北师大版八年级数学下册3.2 图形的旋转(共2课时)

基础巩固题
2. 下列说法正确的是( B ) A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C.平移图形可以向某方向旋转一定距离得到 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
课堂检测
基础巩固题
3.如图,在△ABC中,∠B=70°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C顺时
针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时,∠CAE的度
_F_与__A___ .
B
A
C
O
F
D
E
探究新知
知识点 2
旋转的性质
观察下图，你能得 到什么结论？
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
A'
A
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
B'
C
B
O
C'
探究新知
A E
F
B
D
结论 旋转的性质：
O C
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
答案: 6 150
探究新知
方法总结 旋转的性质的两种应用
(1)根据旋转角相等，对应点与旋转中心的连线相等可 得线段或角相等. (2)根据旋转前后的图形与原来图形的形状、大小都相 同可得图形的对应线段、对应角相等.
巩固练习
变式训练
如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了76°,小明的位置也从A 点运动到了A′点,则∠OAA′的度数为( B ) A.28°B.52° C.74°D.76°
探究新知 素养考点 3 与旋转有关的证明
例3 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC 上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90° 后得CF,连接EF. (1)补充完成图形. (2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.
探究新知
解：(1)补全图形,如图所示
∴△BDC≌△EFC(SAS),
∴∠BDC=∠EFC=90°.
探究新知
方法总结 利用旋转进行证明的三个结论
(1)旋转前后的图形全等.即对应角相等,对应边相等. (2)旋转角都相等. (3)旋转前后的两条线段在同一个三角形中,则该三角形 为等腰三角形.
巩固练习
变式训练
如图所示,△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合,则下列 结论不一定成立的是( C ) A.AE=AC B.∠EAC=∠BAD C.BC∥AD D.若连接BD,则△ABD为等腰三角形
点是 点A .正方形ABCD中，AD=AB， A
D
∠DAB= 90 °，所以旋转后重合.
设点E的对应点为E′.
E
∵△ADE ≌△ABE′
∴∠ABE′＝∠ADE＝ 90 °， E ′
B
C
BE′＝ DE ，
因此在CB的延长线 上截取点E′,使BE ′=DE . 则△ABE′为旋转后的图形.
探究新知
想一想：
A.45°，90° B.90°，45° C.60°，30° D.30°，60°
课堂检测
能力提升题
2.如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1 的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点 E，F．求证：△BCF≌△BA1D；
分析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，
∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC， ∠A1=∠A=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角 形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
课堂检测
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得 A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，
∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
探究新知
素养考点 2 与旋转有关的计算
例2 如图,P是正△ABC内一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将
△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,则点P与P′之间的
距离为PP′=
,∠APB=
度.
探究新知
解析：连接PP′,由旋转可知:△P′AB≌_△__P_A__C_, 所以∠CAP=∠BAP′,AP=AP′=6,CP=BP′=10, 又∵∠CAP+∠PAB=____6_0_°_, ∴∠P′AP=∠BAP′+∠BAP=60°, ∴△P′AP是___等__边___三角形, ∴AP=AP′=PP′=6,∠APP′=60°, ∵62+82=102,∴P′P2+PB2=P′B2,∴△P′PB是___直__角__三角形, ∴∠P′PB=__9_0_°___,∴∠APB=∠P′PB+∠APP′=150°.
探究新知
结论 旋转的定义
P
在平面内，将一个图形绕一个 定点按某个方向转动一个角度，这 样的图形运动称为旋转.
这个定点称为旋转中心.
对应 点
O
旋转角
120
旋转中心
P′
转动的角称为旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋
转的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
探究新知 注意：
A
M. 60°
B
D
C
解：(1)旋转中心是点A;
E (2)旋转了60 °,逆时针; (3)点M转到了AC的中点上.
巩固练习
变式训练
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是____O__，
旋转角是__∠__A_O_B___，旋转角等于__6_0_度，其中的对应点有
_A_与__B___、 _B__与__C__、 __C_与__D__、 __D_与__E__、 ___E__与__F、
旋转角都为 60°的旋转图形．
A' D'
D B'
A
C' C
B
O
探究新知
做一做： 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，
把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
A
D
想一想：本题中作图
的关键是什么？
E
B
C
作图关键－确定点E的对应点E′
探究新知
解：∵点A是旋转中心，∴它的对应
3.旋转中心是唯一不动的点;
4.对应线段相等，对应角相等.
