高等数学-上海海事大学
第二章插值法-上海海事大学概论
y f (x)
x0
x1
x2
x
3
x3
x4
我们仅介绍多项式插值,即如果已知函数f (x)在n+1个互异
点的值yi=f (xi) (i=0,1,2,,n),求一个次数不高于n的多项式
Pn(x)=a0+a1x+a2x2++anxn ,
(1.2)
使
Pn(xi)=yi (i=0,1,2,,n)
为了确定Pn(x)的n+1个系数,由上述条件得线性方程组
1(x),2 (x),...n (x)组成的函数空间,所以 p(x) n
可表示为
ai ,
p(x) a00 (x) a11(x) ... ann (x)
这里
i 0,1,2,...n是(n+1)个待定常数
它可根据条件(1.1)确定.
当 k (x) xk k 0,1,2,...n
Hn Span 1, x, x2,...xn 表示次数不超过n次的多项式集合，
p(xi ) yi i 0,1,2,...n (1.1)
称 p(x) 为 y =f(x) 的插值函数，点 x1, x2 ,....xn
称为插值节点，包含插值节点的区间[a, b] 称为插值区间.
1
通常 p(x) n Span0,1,...n,其中 i (x) i 0,1,2,...n
是一组在 [a, b]上线性无关的函数族, n 表示由
2 j 1
x xj x0 x j
类似地有
l1( x)
(x ( x1
x0 )( x0 )(
x x2 ) x1 x2 )
2 j 0
x xj x1 x j
j 1
l2 ( x)
高等数学A(一)2011-2012(A)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2011 — 2012 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题2分, 共8分)1、=-→)sin 11sin (lim 0x xx x x （ ）(A)-1 ； (B)1； (C)0 ； (D)不存在2、已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数，()f x '严格单调减小， 且(1)(1)1f f '==，则 （ ） （A ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x < （B ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >（C ）在(1,1)δ-内有()f x x >，在(1,1)δ+内有()f x x < （D ）在(1,1)δ-内有()f x x <，在(1,1)δ+内有()f x x >3、设F (x)=⎰-x a dt t f ax x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、 不存在--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页10,)(1)(1,1)(0)(1421+==+=+===+=x y x D x y C x y y B x A xe y x 与斜渐近线有铅直渐近线，仅有斜渐近线与斜渐近线有水平渐近线，仅有铅直渐近线）渐近线的正确结论是（、关于曲线 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、设()f x 具有连续的一阶导数，且(0)0,(0)1f f '==，则200))(()(lim 2⎰⎰→•x••x•x dt t f dt t f =________.2、当0→x 时，x x sin -为x 的k 阶无穷小，则k=3、xx xx tan 2cos 1lim 0-→=4、设{}{}3,1,2,2,1,12-=-=b a ，则)57()35(b a b a-⨯-= _____ 三 计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、 求极限xx xx x e1102)12(lim ++→-2、0222)(=-=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t tt•dx y d x y y et y et x 求确定了函数设 第 3 页 共 6 页3、．求dx x x •••⎰---33222114、求dx x x dx⎰∞++12)1(5、的值．和点连续，试求常数在，， ，设b a x x x dtt x b x x x ax x f x00cos sin 010cos 1)(022=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<-=⎰第 4 页 共 6 页6、设)(x f 连续，如果)(,cos 2sin )()(02x f dt ttt f x f x 求+=⎰。
上海海事大学高等数学教材
上海海事大学高等数学教材上海海事大学高等数学教材是该校数学专业的必修教材之一，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
本教材按照国家大纲的要求编写，内容丰富全面，适合大学本科阶段的学习。
第一章微积分基础在本章中，我们将从微积分的基本概念入手，介绍了包括极限、连续函数、导数等在内的重要内容。
通过理论分析和实例演示，帮助学生建立起对微积分的初步认识和理解。
第二章导数与微分学本章将深入探讨导数的性质和应用，包括常见函数的导数计算、高阶导数、隐函数求导以及微分中值定理等内容。
通过大量的例题练习，让学生掌握导数的计算方法和应用技巧。
第三章积分学在本章中，我们将详细介绍积分的概念和性质，包括定积分、不定积分、换元积分法等。
同时，还将介绍面积计算、曲线长度和旋转体体积等几何应用问题。
通过练习和实例分析，培养学生应用积分解决实际问题的能力。
第四章微分方程本章将介绍微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的求解方法、可降阶的方程、高阶线性微分方程等。
通过理论分析和实例演示，帮助学生掌握微分方程的基本解法和解题思路。
第五章无穷级数在本章中，我们将详细介绍无穷级数的概念、性质和求和方法，包括等比级数、幂级数、函数展开等内容。
通过理论分析和实例演示，培养学生对无穷级数的理解和应用能力。
第六章多项式与函数逼近本章将介绍多项式和函数的逼近方法，包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近以及Fourier级数等内容。
通过实例分析和应用案例，帮助学生掌握多项式和函数逼近的原理和技巧。
总结上海海事大学高等数学教材全面系统地介绍了微积分、积分学、微分方程、无穷级数等重要内容，能够满足学生的学习需求。
通过理论与实例相结合的教学方式，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们在数学专业的深入学习和实际应用奠定坚实的基础。
此教材编写规范，内容丰富实用，是上海海事大学数学专业教学的重要参考资料。
总字数：300字（不包括标题）。
高数必不挂-高等数学(A)2008-09
