二项式定理 高考题(含答案)

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二项式定理高考题(含答案)精选全文

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精选全文完整版(可编辑修改)二项式定理高考题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2二项式定理 高考真题一、选择题1.(2012·四川高考理科·T1)相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是( D )(A )42 (B )35 (C )28 (D )212.(2011·福建卷理科·T6)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( B )(A )80 (B )40 (C )20 (D )103.(2012·天津高考理科·T5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为 ( D ) (A)10 (B)-10(C)40 (D)-40 4.(2011.天津高考理科.T5)在6的二项展开式中,2x 的系数为 ( C )(A )154- (B )154(C )38- (D )38 5.(2012·重庆高考理科·T4)821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.(2012·重庆高考文科·T4)5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )A.56B.84C.112D.1688.(2011·新课标全国高考理科·T8)512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D ) (A )-40 (B )-20 (C )20(D )409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8(D)93 10.(2011·陕西高考理科·T4)6(42)x x --(x ∈R )展开式中的常数项是 (C )(A )20- (B )15- (C )15 (D )20二、填空题11. (2013·天津高考理科·T10)6x ⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.(2011·湖北高考理科·T11)18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.(2011·全国高考理科·T13)20的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.(2011·四川高考文科·T13)91)x +(的展开式中3x 的系数是 84 (用数字作答).15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.(2011·安徽高考理科·T12)设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- (,则1110a a += 0 .17.(2011·广东高考理科·T10)72()x x x-的展开式中,4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.(2011·山东高考理科·T14)若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60,则常数a 的值为 4 .19.(2012·大纲版全国卷高考理科·T15)若n xx )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.(2013·安徽高考理科·T11)若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7,则实数a ____12_____。

(完整版)二项式定理高考题(带答案)

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1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析:写出,然后可得结果详解:由题可得,令,则,所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________.【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项,再根据项的次数为零解得r,代入即得结果.详解:二项式的展开式的通项公式为,令得,故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中,的系数为____________. 【答案】决问题的关键.4.【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为,所有项的系数的绝对值之和为,则的最小值为()A. 2B.C.D.【答案】B5.【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________.【答案】-132【解析】分析:由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式,然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解:的展开式为:,当,时,,当,时,,据此可得:展开式中项的系数为.6.【2017课标1,理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C【解析】试题分析:因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+,则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=,621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=,故2x 前系数为151530+=,选C.情况,尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7.【2017课标3,理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A .80-B .40-C .40D .80【答案】C 【解析】8.【2017浙江,13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++,则4a =________,5a =________.【答案计数.9.【2017山东,理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54,则n = . 【答案】4【解析】试题分析:由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅,令2r =得:22C 354n ⋅=,解得4n =.【考点】二项式定理10.【2015高考陕西,理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .4B .5C .6D .7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =,令2r =得2x 的系数是2C n ,因为2x 的系数为15,所以2C 15n =,即2300n n --=,解得:6n =或5n =-,因为n +∈N ,所以6n =,故选C . 【考点定位】二项式定理.【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理,即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n ab -+T =. 11.【2015高考新课标1,理10】25()x x y ++的展开式中,52x y 的系数为( )(A )10 (B )20 (C )30 (D )60 【答案】C12.【2015高考湖北,理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.122 B .112 C .102D .92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以73nn C C =,解得10=n ,所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆,理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==,令71582k-=,解得2k =,因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东,理9】在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为 . 【答案】6.【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-,令412r-=解得2r =,所以展开式中x 的系数为()22416C -=,故应填入6.【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津,理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中,2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由622r -=得2r =,所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以该项系数为1516.16.【2015高考新课标2,理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =__________. 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++,故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ,34ax ,x ,36x ,5x ,其系数之和为441+6+1=32a a ++,解得3a =.【考点定位】二项式定理.17.【2015高考湖南,理6】已知5-的展开式中含32x 的项的系数为30,则a =( )B. C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海,理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为(结果用数值表示). 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2x 项只能在10(1)x +展开式中,即为8210C x ,系数为81045.C =19.(2016年北京高考)在6(12)x -的展开式中,2x 的系数为__________________.(用数字作答)【答案】60.20.(2016年山东高考)若(a x 25的展开式中x 5的系数是—80,则实数a =_______. 【答案】-221.(2016年上海高考)在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________ 【答案】11222.(2016年四川高考)设i 为虚数单位,则6(i)x +的展开式中含x 4的项为(A )-15x 4 (B )15x 4 (C )-20i x 4 (D )20i x 4 【答案】A23.(2016年天津高考)281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-24.(2016年全国I 高考)5(2x +的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10。

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用,并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一:二项式定理设a , b 是任意实数,n 是任意给定的正整数,则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理,其中右边的多项式叫的二项式展开式,每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意:二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项,n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ,并且第一个字母a 依次降幂排列,第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二:二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意:该项为二项展开式的第1m +项,而不是第m 项. 知识点三:二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中,与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数,那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四:二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析:熟记二项式定理.解答:51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析:灵活运用通项公式. 解答:272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析:根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数,那么它的展开式中间两项的二项式系数最大,并且相等,即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数,再利用通项公式计算.解答:由于7为奇数,所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析:二项式()na b +的展开式中,所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

2022高三总复习数学 二项式定理(含解析)

2022高三总复习数学 二项式定理(含解析)

