对象机理数学模型
数学建模之机理模型建立的平衡原理
k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二. 机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三. 微分方程模型微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。
即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
假设1. 人群个体同质。
令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2. 群体规模大。
N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。
令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t，t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。
（生育率和死亡率）生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0，所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。
（r与 t 无关） dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。
（r 与 N 无关） dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。
机理分析模型
1 16 ln 10 结果 ：T(10)=18+42e 3 21 =25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.
(1)
r1 r2 h(t) h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记
令Δt
0, 得
r 100 (100 h) 200h h
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战 斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 平衡式
改写模型
假设1*
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
假设2*
市场余 额 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制.
dT k (T m ), dt T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c,
机理模型和数据模型
机理模型和数据模型在科学研究的过程中，人们往往需要建立一些模型来帮助理解和解释现象。
这些模型一般分为两类：机理模型和数据模型。
机理模型是基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。
而数据模型则是基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。
本文将对这两种模型进行详细的介绍和比较。
一、机理模型机理模型是指基于已知的物理、化学或生物学原理，通过数学推导和实验验证，建立出来的描述现象的模型。
机理模型的建立需要有深入的科学知识和严格的科学方法。
机理模型可以帮助人们深入理解现象的本质和内在规律，并可以用来预测和控制现象的发展趋势。
机理模型的优点是可以提供更加准确和可靠的预测和解释，但是建立和验证机理模型需要大量的实验和理论研究，成本较高。
机理模型的一个例子是气候模型。
气候模型是基于大气物理学、海洋学、地球化学等多学科知识，通过数学模型和计算机模拟，模拟出全球气候的变化趋势。
气候模型可以预测未来气候变化的趋势，为人们制定应对气候变化的政策提供科学依据。
二、数据模型数据模型是指基于观测到的数据，通过统计学方法，建立出来的描述现象的模型。
数据模型的建立需要有大量的数据和统计学知识，可以通过对数据的处理和分析，发现数据背后的规律和趋势。
数据模型的优点是建立和验证成本较低，可以快速的得到结果，但是数据模型的结果可能受到数据的限制和偏差的影响，预测结果的可靠性较低。
数据模型的一个例子是股票价格预测模型。
股票价格预测模型是基于历史股票价格数据，通过统计学方法，建立出来的预测股票价格的模型。
股票价格预测模型可以帮助人们制定股票交易策略，但是预测结果可能受到市场变化和其他因素的影响，预测结果的可靠性较低。
