《数值分析》总复习教案
数值分析 教案
数值分析教案教案标题：数值分析教学目标：1. 了解数值分析的基本概念和原理2. 掌握数值分析的常用方法和技巧3. 能够应用数值分析解决实际问题4. 培养学生的数学思维和分析能力教学内容：1. 数值分析的基本概念和分类2. 插值与逼近3. 数值微分与数值积分4. 常微分方程的数值解法5. 线性代数的数值方法6. 数值分析在实际问题中的应用教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对数值分析的兴趣和认识2. 理论讲解：介绍数值分析的基本概念和分类，以及常用的数值分析方法和技巧3. 案例分析：通过具体的案例，演示数值分析在实际问题中的应用过程，引导学生理解和掌握数值分析的解决方法4. 练习与讨论：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和交流，加深对数值分析的理解5. 总结与拓展：总结本节课的重点内容，引导学生进行拓展思考，鼓励他们应用数值分析解决更多实际问题教学手段：1. 讲授2. 案例分析3. 讨论交流4. 练习与实践5. 总结与拓展教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习，是否能够理解和掌握数值分析的基本概念和方法2. 作业与考试：设计一些作业和考试题目，检验学生对数值分析的掌握程度3. 实际应用：观察学生是否能够将数值分析应用到实际问题中，解决实际困难教学建议：1. 引导学生多进行实际问题的分析和解决，提高数值分析的实际应用能力2. 鼓励学生进行课外拓展阅读，了解数值分析在不同领域的应用案例3. 加强与其他学科的交叉融合，促进数值分析与实际问题的结合以上是关于数值分析的教案建议，希望对你有所帮助。
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值分析教学设计方案
一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握数值分析的基本概念、基本理论和基本方法；（2）使学生了解数值分析在各个领域的应用；（3）使学生具备数值计算能力，能够解决实际问题。
2. 能力目标：（1）培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）提高学生编程能力和计算机应用能力；（3）培养学生的团队协作和创新能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数值分析的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）提高学生的社会责任感和使命感。
二、教学内容1. 数值分析的基本概念和理论；2. 常用数值方法，如插值法、数值微分、数值积分、数值解微分方程等；3. 数值方法的误差分析；4. 数值方法的稳定性分析；5. 数值计算软件介绍与应用。
三、教学策略1. 采用启发式教学，引导学生主动探究；2. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；3. 采用案例教学，激发学生的学习兴趣；4. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力；5. 利用现代教育技术，提高教学效果。
四、教学过程1. 导入新课：介绍数值分析的基本概念和意义，激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解：系统讲解数值分析的基本概念、基本理论和基本方法，注重理论联系实际。
3. 实例分析：结合实际问题，分析数值方法的应用，使学生掌握数值计算的基本步骤。
4. 实践操作：布置课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
6. 总结与反思：引导学生总结所学知识，反思自己的学习过程，提高学习效果。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、讨论积极性和问题解决能力。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：通过考试检验学生对数值分析知识的掌握程度，了解教学效果。
4. 学生反馈：收集学生对教学方法的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学资源1. 教材：《数值分析》；2. 教学课件；3. 实际案例；4. 数值计算软件（如MATLAB、Python等）。
数值分析教案
数值分析
数值分析
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f ( x*) f ( x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数.
例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对
误差为2%,函数值相对误差为24%.
定义2 若近似值x *的误差限是某一位数字的半个单位,该位
到x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.
即 x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) (2.1)
其中a1 0 . 并且
x x * 1 10mn1
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
数值分析
数值分析
四、如何学好数值分析 1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
数值分析
数值分析
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f
(x)
Pn (x)
f
(0)
f
(0) x 1!
f
(0) 2!
x2
f
(n) (0) n!
f
(x)
f
( x*)
f
(x*)(x x*)
f
(
2
)
(
x
x*)
2
,
在x, x *之间,
得f (x*)的误差限
( f (x*)) | f (x*) | (x*).
