3消费-投资组合模型

第三章课件1：消费-投资组合模型3.2.1 单时期最优消费和投资组合模型单时期模型显然是对复杂的、时间变化的随机现象（像股票价格和债券价格等）的非真实表示，但是，它们的优点是数学形式简单，能够简明地揭示许多重要的经济原理。

它们是研究最复杂的连续时间模型的基础，因此，先引入和研究单时期模型非常必要。

在单时期的消费-投资模型中，引入了金融市场交易策略的概念，这是把传统的消费-投资分析拓广为现代消费-投资分析，从而为金融研究提供分析基础的关键点。

本书中讨论的消费-投资分析及其模型与传统的消费-投资分析及其模型的主要区别是：（1）传统的消费-投资分析及其模型把未来收入，尤其是资产的未来收益，都作为外生变量，而本书中的消费-投资分析及其模型把它们作为内生变量，通过交易策略的概念实现了这一点。

交易策略是模型的核心概念。

（2）在传统的消费-投资分析及其模型中，投资者对于不确定性等风险因素完全是被动的，风险完全是选择的外生条件，而在本节的消费-投资分析及其模型中，风险对于投资者来说并不都是坏事，风险也是一种投资。

不仅如此，风险往往也是可以进行组合的，后面3.2节的均值-方差投资组合分析就说明了这一点。

1．单时期和多时期消费-投资的基本原理性模型我们先来把涉及到金融市场的单时期和多时期的消费-投资决策的原理性模型做一个简单介绍，第一点，是为了读者便于把握本章后面的各种不同时期的消费-投资分析模型。

因为金融学中的消费-投资分析模型一般都比较麻烦。

这是让初学者比较头痛的事情。

第二点，如果初学者没有时间，掌握这个基本原理性模型也够用。

第三点，这样做的最根本目的是让初学者认识到，不管现代金融研究中的理论、方法和模型多么复杂、困难和抽象，其实原理都很简单。

从下面的介绍中读者就可以看到这一点。

考虑市场有N 个证券性资产，其价格分别表示为1S ，…，N S 。

一种无风险的银行存款或债券记为B 。

市场是不确定的。

一个代表性消费者-投资人现在的资产向量是1(,,,)N Z B S S =⋅⋅⋅如果他要选择的策略是1(,,)N H h h =⋅⋅⋅，那么他在时刻t 的自融资条件或预算约束条件就是011()()()N N Z t h B h S t h S t =++⋅⋅⋅而消费-投资的决策则是要使下面的预期效用或收益最大化，[(())]hMax E U Z t 在这样的过程中，一个消费者-投资人的决策关键其实是要解决下面四个基本问题： 第一，市场资产的选择；第二，策略选择；第三，融资的约束条件分析；第四，决策的目标依据。

不管以后多么复杂的模型，多是以上基本原理性模型的推广。

对此请见下面的陆续工作。

2.单时期消费-投资的标准模型先介绍在消费-投资组合选择中的一些基本元素。

（1）交易的初始日期0t =到期末日期1t =为一个交易时期。

（2）状态集合Ω：1{}k i ωΩ=，其经济含义是不确定性。

这些概念及其表述我们在第1章1.1节已经做过介绍。

（3）银行储蓄B ：{:0,1}t B B t ==，其中01B =，其含义是1单位储蓄的债权，而1B 是随机变量。

定义110r B ≡->为利率，这就意味着1B 的经济含义是储蓄在日期1t =的收益。

（4）消费者-投资人的初始财富w ：00w c v =+，即在日期0t =的资源禀赋。

其中0c 表示初始消费，0v 可以认为是初始资产。

（5）价格过程（Price Process ）S ：{:0,1}t S S t ==，其中1((),...,())t J S s t s t =，()j s t （1j J ≤≤）是证券j 在日期t 的价格。

（6）消费者-投资人的交易策略H ：01(,,...,)J H h h h =是由消费者-投资人从0t =到1t =这个交易时期的资产组合构成的向量。

也就是说，一个交易策略决定一个资产组合。

这里把资产组合提升或者抽象为交易策略的概念，这样可以更确切地表达金融市场资产交易活动，当然也为深入的研究工作创造条件。

其中，0h 是投资于储蓄的资产，j h （1j J ≤≤）是证券j 的持有量（如股票股数）。

（7）资产收入V ：{:0,1}t V v t ==，其含义是资产组合的日期t 的总价值，即01()Jt t j j j v h B h s t =≡+∑，0,1t =注意，其中的0t h B 表示在银行储蓄的资产价值，1()Jj jj h s t =∑则是投资到证券中的资产价值。

（8）消费选择C ：01(,)C c c =，其中00c ≥和10c ≥分别是在日期0t =和日期1t =的消费，它们各自是非负的纯量和非负的随机变量。

（9）消费-投资计划：(,)C H ，其中C 和H 是含义如上。

现在可以讨论消费者-投资人的消费选择和投资的交易策略选择了。

首先，消费的选择是要实现从日期0t =到日期1t =这个交易时期内的效用最优化。

但是在日期1t =的消费选择1c 是随机的，因此，现在不能用01(,)u c c 来表示该时期的效用。

其次应该用可加性的效用函数来表示该时期消费的总效用，在数理分析中，更规范的说法是效用函数具有可分可加性。

对与状态ω有关的随机消费1c ，如果用()πω表示对状态ω的概率估计，则其预期效用就表示为()1[()]E u c πω，于是，在交易时期内总的消费效用就是0()u c +()1[()]E u c πω （3.2.1）在初始日期0t =，消费者-投资人的消费是0c ，投资是001(0)J j j j v h h s ==+∑。

