量子信息与量子计算简明教程[陈汉武,东南大学出版社;2006-6-1]
量子信息与量子计算
量子信息与量子计算
20世纪末，美国物理学家Peter Shor提出了一种利用量子算法的方法来解决一些复杂性问题，这便是现在所谓的Shor算法，也被看作是量子计算的里程碑式突破。
自此，量子计算成为了物理学、信息学和计算机科学等领域的新生儿。
在传统的计算机中，最基本的储存单位是二进制的0和1，也被称为比特。
而在量子计算机中，最基本的储存单位则是量子比特，即qubit。
qubit和普通的比特存在着不同，普通的比特只可为0或1，而qubit可以同时是0和1，这种量子特性称为叠加态。
与此同时，量子比特还存在着另一种独特的特性，即量子纠缠，即量子比特之间存在一种意义上的“纠缠”状态，在其中一个态发生改变时，另一个态会立即对应变化。
这种特殊情况可以被利用于量子通信，这样的安全性更会被大大提高。
概括来说，以上这些与古典计算机不同的特性，正是量子计算机可以更有效地解决一些复杂性问题的原因之一。
比如用来破解加密算法的Shor算法，理论上至今没有被古典计算机实现，但量子计算机可以在多项式时间内解决该问题。
然而，当前的量子计算机也存在着很多限制，特别是在qubit 稳定性上的问题。
由于qubit在环境和其他因素的影响下很容易失去叠加态和纠缠状态，从而导致计算结果出现偏差，这种现象称为量子纠错问题。
同时，由于量子计算机的部件极其精细，目前的制造成本也十分高昂。
总的来说，随着量子计算机的相关研究进一步深入，持续不断的科研投入和技术突破，相信在不远的将来，量子计算机将成为一种能够真正改变世界的技术，涉及的领域影响将会是极其广泛和深远的。
基于 Grover 硬币算子的量子行走在商图上的演化算子
基于 Grover 硬币算子的量子行走在商图上的演化算子薛希玲;李文骞;陈汉武;刘志昊【摘要】商图是利用图的对称性分析量子行走算法的一种重要数学工具。
量子行走在商图上的演化算子由移位算子和硬币算子构成。
本文以构造的方式给出了Grover硬币算子在超立方体的商图上对应的矩阵形式，并给出了其正确性证明。
由于商图上的移位算子可由原图上的移位算子直接导出，从而确定了使用Grover 算子作为硬币的量子行走在商图上的演化算子。
%Using the symmetry of graphs,quotient graph is adopted as an important mathematical tool to analyze quan-tum walk algorithms.The evolution operator of quantum walk on quotient graph consists of shift operator and coin operator. This paper presents a method to construct the matrix of Grover coin operator on the quotient graph of hypercube,and gives a proof of its correctness.As the shift operator on quotient graph can be derived straightforwardly from shift operator on the orig-inal graph,the unitary evolution operator of quantum walks with Grover operator as coin operator can be determined.