三、机理模型和数据模型的比较机理模型和数据模型各有优缺点，如何选择合适的模型取决于研究的目的和研究对象的特点。
下面是机理模型和数据模型的比较：1. 建立成本：机理模型的建立和验证需要大量的实验和理论研究，成本较高；而数据模型的建立和验证成本较低，只需要有足够的数据和统计学知识。
过程控制 第二章(过程建模与过程特性)
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
例1.液体储罐的动态模型 1.液体储罐（一阶对象） 干扰作用 Q1 h
液体储罐的 动态模型？ ？
控制作用
水槽
Q2
列写微分方程式的依据可表示为： 对象物料蓄存量变化率＝单位时间内（流入对象物料—流出对象物料）
假定t＜0时，Q1=Q10，Q2= Q20, 且Q10= Q20， h =h0, 当t≥0时，Q1= Q10+ΔQ1，Q2= Q20+ΔQ2，h = h0+Δh, 则在很短一段时间d t内，由物料平衡关系可得：
u(t ) u1 (t ) u1 (t t )
其中
u 2 (t ) u1 (t t )
假定对象无明显非线性，则矩形脉冲 响应就是两个阶跃响应之和，即
y(t ) y1 (t ) y1 (t t )
Rs
Rs
将此关系式代入上式，便有：
(Q1 h )d t Adh Rs
AR S dh h RS Q1 dt
移项整理后可得：
令
T ARS
K RS
代入上式得：
THale Waihona Puke dh h KQ1 dt
上式是用来描述简单的水槽对象特性的一阶常系数微分方 程式。式中T称时间常数，K称放大系数。
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
过程控制系统第三版课后答案戴连奎
过程控制系统第三版课后答案戴连奎1什么是对象特性？为什么要研究对象特性？答：研究对象特性是设计控制系统的基础；为了能使控制系统能安全投运并进行必要的调试；优化操作。
2什么是对象的数学模型？静态数学模型与动态数学模型有什么区别？答：对对象特性的数学描述就叫数学模型。
静态：在输入变量和输出变量达到平稳状态下的情况。
动态：输出变量和状态变量在输入变量影响下的变化情况。
3建立对象的数学模型有什么意义？答：1,控制系统的方案设计；2控制系统的调试和调节器参数的确定；3制定工业过程操作优化方案；4新型控制方案及控制策略的确定；5计算机仿真与过程培训系统；6设计工业过程的故障检测与诊断系统。
4建立对象的数学模型有哪两种方法？答：机理建模和实验建模。
机理建模：由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，根据对象或生产过程的内部机理，经过合理的分析简化而建立起描述系统各物理量动静态性能的数学模型。
实验建模步骤：1确定输入变量与输出变量信号；2测试；3对数据进行回归分析。
5反应对象特性的参数有哪些？各有什么物理意义？他们对自动控制系统有什么影响？答：K—放大系数。
对象从新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。
T—时间参数。
时间参数表示对象受到输入作用后，被控变量的变化快慢。
桃—停滞时间。
输入发生变化到输出发生变化之间的时间间隔。
评价控制系统动态性能的常用单项指标有哪些？各自的定义是什么？单项性能指标主要有：衰减比、超调量与最大动态偏差、静差、调节时间、振荡频率、上升时间和峰值时间等。
衰减比：等于两个相邻的同向波峰值之比n；过渡过程的最大动态偏差：对于定值控制系统，是指被控参数偏离设定值的最大值A；超调量：第一个波峰值y与最终稳态值y之比的百分数；残余偏差C：过渡过程结束后，被控参数所达到的新稳态Y与设定值之间的偏差调节时间：从过渡过程开始到过渡过程结束所需的时间；振荡频率：过渡过程中相邻两同向波峰之间的时间间隔叫振荡周期或工作周期，其倒数称为振荡频率；峰值时间：过渡过程开始至被控参数到达第一个波峰所需要的时间。
6.7被控对象的数学模型
L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
T:是当对象受到阶跃输入作用后，被控变量到达新稳定值的 63.2%所需的时间。显然，T越大，被控变量的变化越慢， 到达新稳定值所需的时间也越长。
下图中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T1 、T2 、 T3、T4时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。
小结
希望To适中 希望Tf大
