数论基础知识

定理 1
素数有无穷个。
证明：
假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，则 x = (p1·p2·...·pn)+1 显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n个素数矛盾，所以素数是无限多的。
这个证明的最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高。
推论 4
对任意整数a与b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)。
证明：
根据定理3，gcd(a，b)是a与b的一个线性组合，所以从式(6)可推得该推论成立。
推论 5
对所有整数a 和b以及任意非负整数n，gcd(an ,bn)=n gcd(a,b)。
证明：
如果n = 0，该推论显然成立。如果n ≠ 0，则gcd(an,bn)是集合{anx + bny}中的最小正元素，即为集合{ax + by}中的最小正元素的n倍。
根据整数模n所得的余数可以把整数分成n个等价类。模n 等价类包含的整数a为：
例如，[3]7={…,-11,-4,3,10,17,…}，该集合还有其他记法[-4]7和[10]7。a ∈[b]n 。就等同于a ≡ b(mod n)。所有这样的等价类的集合为:
(3)
下列性质就是gcd函数的基本性质：
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
定理 3
如果a和b是不都为0的任意整数，则gcd(a,b)是a与b的线性组合集合{ ax + by : x,y ∈Z}中的最小正元素。
证明：
设s是a与b的线性组合集中的最小正元素，并且对某个x,y ∈Z，有s = ax + by，设q = ?a/s? ，则式(2)说明
除法定理，余数和同模
已知一个整数n，所有整数都可以分划为是n的倍数的整数与不是n的倍数的整数。对于不是n的倍数的那些整数，我们又可以根据它们除以n所得的余数来进行分类，数论的大部分理论都是基于上述分划的。下列定理是进行这种分划的基础。
定理2 (除法定理)
对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0 < r ≤ n，并且a = qn + r 。
当我们定义了一个整数除以另一个整数的余数的概念后，就可以很方便地给出表示同余的特殊记法。如果 (a mod n)=(b mod n)，就写作 a ≡ b (mod n)，并说a和b对模n是相等的。换句话说，当a和b除以n有着相同的余数时，有a ≡ b (mod n)。等价地有，a ≡ b (mod n)当且仅当n|(b - a)。如果a和b对模n不相等，则写作a T b (mod n)。例如， 61≡ 6 (mod 11)，同样，-13≡ 22≡2 (mod 5)。
从定理8可推断出，一个整数分解为素数的因子分解式是唯一的。
定理 9 (唯一质因子分解)
任意的整数a能且仅能写成一种如下积的形式
其中pi为自然数中的第i个素数，p1<p2<…<pr，且ei为非负整数（注意ei可以为0）。
证明：
（略）
例如，数6000可唯一地分解为24·31·53。
素数与合数
对于某个整数a>1，如果它仅有平凡约数1和a，则我们称a为素数(或质数)。素数具有许多特殊性质，在数论中举足轻重。按顺序，下列为一个小素数序列:
2，3，5，6，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…
不是素数的整数a>1称为合数。例如，因为有3|39，所以39是合数。整数1被称为基数，它既不是质数也不是合数。类似地，整数 0和所有负整数既不是素数也不是合数。
因此，a mod s也是a与b的一种线性组合。但由于a mod s < s，所以我们有a mod s = O，因为s是满足这样的线性组合的最小正数。因此有s|a，并且类似可推得s|b。因此，s是a与b的公约数，所以gcd(a，b)≥ s。因为gcd(a，b)能同时被a与b整除并且s是a与b的一个线性组合，所以由式(6)可知gcd(a,b)| s 。但由gcd(a,b)|s 和s > O，可知 gcd(a,b)≤s。而上面已证明gcd(a,b)≥s，所以得到gcd(a,b) = s，我们因此可得到s是a与b的最大公约数。
这个定理是整数的基本定理之一，这里就不给出具体证明了。
值q=?a/n? 称为除法的商（? x? 表示地板符号floor，即小于等于x的最大整数）。值 r = a mod n 称为除法的余数。我们有n|a 当且仅当 a mod n = O，并且有下式成立：
(1)
或
(2)
�
证明：