二项式定理A 级——基础达标1.(2021·栖霞模拟)⎝⎛⎭⎫x -2x 6的展开式中的常数项为( ) A .-150 B .150 C .-240D .240解析:选D ⎝⎛⎭⎫x -2x 6的二项展开式的通项公式为T k +1=C k 6x 6-k ·⎝⎛⎭⎫-2x k =C k 6x 6-k·(-2)k ·x -k 2=(-2)k C k 6x 6-32k .令6-32k =0,解得k =4,故所求的常数项为T 5=(-2)4·C 46=240. 2.(2021·深圳市统一测试)⎝⎛⎭⎫x -2x 7的展开式中x 3的系数为( ) A .168 B .84 C .42D .21解析:选B ⎝⎛⎭⎫x -2x 7的展开式的通项公式为T r +1=C r 7x 7-r ⎝⎛⎭⎫-2x r =(-2)r C r 7x 7-2r,令7-2r =3,则r =2,所以⎝⎛⎭⎫x -2x 7的展开式中x 3的系数为(-2)2C 27=84,故选B. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项是( )A .63x B .4xC .4x 6xD .4x或4x 6x 解析:选A 令x =1,可得⎝⎛⎭⎪⎫x +13x n的展开式中各项系数之和为2n 即8<2n<32,解得n =4,故第3项的系数最大,所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2=63x . 4.(2021·贵阳市适应性考试)在⎝⎛⎭⎫x +3x n 的二项展开式中,各项系数之和为A ,二项式系数之和为B ,若A +B =72,则二项展开式中常数项的值为( )A .6B .9C .12D .18解析:选B 在⎝⎛⎭⎫x +3x n 中,令x =1,得A =4n ,由题意知B =2n ,所以4n +2n =72,得n =3,⎝⎛⎭⎫x +3x 3的二项展开式的通项公式为T r +1=C r 3(x )3-r ⎝⎛⎭⎫3x r =3r C r 3x 3-3r 2,令3-3r 2=0,得r =1,所以常数项为T 2=3C 13=9.5.已知(x +2)(2x -1)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6,则a 0+a 2+a 4=( ) A .123 B .91 C .-120D .-152解析:选D 法一:因为(2x -1)5的展开式的通项T r +1=C r 5(2x )5-r·(-1)r (r =0,1,2,3,4,5),所以a 0+a 2+a 4=2×C 55×20×(-1)5+[1×C 45×21×(-1)4+2×C 35×22×(-1)3]+[1×C 25×23×(-1)2+2×C 15×24×(-1)1]=-2-70-80=-152,故选D.法二:令x =1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=3 ①;令x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6=-243 ②.①+②,得a 0+a 2+a 4+a 6=-120.又a 6=1×25=32,所以a 0+a 2+a 4=-152,故选D.6.(多选)在二项式⎝⎛⎭⎫3x 2-2x 5的展开式中,有( ) A .含x 的项 B .含1x 2的项C .含x 4的项D .含1x4的项解析:选ABC 二项式⎝⎛⎭⎫3x 2-2x 5的展开式的通项公式为T r +1=C r 5·35-r ·(-2)r ·x 10-3r,r =0,1,2,3,4,5,故展开式中含x 的项为x 10-3r ,结合所给的选项,知ABC 的项都含有.故选A 、B 、C .7.(多选)(2021·沈阳模拟)已知(3x -1)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,设(3x -1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ,T n =a 1+a 2+…+a n ,则( )A .a 0=1B .T n =2n -(-1)nC .n 为奇数时,S n <T n ;n 为偶数时,S n >T nD .S n =T n解析:选BC 由题意知S n =2n ,令x =0,得a 0=(-1)n ,令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a n =2n ,所以T n =2n -(-1)n ,故选B 、C .8.(多选)若(1-ax +x 2)4的展开式中x 5的系数为-56,则下列结论正确的是( ) A .a 的值为-2B .展开式中各项系数和为0C .展开式中x 的系数为4D .展开式中二项式系数最大为70解析:选BD (1-ax +x 2)4=[(1-ax )+x 2]4,故展开式中x 5项为C 14C 33(-ax )3x 2+C 24C 12(-ax )(x 2)2=(-4a 3-12a )x 5,所以-4a 3-12a =-56,解得a =2.(1-ax +x 2)4=(x -1)8,则展开式中各项系数和为0,展开式中x 的系数为C 78(-1)7=-8,展开式中二项式系数最大为C 48=70.故选B 、D.9.(2020·天津高考)在⎝⎛⎭⎫x +2x 25的展开式中,x 2的系数是________. 解析:二项式⎝⎛⎭⎫x +2x 25的展开式的通项为T r +1=C r 5·x 5-r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r =C r 5·2r ·x 5-3r.令5-3r =2得r =1.因此,在⎝⎛⎭⎫x +2x 25的展开式中,x 2的系数为C 15·21=10. 答案:1010.若⎝⎛⎭⎫x +12x n (n ≥4,n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列,则n =________.解析:⎝⎛⎭⎫x +12x n 的展开式的通项T r +1=C r n x n -r ⎝⎛⎭⎫12x r =C r n 2-r x n -2r ,则前三项的系数分别为1,n 2,n (n -1)8,由其依次成等差数列,得n =1+n (n -1)8,解得n =8或n =1(舍去),故n =8.答案:811.已知(a 2+1)n 展开式中的二项式系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2+1x 5的展开式的常数项,而(a 2+1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54,则正数a 的值为________.解析:⎝⎛⎭⎫165x 2+1x 5展开式的通项为T r +1=C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25-r ·⎝⎛⎭⎫1x r =C r 5⎝⎛⎭⎫1655-r x 20-5r 2. 令20-5r =0,得r =4, 故常数项T 5=C 45×165=16, 又(a 2+1)n 展开式中的二项式系数之和为2n ,由题意得2n =16,∴n =4.∴(a 2+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3,从而C 24(a 2)2=54,∴a = 3.答案: 312.已知f (x )=(1+2x )m +(1+2x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为24,则展开式中x 2的系数的最小值为________.解析:由f (x )的展开式中x 的系数为24,可得C 1m 2x +C 1n 2x =2mx +2nx =24x ,解得m +n =12.设f (x )的展开式中x 2的系数为t ,则t =C 2m 22+C 2n 22=2(m 2+n 2-m -n )=2(m 2+n 2-12)≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m +n )22-12=2×(72-12)=120.当且仅当m =n =6时,t 有最小值120. ∴f (x )的展开式中x 2的系数的最小值为120. 答案:120B 级——综合应用13.(多选)已知(2x -m )7=a 0+a 1(1-x )+a 2(1-x )2+…+a 7(1-x )7,若a 0+a 12+a 222+…+a 727=-128,则有( ) A .m =2 B .a 3=-280 C .a 0=-1D .-a 1+2a 2-3a 3+4a 4-5a 5+6a 6-7a 7=14解析:选BCD 令1-x =12,即x =12,可得⎝⎛⎭⎫2×12-m 7=(1-m )7=a 0+a 12+a 222+…+a 727=-128,得m =3,则令x =1,得a 0=(-1)7=-1,(2x -3)7=[-1-2(1-x )]7,所以a 3=C 37×(-1)7-3×(-2)3=-280.对(2x -3)7=a 0+a 1(1-x )+a 2(1-x )2+…+a 7(1-x )7两边求导得14(2x -3)6=-a 1-2a 2(1-x )-…-7a 7(1-x )6,令x =2得-a 1+2a 2-3a 3+4a 4-5a 5+6a 6-7a 7=14.故选B 、C 、D.14.若⎝⎛⎭⎫x +a x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( ) A .10 B .20 C .30D .40解析:选D 令x =1,得(1+a )(2-1)5=1+a =2,所以a =1.因此⎝⎛⎭⎫x +1x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中的常数项为⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中x 的系数与1x 的系数的和.⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式的通项T r +1=C r 5(2x )5-r⎝⎛⎭⎫-1x r =C r 525-r x 5-2r ·(-1)r . 令5-2r =1,得r =2,因此⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中x 的系数为C 2525-2×(-1)2=80; 令5-2r =-1,得r =3,因此⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中1x 的系数为C 3525-3×(-1)3=-40,所以⎝⎛⎭⎫x +1x ⎝⎛⎭⎫2x -1x 5的展开式中的常数项为80-40=40. 15.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a ,b ,m (m >0)为整数,若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为a =b (mod m ).若a =C 020+C 120·2+C 220·22+…+C 2020·220,a =b (mod 10),则b 的值可以是( ) A .2 011 B .2 012 C .2 013D .2 014解析:选A ∵a =(1+2)20=320=910=(10-1)10=C 0101010-C 110109+…-C 01010+1,∴被10除得的余数为1,而2 011被10除得的余数是1,故选A .。