上海海事大学 2008–2009年第1学期《高等数学A 》课程期末考试试卷A 卷 2009.1考生姓名： 班级： 学号：末的括号中）(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)()不存在 、)(1)(2)(31)(234lim 1D C B A e e e e xx xx x =++--∞→()21)(21)(2)(0)(0)()0( )1ln()(022D C B A x x f f xdtt x f x x 处连续。
在使得定义的可去间断点，则补充为、设--==-==⎰）的是（的极值，以下判断正确则关于、设)(,)1()(32x f x e x f x -=都不是极值点。
，）（都是极值点；，）（不是极值点；是极值点，是极值点；不是极值点，）（111111)(11=-==-==-==-=x x D x x C x x B x x A二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)()=+→xx 2csc 0sinx 1lim 1、过原点的切线方程为、x e y -=23、x x x f ln )(2=，则='')1(f4、⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0011)(22x ex x x f x ，则⎰∞+∞-dx x f )(=5、35)1(1-+=x y 的拐点坐标为三 计算题（必须有解题过程）(本大题共9小题，每题7分，共63分)1、(本小题6分)已知xxey -=，试推导y 对x 的n 阶导数（不必证明）2、(本小题6分)．求⎰+20cos sin sin πdx xx x3、(本小题6分))0(,1y xe y y '-=试求确定隐函数求由方程4、(本小题6分)设函数)ln(sin )(x x f =，验证在]65,6[ππ上)(x f 满足罗尔定理，并求出对应ξ值。
5、 ( 本小题6分 )处的曲率在求曲线π=⎩⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x )cos (sin )sin (cos6、 ( 本小题6分 )⎰-4d 22x xx 求7、( 本小题6分 )已知平面π:3250x y z -+-=与直线l x y z :-=-=-754154的交点为M 0，求平面π上过M 0且与l 垂直的直线的方程。
高等数学试卷与答案 第一学期期末考试 上海海事大学 高等数学A船(A)
上 海 海 事 大 学 试 卷2009 — 2010 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷）班级 学号 姓名 总分(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()()()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C •••x f B x f A •••••x x f x x x f y 2、设F (x)=⎰-x adt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ）（A ）、2a (B)、 )(2a f a (C)、 0 (D)、 不存在3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则 =--→xf x f x 2)1()31(lim0 （ ）（A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）64、xx x ee 1011lim+-→的极限为 （ ）（A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)1、____________2lim 20的值等于-+-→x xx e e x 2、__________________)sin (cos 2 •232⎰=+ππ－•dx x x --------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------23、=-+∞→xx x x )1212(lim 4、已知当x x x sin 0-→时，与3ax 是等价无穷小，则=a 三 计算题（必须有解题过程）（本大题分11小题，每小题5分，共55分） 1、(本小题5分))2(lim 2x x x x -++∞→ 计算极限2、(本小题5分)设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=10111arctan )1()(2x x x x x f 研究f （x ）的连续性。
高等数学A(二)2022-2022(A)试卷及解答
高等数学A（二）2022-2022(A)试卷及解答--------------------------------------------------------------------------------------上海海事大学试卷2022—2022学年第二学期期末考试《高等数学A（二）》（A卷）（本次考试不能使用计算器）班级学号姓名总分题目得分阅卷人一二12345678910四一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)某y1、函数f(某,y)某2y20装订(某,y)(0,0)(某,y)(0,0)在点(0,0)处（）线------------------------------------------------------------------------------------(A)连续且可导;(B)不连续且不可导;(C)连续但不可导;(D)可导但不连续.2、函数z某2y在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（）(A)3;(B)0;(C)5;(D)23、设Ω是由3某2+y2=z,z=1－某2所围的有界闭区域，且f(某,y,z)在Ω上连续，则f(某,y,z)dv()dy1某23某2y2(A)2d某(C)12014某20f(某,y,z)dz(B)dz01某某dyzy23zy23f(某,y,z)d某111y2dy21y22d某1某23某2y2f(某,y,z)dz(D)d某121214某214某2dy3某2y21某2f(某,y,z)dz第1页共8页二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分3小题,每小题4分,共12分)1、设函数zz(某,y)由方程zez某y所确定，则dz2、微分方程yye某的通解为0,某2，已知S(某)是f(某)的以2为周期的3、设f(某)某,某022正弦级数展开式的和函数，则S9=4三计算题（必须有解题过程）（本大题分10小题，共70分）1、（本小题7分）z2z设zarcin(某0)，求，22某某y某yy2、（本小题7分）计算二重积分ID1in2(某y)d某dy,D:0某2,0y23、（本小题7分）判别下列级数的敛散性，并说明绝对收敛还是条件收敛。
新编文档-上海海事大学高数课件3函数的极限-精品文档
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内容小结
1. 函数极限的"" 或"X" 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与练习
与左右极限等价定理 Th3
1. 若极限 lim f (x)存在,
xx0
是否一定有xl ix0m f(x)f(例x03)？