数值分析教案
数值分析教案数值分析教案是一份旨在帮助学生深入理解数值分析概念和原理的教学计划。
通过数值分析教案的学习，学生将能够掌握数值计算方法，理解数值误差分析和算法设计等重要内容。
本教案将分为以下几个部分进行讨论与学习：一、数值分析概述数值分析是一门研究用数值方法解决数学问题的学科。
其主要目的是通过数值计算的方法，得到数学、物理或工程问题的近似解。
数值分析的应用领域非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、工程等多个学科领域。
二、数值误差分析在进行数值计算时，往往会产生误差。
这些误差可能来源于测量精度、舍入误差、截断误差等多个方面。
了解不同类型的误差对于正确理解数值计算结果至关重要。
三、插值和逼近插值和逼近是数值分析中的重要内容。
插值是指通过一组已知数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处与原函数取值相同；而逼近则是通过多个已知数据点，构造一个函数来近似原函数。
四、数值积分与微分方程数值积分和微分方程是数值分析中的另外两大重要内容。
数值积分是对函数在一定区间上的积分进行数值计算，而微分方程则是研究描述变化的物理现象的数学方程。
五、算法设计算法设计是数值分析中一个至关重要的环节。
一个高效、准确的算法可以大大提高数值计算的效率和精度。
学生需要学会设计和实现各种数值计算算法。
通过本教案的学习，相信学生将对数值分析有更为深入的了解，掌握数值计算方法，提高数学建模和问题求解的能力。
数值分析作为一门重要的学科，对于理工科学生的学习和研究具有重要的指导意义。
愿本教案能够帮助学生打下坚实的数值分析基础，为未来的学习和工作打下良好的基础。
数值分析教案
数值分析教案一、引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，通过数值方法求解数学问题的近似解。
本教案以数值分析为主题，旨在帮助学生理解数值分析的基本概念和方法，并培养其数值计算与问题解决的能力。
二、教学目标1. 理解数值分析的基本定义和应用领域；2. 掌握数值分析的常用技术和算法；3. 能够利用数值方法解决实际问题，如数值积分、方程求根等；4. 培养学生的编程思维和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 数值分析的概述1.1 数值分析的定义和发展历程1.2 数值分析的应用领域2. 数值逼近与插值2.1 插值多项式的定义和性质2.2 插值方法的选择与应用2.3 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分3.1 数值求导的基本原理和方法3.2 数值积分的基本原理和方法3.3 数值微分方程的初值问题求解4. 数值线性代数4.1 线性方程组的直接解法4.2 线性方程组的迭代解法4.3 线性最小二乘问题及其解法5. 非线性方程求解5.1 非线性方程求解的基本概念5.2 数值解法的选择与比较5.3 牛顿法与割线法的原理和应用四、教学方法1. 理论授课：通过讲解数值分析的基本概念和方法，帮助学生建立起基本的数值计算思维；2. 计算机实验：利用数值分析软件或编程语言，进行相应的数值计算实验，加深学生对数值方法的理解和应用；3. 课堂讨论：引导学生结合实际问题，讨论并解决数值计算过程中的困难和挑战；4. 课后作业：布置相关的数值计算作业，加强学生对数值分析的巩固和应用能力。
五、教学评价1. 平时表现：包括课堂参与、实验报告完成情况等；2. 课堂小测：针对教学内容进行的小型测试，检验学生对数值分析知识的理解；3. 期末考试：综合考察学生对数值分析知识和应用的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数值分析导论》（教师自备教材）；2. 计算机实验室：配备数值分析软件和编程环境。
七、教学进度安排1. 第一周：数值分析的概述；2. 第二周：数值逼近与插值；3. 第三周：数值微积分；4. 第四周：数值线性代数；5. 第五周：非线性方程求解；6. 第六周：综合复习和考试。
大学四年级数值分析教案
大学四年级数值分析教案一、教学目标学习数值分析的基本概念和原理，掌握一些常见的数值计算方法，并能够应用于实际问题中。
二、教学内容1. 数值分析的基本概念- 数值分析的定义和作用- 数值分析的基本原理和方法- 数值分析的应用领域2. 插值与逼近- 插值与逼近的概念及区别- 常见插值方法：拉格朗日插值、牛顿插值- 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分- 数值微积分的基本思想和方法- 数值积分的近似计算方法- 常微分方程的数值解法4. 数值线性代数- 线性方程组的数值解法- 矩阵的特征值和特征向量的数值计算- 最小二乘问题的数值算法三、教学方法1. 理论讲授：通过讲解数值分析的基本概念和原理，帮助学生建立起相应的知识体系。