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x +1)n 的展开式中,第三项和第四项的二项式系数相等,则n =( ) A .7 B .6 C .5 D .42.[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x -1x 7的二项展开式中,系数最大的是第( )项A .3B .4C .5D .63.[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x -2x 6的展开式中,常数项为( )A .80B .-80C .160D .-160 4.[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x +2y )(x -y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A .30 B .10 C .-30 D .-105.[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2+1)(4x +1)8=a 0+a 1(2x +1)+a 2(2x +1)2+…+a 10(2x +1)10,则a 1+a 2+…a 10等于( )A .2B .1C .54D .-146.[2023ꞏ江西省联考]已知(x +1)4+(x -2)8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 8(x -1)8,则a 3=( )A .64B .48C .-48D .-647.[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1+2x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,若a 5=a 6,则n =( )A .6B .7C .8D .98.[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x +x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x -1)n 的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,则n =( )A .8B .9C .10D .112.[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1-ax +x 2)(1-x )8的展开式中含x 2的项的系数为21,则a =( )A .-3B .-2C .-1D .13.[2023ꞏ上海市一模]二项式(x +13x)30的展开式中,其中是有理项的项数共有( )A .4项B .7项C .5项D .6项4.[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12-x n 的展开式中所有项的系数和为164 ,则展开式中二项式系数最大的项为( )A .-52 x 3B .154 x 4 C .-20x 3 D .15x 45.[2023ꞏ浙江省高三联考](x-23x)6的展开式的中间一项的系数是__________.(用数字作答).6.[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2+1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240,则n =__________;展开式中的系数最大的项是________.三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x -2)5的展开式中,x 2的系数为( ) A .-5 B .5 C .-10 D .102.[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1+2x 2)(1+x )4的展开式中x 3的系数为( ) A .12 B .16 C .20 D .243.[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1-yx (x +y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4.[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2+2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5.[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x +a )5展开式中,x 2的系数为80,则a =________. 6.[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x -1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4,则a 1=________,a 2+a 3+a 4=________.四. 经典大题强化篇1.已知(2x -1)5=a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5.求下列各式的值: (1)a 0+a 1+a 2+…+a 5; (2)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 5|; (3)a 1+a 3+a 5.2.[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ,x )=⎝⎛⎭⎫2m +m x n (m >0,x >0).(1)当m =2时,求f (7,x )的展开式中二项式系数最大的项;(2)若f (10,x )=a 0+a 1x +a 2x 2 +…+a 10x 10 ,且a 2=180,参考答案一 基础小题练透篇1.答案:C答案解析:因为(2x +1)n的展开式中,第三项和第四项的二项式系数相等,所以C 2n =C 3n ,由组合数的性质可得n =2+3=5.2.答案:C答案解析:在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 7 的展开式中,通项公式为T r +1=C r 7 ·x 7-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r C r7 x 7-2r,故第r +1项的系数为(-1)r C r7 ,当r =0,2,4,6时,系数为正,因为C 07 <C 17 =C 67 <C 27 <C 47 ,所以当r =4时,系数最大的项是第5项. 3.答案:D答案解析:由于x ,1x互为倒数,故常数项为第4项,即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3 =20×(-8)=-160.故选D. 4.答案:B答案解析:因为(x +2y )(x -y )5=x (x -y )5+2y (x -y )5,(x -y )5的通项为:T r +1=C r5 x 5-r (-y )r ,令r =3,则T 4=C 35 x 2(-y )3,令r =2,则T 3=C 25 x 3(-y )2,所以x 3y 3的系数为C 35 (-1)3+2C 25 (-1)2=-10+20=10. 故选B. 5.答案:D答案解析:令x =0,则a 0+a 1+a 2+…+a 10=(0+1)×(0+1)8=1,令x =-12,则a 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫14+1 ×(-2+1)8=54 ,∴a 1+a 2+…+a 10=1-54 =-14 . 6.答案:C答案解析:由(x +1)4+(x -2)8=[(x -1)+2]4+[(x -1)-1]8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 8(x -1)8,得a 3·(x -1)3=C 14 ·(x -1)3·2+C 58 ·(x -1)3·(-1)5,∴a 3=8-C 58 =-48.故选C. 7.