（1）控制通道时间常数To对控制系统的影响 在相同的控制作用下，对象的时间常数To越大，被控变量 的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化越快,控制作用 及时。但To过小，响应过快，易引起震荡，使系统稳定性 下降。 （2）扰动通道时间常数Tf对控制系统的影响 对象的时间常数Tf 越大，被控变量对干扰的响应越迟缓， 越容易克服干扰而获得较高的控制质量。
a , a a a 及 b , b b b 分别为方程中的各项 数 n n 1 , , 1 , 0 m m 1 , , 1 , 0
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
( n ) ( n 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y '( t ) a y ( t ) x ( t ) n n 1 1 0
此式称为被控变量过渡过程的函数表达式，表示对象在受到阶跃作 用 Q1=A 后，被控变量h随时间变化的规律。根据此式可画出 h～t 曲线，称为阶跃反应曲线或飞升曲线。
第二章_对象特性和建模
23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
过程控制复习
（5）按控制变量的名称区分 温度控制系统 压力控制系统 …… （6）按调节规律区分 P、PI、PD、PID、预估控制 ……
1.4 过渡过程和品质指标
（1）静态（稳态）和动态
静态――被控变量不随时间变化的平衡状态（变化率为0，不 是静止）。 如果控制系统是稳定的，假设设定值和干扰都保持不变 ，经过足够长的时间，控制系统中各参数必然会到达一个“ 相对”平衡状态，这种状态就是所谓的“静态”，在控制领 域中更多的称之为“稳态”。 。
· 一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi
A h
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV V Ah q q i o dt A dh qi h dt R
dh A q q i o dt
对象机理数学模型的建立
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi qi q0
q0
左图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高 根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： q0
H /R
非周期衰减过程 衰减振荡过程 √ √
等幅振荡过程 发散振荡过程
？ X
一般是不允许的 除开关量控制回路
单调发散过程
X
（3）过渡过程的品质指标
通常要评价和讨论一个控制系统性能优劣，其标准有二大类：
· 以系统受到阶跃输入作用后的响应曲线的形式给出。主要包括： 最大偏差（超调量）、 衰减比 余差 过渡时间 振荡周期（振荡频率）……
机理模型资料课件
通过机理模型，利用历史数据和 现代优化算法，可以找到最优的 投资组合，以最大化收益或最小
化风险。
风险管理
机理模型可以用于预测市场价格、 信用评级等的变化，从而帮助金融 机构更好地管理风险。
信贷评估
在信贷评估中，可以利用机理模型 对借款人的信用等级进行评估，以 决定是否发放贷款。
工业领域应用
况和他相关信息，预测其是否会违约。 • 总结词：支持向量机具有较好的泛化能力和鲁棒性，能够有效地应对数据集较小的情况。 • 详细描述：在贷款违约风险预测中，输入数据可以是客户的财务指标、信用记录和其他相关信息，输出数据则
是“违约”或“不违约”。通过调整支持向量机的参数和核函数，可以提高预测的准确性和稳定性。
机理模型资料课件
目 录
• 模型介绍 • 模型建立 • 模型应用 • 模型改进与拓展 • 案例分析 • 相关软件与工具介绍
01
模型介绍
定义与背景
机理模型是指基于事物的基本原 理、机制和规律，通过数学建模 或其他形式来描述和预测系统行
为的模型。
机理模型通常用于研究复杂系统 ，如物理、化学、生物等领域的
神经网络是一种模拟人脑神经元连接方式的计算 模型，适合处理具有复杂非线性关系的预测问题 。
总结词
神经网络具有自学习和自适应能力，能够处理大 量数据并给出相对准确的预测结果。
详细描述
股票价格受到众多因素的影响，如宏观经济指标 、公司业绩、行业动态等。通过构建神经网络模 型，可以学习历史数据中的模式，并预测未来的 股票价格。
• 详细描述：在环境质量预测中，输入数据可以是各种气象指标、地形地貌特征 和污染物排放量等，输出数据则是未来的环境质量等级。通过调整随机森林的 参数和结构，可以提高预测的准确性和稳定性。同时，随机森林还可以给出各 因素对环境质量的影响程度，有助于制定相应的环境保护措施。
过程特性及数学模型
以简单水槽为例： K是对象受到阶跃作用后，被控参数的 稳 定值与所加的输入量之比。