2. 设函数 f (x)
a x2, x 1 且 limf (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
xx0
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例4. 证明 lim (2x1)1
x 1
证: f(x)A (2x1)12x1
0,欲使
只要 x12,
取 2, 则当 0x1 时 , 必有
f(x ) A ( 2 x 1 ) 1
因此
lim (2x1)1
x 1
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例5. 证明 limx2 1 2 x1 x 1
证:
10 1
x
x
y y
1
x
ox
故 0,欲使
10 x
, 即
x
1,
取 X 1 , 当xX时 , 就有
因此
lim 1 0
x x
10
x
注: y0为y1的水平渐.近线 x
例2 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
高等数学A(一)2013-2014(B)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2013 — 2014 学年第一学期期末考试《 高等数学A （一）》（B 卷） （本次考试不能使用计算器）班级 学号 姓名 总分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1、当x →0时，()2cos 1x -是sin 2x 的 （ ）。
(A)高阶无穷小; (B)同阶无穷小;但不等价; (C)等价无穷小; (D)低阶无穷小xx D x x x x C x x x x e B x x e A y x x e y 222222csc sec cot csc tan sec cot csc tan sec 11csc sec 11csc sec arctan 2++++++++-='-+=． ．． ．）（，则、设 也无水平渐近线无铅直渐近线又有水平渐近线，有铅直渐近线无水平渐近线）有铅直渐近线无铅直渐近线，有水平渐近线）渐近线的正确结论是（、关于曲线,)(,)(,(,)(1cos 32D C B A xxy +=⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-202022sin 2)( 0)(sin )(sin )(sin 224ππππππxdxD C xdxB xdx A x x y 、 、 、 、 ）轴围成图形的面积为（与上的曲线，、在--------------------------------------------------------------------------------------装订线------------------------------------------------------------------------------------第 2 页 共 6 页5、曲面22y x z +-=是（ ）（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面;（B ）zoy 平面上曲线y z -=绕z 轴旋转而成的旋转曲面; （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面; （D ）zoy 平面上曲线y z -=绕y 轴旋转而成的旋转曲面.二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、处的法线方程为曲线在设曲线方程为1,sin sin 122=⎪⎩⎪⎨⎧+=++=x tt y tt x 2、='⋅⋅+⎰x x f x f x x xx f d )()( , sin 1sin )(则的一个原函数为已知3、设a b c ,,均为非零向量，且a b c b c a c a b =⨯=⨯=⨯,,b ++=4、⎰-=223_______________cos ππxdx三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、之值。
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2、会用二重积分求几何量（如面积、体积）。
专业负责人/教研室主任意见
签名：
日期：
教学院长意见
签名：
日期：
5、了解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理、柯西（Cauchy）定理及泰勒（Taylor）公式，会使用中值定理做证明题。
6、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，
会利用单调性证明不等式。
7、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求解最大值和最小值的几何应用问题。
2019年上海海事大学插班生考试大纲
考试科目
高等数学
考试时间
2小时
试卷总分
150分
题型及分数构成
选择（20）、填空（20）计算（80）证明（10）应用（20）
教材及主要参考书目
教材：《高等数学》同济大学（第五版）高等教育出版社
参考书：《高等数学解题方法与同步指导》陈春宝沈家骅同济大学出版社
考试内容
一、极限、连续（约20分）
1、掌握极限四则运算法则，掌握 等未定型极限的计算。
2、掌握利用两个重要极限的计算。
3、理解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
4、理解函数连续的定义，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
5、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（零点定理和介值定理）。
二、一元函数微分学（约30分）
8、会用洛必达பைடு நூலகம்L-Hospital）法则求未定式 等的极限。
三、一元函数积分学（约30分）
1、掌握不定积分的基本公式，不定积分的第一类及第二类换元法和分部积分法。
2、掌握变上限积分的求导定理，掌握牛顿（Newton）--莱布尼兹（Leibniz）公式。
3、掌握定积分的换元法和分部积分法。
4、会计算区间无穷型反常积分及无界函数的反常积分。
5、掌握定积分几何应用（如面积、旋转体体积等）。
四、多元函数微分学（约40分）
1、理解偏导数和全微分的概念，会求全微分。
2、掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
3、会求多元隐函数的偏导数、全微分。
4、理解多元函数极值的概念，会求二元函数的极值，会使用拉格朗日乘数法求最值。
五、多元函数积分学（约30分）
1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求切线和法线，理解函数的可导性与连续性之间的关系，会讨论分段函数的可导性，会利用导数定义计算。
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
3、掌握初等函数一阶、二阶导数的求法及初等函数的n阶导数。
4、会求隐函数方程和参数式方程所确定的函数的一阶、二阶导数或微分。