答案:C答案解析:(1+2x )n 展开式第r +1项T r +1=C r n (2x )r =C r n 2r x r,∵a 5=a 6,∴C 5n 25=C 6n 26,即C 5n =2C 6n ,∵n !5!(n -5)! =2×n !6!(n -6)! , 整理得n -5=3,∴n =8. 故选C.8.答案:15答案解析:令x =1,得所有项的系数和为4n ,二项式系数和为2n ,所以4n 2n =2n=32,即n =5,(3x +x )5的第r +1项为C r5 ·(3x )5-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r=C r 5 ·35-r ·x 5-r2 .令5-r2=3,得r =4,所以x 3项的系数是C 45 ×3=15.二 能力小题提升篇1.答案:C答案解析:因为在(x -1)n的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,即C 5n 最大,所以n =10.2.答案:C答案解析:(1-x )8展开式第r +1项T r +1=C r 8 18-r (-x )r =(-1)r C r 8 x r,(1-ax +x 2)(1-x )8的展开式中含x 2的项的系数为1·(-1)2C 28 -a ·(-1)C 18 +1·(-1)0C 08 ,所以1·(-1)2C 28 -a ·(-1)C 18 +1·(-1)0C 08 =21,解方程可得a =-1,故选C.3.答案:D答案解析:二项式(x +13x )30的展开式中,通项公式为C r 30 ·(x )30-r·(13x)r=C r30 ·x15-56r,0≤r ≤30,∴r =0,6,12,18,24,30时满足题意,共6项. 4.答案:A答案解析:令x =1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1 n=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 n =164 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 6 ,所以n =6,展开式有7项,所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4=(-1)3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6-3x 3=-52x 3. 5.答案:-16027答案解析:由二项式展开式可知,⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3-23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·(-2)3=-16027. 6.答案:4 108x 5答案解析:⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2+1x n 展开式中,各二项式系数的和比各项系数的和小240,即2n -(3+1)n =-240,化简得22n -2n -240=0,解得2n =16或2n=-15(不合题意,舍去),所以n =4.所以⎝ ⎛⎭3x 2+1x 4=81x 8+4×27x 5+6×9x 2+4×3x +1x4 ,展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1.答案:C答案解析:由二项式定理得(x -2)5的展开式的通项T r +1=C r 5 (x )5-r (-2)r=C r 5 (-2)rx 5-r2 ,令5-r 2=2,得r =1,所以T 2=C 15 (-2)x 2=-10x 2,所以x 2的系数为-10.2.答案:A答案解析:展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成,则x 3的系数为C 34 +2C 14 =4+8=12.3.答案:-28答案解析:因为⎝⎛⎭⎪⎫1-y x()x +y 8=()x +y 8-y x()x +y 8,所以⎝⎛⎭⎪⎫1-y x()x +y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6-y xC 58 x 3y 5=-28x 2y 6,⎝ ⎛⎭⎪⎫1-y x ()x +y 8的展开式中x 2y 6的系数为-28. 4.答案:240答案解析:展开式的通项为T r +1=C r6 (x 2)6-r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r=2r C r 6 x12-3r ,令12-3r =0,解得r =4,故常数项为24C 46 =240.5.答案:2答案解析:(x +a )5的展开式的通项为T r +1=C r 5 x 5-r a r ,令5-r =2,得r =3,则C 35 a 3=80,解得a =2.6.答案:5 10答案解析:(x -1)3展开式的通项T r +1=C r 3 x 3-r ·(-1)r ,(x +1)4展开式的通项T k +1=C k 4 x 4-k ,则a 1=C 03 +C 14 =1+4=5;a 2=C 13 (-1)1+C 24 =3;a 3=C 23 (-1)2+C 34 =7;a 4=C 33 (-1)3+C 44 =0.所以a 2+a 3+a 4=3+7+0=10.四 经典大题强化篇1.答案解析:(1)令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 5=1.(2)令x =-1,得-35=-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5.由(2x -1)5的通项T r +1=C r 5 (-1)r ·25-r ·x 5-r, 知a 1,a 3,a 5为负值,所以|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 5|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=35=243. (3)由a 0+a 1+a 2+…+a 5=1,-a 0+a 1-a 2+…+a 5=-35,得2(a 1+a 3+a 5)=1-35,所以a 1+a 3+a 5=1-352=-121.2.答案解析:(1)当m =2时,f (7,x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+2x 7 的展开式共有8项,二项式系数最大的项为第四项或第五项,所以T 4=C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 =280x3 或T 5=C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4=560x4 .(2)①f (10,x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +m x 10 的通项公式为T r +1=C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10-r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r=210-r ·m 2r -10·C r 10 x -r ,且f (10,x )=a 0+a 1x+a 2x2 +…+a n xn ,所以1x2 的系数为a 2=28C 210 m -6=180,解得m=2,所以f (10,x )的通项公式为T r +1=C r10 ⎝ ⎛⎭2x r=2r C r 10 x -r ,所以a r =2r C r10 ,当r =0时,a 0=1,令x =1,∑10i =1a i =310-1=59 048, ②设a r =2r C r10 为a i (0≤i ≤10)中的最大值,则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r -1C r -110 2r C r 10 ≥2r +1C r +110, 解得⎩⎪⎨⎪⎧2(11-r )≥r r +1≥2(10-r ) ,即193 ≤r ≤223 ,r ∈N ,所以r =7,所以(a i )max =a 7=27C 710 =15 360.。