2. 数值计算实例分析：通过实际的数值计算实例，帮助学生将理论知识应用于实际问题中。
3. 计算机模拟：利用计算机软件进行数值计算的模拟，帮助学生更好地理解和掌握数值分析方法。
四、教学过程1. 引入- 通过实际案例介绍数值分析的重要性和应用场景。
- 激发学生的学习兴趣和探索欲望。
2. 基础知识讲解- 分别介绍数值分析中的插值与逼近、数值微积分、数值线性代数的基本概念和原理。
- 通过示意图和具体例子帮助学生理解。
3. 方法演示- 分别演示插值与逼近中的拉格朗日插值、牛顿插值的计算过程。
- 演示数值微积分中的数值积分和常微分方程的数值解法。
- 演示数值线性代数中线性方程组的数值解法和特征值计算的过程。
4. 实际案例分析- 选取几个实际问题，如数据拟合、信号处理等，演示如何利用数值分析方法解决问题。
- 强调实际应用中需要注意的问题和方法选择的依据。
五、教学评估1. 平时作业：布置一些数值计算作业，包括插值与逼近、数值微积分、数值线性代数等方面的题目，以检验学生对知识的掌握和应用能力。
2. 课堂测试：进行随堂小测，检验学生对本堂课内容的理解程度。
3. 期末考试：设置综合性考试题目，综合考察学生对数值分析知识的掌握和运用能力。
数值分析教案
数值分析教案教师教案（2009 — 2010 学年第 2 学期)课程名称：数值分析授课学时：32授课班级：任课教师：师君教师职称：讲师教师所在学院：电⼦⼯程电⼦科技⼤学教务处第⼀章⼀、教学内容及要求（按节或知识点分配学时，要求反映知识的深度、⼴度，对知识点的掌握程度（了解、理解、掌握、灵活运⽤），技能训练、能⼒培养的要求等）教学内容：1）数值分析简介（了解）数值分析的原理和基本思想介绍；应⽤实例分析。
2）误差与有效数字（理解）误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差计算（估计）的基本⽅法。
3）算法的适定性问题（理解）数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；病态问题和不稳定算法的实例分析；避免误差危害的若⼲原则。
教学要求：熟悉和了解数值分析的基本概念，掌握误差分析的基本⽅法，了解数值计算算法设计中应当关注的基本问题。
学时数分配：2学时⼆、教学重点、难点及解决办法（分别列出教学重点、难点，包括教学⽅式、教学⼿段的选择及教学过程中应注意的问题；哪些内容要深化，那些内容要拓宽等等）重点与难点：1）数值分析的概念与其在科学研究中的地位了解数值分析的概念与其在科学研究中的地位对于建⽴学⽣学习兴趣，明确学习⽬标⾄关重要。
教学⽅式与⼿段：采⽤多媒体教学，从学⽣前期课程中遇到的问题⼊⼿，展⽰如何利⽤数值分析⼿段解决上述问题，培养学⽣对本学科的兴趣。
2）算法的概念数值分析是研究算法的学科，在教学过程中必须给学⽣建⽴起算法的概念。
教学⽅法和⼿段：采⽤多媒体教学，通过定义释义和举例⼦，在学⽣中建⽴起算法的概念，明确算法研究中的所需要考虑的问题，主要包括算法的有效性、误差、运算量和稳定性的概念，并从正反两⽅⾯举例，说明上述问题在实际⼯程问题中的作⽤。
3）误差的概念误差分析是算法研究的关键问题之⼀，需要给学⽣明确误差的定义及⼯程中误差的来源。
教学⽅法和⼿段：采⽤多媒体教学，通过不同概念：绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限及有效数字的对⽐举例，加深学⽣对上述概念的把握。
数值分析总复习学习教案
第16页/共36页 17
第十七页，共36页。
几个重要概念
Taylor展开(zhǎn kāi)方法
➢ 局部( júbù)截断误差
➢ 整体(zhěngtǐ)截断误差
➢
数值方法的阶数
第17页/共36页
18 第十八页，共36页。
数值(shùzí)分析总复习例题
第18页/共36页 19
9 第九页，共36页。
二分法(对分区间(qū jiān)法)
➢ 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间(qū jiān), 用二分法迭代
|xk
x*|
ba 2k 1
➢ 给定精度( jīnɡ dù), 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度( jīnɡ dù)
k lnb a ln ε 1.
