-传递函数
传递函数
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;
自动控制原理--传递函数的定义及性质和表示形式
传 递 函 数的表示形式
3.时间常数形式（尾1型 ）
G(s)
bm (1s 1)( 2s2
an (T1s 1)(T2s2
22s 1)( is 1) 2T2s 1)(Tjs 1)
m
K bm K * am
(zi )
1 n
称 G(s)的开环增益。
传递函数
传递函数的定义及性质 传 递 函 数的表示形式
传 递 函 数的定义
对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：
a d n c(t) a d n1 c(t) a d c(t) a c(t)
0 dt n
dt1 n1
dt n1
n
b d m r(t) b d m1 r(t) b d r(t) b r(t)
另外实际系统总有惯性，因此实际系统中有n>＝m，n称 为系统的阶数
传递函数的性质
7）传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义 g(t) 为系统单位脉冲作用下的系统输出：
当 r(t) (t) 时，系统的输出c(t)称为 g(t)
此时，L[r(t)] L[ (t)] 1 所以：
C(s) G(s)R(s) G(s) c(t) g(t) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)]
( p j )
1
i ,Tj 称时间常数。
传递函数的性质
G(s)
C(s) R(s)
b0sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
5）传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一
传递函数的推导
传递函数的推导一、引言在探索传递函数的推导之前，让我们先明确一下什么是传递函数。
传递函数是用来描述输入和输出之间关系的数学表达式，它可以帮助我们理解信号在系统中的传输过程。
本文将以人类的视角，通过简单的例子来推导传递函数的方法，以增强读者的理解。
二、例子引入假设我们有一个简单的系统，输入信号为一个正弦波，输出信号为经过系统处理后的波形。
我们的目标是找到输入和输出之间的数学关系，也就是传递函数。
三、推导过程我们首先假设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
根据系统的特性，我们可以得到如下的微分方程表达式：dy(t)/dt + a*y(t) = b*x(t) （1）其中，a和b是常数，表示系统的参数。
为了求解传递函数，我们需要对方程（1）进行变换。
我们对方程（1）两边同时进行拉普拉斯变换，得到：s*Y(s) + a*Y(s) = b*X(s) （2）其中，s是拉普拉斯变量，X(s)和Y(s)是X(t)和Y(t)的拉普拉斯变换。
接下来，我们将方程（2）重排，得到传递函数H(s)的表达式：H(s) = Y(s)/X(s) = b/(s + a) （3）至此，我们推导出了传递函数H(s)的表达式，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
在频域上，传递函数H(s)表示了系统对不同频率信号的传输特性。
四、总结通过以上推导过程，我们得到了传递函数的表达式。
传递函数是一种重要的工具，它可以帮助我们分析和设计各种信号处理系统。
通过理解传递函数的推导方法，我们可以更好地理解信号在系统中的传输过程，从而更好地应用于实际工程中。
以上就是传递函数的推导过程，希望本文能够帮助读者理解传递函数的概念和推导方法。
传递函数的推导是一个重要的数学工具，它在信号处理和系统控制等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和应用传递函数，我们可以更好地理解和掌握信号处理和系统控制的原理和方法。
希望读者能够通过本文对传递函数有更深入的认识，并在实际工作中灵活运用。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
2.12传递函数
都不是线性模型（即系统并非是线性系统），不能用 线性方程表示。事实上，任何一个元件总是存在一定 程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限 在一定的范围内。
例：下图为铁磁材料的饱和特性。当激磁电流I较 小时，磁场密度B随着I线性增加。但当I较大时，B的 增长率越来越小，呈现明显的饱和非线性。
F (t) ky
f
•
y
经拉氏变换 整理成
mY (s)s2 F (s) kY (s)fY (s)s
Y (s)
1
F (s) G(s) ms 2 fs k
例 RLC电路
ur
uC
利用电路基本知识有：
L
di dt
Ri
1 C
idi
ur
1 C
idi
uC
进行拉氏变换得：
LsI(s)
RI
(s)
电网络的传递函数可以方便地利用线性元件的 复数阻抗来求得。
电阻
uR
iR R
uR (t) R iR (t) UR(s) R IR(s)
ZR
(s)
UR(s) IR(s)源自R电容 iCuc C
uC
(t)
1 C
ic (t)dt
1 UC (s) Cs IC (s)
ZC
(s)
UC (s) IC (s)
1、传递函数是在变换域中描述系统的一 种数学模型。它是以参数来表示系统结构的， 故又称为系统的参数模型。
2、传递函数是基于拉氏变换得到的，可以 简化计算。
2.1.1 传递函数的定义
n阶线性定常系统的一般表达式（n>m）
a0
dn dt n
传递函数
极点和零点
系统传递函数G(s)的特征可由其极点和零点在 s复数平面上的分布来完全决定。用D(s)代表G(s)的分母多项 式，M(s)代表G(s)的分子多项式，则传递函数G(s)的极点规定为特征方程D(s)=0的根，传递函数G(s)的零点规 定为方程M(s)=0的根。极点（零点）的值可以是实数和复数，而当它们为复数时必以共轭对的形式出现，所以它 们在s复数平面上的分布必定是对称于实数轴（横轴）的。系统过渡过程的形态与其传递函数极点、零点（尤其是 极点）的分布位置有密切的关系。
传递函数
数学函数
01 基本释义