二项式定理历年高中高考试卷试题荟萃

二项式定理历年高中高考试卷试题荟萃

圆梦教育中心二项式定理历年高考试题一、填空题( 本大题共24 题, 合计120 分)1、(1+2x)5的睁开式中x2的系数是。

(用数字作答)2、的睁开式中的第5项为常数项,那么正整数的值是.3、已知,则( 的值等于。

4、(1+2x2)(1+)8的睁开式中常数项为。

(用数字作答)5、睁开式中含的整数次幂的项的系数之和为。

(用数字作答)6、(1+2x2)(x-)8的睁开式中常数项为。

(用数字作答)7、的二项睁开式中常数项是。

(用数字作答).8、(x2+)6的睁开式中常数项是。

(用数字作答)9、若的二项睁开式中的系数为,则。

(用数字作答)10、若(2x3+)n的睁开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。

11、(x+)9睁开式中x3的系数是。

(用数字作答)12、若睁开式的各项系数之和为32,则n= 。

其睁开式中的常数项为。

(用数字作答)13、的睁开式中的系数为。

(用数字作答)555443221012345。

14、若(x-2)=ax+ax+ax+ax+ax+a,则a+a+a+a+a=15、(1+2x)3(1-x)4睁开式中x2的系数为.16、的睁开式中常数项为; 各项系数之和为.(用数字作答)17、(x)5的二项睁开式中x2的系数是____________.(用数字作答)18、(1+x3)(x+)6睁开式中的常数项为_____________.19、若x>0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________.20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的睁开式中,x8的系数小于120,则k=______________.21、记(2x+)n的睁开式中第m项的系数为bm,若b3=2b4,则n=.22、(x+)5的二项睁开式中x3的系数为_____________.(用数字作答)23、已知(1+x+x)(x+)*则n=_____________.的睁开式中没有常数项,n∈N且2≤n≤8,24、睁开式中x的系数为.二项式定理历年高考试题荟萃答案一、填空题( 本大题共24 题, 合计102 分)1、40分析:T3=C(2x)2,∴系数为22·C=40.2、解:∵的睁开式中的第 5项为,且常数项,∴,得3、-256分析:(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,则有a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即(0+2+4)+(1+3+5)=0; aaa a a令x=-1,则有a0-a1+a2-a3+a4-a5=25,即(a0+a2+a4)-(a1+a3+a5)=25. ②联立①②有∴(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-28=-256.4、57分析:1×1+2×=57.5、答案:72分析:∵T r+1=(=,r=0,4,8时睁开式中的项为整数次幂,所求系数和为++=72.6、答案:-42分析:的通项Tr+1==,∴(1+2x2) 睁开式中常数项为=-42.7、8、15分析:Tr+1=x2(6-r)x-r=x12-3r,令12-3r=0,得r=4,∴T4==15.9、答案:2分析:∵=,∴a=2.10、答案:7分析:Tr+1=C(2x3)n-r()r=2Cxx=2Cx令3n-r=0,则有6n=7r,由睁开式中有常数项,因此n最小值为7.11、84T=,∴9-2r=3∴r=3.∴84.r+112、510分析:令x=1可得睁开式中各项系数之和为2n=32.n=5.而睁开式中通项为Tr+1=(x2)r()5-r=x5r-15.令5r-15=0,∴r=3.∴常数项为T4=C35=10.13、84由二项式定理得(1-)睁开式中的第323项为T=·(-)=84·,即的系数为84.14、31分析:由二项式定理中的赋值法=-32.,令x=0,则a=(-2)令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.∴a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=31.15、-6分析:睁开式中含x2的项m=·13·(2x)0··12·(-x)2+·12(14(-x)0=6x2-24x2+12x2=睁开式中x216、1032睁开式中通项x=1,可得各项系数之和为25=32.17、40分析:∵·(x3)·()2=10×1×18、答案:35(x+)6睁开式中的项由Tr+1=·()r=·x6-3r,∴当r=2时,故原睁开式中的常数项为15+20=19、答案:-23 原式=4-33-4+4=20、答案:1分析:x8的系数为k4=121、5记(2x+)的睁开式中第m项为T=a又∵b3=2b4,∴·2n-2=2×·2n-3=,解22、答案:10 ·x4·=5×2=1023、答案:5分析:(x+)n睁开式中由Fr+1=x n-r()r=x n-4r.∵2≤n≤8,能24、2 睁开式中含x的项n=·13·(2x)0··13·(-x)1+·12(∴睁开式中x的系数为2。

高二数学二项式定理复习试题(附答案)

高二数学二项式定理复习试题(附答案)