当 t=T 时 h=Qk(1-e-1) e-1=0.368 ∵ h(∞)=KQ ∴ h=kQ(1-e-1)=0.632KQ=0.632h(∞) 即被控参数 达到新稳态值的63.2%所需 的时间就是时间常数 T
h(∞) 0.632h(∞)
二、时间常数T
T
T
时间常数 T 越大，表示对象受干扰作用后，被控参 数变化越慢，过度时间长；T 越小，表示对象受干扰 作用后，被控参数变化越快，过度时间短。
h(t) KQ1(1 et /T )
从理论上讲，只有当 T=∞,才有 h(∞)=KQ. 但是当t=3T 时， h(3T)=KQ(1-e-3)=0.95KQ=0.95h(∞) 可近似认为动态过程基本结束。
d 2h2 dt 2
(T1
T2 )
dh2 dt
h2
KQ1
一阶对象
Th h KQ1
h(t) KQ1(1 et /T )
2）串联RC电路 串联RC电路
三、对象特性的实验建模
常用的实验测取法 • 1、实验测取法：
人为加入干扰作用，用记录仪测取输 出的被控参数。
（阶跃反应曲线法、矩形脉冲法）
测量、变送环节一般由测量元件及变送器组成，其特性也可以表示程由K、T、τ三 个参数组成的一阶滞后环节，它对过渡过程的影响与被控对象相仿。通常要求，K在整 个测量范围内保持恒定，T、τ越小越好。
事实上，测量、变送环节本身的时间常数和纯滞后时间都很小，可以略去不计。所 以实际上它相当于一个放大环节。因此，放大倍数K在整个测量范围内保持恒定是最关 键的。
f
u
y
机理模型和数据模型
机理模型和数据模型在科学研究中，模型是一种重要的工具，它可以帮助我们理解现象、预测未来、设计新的实验和技术。
模型可以分为两类：机理模型和数据模型。
机理模型是基于已知的物理、化学和生物学原理，通过建立方程和模拟来描述和解释现象。
数据模型则是通过统计分析和机器学习算法，从大量的观测数据中发现规律和关联，用来预测未来的趋势和结果。
本文将分别介绍机理模型和数据模型的原理、应用和优缺点，并探讨它们之间的关系和互补性。
一、机理模型机理模型是基于物理、化学和生物学原理，建立数学方程和模拟来描述和解释现象的模型。
机理模型通常包括两个部分：一是描述系统结构和组成的方程，二是描述系统行为和响应的方程。
例如，化学反应速率方程、生物代谢方程、电路方程等，都是机理模型的例子。
机理模型的优点是可以精确地描述和预测系统的行为和响应，可以深入理解系统的物理、化学和生物学机制，可以为实验设计和技术开发提供指导和优化。
机理模型的缺点是需要大量的实验数据和参数估计，模型复杂度高，计算量大，对初始条件和边界条件敏感，对误差和不确定性的容忍能力较低。
机理模型适用于研究系统的基本原理和机制，对于复杂的系统和不确定的环境，机理模型的应用受到限制。
二、数据模型数据模型是基于观测数据，通过统计分析和机器学习算法，发现规律和关联，用来预测未来的趋势和结果的模型。
数据模型通常包括两个部分：一是描述变量和关系的模型，二是描述预测和决策的模型。
例如，线性回归模型、逻辑回归模型、决策树模型、神经网络模型等，都是数据模型的例子。
数据模型的优点是可以利用大量的观测数据，发现系统的规律和关联，可以预测未来的趋势和结果，可以为决策和优化提供支持和指导。
数据模型的缺点是对数据的质量和数量要求较高，对数据的分布和偏差敏感，对模型的选择和调整需要专业知识和经验。
数据模型适用于研究系统的统计规律和趋势，对于复杂的系统和不确定的环境，数据模型的应用受到限制。
三、机理模型和数据模型的关系和互补性机理模型和数据模型在科学研究中都有重要的作用，它们之间存在一定的关系和互补性。
数学建模_初等模型
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =
= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。
对象特性及其数学模型
对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系（数学模型）
对象的输入量发生变化时，其输出量随时间的变化规律 —— 对象动态特性 （如何变化的、变化量为多少……） 而对象在静态时的输入量与输出量之间的关系 —— 对象静态特性
输出量？ 输入量？
被控变量 操纵变量（控制作用）＋各种各样的干扰作用
4
■ 一阶对象（对象动态特性可用一阶微分方程式来描述）
问题：简单水槽 Qi
解：该对象的输入量为Qi
根据物料平衡方程：
被控变量为液位h
h
A
开度不变
对象内物料贮存量的变化率＝ 单位时间内流入对象的物料 —单位时间内流出对象的物料 dh Qi Qo A 由于出口流量可以近似地表示为： Qo h R dt dh dh h T h K Qi T AR K R 式（1） A Qi dt dt R
Qo