03 性质 05 应用
目录
02 常识 04 极点和零点 06 局限性
传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉 普拉斯变换之比。记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传 递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹 法——都是建立在传递函数的基础之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。
感谢观看
5.如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函 数.系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述；
6.用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型。
性质
1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 2、是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 3、只适用于线性定常系统。 4、传递函数是单变量系统描述，外部描述。 5、传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。 6、一般为复变量 S的有理分式，即 n ≧ m。且所有的系数均为实数。 7、如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。 8、如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。 9、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。
机械工程控制基础-第二章-传递函数
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典型环节
比例环节 惯性环节 微分环节 积分环节 振荡环节 延时节例
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比例环节
1、传递函数函：G(s) K （放大环节）
2、特性：输入输出成正比，无惯性，不失真， 无延迟 X(s) Y(s) K 3、参数：K 4、单位阶跃响应：输出按比值复现输入， 无过渡过程。
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4)方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数 列写出来就不一样，方框图也就不一样。 5) 研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方 框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出 关系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还 是评价每一个环节的作用都是很方便的。
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n 2
2
p1 p2 n , p1 p2 2n 2 1
n e p t e p t y (t ) 1 ( ) 2 p1 p2 2 1
1 2
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p1 p2 ,当 1时, p1 p2
则
n e p t y (t ) 1 2 2 1 p2
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延迟环节
1. 传函
W ( s) e
s
x
y
1
t
1
(t ) 2.单位阶跃响应 y(t ) L1[es 1 s ] 1 3.参数 延迟时间 4.特性：能充分复现输入，只是相差 ，该环节
t
是线性的，他对系统稳定性不利。然而过程控制中，
系统多数都存在延迟环节，常用带延迟环节的一阶
x(t )
1
y(t )
K
t
t
比例环节实例
1）分压器
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
传递函数名词解释
传递函数名词解释传递函数是反映一个系统输入，输出及扰动对系统影响程度的一个数字或者字母表达式。
它可以描述一个系统的输入输出特性和系统在该特性下运行的性能。
使用频谱分析仪（频域采集，时域显示），由系统的输入输出特性和参数表可以计算出系统的传递函数，从而对系统的动态性能有较深入的了解。
因此，理解传递函数是电路分析重要的基础知识之一。
下面是传递函数名词解释：1、直接测试法直接测试法是指通过直接测量有关物理量的大小来推断被测系统的动态特性的一种方法。
当测量得到的测试值不与真实值相差很远时，一般可认为被测系统具有线性动态性能，即传递函数是一个常数。
直接测试法是研究传递函数最常用、最基本的方法，也是实际中应用最多的方法。
2、间接测量法间接测量法也称为间接校正法或替代法。
它是根据待求传递函数中各变量在其他变量附近的变化，将被测系统中其他变量按某种规律变化，从而使被测系统传递函数近似地接近传递函数中某一已知函数的方法。
通过这种变换，可以把一个复杂的非线性传递函数转化为比较简单的线性传递函数。
这类方法主要用于系统响应信号中只包含一个或少数几个信号的情况。
3、虚功原理虚功原理是工程上常用的一个原理，用虚功原理来研究电子电路系统具有十分简单和方便的优点。
在电子学中，电路动态响应的描述一般采用方块图或者波特图来进行。
在系统分析中，一般使用传递函数来表征系统的动态性能，所以一般说来，只要能够得到系统的传递函数，就可以得到整个系统的动态性能。
4、极点配置法极点配置法是在满足一定条件下，将系统的特征方程在某些约束条件下写成最简形式，使系统的传递函数在某些点处的数值取极小值，或者取极大值，从而求出该点的频率响应的方法。
5、波特图法波特图是描述系统内部输入、输出之间相互关系的曲线图，又称输入-输出特性图，即输入-输出特性曲线。
