高中数学选修2-2 北师大版 1.1 归纳与类比

[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.体会归纳推理与类比推理的思维过程，增强实践与创新能力.
知识点一推理的定义与结构形式
1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.
2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫作前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫作结论.
思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？
(2)推理一般用哪些关联词？
答案(1)不一定完全可靠.
(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.
知识点二归纳推理与类比推理
思考 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三 合情推理
1.合情推理的含义：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.
2.合情推理的过程
从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 思考 由合情推理得到的结论可靠吗？
答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.
题型一 归纳推理的应用
例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n
1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项
公式.
解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n
1＋a n
(n ＝1,2，…)，
∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23
，a 3＝23
1＋23＝25，a 4＝25
1＋25＝27.
由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝2
2n －1
(n ↔N ＋).
反思与感悟 求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.
跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ↔N ＋)的前n 项的和为S n .
(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；
(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝4
9.
(2)猜想S n ＝n
2n ＋1(n ↔N ＋).证明如下：
∵
1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－1
7＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝
n
2n ＋1
(n ↔N ＋). 题型二 类比推理的应用
例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.
解 如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2
＋b 2
c 2＝c
2
c 2＝1.
于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：
如图(2)，cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2
＋n 2
＋g 2
l 2＝l 2
l
2＝1.
反思与感悟 类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.
类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.
跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的
对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r＝a2＋b2
2”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂
直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R＝__________.
答案a2＋b2＋c2
2
解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的
外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c2
2.
合情推理的应用
归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.
例3设f(n)＝n2＋n＋41，n↔N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.
解f(1)＝12＋1＋41＝43，
f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，
f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，
f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，
f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，
f(10)＝102＋10＋41＝151.
∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，
∴归纳猜想：当n↔N＋时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.
验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.
∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.。