dh0 h K Q , 0 由于 （h0、Qio为初始平衡状态的值） 0 i0 记 d t Qi Qi 0 Qi dh T h K Qi 式（2） dt 式 (1)是针对完全量的输入输出模型，式 (2)是针对变化量的输入输出模型，二者 结构形式完全相同。由于在控制领域中，对象特性的分析往往是针对变化量而言 的，所以广泛采用式(2)。但为了书写方便，在表达式中通常省略变化量符号 5
被控对象
干扰通道
通道：由对象的输入变量至输出变量的信号联系
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系 干扰变量 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系 操纵变量 对象输出为控制通道输出与干扰通道输出之和
被控变量
控制通道
同一对象不同通道的特性一般是不同的！因此在研究对象特性时，应首 先指明研究哪个通道，即指明所研究的对象输入量和输出量各是什么
对象数学模型
对象输入与输出之间的联系称为通道 控制通道：起控制调整作用(q→y) 干扰通道：起干扰破坏作用(ƒ→y)
意义：是控制方案确定的依据！
一、对象特性的描述方法
a、微分方程数学表达式描述
Q1
阀1
1、一阶对象 ①水槽对象
Q2 开度不变 Q1 为干扰作用
Q1→h：
由物料（能量）平衡得：
（
Q1-Q2）dt=AdQh2 =
使干扰作用对系统影响减小，对系统有利。
K= (150120)/200 =2 (2825)/ 40
T=4
τ=2
微分方程：
4 dT (t 2 ) dt
+T(t+2)=2Q(t)
流量/（t/h）
28 △q
25
温度/℃
150
t/min △Q(∞)
120
2
6
t/min
小结：
作业：P33——8、11、14
Q1
1、放大系数K —静态参数
△Q1
K h Q1
t t0
h
2、时间常数T
—动态参数
△h
t= T t= 3T
h=h0+ 63.2% △h h=h0+ 95% △h
63.2%
h0
T
t
t= ∞ h=h0+ △h
t0
τ0
一阶对象特性曲线
3、滞后时间τ
τ =τ0 纯滞后τ0 （一阶对象） τ =τ0 + τC 纯滞后+容量滞后（二阶对象）
Q1 t0
△Q1 t
t τo
τc
二阶对象特性曲线
特性参数对对象的影响：
K大：
干扰通道:干扰作用影响大。
对象特性机理建模和试验建模
H1 qv 2 Rs 1
dH 2
22
dH 1 d 2 H 2 Rs1 dH 2 A2 Rs1 dt Rs 2 dt dt 2
H2 d 2 H 2 Rs1 dH 2 dH 2 qv1 A1 ( A2 Rs1 ) H 2 Rs 2 Rs 2 dt dt dt 2
d 2H2 dH 2 A1 A2 Rs1 Rs 2 ( A1 Rs1 A2 Rs 2 ) H 2 Rs 2 qv1 2 dt dt T1 A1 Rs1
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t ) f (t )est dt
0
象函数
拉氏变换符号
原函数
复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
26
典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数பைடு நூலகம்
单位阶跃函数定义：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
其拉普拉斯变换为：
L1(t ) 1(t )e dt
st 0
0
1 st e dt e s
st
0
1 st 1 0 1 lim e e t s s s
8
2.参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输 入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状 态方程、差分方程等形式来表示。
9
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x （ t ） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
第二章被控对象的数学模型
（1）R－C电路
用途：整流滤波、 闪光灯等 在图2－2所示的电路中，设ei为输入电压， 是该系统的输入变量；电容两端的电压 为输出电压，是该系统的输出变量；i是 流过电阻R的电流。根据电路原理中的科 希霍夫定律，有： ei＝iR＋e0 和 消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式： （2-3）
将由输入输出曲线测得的参数数值， 代入已推得的的微分方程或传递函数， 就得到了完整的数学模型。 在已知系统的数学模型结构的基础 上，再通过实验来确定数学模型中参数 的方法，又称为系统的参数估计。