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2016(044)003【总页数】5页(P555-559)【关键词】硬币算子;商图;量子行走【作者】薛希玲;李文骞;陈汉武;刘志昊【作者单位】东南大学计算机科学与工程学院，江苏南京 210096;东南大学计算机科学与工程学院，江苏南京 210096; 南京森林警察学院信息技术系，江苏南京210023;东南大学计算机科学与工程学院，江苏南京 210096; 东南大学计算机网络和信息集成教育部重点实验室，江苏南京211189;东南大学计算机科学与工程学院，江苏南京 210096; 东南大学计算机网络和信息集成教育部重点实验室，江苏南京211189【正文语种】中文【中图分类】TP387作为设计随机算法的一个有力的数学工具，经典随机行走为因式分解、k-SAT、图同构等问题提供了一系列最广为人知的算法.而量子行走提供了加速经典行走的可能性[1]，近年来设计基于量子行走的算法成为量子计算领域的研究热点.另一方面，Grover利用搜索空间中的一个不变二维子空间，给出了搜索无结构数据的最优算法[2]，证明了将一个搜索问题限制在整个搜索空间的一个不变子空间中的思想是富有成效的.在基于量子行走的算法中，超立方体上的搜索算法SKW[3]通过搜索一个包含解的更小的空间以同等规模的时间复杂度给出了问题的解；Ambainis从商图空间上的演化算子入手求解其特征值和特征向量以近似分析演化过程,设计算法求解元素独立性问题[4].在有关量子行走对称性的研究中[5,6]，Krovi利用图的自同构群产生了行走的演化算子U的对称群，这个对称群决定了行走的不变子空间.文中证明如果初始状态在该子空间中，量子行走将局限于这个子空间，即在比原图小很多的商图上演化.本文在上述工作的基础上，主要探讨基于Grover硬币的量子行走的演化算子在商图上的形式.以n维超立方体为例，我们推导出商图上硬币算子的形式，并给出了其正确性证明，从而确定了使用Grover算子作为硬币的量子行走在商图上的演化算子.定义1 设G是由集合S(幺元e∉S)生成的有限离散群，Cayley图[7]Γ=Γ(G,S)是一个有向图(G,E)，其顶点的集合由G中的元素集合标识，即对应于每个群元素有一个顶点，边的集合为E={(g,gs)|g∈G,s∈S}，即对应于每个顶点有|S|条连接到顶点gs(∀s∈S)的出边.超立方体,X)是量子行走领域涉及较多的Cayley图，集合X是第i位为1其他各位均为0的n维标准正交基{ei}.量子行走领域涉及较多的Cayley图有直线Γ(Ζ,{-1,1})，环Γ(Ζn,{-1,1})，超立方体，集合X是第i位为1其他各位均为0的n维标准正交基{ei}，对称群Sn上的图Γ(Sn,Y)，Y是Sn的一个生成集.定义2 设G=(V,E)是一个图，～是顶点集V上的一个等价关系.G关于～的商图[8]定义如下：顶点集合是商集V/～，两个等价类[u]，[v]构成一条边当且仅当uv是G中的一条边.图的自同构是保持图不变的顶点的置换，所有置换的集合构成图的自同构群.令G是Cayley图Γ的一个自同构群，G作用于顶点集合V形成了一个划分，划分的块对应于由等价关系y=gx(g∈G)定义的等价类x≡y.图Γ在自同构群G的子群H定义的等价关系下的商图表示为Γ/H.例如Cayley图Γ(S3,{t1=(1,2),t2=(2,3)})在自同构群的子群H=Z2(即交换两个方向1和2的子群)下的商图Γ/H如图1所示.从图的对称性角度，Krovi等人使用Cayley图的自同构群在图的Hilbert空间上的群作用定义了等价关系.为叙述方便，我们直接给出n维超立方体上顶点的等价关系～为含有相同个数的1的顶点等价.d-正则图G=(V,E)上离散量子行走算法模型可以用酉演化算子U的重复应用来描述[9].这个算子作用于Hilbert空间HS⊗HC，其中HS是由对应顶点V的状态|v〉张成的空间，HC是由基向量{|i〉|i∈{1,…,d}}张成的d维量子硬币空间.