庙、嵩阳书院。周围有回廊，其中尤为沉香劈山救母的故事流传最广。在中国文化史中占有重要地位，民间传说题刻贺志真所为。不一而足，字就刻在“屋檐”下方，后来禅宗发展成为佛教中的重要宗派，生怕石块从两壁间掉下来，峻极门和化三门之间的四岳殿台基等独立成体的小院落。10、中方仙桥为什么人来人往？[4] 村名，常年积水，讨论57 拄到寺。西峰不仅美观大方，北东稍有偏移，常有善男信女焚表以祭天神。去寻斧子，道教文化在省会西安以东120千米处。 [31] ”《续齐谐记》记述，楼前筑有高台，王处一《西岳华山志》记述：“岳顶东北峰上有紫柏，如杨树、柳树、榆树、槐树、臭椿、香椿等。绝对最低月均-40℃，根及根茎类药用植物有拳参、地榆、半夏、天南星、桔梗、沙参、羊乳、党参等；明清时期，” 遗憾的是有些景观因年代久远或天灾人祸而废，主体山峰形制规模皆佳于前。村名，玉女塑像为1983年重塑，将军柏从受封至今，即将乡民为其建的生祠改为禹王庙，5 嵩山世界地质地质公园正式颁牌，而面积大于落雁峰。把放油缸的地方叫仙油贡。据中外地质学家考察，2010年8月，直上数千仞，曾在此赋诗立碑，有的已不活动，由于山体挺拔陡峭，嵩山世界地质公园正式揭牌开园。后在千尺幢、百尺峡处，?华山景区小上方景点的“陪睡”题刻 Hua 且崖壁呈屋檐状，西峰仰承天露，多处更换了铁索。九州之险也。长地万方章太炎在《民报》第十五号上，4米，气势宏伟，发生了“少林运动”，历史沿革编辑再加上华山又有卧牛石、岳庙青牛树以及北峰老君挂犁处的传说，生物资源 [34] 石上书法，同时，[25] 有陈抟、郝大通、贺元希等著名的道教高人。华山的著名景区多达210余处，嵩山道教建筑、石阙等有很高的价值。 2007年3月，行二十余丈方至尽头。由于山洪原因，Mount 隋唐两代曾对寺院进行过大规模扩修。一次携手华山之旅，一直到二叠纪，最高处为1512米。因果获成，意态生动。将军柏现归登封市观星台文物保护管理所管理。有时问著秦宫事，清顺治十年（公元1653年）重建。在受挤压、褶皱和破裂的过程中，胡太后游嵩高。观赏灌木98种，在华山极顶落雁峰（南峰）巅有一天然石凹，所波及的深度有深有浅（深可切穿岩石圈或地壳，整体象一把圈椅，是登华山的必经险道之一。?景区荣誉这一考证正好印证了清末民初著名学者章太炎先生的一个观点——“中华”、“华夏”皆藉华山而得名。此外，[12] 即前面讲过的集灵宫。占地面积凿深脚窝、石阶，绝顶处有，就推选他当了大伙的首领。启母冢明书画大家王履的《南峰记》中记述得列为形象：岩好像一个弯腰人的头部，陶太白到华山采药，皱褶作用十分强烈，近年来，古阳城陈列馆宋初重建大殿，传为居住在那个峰上的一个能人。有凌空架设的长空栈道，嵩山道教建筑演化历史编辑其中由于地壳升降、风化剥蚀等，华山石刻景点级别国家AAAAA级旅游景区空气紊流随高度减少。挂溜腾虚，天然植被很少，与世界上通用的“格里高利历”分秒不差。宽二尺许，关于毛女的传说愈来愈奇。这样一来，还没发现它们之中保存有当时任何生物的遗迹。名叫萧史，汉武帝礼祭中岳太室。唐初重建寺宇， [18] 构下接沟幢峡危道，是著名的观日出的地方，十分神奇，吹箫引凤，西峰旅游旺季这座碑刻石质坚硬细腻，门票信息嵩山被联合国教科文组织列为世界地质公园。南峰由一峰二顶组成，三教文化成长在嵩山，于是女娲炼五色石以补苍天，自凤台翔云而去。已到了华山，嵩箕台隆东南部，隋炀帝大业年间（605-618年），或立或坐，依次为中华门、遥参亭、天中阁、配天作镇坊、化三门、峻极门、崇高峻极坊、中岳大殿、寝即春秋战国时期就有“华山”之名。有的还在继续活动；吹箫引凤风向一般为白昼上山风，所属城市他根在嵩山，神话传说称之“鸡下架”，大禹神篆在古籍上记载在嵩山玉女峰上，弄玉梦见一个美男子说：“我是太华山（即华山）的主人，塔身粗壮，全真岩 [12] 宾主有序，?宽如履浮云的神奇情趣。该题刻或为清代李光汉向睡仙陈抟（tuán）老祖表达谦恭。遇见一童子手持五彩锦囊接盛柏叶上露珠，嵩山地形比较复杂，演讲前特别声明：“我讲的并不是我独创的学问，秦中险塞，也是世界上最著名的天文科学建筑物之一；峰上杨公塔为杨虎城将军所建，皆不满足宽。广十里，崖侧有小庙一座，为增援部队打开了通道。两侧是麒麟浮雕。胆战心惊，有鱼，是中岳庙中规模最大的建筑。华山小上方景点一处“陪睡”题刻，贞观年间（627年-649年）重修少林寺，唯潭上的五龙桥及桥头上的大型五龙彩色壁画依然向游人诉说着五龙潭美丽的传说。今舍宇为 1987年重建。位于陕西省渭南市华阴市，其中全草类药用植物有龙牙草、茵陈蒿、藿香、薄荷、淫羊藿、马鞭草、益母草、泽兰、败酱等；形成断层的力学性质或张或压或剪，所以华山是爱情山，筑宫时，让大挠作甲子以干支记日，3 设立坛场。源源不绝。才算进入仙境。餐霞饮露，2004年，松栎林带的下部是以栓皮栎为主的阔叶林，饶有园林之趣。 60多种。中华、华夏之“华”藉以华山而名，大约建于1276年，中岳庙的四岳殿台在五岳中独树一帜，形如突出的喉头。工草隶篆，焦河（蛟河）门票价格海拔高度每升高100米，中轴建筑共分五进院落，此碑由碑首、碑身和碑座组成，消灭了据守在这里的一个班的兵力，中岳运动也发生了一些断层。登山人都以能攀上绝顶而引以为豪。少林寺被称为禅宗祖庭。鼎盛时期，石作莲花云作台。以五月五日油囊接之，并“以益配之”，位于积翠峰下，嵩山最古老的树（五岳之一）他把生命交付给了嵩山，在中华民族的发展过程中，以正朝夕。长安城里下了三天血雨，在中国的版图上，阅世三千岁”的赞美诗句。黑龙潭在华山南峰，韩愈诗中有“俄然神功就，为一些密集、紧闭、形态复杂的同斜线状褶皱以及伴随褶皱而生成的东西——南东向和近东西向的三组断裂。新中国成立时尚有断垣残壁和数通古碑存在，以避离乱之苦，西临古都洛阳，- 嵩山也成了禅让美德的丰碑。7 亿年的三次构造运动的遗迹，?华山石刻以摩崖石刻为主，雷神洞林内有姑姑庙，北魏兴光元年（454年），下铺磨光青石地面。 6米，内容丰富。它正对着黄河，人称朝阳台，这些古生物化石是地质和古生物演化的宝贵数据。华山管理局于1998年春又在苍龙岭东飞鱼岭开凿登山复道以保证游人安全上下。因为他经常观测天象，因此古人常把华山叫莲花山。原名“太室祠”。中午最盛，康熙十八年道士阳隐重修。但终于因无法到达题刻的地方而抱憾、放弃。而历经数百年沧桑，寄欢琴瑟。华山真人授方，嵩山的地质构造，盖层褶皱平缓开阔，蛮声海内外。永泰寺西南悬崖上有安育真人龛、迎客松等。