数值分析(fēnxī)总复习
第一页，共36页。
代数(dàishù)精确度
设有求积公式(gōngshì)
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求积公式(gōngshì)具有m次代数精确度.
b
n
f ( x)dx
第19页/共36页
a33 l321 l322 .
20 第二十页，共36页。
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中(qízhōng)
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解:
l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
高等教育数值分析教案正文教案、学案
高等教育数值分析教案Ch1、引 论§1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)； (2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)； (4)常微分方程的数值解法(Ch5)。
2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性； (2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3） (3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。
例如Cooley 和Tukey1965年提出FFT ，NN N22log 2，N=32K ，1000倍。
例1、分析用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组的计算量。
解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组需计算1n +个n 阶行列式，而用定义计算n 阶行列式需()!1n n -次乘法，故总计共需()()()()1!11!1n n n n n +-=+-。
此外，还需n 次除法。
当20n =时，计算量约为()()201!19.710n n +-=⨯次乘法。
即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。
可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。
§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差； (4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。
数值分析主要研究截断误差与舍入误差。
例2、根据Taylor 展式)(!!212x R n x x x e n nx++⋅⋅⋅+++=计算1-e (误差小于0.01)。
解： )(!5)1(!4)1(!3)1(!2)1()1(1554321x R e+-+-+-+-+-+=-12012416121-+-≈(截断误差) 3667.0≈ (舍入误差)。
《数值分析》教案
讲授新 进展内容
介绍等距节点插值公式在工程设计上的应用，例如在微电机设计在设计上的 应用。
课后总结
5
河北工程大学教师授课教案（5）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.5 埃尔米特插值
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
6
河北工程大学教师授课教案（6）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.6 曲线拟合的最小二乘法
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求
1. 掌握最小二乘法的基本原理；2. 掌握多项式拟合方法； 3. 了解可化为多项 式拟合的最小二乘方法。
课后总结
8
河北工程大学教师授课教案（8）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
3.2 牛顿--柯特斯公式
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求 1. 掌握牛顿--柯特斯公式； 2. 了解低阶牛顿--柯特斯公式的截断误差。
1、复习旧课（15 分钟）
回顾差商的定义。
2、讲授部分（25 分钟）
引入重节点的差商，并于 Taylor 展开式联系，介绍两者的关系（难点）。
3、复习部分（5 分钟）
（完整版）数值分析教案.doc