它用来表示系统内部组成元素之间的动态联系，以及它们随时间的变化情况。
在工程上，波特图也称为奈奎斯特图，它是奈奎斯特最初发明的。
传递函数及其性质
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为假定初始值，对微分方程进行拉氏变换，则有网络输出的拉氏变换式为（2-48）这是一个以为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随的形式而改变；另一部分是，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式令，则输出的拉氏变换式可写成可见，如果给定，则输出的特性完全由决定。
反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数域变换（映射）到复数域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
我们称为传递函数，并将其看作另一种数学模型。
这是一个复变量函数，对任意元、部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
网络的传递函数，即为输出、输入与传递函数三者之间的关系，还可以用图2-26的方框形象地表示输入经传递到输出。
传递函数
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。
传递函数
拉氏反变换
传递函数的定义
输入
设一控制系统
输入拉氏 变换
传递函数的定义：
r(t)
R(S)
系统 G(S)
c(t)
C(S)
输出 输出拉氏 变换
线性定常系统在零初始条件下，系统输
出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值为零，对微分方程
R
ur
C
∞ - +
uc
x(t) y(t) y(t)
+
G(s) =RC s
T = RC 为电路时间常 数。当T足够小时，可
近似为纯微分环节。
Δ
x(t)
0
理想微分环节 单位阶跃响应曲线
t
理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用 含有惯性的实用微分环节。
+
ui
-
RC电路构成的实用微分环节 C + G(s)= u R
4。阶跃响应 当输入信号x(t)为单位阶跃信号1(t)时，输出为 y(t)=1(1-τ） 阶跃响应曲线
x(t) y(t)
1 0
y(t) x(t)
τ
t
U 2 ( s) 1 U1 ( s ) RCs 1
U o (s)
1 LS R Cs
1 Cs
U i (s)
1 U i (s) LCs RCs 1
2
• 用复阻抗的概念求RLC电路的传递函数。 • 解：根据基尔霍夫定律，有
U o (s) 1 Cs LS R 1 Cs U i (s) 1 U i (s) LCs 2 RCs 1
传递函数
线性微分方程可以归纳其一般的表达式为：1011110111()()()...........()()()()...........()n n n n n n m m m m m m d c t d c t d c t a a a a c t dt dt dtd r t d r t d r t b b b b r t dt dt dt------++++=++++ （7.1）式子中，()c t 是输出量，()r t 是输入量。
0a ，1a ，1n a -…….. n a 和0b ，1b ，…….. 1m b -，m b 都是由系统结构决定的常数。
微分方程建立以后，便可以由此为基础分析控制系统的性能。
最直接的办法就是求解微分方程得到系统的输出响应，但是微分方程特别是高阶微分方程的求解以及参数性能分析是十分困难的，可以利用拉普拉斯变换来简化对微分方程的求解，并利用拉氏变换将微分方程这种时间域中的数学模型转化成复数s 域内的数学模型——传递函数。
传递函数不仅可以表征系统的动态特征，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统的影响。
在后面的章节中将要介绍的频率法和轨迹法，都是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最主要和最基本的概念。
7.1传递函数的定义一般线性定常系统的微分方程课用式7.1表示，对于实际的控制系统，n 不小于m ，即n ≥m 。
设r(t)以及其各阶导数在t=0时刻的值均为0，则对式（7.1）中的各项分别求拉氏变换，可得： 10111011(......)()(..........)()n n n n m m m m a s a s a s a c s b s b s b s b r s ----++++=+++（7.2） 式子中，C(s)=L[c(t)],R(S)=L[R(t)]。
由式（2.1）可得： 10111011..........()()()......m m m m n n n n b s b s b s b C s G s R s a s a s a s a ----+++==++++ (7.3)2.2 传递函数的性质1）传递函数是复变量s 的有理真分式，具有复变函数的所有性质，只适用于线性定常系统，其分母多项式中s 的最高幂称为系统的阶次，一般分母多项式中s 的最高次方总大于或等于分钟多项式中的s 的最高次方。
2.3传递函数
20
三、传递函数的物理意义
如果系统输入为 r (t ) (t ) ，那么R(s)=1, 此时的输出即为脉冲响应，用g(t)表示。 那么
g (t ) L [C(s)] L [G(s) R(s)] L [G(s)]
由此可知系统的传递函数就是该系统脉 冲响应的拉氏变换。因此说传递函数可 以表征系统的动态性能。
8
四、正弦函数
正弦函数也称谐波函数，表达式为
r (t )
0
0 ASint
t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的 正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R ( s ) L[r (t )]
ASinte
st
dt
0
A (e jt e jt )e st dt 2j
15