高二数学二项式定理复习试题(附答案)考试是检测学生学习效果的重要手段和方法,考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高二数学二项式定理复习试题,希望对大家有所帮助!高二数学二项式定理复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-40C [展开式的通项为Tr+1=Cr5x2(5-r)(-2)rx-3r=Cr5(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以T2+1=C25(-2)2=40.故选C.]2.(2014•东城模拟)(x-2y)8的展开式中,x6y2项的系数是( )A.56B.-56C.28D.-28A [由二项式定理通项公式得,所求系数为C28(-2)2=56.]3.(x+2)2(1-x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )A.5B.3C.2D.0A [常数项为C22×22×C05=4,x7系数为C02×C55(-1)5=-1,因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.]4.(2012•蚌埠模拟)在x+13x24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项C [Tr+1=Cr24(x)24-r13xr=Cr24x12-5r6,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共5项.]5.(2014•深圳二调)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中,含x2项的系数是( )A.10B.15C.20D.25C[选 C.含x2项的系数是C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.]6.在二项式x2-1xn的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为( )A.32B.-32C.0D.1C [依题意得所有二项式系数的和为2n=32,解得n=5.因此,该二项展开式中的各项系数的和等于12-115=0.]二、填空题7.(2014•山西诊断)若x-a2x8的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为________.解析x-a2x8的展开式的通项为Tr+1=Cr8x8-r(-a2)rx-r=Cr8(-a2)rx8-2r,令8-2r=0,解得r=4,所以C48(-a2)4=1 120,所以a2=2,故x-a2x8=(x-2x)8.令x=1,得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.答案 18.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为________.解析由C2n=C6n可知n=8,所以x+1x8的展开式的通项公式为Tr+1=Cr8x8-r•1xr=Cr8x8-2r,当8-2r=-2时,r=5,所以1x2的系数为C58=56.答案569.(2014•深圳模拟)已知等比数列{an}的第5项是二项式x-13x6展开式的常数项,则a3a7=________.解析x-13x6的展开式的通项是Tr+1=Cr6•(x)6-r•-13xr=Cr6•-13r•x3-3r2.令3-3r2=0得r=2,因此x-13x6的展开式中的常数式是C26•-132=53,即有a5=53,a3a7=(a5)2=532=259.答案259三、解答题10.若3x+1xn的展开式中各项系数和为1 024,试确定展开式中含x的整数次幂的项.解析令x=1,则22n=1 024,解得n=5.Tr+1=Cr5(3x)5-r1xr=Cr5•35-r •x10-3r2,含x的整数次幂即使10-3r2为整数,r=0、r=2、r=4,有3项,即T1=243x5,T3=270x2,T5=15x-1.11.二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为C09+C19+C29+…+C99=29.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,将两式相加,得a0+a2+a4+a6+a8=59-12,即为所有奇数项系数之和.12.已知x+124xn的展开式中,前三项系数成等差数列.(1)求n;(2)求第三项的二项式系数及项的系数;(3)求含x项的系数.解析(1)∵前三项系数1,12C1n,14C2n成等差数列.∴2•12C1n=1+14C2n,即n2-9n+8=0.∴n=8或n=1(舍).(2)由n=8知其通项公式Tr+1=Cr8•(x)8-r•12 41xr=12r•Cr8•x4-34r,r=0,1, (8)∴第三项的二项式系数为C28=28.第三项系数为122•C28=7.(3)令4-34r=1,得r=4,∴含x项的系数为124•C48=358.。

二项式定理高考题型及解题(精编版)

二项式定理高考题型及解题(精编版)

二项式定理高考题型及解题(精编版)题型一、求二项展开式 1.“n b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(xx +的展开式;解:原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x2. “n b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(xx -的展开式;分析:解决此题,只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3.二项式展开式的“逆用”例3.计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-; 解:原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。

题型二:求二项展开式的特定项 1.求指定幂的系数或二项式系数 (1)求单一二项式指定幂的系数例4.92)21(xx -展开式中9x 的系数是 ;解:r r rr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ,从而可以得到9x 的系数为:221)21(339-=-C ,∴填221-(2) 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5.72)2)(1-+x x (的展开式中,3x 项的系数是 ; 解:在展开式中,3x 的来源有:① 第一个因式中取出2x ,则第二个因式必出x ,其系数为667)2(-C ; ② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出3x ,其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为:∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

高考数学(简单版)-2二项式定理 - 简单难度 - 习题

高考数学(简单版)-2二项式定理 - 简单难度 - 习题

二项式定理一、选择题(共12小题;共60分)1. 二项式的展开式中各项的系数之和是A. B. C. D.2. 的展开式中含项的系数为A. B. C. D.3. 若的展开式中各项系数之和为,则展开式中的常数项为A. B. C. D.4. 展开式中不含项的系数的和为A. B. C. D.5. 的二项展开式中,第项的系数是A. B.C. D.6. 已知,则等于A. B. C. D.7. 的展开式中的常数项为A. B. C. D.8. 设,则的值是A. B. C. D.9. 在的展开式中,含的项的系数是A. B. C. D.10. 的值为A. B. C. D.11. 在中,若,则自然数的值是A. B. C. D.12. 展开式中的奇次项系数之和是A. B. C. D.二、填空题(共5小题;共25分)13. 若,则.14. 观察下列各式:;;;;依此规律,当时,则.15. 的近似值是.(精确到小数点后三位)16. 已知,则.17. 的展开式中整理后的常数项为.三、解答题(共5小题;共65分)18. 在二项式(,,,)中有,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项;(1)求它是第几项;(2)求的范围.19. 求除以的余数.20. 求证:能被整除.21. 在的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和.22. 若,则的结果是多少?答案第一部分1. B2. C 【解析】二项展开式通项为,故含的系数为.3. A4. B 【解析】令,得所有项的系数和为,再减去项系数,即为所求.5. D【解析】展开式中第项的系数为.6. B7. B8. A9. D 【解析】在的展开式中,通项公式为,令,解得,所以含项的系数是.10. B【解析】原式.11. B 【解析】,,所以.,所以且为奇数,所以.12. D 【解析】,令,则,令,则,所以.第二部分13.【解析】令,得,令,得,所以 .令,得,所以.14.15.【解析】.16.17.【解析】的通项公式:.令,解得.所以常数项.第三部分18. (1)设为常数项,则有,即,所以,是第项.(2)因为第项又是系数最大的项,所以有由得,又因为,,所以.同理由得.综上.19.由上面的展开式可知除以的余数是.20. 因为显然为整数,所以原式能被整除.21. (1)设,()各项系数的和为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和为.由于()是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数的和为.(2)令,各项系数和为.(3)奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.(4)令,得到令,(或,),得得,所以奇数项系数和为;得,所以偶数项系数和为.(5)的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.22. 当时,左边,右边,所以.当时,左边,右边,所以.即.。