（完整版）数值分析教案.doc§1 插值型数值求积公式教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
教学时数12 学时教学过程1． 1 一般求积公式及其代数精度设(x) 是 ( a, b) 上的权函数， f ( x) 是 [ a, b] 上具有一定光滑度的函数。
用数值方逑下积分b(x) f ( x) dxa的最一般方法是用 f (x) 在节点 a x0 x1 x n b 上函数值的某种线性组合来近似b n(x) f ( x) dx A i f ( x i )ai 0其中 A i ,i 0, , n 是独立于函数 f ( x) 的常数，称为积分系数，而节点x i , i 0,1, , n 称为求积节点。
我们也可将（ 1． 2）写成带余项的形式b n(x) f ( x) dx A i f ( x i ) R[ f ]ai0（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。
更一般些的求积公式还可以包含函数 f ( x) 在某些点的低阶导数值。
在（ 1.3）中余项R[ x] 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都精确成立，而对 x m 1 不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
例 1 确定求积公式1 1 4 f (0) f (1)]f (x)dx [ f ( 1)1 3的代数精度。
数值分析教案
数值分析教案土建学院工程力学系2014年2月一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时324、学分：25、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》6、适用专业：工程力学二、课程的目的与任务：数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差典型例题第一章插值方法（4学时）第二讲（3-4节）1.教学内容：代数插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值及其误差估计。
差商、差分的概念与性质，Newton插值公式及其余项。
2．重点难点：Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。
《数值分析》教案4
1.6 埃尔米特（Hermite ）插值如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。
本节主要讨论在节点处插值函数与函数值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
1.6.1 Hermite 插值设已知函数)(x f y =在1+n 个互异节点n x x x ,,,10 上的函数值)(i i x f y =),,2,1,0(n i =和导数值)(i i x f y '='),,2,1,0(n i =，要求一个至多12+n 次的多项式)(x H ，使得i i y x H =)( i i y x H '=')( ),,2,1,0(n i = (1-28)满足条件(1-28)的多项式)(x H 称为Hermite 插值多项式。
我们仍采用构造插值基函数的方法来求Hermite 插值多项式。
可以设想，如果有两组函数)(),(x H x h i i ),,2,1,0(n i =，它们满足：（1）)(),(x H x h i i ),,2,1,0(n i =都是至多12+n 次多项式；（2）0)(10)(='⎩⎨⎧=≠=j i j i x h ij i j x h ),,2,1,0(n j = (1-29)0)(=j i x H ⎩⎨⎧=≠='ij i j x H j i 1)( ),,2,1,0(n j =则多项式])()([)(0∑='+=ni i i iix H y x hy x H必定满足插值多项式条件式（1-28），且次数不超过12+n 。
按条件式（1-29），)(i x h 在)(i j x j ≠处函数值与导数值均为0，故它们应含因子)()(2i j x x j ≠-，因此可以设为)()]([)(2x l x x b a x h ii i -+= (1-30)其中)]()/[()()(11i n i n i x x x x x l ++-=ωω为Lagrange 插值基函数。
研究生数值分析教案
【引例1-1】计算
2
一 个 边 长 为1的 正 方 形 的 对 角 线 长 度 为 2 ， 2 是 第 一 个 被 发 现 的 无 理 数 ， 它 的发现引发第一次数学危机。古希腊毕达格拉斯学派认为，任何数都可以用直尺在 数轴上标出，亦即，数是由整数和分数组成的。而 只能借助于圆规才能在数轴上画出。