根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传 递函数为
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 N ( s ) G(s) n n 1 R ( s ) a n s a n 1s D( s) a1s a0 (2 15)
19
3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映 系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有 相同的传递函数。若传递函数已知，针对不同的输 入，可以求出系统的输出响应： C (s) G(s) R(s) 再通过反拉氏变换求出 c(t ) 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 5.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此 传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性 能。
《自动控制原理》第二章传递函数
输出信号的拉氏变换 传递函数 = 输入信号的拉氏变换 零初始条件
C ( s) G(s) = R( s)
autocumt@ 1 中国矿业大学信电学院
一、 传递函数的定义和主要性质
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n −1 d a 0 n c (t ) + a1 n −1 c (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n −1 c (t ) + a n c (t ) dt dt dt d m −1 d dm = b0 m r (t ) + b1 m −1 r (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm −1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt
autocumt@
15
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自动控制原理
4、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时， 包含两个独立的储能元件 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。
z1 n 2 (t) = n1 (t) z2
G(s) = N 2 (s) z1 = =K N1 (s) z 2
传递函数： 传递函数：
autocumt@
9
中国矿业大学信电学院
其它一些比例环节
自动控制原理
R2 R1
r (t )
Ec
R
c (t )
ic (t )
r1
r2
r (t )
c(t )
C
例：积分电路 积分电路
i1 (t )
R1
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
五、传递函数
Uo ( s) 1 G( s) U i ( s ) LCs 2 RCs 1
3
几点结论
传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
10
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
X o ( s) K G( s) X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性
传递函数为：
G( s)
式中，T—积分环节的时间常数。
15
积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0 时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。
传 递 函 数
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；
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m
d2 dt
x
2
f
dx dt
kx
Fi
4 机械旋转运动
例 列出系统运动方程 解：由角加速度方程
J
dw
dt
M
其中，J--转动惯量，ω--旋转角速度，ΣM--和力矩，得
Jddwt fw Mf
其中，Mf --作用力矩；
fω--阻力力矩，其大小与转速成正比，负号表示
方向与作用力矩方向相反。
整理后，得
ue(t) ui (t) (关联参考方向)
（2）基尔霍夫电流定律
i(t) 0
例 写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。
解：由回路电压定律
有
uR(t) uC (t) ui (t)
即
Ri(t) uC (t) ui (t)
将
i(t)
C
duC ( dt
t
)
,
uo
(
t
)
uC (t )
代入上式,有
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
令时间常数
T RC
则有 可简写为
T
duo (t ) dt
uo (t )
ui (t )
Tu&o uo ui
例 写出以u为输入， i 为输出的微分方程
L di Ri u dt
例 写出以ui为输入，u0为输出的微分方程
+
R1
a
R2
+
ui
i1 C1
i2 C2
第二章 控制系统的数学模型
控制系统的时域数学模型 传递函数 典型环节的传递函数 闭环控制系统的动态结构图 动态结构图的等效变换 反馈控制系统的传递传递函数 信号流图与梅逊公式
2.1 控制系统的数学模型
2.1.1 什么是控制系统的数学模型？
控制系统的数学模型是根据系统运动过程的物理、化 学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输 入关系的数学表达式。
2.2.3 建立线性系统过程的微分方程(举例)
1、元件约束 电阻R、电容C和电感L，它们的微分方程关系必须遵
循广义欧姆定律。
