《数值分析》总复习教案

2 3 2 4
2 2 1 3 12 6 4 -1 2 2 1 1

2 2 2 1 3 -3 -2 -1 2 0 -1 2 4 -6 1 1

2 2 2 1 3 -3 -2 -1 2 0 -5 0 4 -6 -19 -9
( x ) 1 2 (1
3 x2
), 则 ( x* ) 0, ( x* ) 0
变型: 在x0附近的一个根
( x , c ) cx 10:13
2 2 3 x2
收敛于 2且阶数尽量高？
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例3. 构造两种迭代格式求方程 x2-3=0的根31/2, 并判断迭代格式的收敛性(或者收敛阶)。
*** .**
***
误差限不超过该 6/52 位的半个单位
迭代法思想: 此情无计可消除，才下眉头，却上心头。
年寿有时而尽，荣乐止乎其身，未若文章之无穷
| ( x) | 1
收敛性
( x*) ( x*)
( r 1) ( x*) 0
( r ) ( x*) 0
1 m 21 L 1 m n1 m n , n 1 1
a11 U a12 (1) a 22 a1n (1) a2 n ( n 1 ) a nn
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迭代格式构造
《数值分析》复习1
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化大为小 化繁为简 化难为易
收敛性 稳定性 复杂度(时间与空间)等
算法的构造与分析
核心的概念
误差
解析解或称闭式解(closed-form solution)不存在的情况在数学上并不罕见。科 学与工程应用中, 能够提供较高精度的近似数值解就可以了, 而没有必要非去 2/52 追求不存在的解析解不可。所以在这样的问题上, 数值解法的优势就显现出来
条件数:cond(A) =
||A ||· ||A-1||
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矩阵的Doolittle分解
变型: 基于LU分解求方程组
A = LU, L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵。
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an 2 a1n u11 u12 m a2n u22 21 紧凑格式 a nn m n1
变型: 在x0附近的一个根
( x, c ) cx
*
2 2 3 x2
收敛于 2且阶数尽量高？
4 2 ( x , c) c 3 = 0, c 2 / 3 2 2
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例4. 构造求解方程 x3 – a = 0的(牛顿)迭代法, 并讨论其收敛阶。 解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式
问题的好与坏
|| x || || b || 1 (|| A || || A ||) || x || || b ||
算法的快与慢
|| X(k+1) – X* || ≤ ||B|| || X(k) – X* ||
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例5.
1 2 计算A 及其逆矩阵的1范数(列和范数), 0 4 范数(行和范数), 2范数( 谱范数), F 范数及各 范数意义下的条件数。
A 1 =6, A

=4, A
A1
2
= 4.4954, A
1 2 1 4
F
= 4.5826
1 0
A 1
1 =1, A 1
1 3 = , A 2
1 = 1.1238, A 2
F
= 1.1456
A 2 ( AT A), 其中 ( AT A)为矩阵AT A的最大特征值。
常用的范数: || x ||2 xi2
n i 1 i 1
n
x12 x2 2
xn 2
x 1 xi x1 x2
x
1 i n
xn
, xn
n n
max xi max x1 , x2 ,
1 i n

1/2
A max
n 1 j n

e( x) x x er ( x ) r x x
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称ε r为相对误差限。
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有效数字概念
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位,该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位,则称近似值 x 有 n 位有效数字。
n位有效数字
x ***
从左向右看第 一个非零数 10:13
3) 迭代矩阵特征值全小于1
4) 迭代矩阵范数小于1
5) 反证法
6)之前的讨论均是关于迭代矩阵的 对角占优矩阵或正定矩阵(只需要检查系数矩阵)
Bx = x或 | I B | 0
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差。
e( x) x x 而称 er ( x) , |x | |x | 为 x 的相对误差。
*
( x 0)