4
u5 x u4 a5 即 un x un 1 an （ n 2 , 3 , 4,5 ） 可见，当我们给定 a[5] [1, 2,3, 4,5] ，令 u1 a1 ，利用递推式 un x un 1 an （ n 2 , 3 , 4,5 ） 求出 u5 ，就得到了 p (1.2) 的值。
2 却无法用直尺在数轴上标出，
2 的发现动摇了毕达格拉斯学派的理论基础，
发现 2 的门徒被沉河淹死了。 2 的存在性是显然的，但这个数的具体值该如何计 算，其实我们并不知道。 构造数列， x1 2 ， xn 1 显然 xn 0 ， xn 1
1 2 ( xn ) ， n 1 , 2 , 2 xn
6
（四）函数值计算误差的估计 设 x 是 x 的 近 似 值 ， 且 x x x ， f ( x ) 作 为 f ( x) 的 近 似 值 ， 其 误 差 估 计 可
（三）运算误差的估计 1 加法误差 设 x 是 x 的近似值，且 x x x ， y 是 y 的近似值，且 y y y
* * * *
那么 x y 就是 x y 的近似值，其误差限为
* *
( x y ) ( x* y * ) ( x x* ) ( y y * ) x x* y y * 方法。
教学方法及手段：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 0 1 4 10 n 1 2 2
满足 | xn – x*|≤ (b 0 – a 0)/ 2n+1
8/52
10:13
示范 用不同迭代格式求方程 x2-3=0的根。
( x ) x ( x 3)
1 4 2
3 ( x) 1 ( x 2 x)
定理2.6 设x*是 ( x) 的不动点,且 ( p1) ( x*) ( x*) ( x*) 0 而 ( p ) ( x*) 0 则 xn1 ( xn ) p阶收敛
2 3 2 4
2 2 1 3 12 6 4 -1 2 2 1 1
2 2 2 1 3 -3 -2 -1 2 0 -1 2 4 -6 1 1
2 2 2 1 3 -3 -2 -1 2 0 -5 0 4 -6 -19 -9
中止准则
|x
(k ) *
L || B || (k ) ( k 1) (k ) || X ( k ) X ( k 1) || x | |x x | || X X * || 1 || B || 1 L
14/52 超松弛加速方法
加速(松弛思想)
Aitken加速方法 10:13
1 2 3 2 3 5 2 3 1 2 1 2 3 3 0 3
注意 列除行不除 , L是单位下三角矩阵, U20/52 是上三 10:13 角矩阵
例7. 求矩阵的Crout分解
2 3 A 2 4 4 4 2 3 12 6 4 -1 2 2 1 1
牛顿迭代法 : xn1 xn f ( xn ) / f ( xn )
12/52
高斯消元法的矩阵编码
A(n – 1) = Fn-1Fn-2· · · · · · · F1 A
其中Fk 为 Frobenius矩阵。
A=F1-1F2-1 · · · · · · Fn-1-1 A(n – 1) L U
《数值分析》复习1
1/52
10:13
化大为小 化繁为简 化难为易
收敛性 稳定性 复杂度(时间与空间)等
算法的构造与分析
核心的概念
误差
解析解或称闭式解(closed-form solution)不存在的情况在数学上并不罕见。科 学与工程应用中, 能够提供较高精度的近似数值解就可以了, 而没有必要非去 2/52 追求不存在的解析解不可。所以在这样的问题上, 数值解法的优势就显现出来
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差。
e( x) x x 而称 er ( x) , |x | |x | 为 x 的相对误差。
*
( x 0)
4/52
10:13
如果存在一个适当小的正数ε ,使得
e( x) x x
则称ε 为绝对误差限。 如果存在一个适当小的正数ε r ,使得
3) 迭代矩阵特征值全小于1
4) 迭代矩阵范数小于1
5) 反证法
6)之前的讨论均是关于迭代矩阵的 对角占优矩阵或正定矩阵(只需要检查系数矩阵)
Bx = x或 | I B | 0
变型: 在x0附近的一个根
( x, c ) cx
*
2 2 3 x2
收敛于 2且阶数尽量高？
4 2 ( x , c) c 3 = 0, c 2 / 3 2 2
11/52
10:13
例4. 构造求解方程 x3 – a = 0的(牛顿)迭代法, 并讨论其收敛阶。 解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式
R[ f ] [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a b b
a
f ( n1) ( ( x )) n1 ( x )dx (n 1)!