除了上面介绍的这种方法之外，还 有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还 可以直接从正常生产过程的记录数据中 分析过程特性，建立数学模型。这种方 法称为在线辨识。但它需要大量的数据、 较长时间、较多的数据处理技术水平， 而且精确度也不够高。为了提高所得模 型的可信度和精度，有时采用多种方法 相互验证，相互补充。
第二章 被控对象的数学模型
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第一节 概述 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 概述
数学模型是系统输入作用与输出作 用之间的数学关系。其表达形式主要有 两类：即非参量模型和参量模型。 非参量模型 是指用曲线或数据表格 形式来表示的数学模型。 参量模型 是指用数学表达式来描述 的数学模型。 下面我们主要讨论参量模型。
由方程（2-7），且此时 q0=0，得 1 h q i dt （2-9） C 所以该系统也常称为积分对象。 该系统的传递函数为
（2-10）
（注：上两式中C为液容，也可以用横截面积A）
3．二阶系统
当一个对象可以用二阶微分方程描述其 特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。 我们设其微分方程为：
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（i）
上式就是描述储槽对象的一阶常系数微分方程，T称为时间常数，K称为放大系数 进行拉普拉斯变换，初始条件为零，得储槽对象的传递函数G(s)为 G(s）=
H (s) K 这是典型的一阶对象传递函数 Qi (s ) Ts 1
（2）二阶线性对象
当对象的动态特性可以用二阶线性微分方程式来描述时，称为二阶线性对象。 举例：图2-3为串联水槽对象 qi
dh(t ) h(t ) K q f (t ) dt
有纯滞后的混合槽的对象特性方程： T 将
q f (t ) qi (t )
dh(t ) h(t ) K qi (t ) dt
进行拉普拉斯变换，所以具有纯滞后的混合槽对象
的传递函数为
H (s) K s e Qi ( s) Ts 1
姓名：张蕾 学号：2013507012
对象的输入量是qi ，输出量是h2
根据物料平衡关系，在微小时间间隔dt内，每个储槽 内液体的改变量为： dh h A1 1 qi R1 q1
A2 h2
R2 q0
水槽2 ：
A2
dh2 q1 qo dt
(qo
h2 ) R2
2 整理得： A A R R d h2 ( R A R A ) dh2 h R q 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 i dt 2 dt
d 2 h2 dh2 T T ( T T ) h2 K qi 将 1 2 2 1 2 dt dt (T1 A1 R1 T2 A2 R2进行拉普 K R2 )
拉斯变换，令初始条件为零后得串联储槽对象的传递函数G(s)为
G(s)=
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
d 2 h2 dh2 T T ( T T ) h2 K qi 或写为： 1 2 dt 2 1 2 dt
(T1 A1 R1 T2 A2 R2 K R2 )
式中 T1——第一只储槽的时间常数 T2——第二只储槽的时间常数 K=R2——整个对象的放大系数
上面两式就是用来描述串联储槽对象的二阶常系数微分方程。
对象机理数学模型的建立
（1）一阶线性对象
当对象的动态特性可以用一阶线性微分方程来描述时，称为一阶线性对象。 qi 举例:图2-2水槽对象 水槽是被控对象，液位h是被控变量 A h 生产过程中，最基本关系：物料平衡和能量平衡
列出微分方程的依据： 对象物料储存量的变化率=单位时间流入对象 的物料—单位时间流出对象的物料
（3）纯滞后环节
有些对象在受到输入作用后，输出不是立即响应输入发生变化，而是要等 一段时间后才开始响应输入的作用，这种现象称为纯滞后。 举例：如图所示盐混合槽 qi 纯滞后关系可以表示为：
q f (t ) qi (t )
微分方程： T
qf
l /v
A, h
q0
无滞后的混合槽的对象特性的一阶线性
根据物料平衡关系，微小时间间隔dt内储槽内液体的变化量 Adh(t)=(qi-qo)dt h 近似认为流出储槽的流量与h和R的关系： qo R RAdh(t)/dt+h(t)=Rqi 令T=RA K=R得： dh
q0
T
dt
h K qi (T AR、K R)
（ i）
T
dh h K qi (T AR、K R) dt