二项式定理-高考题(含答案)汇编

二项式定理-高考题(含答案)汇编

二项式定理高考真题一、选择题1.(2012·四川高考理科·T1)相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是( D)(A )42(B )35(C )28(D )212.(2011·福建卷理科·T6)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( B )(A )80 (B )40 (C )20 (D )103.(2012·天津高考理科·T5)在5212x x 的二项展开式中,x 的系数为( D )(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-404.(2011.天津高考理科.T5)在62()2x x 的二项展开式中,2x 的系数为( C )(A )154(B )154(C )38(D )385.(2012·重庆高考理科·T4)821xx 的展开式中常数项为( B )(A)1635(B)835(C)435(D)1056.(2012·重庆高考文科·T4)5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A )(A)270(B)90(C)90(D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D )A.56B.84C.112D.1688.(2011·新课标全国高考理科·T8)512ax x x x 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D )(A )-40 (B )-20 (C )20 (D )409. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中nN 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6(B)7(C)8(D)910.(2011·陕西高考理科·T4)6(42)x x (x R )展开式中的常数项是(C )(A )20(B )15(C )15 (D )20二、填空题11. (2013·天津高考理科·T10)61x x 的二项展开式中的常数项为15 .12.(2011·湖北高考理科·T11)1813x x 的展开式中含15x 的项的系数为17 .13.(2011·全国高考理科·T13)(1-x )20的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为0 .14.(2011·四川高考文科·T13)91)x (的展开式中3x 的系数是84 (用数字作答).15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是240 . 16.(2011·安徽高考理科·T12)设2121221021)1x a x a x a a x (,则1110a a = 0 . 17.(2011·广东高考理科·T10)72()x x x的展开式中,4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.(2011·山东高考理科·T14)若62ax x 的展开式的常数项为60,则常数a 的值为 4 .19.(2012·大纲版全国卷高考理科·T15)若n x x )1(的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.(2013·安徽高考理科·T11)若83ax x 的展开式中4x 的系数为7,则实数a =____12_____。

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1.(x +1)6的展开式中的第二项为( )A .6xB .15x 2C .6x 5D .15x 4答案:C2.⎝⎛⎭⎫x 2-2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A .80 B .-80C .40D .-40答案:C解析:由二项展开式通项知T k +1=(-2)k C k 5 ·(x 2)5-k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k=(-2)k C k 5 x 10-5k ,令10-5k =0,得k =2.∴常数项为T 3=(-2)2C 25 =40.3.(多选)已知(a +2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大,则n 的值可能为( )A .8B .9C .10D .11答案:BCD4.若(x +2)⎝⎛⎭⎫a x -x 5 展开式中的常数项为80,则a =( )A .-2B .2C .±2D .4答案:B解析:⎝⎛⎭⎫a x -x 5 的展开式的通项公式为T k +1=C k 5 ·(-1)k ·a 5-k ·x 2k -5,显然,2k -5为奇数,故(x +2)⎝⎛⎭⎫a x -x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3=80,所以a =2. 5.若(x -2y )6的展开式中的二项式系数和为S ,x 2y 4的系数为P ,则P S为( ) A .152 B .154C .120D .240答案:B解析:由题意得S =26=64,P =C 46 (-2)4=15×16=240,∴P S =24064 =154. 6.在二项式⎝⎛⎭⎫x +3x n 的展开式中,各项系数之和为A ,各项二项式系数之和为B ,且A +B =72,则展开式中常数项的值为( )A .6B .9C .12D .18答案:B解析:在⎝⎛⎭⎫x +3x n的展开式中令x =1,得A =4n ,各项二项式系数之和为B =2n ,由 4n +2n =72,得n =3,∴⎝⎛⎭⎫x +3x n =⎝⎛⎭⎫x +3x 3 ,其通项为T k +1=C k 3 (x )3-k ⎝⎛⎭⎫3x k =3k C k 3 x 3-3k 2,令3-3k 2=0,得k =1,故展开式的常数项为T 2=3C 13 =9. 7.⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A .5 B .10C .15D .20答案:C解析:要求⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数,只要分别求出(x +y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可,由二项式定理可得(x +y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 =10,x 4y 的系数为C 15 =5,故⎝⎛⎭⎫x +y 2x (x +y )5的展开式中x 3y 3的系数为10+5=15.故选C. 8.设S =(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)+1,则S =( )A .(x -2)4B .(x -1)4C .x 4D .(x +1)4答案:C解析:S =C 04 (x -1)4+C 14 (x -1)3+C 24 (x -1)2+C 34 (x -1)1+C 44 (x -1)0=(x -1+1)4=x 4.9.(多选)已知(2+x )(1-2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6,则( )A .a 0的值为2B .a 5的值为16C .a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6的值为-5D .a 1+a 3+a 5的值为120答案:ABC解析:对于A ,令x =0,得a 0=2×1=2,故A 正确;对于B ,(1-2x )5的展开式的通项T k +1=C k 5 (-2x )k =(-2)k C k 5 x k ,所以a 5=2×(-2)5C 55 +1×(-2)4C 45 =-64+80=16,故B 正确;对于C ,令x =1,得(2+1)(1-2×1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6 ①,即a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=-3-a 0=-3-2=-5,故C 正确;对于D ,令x =-1,得(2-1)[1-2×(-1)]5=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6 ②,由①②解得a 1+a 3+a 5=-123,故D 不正确.综上所述,选ABC.二、填空题10.[2024·全国甲卷(理)](13+x )10的展开式中,各项系数中的最大值为______. 答案:5解析:方法一 二项式(13 +x )10的展开式的通项为T k +1=C k 10 (13)10-k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 (13)10-k >C k -110 (13)11-k ,C k 10 (13)10-k >C k +110 (13)9-k ,解得294 <k <334. 又k ∈N *,所以k =8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2=5.方法二 展开式中系数最大的项一定在下面的5项中:C 510 (13 )5x 5,C 610 (13)4x 6,C 710 (13 )3x 7,C 810 (13 )2x 8,C 910 (13 )1x 9,计算可得,所求系数的最大值为C 810 (13)2=5. 11.在二项式(2 +x )9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是______________.答案:162 5解析:该二项展开式的第k +1项为T k +1=C k 9 (2 )9-k x k ,当k =0时,第1项为常数项,所以常数项为(2 )9=162 ;当k =1,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5.12.在(x -1x)7的展开式中,系数最大的是第________项. 答案:5解析:二项式⎝⎛⎭⎫x -1x 7的展开式的通项为T k +1=C k 7 ·x 7-k ·(-1)k x -k =(-1)k C k 7 x 7-2k ,故第k +1项的系数为(-1)k C k 7 ,当k =0,2,4,6时,系数为正,因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ,所以当k =4时,系数最大,是第5项.。

