基础数论

（1）若 g x ≡ 1 (mod p) 欲证 p − 1 x 证明： 证明： 0 < r < p −1 假设不成立， 假设不成立，可写 x = (p − 1)y + r 得： ≡ g x ≡ (g y ) p −1 g r ≡ 1 ⋅ g r ≡ g r (mod p) 1 但：g ≡ g r +1 g ≡ g r + 2 …... < g >:= {g z | z ∈ N} 有r个元素，这与p为原根的假设矛盾。 所以： 所以： 个元素，这与p为原根的假设矛盾。 i j (g −1 ) j 假设i>j， （2）假设i>j，将同余式 g ≡ g (mod p) 两边同乘以 gi − j ≡ 1 (mod p) 得： 利用已证明的性质1 此等价于： 利用已证明的性质1，此等价于：
第3章 基础数论
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密码学数学基础
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1.2
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密码学数学基础 模运算与辗转相除法 中国余式子定律
Lagrange定理与费马小定理 Lagrange定理与费马小定理
原根 二次剩余 Galois域 Galois域 质数理论 连分数
密码安全伪随机数字生成器
1.3
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密码学数学基础
模运算与辗转相除法
1
模运算与辗转相除法
假设今天是星期五，请问10000天后是星期几？ 假设今天是星期五，请问10000天后是星期几？ 10000天后是星期几
ord(g) #G
1.18
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原根定理
定理： 令g为质数p上的原根，则 定理： 为质数p上的原根，
g x ≡ 1 (mod p) ⇔ x ≡ 0 (mod p − 1) 为整数， （1）若x为整数，则 i j 为整数， （2）若i、j为整数，则 g ≡ g (mod p) ⇔ i ≡ j (mod p − 1)
21 ≡ 2 , 22 ≡ 4 , 23 ≡ 8 , 24 ≡ 5 , 25 ≡ 10 , 26 ≡ 9 , 27 ≡ 7 , 28 ≡ 3 , 29 ≡ 6 , 210 ≡ 1 。
× 中的同余类均可表示为[2]的若干2]的若干次方
Z /11× 此时称2 此时称2为乘法群
∀x ∈ [a] : x ≡ x
若 x ≡ y则 y ≡ x
x≡z
例：5 ≡ 16 ≡ −6
(mod 11) 令 n = 7 则 [2] = { x ∈ Z x ≡ 2 (mod 7)} = [9] = [−5] = [10005] 。
Z// 7 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]} 。
n = # H #G = p − 1
H = {[1],[a],[a 2 ],L ,[a n ]} 所以 a n ≡ 1 (mod p) 其中
因此：
a p −1 =
p −1 (a n ) n
≡ 1 (mod p)
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1.16
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原根
4 原根
考虑2的次方（ 考虑 的次方（mod 11）： 的次方 ）：
/ （5）存在加法反元素：对任一 x ∈ Z/ n 存在 − x 使得 存在加法反元素：
x + (− x) = 0 = (− x) + x
减法： [a] − [b] := [a − b] = { x x ≡ a − b (mod n)} 减法： 乘法： [a] [b] := [a b] = { x x ≡ ab (mod n)} 乘法：
若公理1 若公理1、3、4、5成立，称为群(Group)； 成立，称为群(Group)； 交换群。 若以上公理1 都成立，称为交换群 若以上公理1～5都成立，称为交换群。
1.8
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交换环
考虑
(Z / n, +, )
此时除了 (Z / n, +) 为交换群以外，另外针对乘法 为交换群以外， 运算也满足封闭性、交换律、 运算也满足封闭性、交换律、结合律以及存在乘法 单位素（ 等性质， 单位素（即 [1] = {x ∈ Z|| x ≡ 1 (mod n)} ）等性质，但 并非所有非零元素都有乘法反元素， 并非所有非零元素都有乘法反元素，另外乘法对加 法有分配律， 法有分配律，即： 若 x、y、z ∈ Z// n 则 x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z 此时，以代数的术语， 此时，以代数的术语，称 (Z / n, +, ) 为交换环 Ring）。 （Commutative Ring）。