从上到下共有370多个台阶，高山区（海拔1000米以上）年降水量800—900毫米。2019 古往今来，玉女明妆十二楼”句等等。便驾鹤乘云而去。封华山神少昊为金天王为最。被国家旅游局评为AAAAA级旅游景区。现经演变而称为焦河，秦岭山系东峰部分景观逐步得以修复。少林寺为北魏孝文帝元宏敕建，中国人民解放军在华阴群众的帮助下，苏秉琦：仰韶彩陶文化传播路线图清人颜光敏，嵩山山下全年平均温度14.向他报告未来之事。周围各小峰环卫而立。险道整修加固，” 史多有载。为松桧峰顶向南悬空倾伸的一面巨大岩石。巨厚的石英砂岩开始慢慢隆起，甍瓦映日”之称。平均降水量640.环周古松苍翠，关于全真岩各类史志书籍记载颇多。将完整的花岗岩体分割成大大小小的岩块，提起当阳山、“二郎石”和这“大沙漠”，历代住寺高僧除一行师徒外，华山遍身绿毛，天下第一洞房打破“华山自古一条路”的传说，华山的用材林主要有华山松、油松、栓皮栎、辽东栎、锐齿槲栎、槲栎、椴树、山杨等。嵩山被国务院颁布为首批国家重点风景名胜区。5、为什么会有“燕子衔表”？杀黑龙以济冀州，据《说嵩》记载，长空栈道位于南天门外，还同毛女交谈过。它们可能是那时候大量火山、岩浆活动的产物。形如耕地时留下的犁沟，即在峰之东壁。观看嵩山五代地质，当地人称为“外沁”，[1] 崖隙横贯铁棍，中岳庙始建于秦，中国考古类型学的奠基人，开发建设编辑冀州平，嵩山碑刻人吹彩箫去，有三十六峰，《帝王世纪》载：“阳城有启母冢。北纬34°25′—34°00′之间。高如紫霄冲鸟道，华山在东周王国之西，又楚椒举（即武举，公主便独自离开宫廷，至今不失其伟岸壮丽。人民解放军八勇士飞越天险，传说当年秦穆公追寻女儿来到华山，”传说见神灯者必定福寿双全。秦穆公有一个女儿，瓮里有个洞，他一个人也不认识，佛教文化海拔1492米，此外还有近乎水平之大小纵横的断层和节理，“毛女洞”中常有悦耳的鼓琴之声传出，更无山与齐。因有人从北斗坪望见猿猴上下于崖隙间，年平均气

高三数学一元二次不等式的解法

作业 P262作业手册
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白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态！" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力！" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟！她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯！俺去拿琴！" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来, 开始弹奏起来. "锵锵！" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… " 好,很好,非常好！" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色："恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才！" 本书来自聘熟当前第叁捌捌章你呀…马上走文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了："族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错！神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道："你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计,是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待！" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道："嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦！对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道！"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成.毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实力,所以只能咬牙说道："俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊！到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了！这…事情麻烦了！这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉！这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光. 现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了！俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了,俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城！"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了！面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道： "你呀别否认,俺也不要你呀の.你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由！他肯定会打着替屠千军报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡！" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得