二项式填空及其答案

二项式填空及其答案

二项式定理历年高考试题荟萃(二)一、填空题 ( 本大题共 55 题)1、在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为.(结果用数值表示)2、展开式中的常数项是.3、在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为 .(结果用数值表示)4、在代数式(4x2-2x-5)(1+)5的展开式中,常数项为______________.5、在(x-)6的二项展开式中,常数项为 .6、.(x+1)10的二项展开式中x3的系数为.7、若在()n的展开式中,第4项是常数项,则n= .8、(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是.12、(x2-)9展开式中x9的系数是.17.若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004(x∈R),则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2004)= .(用数字作答)18、已知a为实数,(x+a)10展开式中x7的系数是-15,则a= .19、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为-80,则a= .20、的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x5的系数是 .(以数字作答)21.(x2+)9的展开式中的常数项为(用数字作答).22、若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)23、(x-)8展开式中x5的系数为 .24、若在(1+ax)5展开式中x3的系数为-80,则a= .25、若(x3+)n的展开式中的常数项为84,则n= .26、若(x+-2)n的展开式中常数项为-20,则自然数n=.27、(x-)8展开式中x5的系数为 .28、如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.29、.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,x2项的系数是.(用数字作答)30、二项式的展开式中常数项为__________(用数字作答).31、. 若,且,则.32、(展开式中的常数项是(用数字作答).33、的展开式中,常数项为。

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理高考试题及其答案总

二项式定理复习一、学习目标:1、能用计数原理证明。

2、会用二项式定理解决系数和、常数项、最大值等与二项展开式有关的简单问题。

二、命题规律与命题趋势:高考对二项式定理的考查,主要涉及利用通项公式求展开式的特定项,利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题,利用二项式定理进行近似计算。

题型以选择、填空为主,少有综合性的大题。

高考重点考查通项公式和项的系数的概念,同时考查了运算能力。

三、常考点:1、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n2、几个基本概念(1)二项展开式:右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式(2)项数:二项展开式中共有1+n 项(3)二项式系数:),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数(4)通项:展开式的第1+r 项,即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点(1)系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C nn (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。

②b 的指数由0 n (升幂)。

③a 和b 的指数和为n 。

(3)展开式是一个恒等式,a ,b 可取任意的复数,n 为任意的自然数。

4、二项式系数的性质:(1)对称性:在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 (2)增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时,中间一项取得最大值2n n C当n 是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C(3)二项式系数的和: 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 基本题型(一)通项公式的应用 1、6)12(xx +的展开式中第三项的二项式系数为________;第三项的系数为_______; 常数项为_______;含4x 的项为______。

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二项式定理 高考真题
一、选择题
1.(2012·四川高考理科·T1)相同7(1)x +的展开式中2
x 的系数是( D )
(A )42 (B )35 (C )28 (D )21
2.(2011·福建卷理科·T6)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( B ) (A )80 (B )40 (C )20 (D )10
3.(2012·天津高考理科·T5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中,x 的系数为 ( D ) (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40
4.(2011.天津高考理科.T5)在6
的二项展开式中,2x 的系数为 ( C ) (A )154- (B )154
(C )38- (D )38 5.(2012·重庆高考理科·T4)821⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)4
35 (D)105 6.(2012·重庆高考文科·T4)5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )
(A)270- (B)90- (C)90 (D)270
7. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22
x y 的系数是 ( D )
A.56
B.84
C.112
D.168
8.(2011·新课标全国高考理科·T8)5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D ) (A )-40 (B )-20 (C )20 (D )40
9. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n
( B ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
10.(2011·陕西高考理科·T4)6(42)x x --(x ∈R )展开式中的常数项是 (C )
(A )20- (B )15- (C )15 (D )20
二、填空题
11.(2013·天津高考理科·T10)6x
⎛- ⎝
的二项展开式中的常数项为 15 . 12.(2011·湖北高考理科·T11) 18
x ⎛- ⎝
的展开式中含15x 的项的系数为17.
13.(2011·全国高考理科·T13))20的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为0.
14.(2011·四川高考文科·T13)
91)x +(的展开式中3x 的系数是84(用数字作答). 15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是240.
16.(2011·安徽高考理科·T12)设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- (,则 1110a a +=0.
17.(2011·广东高考理科·T10)72()x x x
-的展开式中,4x 的系数是___84___ (用数字作答)
18.(2011·山东高考理科·T14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
的展开式的常数项为60,则常数a 的值为4. 19.(2012·大纲版全国卷高考理科·T15)若n
x x )1
(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中2
1x 的系数为__56_____. 20.(2013·安徽高考理科·T11)若8
⎛ ⎝
x 的展开式中4x 的系数为7,则实数a ____12_____。

三、附加题
1.(2012·湖北高考理科·T5)设a ∈Z ,且0≤a ﹤13,若512012+a 能被13整除,则a=( D )
(A)0 (B)1 (C)11 (D)12
2.(2012·浙江高考理科·T14)若将函数f (x )=x 5表示为f(x)=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3=___10____.。

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