其中0h 是投资于储蓄的资产，1(0)J j jj h s =∑是投资于证券的资产。

在日期0t =应该有 0c +01(0)Jj j j h h s =+∑w = （3.2.2）到了期末日期1t =，整个交易时期的消费和投资全部结束，于是，在日期1t =的总价值是1011(1)Jj j j v h B h s =≡+∑这些收入来自于01(0)Jj jj h h s =+∑在日期1t =的投资。

在交易时期结束时，应该进行两种分析：一是生命到此是否结束；二是以后是否还要继续进行交易。

如果是前者，那么在日期1t =交易时期结束时，消费者-投资人就必然要把全部1011(1)Jj j j v h B h s =≡+∑消费掉。

即有 1c =011(1)J j j j h B h s =+∑ （3.2.3）如果继续进行交易，那么消费者-投资人在日期1t =可用于消费的支出就应该不超过011(1)J j j j h B h s =+∑-01[(0)]Jj j j h h s =+∑=01(1)h B -+1[(1)(0)]J j j j j h s s =-∑ =0h r +1[(1)(0)]J jj j j h s s =-∑ （3.2.4） 这样，如果用()πω表示他对状态ω的概率估计，那么在日期1t =生命结束的消费-投资选择就要实现01,c c Max 0{()u c +()1[()]}E u c πω .:S t 0c +01(0)Jj j j h h s =+∑w =1c =011(1)Jj j j h B h s =+∑ （3.2.5）在日期1t =继续进行交易发消费-投资选择就要实现01,c c Max 0{()u c +()1[()]}E u c πω .:S t 0c +01(0)Jj j j h h s =+∑w =1c ≤0h r +1[(1)(0)]Jj j jj h s s =-∑ （3.2.6） 显然，（3.2.5）式的消费-投资决策是在市场出清的交易中进行的，而（3.2.6）式则不是。

在不确定的市场中，资产的组合是有限制的，交易策略的结果存在风险，因此需要消费者-投资人对投资中的各种状态做出概率估计和相应的风险判断。

要在资产组合有限制和状态不确定的市场中解决最优投资组合问题，需要解决的最简单和最基本的问题是，对于消费-投资的当事人来说，他的状态或有要求权是否能够完全实现。

也就是说，他的预期目标是否可以达到。

这是在不确定市场上进行投资活动的一个基本原则。

如果消费-投资计划(,)C H 对于投资者来说是可取的，那么他的状态或有要求权，即预期目标就应该可以达到。

我们知道，消费者-投资人的预期目标是实现（0()u c +1[()]E u c ）的最优化，而在01(,)C c c =中，因为0c 是已经确定的初始消费，所以，1c 就是他保证预期目标实现的状态或有要求权。

因此，只要1c 是他可以达到的最大效用，那么问题就解决了。

下面我们看看消费者-投资人的预期目标，即（3.2.5）式或（3.2.6）式的结果如何得以实现。

3.不确定市场上消费-投资组合的均衡分析均衡的概念研究市场的均衡问题和讨论均衡解的存在性及其帕累托效率性是研究消费-投资组合的理论基础。

为了研究消费-投资中的均衡问题，下面我们先来介绍有关于消费-投资均衡的概念含义。

我们都知道，市场均衡的意义在于它使所有的当事人都分享了市场的共同信息，实现了各自的选择目标。

即在所有个体都实现了帕累托条件下，市场达到了均衡。

均衡解的意义在于它们向不同的当事人传递有关的价格和数量信息。

但是，在均衡的含义和均衡解的集合中，没有包括那些随机变量。

论证均衡和求均衡解可以使我们通过模型分析掌握内生变量的变化关系及其有关信息，但某些重要的外生变量在均衡分析中往往通过假设条件被处理掉。

然而，恰恰就是这些外生的随机变量和其它变量一起，作为市场整体因素中的一部分而作用于经济活动。

尤其在金融市场上，通过均衡关系可以把握的内生变量实在不多，所以，这就给金融学和金融数学的研究提出了非常重要的任务和挑战。

不确定和风险是金融学核心要素，因此，金融意义下的均衡概念必须以随机变量为基本元素。

现在先仔细考察这里均衡解的构成。

均衡解是由日期0t =的价格和消费者-投资人的交易策略构成的，把日期1t =的价格等信息反映在交易策略中，即交易策略以价格信息为其中的变量之一：(,())j j j h h s t ω=。

在这样的分析和模型研究中都遵循着金融学研究的一个基本思想，这就是：因为很多金融资产，比如期权等是难以测度的权利，所以，金融市场在数量意义上是个不出清的市场，金融市场中的随机变量和潜在因素影响着金融资产的价格。

在单一时期的消费-投资模型（3.2.5）式或（3.2.6）式中，数据资料由状态集合（样本空间）Ω、概率估计()πω、投资人的银行债权和证券j 在日期t 的随机价格()j s t 构成。

对模型来说，内生变量有：证券j （1j J ≤≤）在日期0t =的随机价格(0)j s ；消费01(,)C c c =；交易策略01(,,...,)J H h h h =。