为了引入矛盾，我们假设p|ab，但pFa并且pFb。因此，gcd(a,p)=1 且gcd(b,p)=1，这是因为p的约数只有1和p。又因为假设了p既不能被a也不能被b整除。据定理7可知，gcd(ab,p)=1；又由假设p|ab可知gcd(p,ab)=p，于是产生矛盾，丛而证明定理成立。

定理 7
对任意整数 a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1。
证明：
由定理3可知，存在整数x，y，x'，y' 满足
ax+py=1
bx'+py'=1
把上面两个等式两边相乘，我们有
ab(xx')+p(ybx'+y'ax+pyy') = 1
推论 6
对所有正整数n，a和b，如果n|ab并且gcd(a,n)=1，则n|b。
证明：
（略）
互质数
如果两个整数a与b仅有公因数1，即如果gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。例如，8和15是互质数，因为8的约数为1，2，4，8，而15的约数为1，3，5，15。下列定理说明如果两个整数中每一个数都与一个整数p互为质数，则它们的积与p与互为质数。
如果d|a并且d≥0，则我们说d是a的约数。注意，d|a当且仅当(-d)|a，因此定义约数为非负整数不会失去一般性，只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。例如，24的约数有1，2，3，4，6，8，12和24。
每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。例如， 20的因子有2，4，5和10。
(7)
两个不同时为0的整数a与b的最大公约数表示成gcd(a,b)。例如，gcd(24,30)=6，gcd(5,7)=1，gcd(0,9)=9。如果a与b不同时为0，则 gcd(a,b)是一个在1与min(|a|,|b|)之间的整数。我们定义gcd(O,0)=0，这个定义对于使gcd函数的一般性质(如下面的式 (11))普遍正确是必不可少的。
因为1是ab与p的一个正线性组合，所以运用定理3就可以证明所需结论。
对于整数n1,n2,…,nk，如果对任何 i≠j 都有gcd(ni,nj)=1，则说整数n1,n2,…,nk两两互质。
唯一的因子分解
下列结论说明了关于素数的可除性的一个基本但重要的事实。
定理 8
对所有素数p和所有整数a，b，如果p|ab，则pla或者p|b。
我们经常见到定义
(4)
如果用0表示[0]n，用1表示[1]n。等等，每一类均用其最小的非负元素来表示，则上述两个定义(3)和(4)是等价的。但是，我们必须记住相应的等价类。例如，提到Zn的元素-1就是指[n-1]n，因为-1 = n-1 (mod n)。
公约数与最大公约数
这个定理非常重要，在计算理论中很多重要的定理都可以基于这个定理来证明，因为这个定理实际上给出了Z和Z*的一一对应关系，换句话说，任何的整数a都可以用一组整数(e1,e2,…,er)来表示，，反之也成立，其中a和(e1,e2,…,er)满足定理9的公式。比如6000可以用一组整数(4,1,3)表示，因为6000=24·31·53。从另一个角度看，这也提供了一种大整数的压缩方法，可惜由于这种分解太费时间，所以此压缩方法并不可行:-(。但是在很多定理的证明中（尤其是计算理论，形式语言和数理逻辑的定理中），用这种方法可以将一串的整数用唯一的一个整数来表示。比如在一台图灵机中，输入是一串长度不定的整数，经过某种转换，输出另外一串长度不定的整数，我们可以用定理9将输入和输出都用唯一的一个整数来表示，这样转换的过程就看作是一个简单的从整数集到整数集的函数，对我们从理论上研究这种转换过程提供了方便。歌德尔不确定性原理的证明中就利用了这种技巧，所以这种编码方式又称为哥德尔编码。再举个简单的例子，如果我们将中文的每个汉字编码，用一个整数表示一个汉字；将英文的26个字母编码，用一个整数表示一个字母，现在我们要将一句输入的中文翻译成英文句子输出，输入和输出都可以用一组整数表示，利用上面的哥德尔编码，可以将输入和输出用唯一的一个确定的整数表示，翻译的过程就是做某种函数运算，该函数是Z→Z的简单整数函数，只要找到了这个函数，就作出了机器翻译机来。事实上，世界上所有的能够用算法处理的过程都可以利用哥德尔编码转化成简单的整数函数来研究，这就是为什么计算理论中只研究简单的整数函数。
全文:
数论的基本知识
本文将简单地介绍有关整数集合Z={…,-2,-1,0,1,2,…}和自然数集合N={0,1,2,…}的最基本的数论概念。
可除性与约数
一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念，记号d|a（读作“d 除a”）意味着对某个整数k，有 a = kd。0可被每个整数整除。如果a>0且d|a，则|d|≤|a|。如果d|a，则我们也可以说a是d的倍数。如果a不能被d整除，则写作dFa。