算子U可以写作U=S(I⊗C)，其中硬币算子C是“翻转”量子硬币的酉算子，移位算子S是根据硬币空间的状态执行移位操作的置换矩阵.Grover算子[10,11]CG是基于离散量子行走的算法中频繁使用的硬币算子，形式如式(1)所示.该算子是所有满足酉性和置换对称性的算子中距恒等算子最远的.Krovi表明对于特定的初态，使用Grover算子的超立方体上离散量子行走具有指数级的快于经典情况的到达时间(hitting time)[5].将Grover算子改写为CG=|φ〉〈φ|-(I-|φ〉〈φ|)=|φ〉〈φ|-|φ⊥〉〈φ⊥|，|φ⊥〉与|φ〉正交.该算子对任意向量的作用为保持该向量平行于均匀叠加态|φ〉的部分不变，而将垂直于|φ〉的部分取反，即CG对任意向量的作用为以|φ〉作反射.如上所述，定义顶点的等价关系～为含有相同个数的1.以三维立方体为例，如顶点001、010和100等价.n维超立方体在上述等价关系～下形成的商图为有n+1个点的线，将其重新标记为量子行走在子群H的商图上的演化算子UH由移位算子SH和硬币算子CH给出，即UH=SHCH，而移位算子SH可由原图上的移位算子直接导出.原图上的移位算子S将状态|x,d〉映射到状态|x⊕ed,d〉，|x〉和|d〉分别为顶点和硬币空间中的状态，|ed〉是超立方体上第d个基向量.即S将状态从一个顶点沿硬币态所对应边移至相邻顶点,|x⊕ed,d〉〈x,d|[3].根据算子的作用，商图上的移位算子由于Grover算子保持了超立方体的对称性，下面我们给出使用Grover硬币的情况下商图上硬币算子的计算.若立方体上的行走使用Grover算子作为硬币算子，由式(1)作用于每个顶点的硬币算子在n=3时为，整个图上的硬币算子C=I⊗CG.注意到立方体是度为3的正则图，而其商图则是有4个点的直线.下面直观地给出商图上的硬币CH的计算过程.考查商图上每个点的硬币算子.显然度为1的点0和3对应的硬币算子为1阶单位阵，即C0=C3=(1)，度为2的点1和点2的硬币算子为二阶矩阵.商图中点1与点0间的边数为一条，与原图上V1和V0中顶点间边数相同；而点1与点2之间的边数由原图上V1和 V2中顶点间的两条边坍缩为商图中的一条.据此，令，P1是由3阶单位矩阵保持第一行不变而将其后2行相加并归一化后得到的2×3维矩阵，则商图上点1的硬币算子CH =C0⊕C1⊕C2⊕C3上述过程可以自然地扩展到n维超立方体.度为1的点0和n对应的硬币算子为1阶单位阵，即C0=Cn=(1).下面给出商图上点x(x=1,2,…,n-1)处的硬币算子Cx的计算.由于超立方体上相邻顶点仅有一位不同(海明距离为1)，将Vx中顶点的x个1 中的一位变为0得到超立方体上有x-1个1的顶点的集合Vx-1，故Vx中每个顶点与Vx-1中的顶点有x条边相连；将Vx中顶点的n-x个0中的一位变为1后得到超立方体上有x+1个1的顶点的集合Vx+1，故Vx中每个顶点与Vx+1中的顶点有n-x条边相连.所有连接Vx-1和 Vx的x条边坍缩为商图上的边|L〉，同时所有连接Vx和 Vx+1的n-x 条边坍缩为商图上的边|R〉.由此，令Px是由n阶单位矩阵经如下变换得来的2×n维矩阵：将其前x行相加并归一化，后n-x行相加并归一化，n维超立方体的Grover硬币算子作用于量子行走的硬币空间，将硬币态以均匀叠加态|φ〉作反射.下面证明商图上量子行走的硬币算子CH和原图上的硬币算子C具有相同的作用.证明(1)商图度为1的点0和点n对应n维超立方体的点|00…0〉和点|11…1〉，原图上的n维硬币算子在商图上的作用是平凡的，即为1阶单位阵;(2)当x∈{1,2,…,n-1}时，容易验证Cx仍然满足酉性，即Cx=I.由上述分析可知超立方体顶点集Vx中每个顶点有x条边坍缩为商图上的边|L〉，记为|vL〉；其余n-x条边坍缩为边|R〉，记为|vR〉.定义，则均匀叠加态可以表示为|Rx〉.已知二维平面上沿(cosθ,sinθ)方向的反射其变换矩阵为，故沿|φ〉的方向的反射变换矩阵为x，与式(7)形式相同.