关于正切函数的图象和性质课件
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A
B
在每一个开区间
(-π 2+kπ,π 2+kπ)，k Z 内都是增函数。
基础练习
1．关于正切函数 y tan x, 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 ytan(3x)的一个对称中心是（ C ）
4
4
函 数 的 单 调 增 区 间 是 k 3 4,k 4 ,k Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430。
(2)tan(-134π)____>_tan(-175π)
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
区间。
定 义x域 \xk ： ,｛ k z｝
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 (k,0)(kZ)且与 y 轴相互平行的
2
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x|xk,kZ}
关于正切函数的图象和性质
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移y正 s弦 ix n,x线 [0,得 2]图.象
2、再利用周期性图 把象 该向 段左、右扩. 展
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
tan1670tan173 0
(2) t an0(t1a441n)52t ant42a,,n又 t2yan(tan 153x在 )0， ta2n52是 增 函 数
4
5
tan(11)tan(13).
4
5
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o与 tan173o
（2）t a
n
(
-
1
1 π) 4
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸(单2调性k：,2在k每)一个，k开区Z间内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心
(
kπ 2
,0 )
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
4
解 : 设 t x 4 ,则 y t a n t 的 定 义 域 为 t t R 且 t k + 2 ,k Z
x k,
4
2
x k
4
因 此 ， 函 数 的 定 义 域 是 x x R 且 x k 4 ,k Z 值域 : R
y 3 2 ta n t k 的 k单 调 xx增 区 4 间 是 2 k - k 2 k,2 k ,k Z
与
tan(- 13π) 5
解: 9 0 0 1 6 7 0 1 7 3 0 1 8 0 0
ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
tan1670tan173 0
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例题分析
例 2. 求 函 数 y t a n ( x ) 的 定 义 域 、 值 域 和 单 调 区 间 .
A.( ,0) 9
B. ( , 0 ) 4
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o与 tan173o
（2）t a n ( -
1 1 π) 4
与
tan(-
1 3 π) 5
解: (1) 9 0 0 1 6 7 0 1 7 3 0 1 8 0 0 ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵ f x + π = t a n x + π = t a n x fx
∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
( - π ,π ) 22
为什么？
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
1. 已知 a ta n 1 ,b ta n 2 ,c ta n 3 ,则(c )
y
tan
3x
3
的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域
x x|x R 且 x1 3k5 1 8， k Z
2、值域
3、单调性
y R
在 x 1 3k 1 8,1 3k5 1 8 上 是 增 函 数 ；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性 最小正周期是
3
补充练习
值域：R
36
单调递增 区 k间 ,k ： ） ,k（ z 6 36 3
例题分析
例３ 求函数 y tan3x 的周期.
解： 因 为 tan (3 x )tan3 x,
即tan3(x+)=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
，函数的值
3
tan3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
2 2
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
ytaxn，x2，2
角 的 终 边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数 ytaxn，x2，2 的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3 8
， 4
反馈演练
1 、 解 不 等 式 1 + t a n x 0
2 、 解 不 等 式 ： 1 - ta n x 0
3、 解 不 等 式 ： tan(x) 3
63
答案: 1. x xk4xk2,kZ 2. x xk2xk4,kZ 3. x xk3xk23 ,k Z
提高练习
求函数
(1) y 5 tan x
2 2
(2)ytan(4x) 4
例题分析
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )
例题分析
来自百度文库
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )
B
在每一个开区间
(-π 2+kπ,π 2+kπ)，k Z 内都是增函数。
基础练习
1．关于正切函数 y tan x, 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 ytan(3x)的一个对称中心是（ C ）
4
4
函 数 的 单 调 增 区 间 是 k 3 4,k 4 ,k Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430。
(2)tan(-134π)____>_tan(-175π)
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
区间。
定 义x域 \xk ： ,｛ k z｝
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 (k,0)(kZ)且与 y 轴相互平行的
2
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x|xk,kZ}
关于正切函数的图象和性质
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移y正 s弦 ix n,x线 [0,得 2]图.象
2、再利用周期性图 把象 该向 段左、右扩. 展
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
tan1670tan173 0
(2) t an0(t1a441n)52t ant42a,,n又 t2yan(tan 153x在 )0， ta2n52是 增 函 数
4
5
tan(11)tan(13).
4
5
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o与 tan173o
（2）t a
n
(
-
1
1 π) 4
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸(单2调性k：,2在k每)一个，k开区Z间内都是增函数。
(6)渐近线方程：x
k
2
,
kZ
(7)对称中心
(
kπ 2
,0 )
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
4
解 : 设 t x 4 ,则 y t a n t 的 定 义 域 为 t t R 且 t k + 2 ,k Z
x k,
4
2
x k
4
因 此 ， 函 数 的 定 义 域 是 x x R 且 x k 4 ,k Z 值域 : R
y 3 2 ta n t k 的 k单 调 xx增 区 4 间 是 2 k - k 2 k,2 k ,k Z
与
tan(- 13π) 5
解: 9 0 0 1 6 7 0 1 7 3 0 1 8 0 0
ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
tan1670tan173 0
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例题分析
例 2. 求 函 数 y t a n ( x ) 的 定 义 域 、 值 域 和 单 调 区 间 .
A.( ,0) 9
B. ( , 0 ) 4
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o与 tan173o
（2）t a n ( -
1 1 π) 4
与
tan(-
1 3 π) 5
解: (1) 9 0 0 1 6 7 0 1 7 3 0 1 8 0 0 ytanx在 2， 上 是 增 函 数 ，
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵ f x + π = t a n x + π = t a n x fx
∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
( - π ,π ) 22
为什么？
利用正切线画出函数 ytaxn，x， 的图像:
1. 已知 a ta n 1 ,b ta n 2 ,c ta n 3 ,则(c )
y
tan
3x
3
的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域
x x|x R 且 x1 3k5 1 8， k Z
2、值域
3、单调性
y R
在 x 1 3k 1 8,1 3k5 1 8 上 是 增 函 数 ；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性 最小正周期是
3
补充练习
值域：R
36
单调递增 区 k间 ,k ： ） ,k（ z 6 36 3
例题分析
例３ 求函数 y tan3x 的周期.
解： 因 为 tan (3 x )tan3 x,
即tan3(x+)=tan3x,
3
这说明自变量 x ,至少要增加 才能重复取得，所以函数 y
，函数的值
3
tan3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
2 2
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
ytaxn，x2，2
角 的 终 边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数 ytaxn，x2，2 的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3 8
， 4
反馈演练
1 、 解 不 等 式 1 + t a n x 0
2 、 解 不 等 式 ： 1 - ta n x 0
3、 解 不 等 式 ： tan(x) 3
63
答案: 1. x xk4xk2,kZ 2. x xk2xk4,kZ 3. x xk3xk23 ,k Z
提高练习
求函数
(1) y 5 tan x
2 2
(2)ytan(4x) 4
例题分析
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )
例题分析
来自百度文库
例 ４ 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由图 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k Z )