探究新知 素养考点 1 旋转的性质 例1 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将 △ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE ＝2，CE＝3，则∠BE′C＝___1_3_5___度．
解析：连接EE′， 由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°， ∴∠BE'E=45°，EE′= 2 2. 在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，EE′= 2 2. 由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
巩固练习
变式训练
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点
O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( C )
A．30° C．90°
B．45° D．135°
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可 知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为 90°.故选C.
连接中考 （2020·赤峰）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形 重合，其中旋转角度最小的是 ( C )
课堂检测
基础巩固题
1.下列现象中属于旋转的有( C )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；
④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2
B.3
C.4
D.5
课堂检测
数是 ( C )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
课堂检测
基础巩固题
4.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转 α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转 β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且 α+β=∠B,则EF=__1_3__.
课堂检测
(2)由旋转的性质得:∠DCF=90°,
∴∠DCE+∠ECF=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE+∠BCD=90°, ∴∠ECF=∠BCD, ∵EF∥DC, ∴∠EFC+∠DCF=180°, ∴∠EFC=90°,
DC = FC,
在△BDC和△EFC中, ∠BCD = ∠ECF ,
BC = EC,
∠A1 = ∠C，
A1 B
=
BC，
∠A1BD = ∠CBF，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）.
课堂检测
拓广探索题
如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC
相交于点F,连接DA,BF,∠ABC=α=60°,BF=AF. (1)求证:DA∥BC.
(2)猜想线段DF,AF的数量关系,并证明你的猜想.
探究新知
知识点 1
旋转的概念
问题：观察下列图形的运动，它有什么特点？
O 45°
B
A
探究新知 思考:怎样来定义这种图形变换？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动 一定角度.
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动 了1_2_0_°___度.
探究新知
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固 定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
基础巩固题
5.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在边AB上的 点E处,点B落在点D处,连接BD,若∠DAC=∠DBA,则 ∠BAC为 ( C ) A.32° B.35° C.36° D.40°
课堂检测
能力提升题
1. 如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转 后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点 经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ A ）
北师大版八年级数学下册
3.2 图形的旋转 （第1课时）
导入新知
以上情景中的转动现象，有什么共同特征？ 钟表的指针在转动过程中，其形状、大小、位置是 否发生改变？飞机的螺旋桨、电风扇的叶轮的转动呢？
素养目标
2. 能够根据旋转的基本性质进行相关的计算 和证明. 1. 通过具体实例认识旋转，掌握旋转的有关 概念及基本性质.
解:(1)∵AB=BD,∠ABD=α=60°, ∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°, ∵∠ABC=60°,∴∠DAB=∠ABC, ∴AD∥BC.
课堂检测
解:(2)结论:DF=2AF.
理由:∵△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,在△ADF和△BDF中,
AD = BD,
AF
=
BF ,
∴△ADF≌△DFBD=FD(SFS,S),
探究新知
结论 旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）找出关键点; （3）作出关键点的对应点; （4）作出新图形; （5）写出结论.
巩固练习
A E
F
B D
C 借助上图，如何确定它们的旋转中心位置？ 答：找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点.
夹角等于旋转角.
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
北师大版 八年级 数学 下册
3.2 图形的旋转 （第2课时）
导入新知 回顾平移的特征
B A
F
C D
E
H
G N
K L
M
导入新知 回顾旋转的特征
C
B
D
F
A
E O
素养目标
2. 能综合运用旋转性质解决有关代数，几何 类问题. 1. 掌握图形旋转的基本作图.
确定图形Байду номын сангаас旋转时, 旋转中心
必须明确 旋转角
旋转方向
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心， 旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换 同样属于全等变换.
探究新知
素 养 考 点 1 旋转的定义
例 △ ABD经过旋转后到△ ACE的位置. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？ (3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?
∴∠ADF=∠BDF=30°,∴DF⊥AB,∠DEB=∠C=90°,
∵AD∥BC,∴∠DAF=180°-∠C=90°,
∵∠ADF=30°,∴DF=2AF.
课堂小结 定义
旋转 性质
三要素：旋转中心，旋转方向 和旋转角度
① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离相等; ③ 对应点与旋转中心所连线段的
探究新知
知识点 1 简单的旋转作图
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋转60°后
的线段．
X
C 作法：(1)如图，以AB为一边按顺时 针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB. 线段AC为所求．
探究新知
试一试：画出下图所示的四边形 ABCD 以 O为中心，
A
D
还有其他方法确定点E的对应
E
点E′吗？
E′
B
C
解：延长CB,以点A为圆心，AE 的长为半径画弧,交CB的延长线
于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
探究新知
结论 旋转作图的条件 ： （1）原图形； （2）旋转中心； （3）旋转方向； （4）旋转角度．
旋转作图的依据：旋转的定义和旋转的基本性质．