下学期数学实验作业

实验一 图形的画法1. 做出下列函数的图像：（1）)2sin()(22--=x x x x y ，22≤≤-x （分别用plot 、fplot ） （2）22/9/251x y +=（用参数方程）(3) 在同一图形窗口中，画出四幅不同图形（用subplot 命令）：1cos()y x =，2sin(/2)y x pi =-，23cos()y x x pi =-，sin()4x y e =（]2,0[π∈x ）2 作出极坐标方程为)cos 1(2t r -=的曲线的图形.3 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形.4 绘制螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ,sin 4,cos 4在区间［0，π4］上的图形.在上实验中，显示坐标轴名称.5 作出函数22y x xye z ---=的图5形.6 作出椭球面1194222=++z y x 的图形.(该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).)7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.(曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶.)8 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.9 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.10 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.11用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程. （该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x ） 12. 画出变上限函数⎰xdt t t 02sin 及其导函数的图形.实验二 一元函数微分学1. 在命令窗口中键入表达式44222x y z x y x e xy y +=+----，并求1,3x y ==时z 的值.2． 已知多项式532()6251f x x x x =+-+，431()2336g x x x x =+-+，求：（1）)(x f 的根； (2) )(x g 在闭区间[-1,2]上的最小值；（3）)()(x g x f +，)()(x g x f ⋅和)()(x g x f ； （4）)(x f 的导数.3. 在MATLAB 中求下列极限 (1) ()1114lim34nn n n n ++→+∞-++（2）lim()xx x a x a →∞+-(1)>> sym n;>> limit(((-1).^n+4.^n)./(3.^(n+1)+4.^(n+1)),n,inf); >> ansans =1/4(2) >> syms x a;>> limit(((x+a)./(x-a)).^x,x,inf);>> ansans =exp(2*a)5. 根据要求在MATLAB中求下列函数的导数(1)a x a axy a a x x=+++，求?=dxdy(2)221()arcsin1xf xx⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，求()1?f'=（3）设(lny x=，求dy (4) 2y ln(1)x x=+，求?122==xdxyd.(1)>> syms a x;>> y=a.^a+a.^x+x.^a+x.^(a*x);>> diff(y,x);>> ansans =a^x*log(a)+x^a*a/x+x^(a*x)*(a*log(x)+a)(2)>> syms x>> y=asin((1-x.^2)./(1+x.^2));>> diff(y,x);>> ansans =(-2*x/(1+x^2)-2*(1-x^2)/(1+x^2)^2*x)/(1-(1-x^2)^2/(1+x^2)^2)^(1/2) (3)>> syms a x;>> diff(log(x+sqrt(a.^2+x.^2)),x);>> ansans =(1+1/(a^2+x^2)^(1/2)*x)/(x+(a^2+x^2)^(1/2))(4)>> diff(x.^2.*log(1+x),2);>> ansans =2*log(x+1)+4*x/(x+1)-x^2/(x+1)^2实验三 一元函数积分学一元函数积分学 1．用MATLAB 计算下列不定积分.（1）2dx x⎰（2）2sin cos x a x xdx ⎰ (1)>> syms x;>> y=sqrt(x.^2+1)./x.^2; >> int(y,x); >> ans ans =-1/x*(x^2+1)^(3/2)+x*(x^2+1)^(1/2)+asinh(x) (2) >> syms a x;>> y=a.^x.*sin(x).*(cos(x)).^2; >> int(y,x); >> ans ans =(2*(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*log(a)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)-4*log (a)*(log(a)^2-1)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^3-(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*exp(x*log(a))-(11*log(a)^2+9)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^4+(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*exp(x*l og(a))*tan(1/2*x)^6+(11*log(a)^2+9)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*exp(x*log(a))*tan (1/2*x)^2+2*(log(a)^2+3)/(10*log(a)^2+9+log(a)^4)*log(a)*exp(x*log(a))*tan(1/2*x)^5)/(1+tan(1/2*x)^2)^3 2．用MATLAB 求解下列各积分. （1）220cos x e xdx π⎰（2）0sin 2t e tdt ∞-⎰（3）设201()12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰.(1) >> syms x;>> y=exp(2*x).*cos(x); >> int(y,x,0,2*pi); >> ans ans =2/5*exp(pi)^4-2/5 (2) >> syms t;>> int(exp(-t).*sin(2*t),t,0,inf); >> ans ans =2/5 (3) >> syms x;>> y=int(x.^2,x,0,1)+int(x,x,1,2); >> y y = 11/64．求由曲线22(5)16x y +-=绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积. >> syms x;>> y=pi*(5+sqrt(16-x.^2)).^2; >> int(y,x,-4,4); >> ansans =856/3*pi+80*pi^25．求下列曲线与所围成图形的面积：（1）212y x =与228x y +=（两部分都要计算）； （2）r θ=与2cos 2r θ= (1) >> syms x;>> s1=int(sqrt(8-x.^2),x,-sqrt(2),sqrt(2))-int(0.5*x.^2,x,-sqrt(2),sqrt(2)); >> s1s1 =2^(1/2)*6^(1/2)+4/3*pi-2/3*2^(1/2) >> s2=8*pi-s1; >> s2s2 =20/3*pi-2^(1/2)*6^(1/2)+2/3*2^(1/2) (2)>>6．计算半立方抛物线232(1)3y x =-被抛物线23xy =截得的一段弧的长度. 实验四 多元函数微积分求多元函数的偏导数与全微分 1.1设),(cos )sin(2xy xy z +=求.,,,222yx z x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂ >> syms x y;>> z=sin(x.*y)+(cos(x.*y)).