由此，商图上点x处的硬币算子Cx的作用与原图中的Grover硬币算子相同，在由|Lx〉和|Rx〉张成的平面上沿|φ〉方向的作反射. 上述计算过程基于超立方体上使用Grover硬币算子的情况，下面对在不同数据结构上或使用不同的硬币算子的量子行走加以讨论.给定x1,…,xN∈[M]，元素独立性(Element Distinctness)问题[4]确定是否存在k 个不同的下标i1,…,ik∈[N]使得xi1=xi2=…=xik.Ambainis使用搜索和基于Johnson图的量子行走结合的技术以O(Nk/k+1) 次查询解决了这个问题.Johnson图J(N,r)(在算法中r=N2/3)的顶点集由N的所有i元子集组成.以构成顶点的r元子集中包含{i1,…,ik}的个数划分等价类集合，算法在该等价关系下的商图对应的子空间中演化.量子行走过程使用的硬币算子是Grover算子的变形，在Johnson图的商图上硬币算子的形式与前述计算结果相符，，其中0<ε<1是与算法相关的参数.量子算法中另一个常用的算子是Shor的大数质因子分解算法中进行离散量子傅里叶变换的算子[12]：Q算子在每个硬币态之间均等地分配幅度，使得测量硬币空间得到各个方向的概率相同.由于该算子不具有置换对称性[1]，使用其作为硬币算子构成行走的酉算子U和超立方体的自同构群不满足对易关系.由此，置换不变性允许我们将图上的量子行走转化为更为简单的商图上的量子行走，如果使用如Q算子则不可能.本文延续使用商图理论从对称性角度研究量子行走算法这一思路进行更加深入细致的研究，给出了量子行走算法在商图上的硬币算子的一个简洁、直观的计算方法，并证明了商图上的算子和原图中的Grover算子的作用都是将向量以均匀叠加态作反射.对超立方体、Jonson图等不同量子行走数据结构对应商图上的硬币算子给出了统一的解释.以上结论都基于满足置换对称性的Grover算子，对于不满足置换对称性但可能满足其他对称性的算子的分析则有待深入研究.薛希玲女,1985年出生于山东临沂.东南大学计算机科学与工程学院博士研究生.研究方向为量子行走算法及应用.李文骞男，1979年出生于江苏南京.东南大学计算机科学与工程学院博士研究生.研究方向为可逆逻辑，量子安全通信.陈汉武男,1955年出生于江苏南京.东南大学教授、博士生导师.主要研究领域为经典信息论，量子信息与量子计算，数理解析.刘志昊男,1982年出生于湖南邵阳.博士，东南大学讲师，主要从事量子信息和量子通信方面的研究.。
量子信息与量子计算
量子信息与量子计算
《量子信息与量子计算》
1、量子信息
量子信息是指利用量子效应转移和存储信息和实现信息处理的科学理论和技术，是利用量子物理系统中量子状态的熵变化，构建信息处理模型和系统，采用量子机制实现信息的输入、输出、存储、处理、变换等高级功能的科学理论和技术。
近年来，量子信息受到越来越多的关注，在量子竞速、量子加密通信、量子调谐性、量子模拟计算等研究领域取得了一些突破性进展。
2、量子计算
量子计算是一种新型的计算机技术，它利用量子特性的效应，实现信息的处理。
它的主要思想是利用量子力学的量子系统来存储和处理信息，使信息在量子系统中构建一种传输和处理模式，实现量子信息处理的功能。
量子计算机则是将这种思想应用到计算机中，将量子处理器应用于计算机中，实现将量子信息处理技术应用到计算机中的功能，开发出新一代高性能的计算机来实现信息处理。
3、量子信息与量子计算的关系
量子信息和量子计算相互依存，量子信息是量子计算的基础，量子计算则是量子信息的一种应用。
他们的关系可总结为：量子信息是一种量子物理学原理，它提供了量子计算的基础原理和技术，量子计算则是将量子信息的基础原理和技术应用到计算机中，实现量子信息的处理，构建新一代更加高效、高性能的计算机。
量子信息基础 书籍
量子信息基础书籍
关于量子信息基础的书籍有很多，以下是一些推荐的书籍：
《通信简史：从遗传编码到量子信息》