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如果存在一个适当小的正数ε ,使得
e( x) x x

则称ε 为绝对误差限。 如果存在一个适当小的正数ε r ,使得
a
j 1
n
ij
A 1 max aij
i 1
AF
2 aij j 1 i 1
A 2 ( AT A), 其中 ( AT A)为矩阵AT A的最大特征值。
条件数:cond(A) = ||A ||· ||A-1||
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范数的威力和魅力:
范数(全局)
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Doolittle分解： ①更新顺序: 先行后列
②列除行不除
③旧元素减去所在行和列前k-1分量乘积的和 Crout分解：
①更新顺序: 先列后行
②行除列不除 ③旧元素减去所在行和列前k-1分量乘积的和 19/52
例6. 求矩阵的Doolittle分解
2 1 2 5 A 2 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 3 5 2 3 1 2 1 2 3 5 2 3 2 1 2 5 2 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1
收敛速度
x0 x1 ( x0 )
n
xn ( xn1 )
*
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lim ( xn ) x
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例2. 证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]上有一根, 使用二分法求误差不大于 0.5*10-4 的根需要二 分多少次？ 提示: f(0)=1>0, f(1)=-sin1<0。且f′(x)=-1-cosx 在区间(0,1]严格单调递减。
1 1 / 2 1 L 4/5 1 5 / 4 1
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2 1 5/ 2 2 U 12 / 5 2 22/52 5 / 2
迭代法收敛证明思路:
1) 序列收敛
2) 迭代矩阵谱半径小于1
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核心的概念
|x
(k ) *
误差
L || B || || X ( k ) X ( k 1) || x | | x ( k ) x ( k 1) | || X ( k ) X * || 1 || B || 1 L
f ( n1) ( ( x )) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
1 0 1 4 10 n 1 2 2
满足 | xn – x*|≤ (b 0 – a 0)/ 2n+1
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示范 用不同迭代格式求方程 x2-3=0的根。
( x ) x ( x 3)
1 4 2
3 ( x) 1 ( x 2 x)
定理2.6 设x*是 ( x) 的不动点,且 ( p1) ( x*) ( x*) ( x*) 0 而 ( p ) ( x*) 0 则 xn1 ( xn ) p阶收敛
x ( x) 收敛条件(局部vs全局)
x *为 ( x )的不动点, ( x ) 在x *的某邻域N (x * )连续 且 | ( x * ) | 1, 则迭代法 对任意x (0) N (x * )收敛
注释: B是迭代矩阵, 不是系数矩阵
对任意的f 和任意的初始 向量X(0)迭代法收敛的充 分必要条件是 ( B ) 1和 充分条件是||B|| 1
u12 u1n u22 u2 n unn
u1 n u2 n unn
m n , n 1
1 u11 m 1 21 m n1 m n , n 1 1
R[ f ] [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a b b
a
f ( n1) ( ( x )) n1 ( x )dx (n 1)!
Tn+1=y(xn+1) - yn+1称为局部截断误差。设 yn= y(xn)
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误差的有关概念
假设某一数ຫໍສະໝຸດ Baidu的准确值为 x*,其近似值 为 x,则称
牛顿迭代法 : xn1 xn f ( xn ) / f ( xn )
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高斯消元法的矩阵编码
A(n – 1) = Fn-1Fn-2· · · · · · · F1 A
其中Fk 为 Frobenius矩阵。
A=F1-1F2-1 · · · · · · Fn-1-1 A(n – 1) L U
1 2 3 2 3 5 2 3 1 2 1 2 3 3 0 3


注意 列除行不除 , L是单位下三角矩阵, U20/52 是上三 10:13 角矩阵
例7. 求矩阵的Crout分解
2 3 A 2 4 4 4 2 3 12 6 4 -1 2 2 1 1
21/52 注意 行除列不除, L是下三角矩阵, U是单位上三 10:13 角矩阵。
例8.三对角矩阵分解
1 2 2 1 1 / 2 5 / 2 2 1 3 2 2 4 2 2 4 2 3 5 3 5 1 1 2 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 5 / 2 2 2 4 / 5 12 / 5 2 4 / 5 12 / 5 2 5 / 4 5 / 2 3 5
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例3. 构造两种迭代格式求方程 x2-3=0的根31/2, 并判断迭代格式的收敛性(或者收敛阶)。
2 1) ( x ) x 1 4 ( x 3)
* ( x ) 1 1 x , 则 ( x ) 1 2 3 2
0.134 1
3 1 ( x ) ( x 2) 2 x)
中止准则
|x
(k ) *
L || B || (k ) ( k 1) (k ) || X ( k ) X ( k 1) || x | |x x | || X X * || 1 || B || 1 L
14/52 超松弛加速方法
加速(松弛思想)
Aitken加速方法 10:13
x a 2 a xn 1 xn xn 2 2 3 xn 3 3 xn 2 a 2 2 a ( x) x 2 ( x ) 3
3 n
a ( x ) 2 4 x
10:13
3
3x
3
3x
* * ( x ) 0且 ( x ) 0
故迭代法二阶收敛。