^2; >> y1=diff(z,x); >> y2=diff(z,y); >> y3=diff(z,x,2); >> y4=diff(y1,y); >> y1y1 =cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y >> y2y2 =cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x >> y3y3 = -sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 >> y4y4=-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+2*sin(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)*sin (x*y)1.2设v u e y v u e x u u cos ,sin -=+=,求.,,,yv x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 微分学的几何应用1.3 求出曲面222y x z +=在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形. 1.4求曲面14),(22++=y x y x k 在点⎪⎭⎫⎝⎛2164,21,41处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.多元函数的极值1.5求x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.1.6 求函数22y x z +=在条件0122=-+++y x y x 下的极值. 实验2 多元函数积分学（基础实验）计算重积分2.1计算,2dxdy xy D⎰⎰ 其中D 为由,,2y x y x ==+ 2=y 所围成的有界区域.2.2计算dxdydz z y x )(22++⎰⎰⎰Ω, 其中Ω由曲面222y x z --=与22y x z +=围成.重积分的应用2.3 求由曲面()y x y x f --=1,与()222,y x y x g --=所围成的空间区域Ω的体积. 2.4 在Oxz 平面内有一个半径为2的圆, 它与z 轴在原点O 相切, 求它绕z 轴旋转一周所得旋转体体积.计算曲线积分2.5求 ⎰Lds z y x f ),,(, 其中(),10301,,2y x z y x f ++=积分路径为L :,3,,22t z t y t x ===.20≤≤y(注意到,弧长微元dt z y x ds t t t 222++=, 将曲线积分化为定积分)2.6求dr F L.⎰, 其中.20,sin cos 2)(,)2(356π≤≤+=++=t tj ti t r j xy x i xy F计算曲面积分2.7计算曲面积分⎰⎰∑++dS zx yz xy )(, 其中∑为锥面22y x z +=被柱面x y x 222=+所截得的有限部分.(注意到,面积微元dxdy z z dS y x 221++=, 投影曲线x y x 222=+的极坐标方程为,22,cos 2ππ≤≤-=t t r将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.)2.8计算曲面积分,333dxdy z dzdx y dydz x ++⎰⎰∑其中∑为球面2222a x y x=++的外侧.实验六 无穷级数及微分方程 （基础实验）数项级数1.1(1) 观察级数∑∞=121n n 的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数∑∞=11n n的部分和序列的变化趋势.1.2 设,!10n a nn =求∑∞=1n na.求幂级数的收敛域 1.3 求∑∞=+-021)3(4n nn n x 的收敛域与和函数. 函数的幂级数展开1.4 求x cos 的6阶麦克劳林展开式. >> taylor(cos(x),7);>> ansans =1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 1.5求x arctan 的5阶泰勒展开式. >> taylor(atan(x),6); >> ansans = x-1/3*x^3+1/5*x^51.6 求()()2211+--x x e 在1=x 处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多>> y=exp(-((x-1).^2.*(x+1).^2)); >> taylor(y,9,1);>> ans ans =1-4*(x-1)^2-4*(x-1)^3+7*(x-1)^4+16*(x-1)^5+4/3*(x-1)^6-28*(x-1)^7-173/6*(x-1)^8求解微分方程2.1求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解. 2.2求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e yx 21==下的特解.2.3求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线.2.4求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dtdxt 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.2.5求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y 的数值解, 并作出数值解的图形.2.6洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.实验七 矩阵运算与方程组求解1 计算范德蒙行列式.1111145444342413534333231252423222154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 设矩阵 ,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 求.),(|,|3A A tr A 3 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.4 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值.5 设,41311221222832A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=求矩阵A 的秩.6 求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩.7求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.8求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 9向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?10求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.11求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足9)1(,20)1(='=-'f f 的4次多项式).(x f12解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=++-=++-53323221242143143214321x x x x x x x x x x x x x x13当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.实验八 矩阵的特征值与特征向量1求矩阵.031121201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A 的特征值与特值向量.2已知)1,1,1(-=x 是方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量,求参数b a ,及特征向量x 所属的特征值.3设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222222114A ,求一可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.4已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y B 00020001相似, 求y x ,.5求一个正交变换,化二次型243231212222x x x x x x x f +++=为标准型.6已知二次型3231212322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定.。