Tn+1=y(xn+1) - yn+1称为局部截断误差。设 yn= y(xn)
3/52
10:13
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x,则称
x a 2 a xn 1 xn xn 2 2 3 xn 3 3 xn 2 a 2 2 a ( x) x 2 ( x ) 3
3 n
a ( x ) 2 4 x
10:13
3
3x
3
3x
* * ( x ) 0且 ( x ) 0
故迭代法二阶收敛。
( x ) 1 2 (1
3 x2
), 则 ( x* ) 0, ( x* ) 0
变型: 在x0附近的一个根
( x , c ) cx 10:13
2 2 3 x2
收敛于 2且阶数尽量高？
10/52
例3. 构造两种迭代格式求方程 x2-3=0的根31/2, 并判断迭代格式的收敛性(或者收敛阶)。
9/52
10:13
例3. 构造两种迭代格式求方程 x2-3=0的根31/2, 并判断迭代格式的收敛性(或者收敛阶)。
2 1) ( x ) x 1 4 ( x 3)
* ( x ) 1 1 x , 则 ( x ) 1 2 3 2
0.134 1
3 1 ( x ) ( x 2) 2 x)
21/52 注意 行除列不除, L是下三角矩阵, U是单位上三 10:13 角矩阵。
例8.三对角矩阵分解
1 2 2 1 1 / 2 5 / 2 2 1 3 2 2 4 2 2 4 2 3 5 3 5 1 1 2 2 1 / 2 5 / 2 1 / 2 5 / 2 2 2 4 / 5 12 / 5 2 4 / 5 12 / 5 2 5 / 4 5 / 2 3 5
u12 u1n u22 u2 n unn
u1 n u2 n unn
m n , n 1
1 u11 m 1 21 m n1 m n , n 1 1
1 m 21 L 1 m n1 m n , n 1 1
a11 U a12 (1) a 22 a1n (1) a2 n ( n 1 ) a nn
13/52
迭代格式构造
*** .**
***
误差限不超过该 6/52 位的半个单位
迭代法思想: 此情无计可消除，才下眉头，却上心头。
年寿有时而尽，荣乐止乎其身，未若文章之无穷
| ( x) | 1
收敛性
( x*) ( x*)
( r 1) ( x*) 0
( r ) ( x*) 0
x ( x) 收敛条件(局部vs全局)
x *为 ( x )的不动点, ( x ) 在x *的某邻域N (x * )连续 且 | ( x * ) | 1, 则迭代法 对任意x (0) N (x * )收敛
注释: B是迭代矩阵, 不是系数矩阵
对任意的f 和任意的初始 向量X(0)迭代法收敛的充 分必要条件是 ( B ) 1和 充分条件是||B|| 1
收敛速度
x0 x1 ( x0 )
n
xn ( xn1 )
*
7/52
lim ( xn ) x
10:13
例2. 证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]上有一根, 使用二分法求误差不大于 0.5*10-4 的根需要二 分多少次？ 提示: f(0)=1>0, f(1)=-sin1<0。且f′(x)=-1-cosx 在区间(0,1]严格单调递减。
1 1 / 2 1 L 4/5 1 5 / 4 1
10:13
2 1 5/ 2 2 U 12 / 5 2 22/52 5 序列收敛
2) 迭代矩阵谱半径小于1
A 1 =6, A
=4, A
A1
2
= 4.4954, A
1 2 1 4
F
= 4.5826
1 0
A 1
1 =1, A 1
1 3 = , A 2
1 = 1.1238, A 2
F
= 1.1456
A 2 ( AT A), 其中 ( AT A)为矩阵AT A的最大特征值。
条件数:cond(A) =
||A ||· ||A-1||
17/52
矩阵的Doolittle分解
变型: 基于LU分解求方程组
A = LU, L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵。
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an 2 a1n u11 u12 m a2n u22 21 紧凑格式 a nn m n1
e( x) x x er ( x ) r x x
5/52
称ε r为相对误差限。
10:13
有效数字概念
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位,该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位,则称近似值 x 有 n 位有效数字。
n位有效数字
x ***
从左向右看第 一个非零数 10:13
问题的好与坏
|| x || || b || 1 (|| A || || A ||) || x || || b ||
算法的快与慢
|| X(k+1) – X* || ≤ ||B|| || X(k) – X* ||
16/52
例5.
1 2 计算A 及其逆矩阵的1范数(列和范数), 0 4 范数(行和范数), 2范数( 谱范数), F 范数及各 范数意义下的条件数。