uR(t ) R× iR(t )
uC
(t)
1 C
iC (t)dt
uL(t)
L
diL(t) dt
2. 网络约束
电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律。 （1）基尔霍夫电压定律
2.2 控制系统的微分方程模型
2.2.1 控制系统运动规律的微分方程 微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本
模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。
a0 y(n) (t) a1 y(n1) (t) ...... an1 y(1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) ...... bm1u(1) (t) bmu(t)
uo
-
-
解:对于回路L1，有 b
uR1 uC1 ui
对于回路L2，有
uC1 uR2 uC 2 0
元件约束为
uR1 R1 × i1 uR2 R2× i2
uC 1
1 C1
(i1 i2 )dt
化简，可得
uC 2
1 C2
i2dt uo
R1C1R2C2
d2uo dt2
(R1C1
R2C2
两大类方法，或者说有两种不同的途径。一类是机 理分析建模方法，称为分析法，另一类是实验建模 方法，通常称为系统辨识。
a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律
以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之 间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简 单的系统。
b.工程实验法
工程实验法：它是利用系统的输入--输出信号 来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用这种建模方法。
其中 n m
dn
d n1
d
或者
a0 dtn y(t) a1 dtn1 y(t) ...... an1 dt y(t) an y(t)
dm
d m1
d
b0 dtm u(t) b1 dtm1 u(t) Байду номын сангаас..... bm1 dt u(t) bmu(t)
2.2.2 用解析法建立运动方程的步骤是：
2.1.2 数学模型的表示形式
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)结构框图 (4)信号流图
在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分 方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图是数 学模型的图形表达形式。
2.1.3建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有
输入
输出
黑盒
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为
灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确 而方便地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学 模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略 一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾， 简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不 准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。表示表示表示
R1 C2)
duo dt
uo
ui
设时间常数
T1 R1C1 ,T2 R2 C2 ,T3 R1C2
则有
T1T2
d2uo dt2
(T1
T2
T3
)
duo dt
uo
ui
可简写为
T1T2&&uo (T1 T2 T3 )&uo uo ui
3 力学系统(基本约束----牛顿定律)
(1) 机械平移运动
例 列出以外力Fi为输入，物体运动平移x为输出的 运动方程。其中K为弹性系数，f为阻尼系数，M为物 体质量。
解：由加速度定律
ma
和力为
F
m
d2 x dt2
F Fk Ff Fi
其中弹性阻力
Fk kx
粘滞阻力 代入方程有
Ff
f dx dt
整理得
m
d2x dt2
kx f dx dt
Fi
J
dw
dt
fw
Mf
如果以转角θ为输出变量，因为
将它代入方程，得
w dq
dt
J
d2q
dt2
f
dq
dt
Mf
5 复合系统
例 已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图5-1 所示，机电系统原理如图5-1所示，试写出其运动方程。
1.分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系， 确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
2.从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入 手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律， 列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应， 就是考虑后一级对前一级的影响。
3.将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输 入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容： ①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量 有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。