1.6
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模运算 加法： [a] + [b] := [a + b] = { x x ≡ a + b (mod n)} 加法：
/ / （1）封闭性：若同余类 x、y ∈ Z/ n 则 x + y ∈ Z/ n 封闭性： / 交换律： （2）交换律：若同余类 x、y ∈ Z/ n 则 x + y = y + x / 结合律： （3）结合律：若同余类 x、y、z ∈ Z/ n 则 (x + y) + z = x + (y + z) 存在加法单位素： （4）存在加法单位素：存在 0 = [0] ，使得 x + 0 = x = 0 + x
1.9
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辗转相除法
例： 求7812及6084的最大公因子 及 的最大公因子
gcd(7812 , 6084)
被除数= 被除数=商×除数+余数， 除数+余数， gcd（被除数，除数）=gcd（除数，余数） gcd（被除数，除数）=gcd（除数，余数） 辗转相除法就是利用此性质 就是利用此性质， 辗转相除法就是利用此性质，反复以 除数/余数）取代（被除数/除数） （除数/余数）取代（被除数/除数）
原根（ Root） 的原根（Primitive Root）
当 2x ≡ 1 时，则10必整除x；此时称10为2在（mod 11） 10必整除 必整除x 此时称10为 11） Z /11× 秩（Order） Order） （或在乘法群 ）的
1.17
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秩
定义： 定义：
令G为乘法群，而g∈G为其中一元素，则元素g的秩 为乘法群， 为其中一元素，则元素g Order） （Order）定义为
5 + 10000 (mod 7) ≡ 2
5+10000除以 的余数） 除以7 （即5+10000除以7的余数）
10000天后是星期二 即：10000天后是星期二
1.4
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同余
定义（同余，Congruence）：令 n ∈ N 。令 a、b ∈ Z 同余，Congruence）：令 ）：
1.15
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费马小定理
定理（费马小定理） 费马小定理）
令为p质数、 为与p互质的整数， 令为p质数、a为与p互质的整数，则
a p −1 ≡ 1 (mod p)
证明： 证明： 考虑乘法群 G = Z / p× ， H =< [a] > 为其子群， 为其子群，
根据Lagrange定理 根据Lagrange定理
ord(g) := min{x ∈
x
| g x = 1}
也可能不存在x 也可能不存在x ∈ N使得 g = 1 ，此时定义 ord(g) := +∞ 。 < g >:= {g x |x ∈ N} 为G的子群，有 g g 为有限群， 的子群， 若G为有限群，则 根据Lagrange定理 定理， ord(g) = # < g > ，根据Lagrange定理，子群的元素个数必 整除母群G的元素个数， 整除母群G的元素个数，故
有整数解
整数线性方程
ax + by = d
⇔
gcd(a, b) d
x 0、y 0 ，使得
证明：借助广义辗转相除法， 证明： 借助广义辗转相除法，存在整数
(⇐)
ax 0 + by 0 = gcd(a, b)
若 d = c gcd(a, b) 则：
(x, y) = (cx 0 , cy0 ) 为一整数解 (⇒) 若 ax + by = d 有整数解
x 、w ∈ Z// n −1 −1 / × 因 x 、w ∈ Z/ n ，故存在乘法反元素 x 、w 使得 xx −1 ≡ 1 且 ww −1 ≡ 1 ， 而 (w −1x −1 )(xw) ≡ 1 的乘法反元素。 故 w −1 x −1 为 xw 的乘法反元素。
则
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×
xw ∈ Z// n×
1.7
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交换群
定义（交换群） 交换群）
考虑 (G , ∗) ，其中G为集合，而 其中G为集合， *为运算。令公理： 为运算。令公理：
（1）封闭性：∀x、y ∈ G 封闭性： 则； x ∗ y ∈ G 交换律： （2）交换律：∀x、y ∈ G 则； x ∗ y = y ∗ x 结合律： （3）结合律： ∀x、y、z ∈ G 则； (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) 存在单位素： ∀ ∃ （4）存在单位素： x ∈ G ， e ∈ G ，使得 x ∗ e = x = e ∗ x ∀ 存在反元素： （5）存在反元素： x ∈ G ，∃x ′ ∈ G ，使得 x ∗ x ′ = e = x ′ ∗ x