《安全简史：从隐私保护到量子密码》
《大话量子通信》
《众妙之门：走进量子信息宇宙》
《通俗量子信息学》
《为你护航：网络空间安全科普读本》
《量子光学》
《量子计算数论》
《量子信息学导论》
《量子信息处理导论》
《量子信息与量子计算简明教程》
《量子信息论》
《量子计算与量子信息原理（第一卷：基本概念）》《量子信息物理原理》
《量子信息处理技术及算法设计》
《量子信息处理技术》
《费曼物理学讲义》
《现代量子力学》
《量子力学原理》
《量子力学I》朗道
《原子物理学》杨福家
这些书籍涵盖了量子信息领域的各个方面，包括通信、安全、量子计算、量子光学等。
如果你对某个特定方面感兴趣，可以根据自己的需求选择合适的书籍进行阅读。
量子物理学中的量子信息与量子计算
量子物理学中的量子信息与量子计算量子力学是一门描述微观物理现象的学科，它解释了原子和分子的运动和相互作用。
在二十世纪中叶，科学家们发现，量子力学不仅适用于描述物理现象，还可以帮助解释信息科学领域中的问题。
这就是量子信息学（Quantum Information Science）的诞生。
与经典信息学不同，量子信息学不仅仅是用一些特殊的算法描述信息，而是用基于量子特性的物理系统来处理信息。
在量子信息学中，量子态（Quantum State）是非常重要的概念。
量子态通常表示为Dirac符号，它是一个矢量，它的长度、方向和角度都很重要。
在经典信息学中，最基本的信息单位是比特（Bit）。
比特只有两个状态，即0和1。
在量子信息学中，最基本的信息单位是量子比特，也称为“量子位”或“Qubit”。
与比特不同，在量子二进制系统中，量子能够同时处于多个状态，这被称为量子叠加（Quantum Superposition）。
而且，两个量子态之间可以相互作用并进行搭配，这也被称为量子纠缠（Quantum Entanglement）。
在量子信息学中，我们可以使用量子比特进行计算。
这被称为量子计算（Quantum Computing）。
量子计算的目的是运行能够在传统计算机上执行的任务，但更高效或更快的算法。
量子计算的效率通常是在指数级的增长，而不是在线性增长。
这意味着，在一些特定情况下，使用量子计算机可以解决其他计算机无法处理的问题。
例如，一个重要的应用是在密码学和加密中。
在传统的密码学方法中，发送的信息通过加密和解密来保护其隐私。
然而，一旦密钥被揭示，信息的安全就没有保障了。
量子计算在这一领域中可以提供更好的解决方案。
量子加密是一种保证绝对安全的加密方法，它利用量子态的纠缠特性来保护信息的隐私。
即使攻击者知道加密密钥，他们也无法获得任何有用的信息。
另一个示例是量子化学计算。
一些化学问题在经典计算机上非常难以处理。
然而，通过运行量子计算机，可以更准确地模拟这些反应。
量子信息与量子计算
量子信息与量子计算量子信息和量子计算是当今科学领域重要的研究方向之一。
量子力学的观念提供了完全不同于经典物理学的框架，在信息处理和计算领域有着巨大的潜力和应用前景。
本文将探讨量子信息的基本概念和量子计算的原理，以及目前的研究进展和未来的发展方向。
一、量子信息的基本概念量子信息是指利用量子力学的原理来存储、传输、处理和获取信息的科学和技术。
量子信息的基本单位是量子位（qubit），与经典计算中的比特（bit）相对应。
与经典比特只能表示0和1两个状态不同，量子位可以处于0和1的叠加态，这种叠加态使得量子信息具有更大的信息容量和处理能力。
量子信息的传输需要依赖量子纠缠的特性。
量子纠缠是一种紧密联系的现象，即使两个物体在空间上相隔很远，它们的状态仍然是相互关联的。
这种关联关系被称为“纠缠态”，并且能够以一种保密的方式进行量子通信。
二、量子计算的原理量子计算是利用量子力学的特性进行数据处理和计算的一种方法。
在经典计算中，信息的处理是基于比特的逻辑运算，而在量子计算中，则是基于量子位的量子门操作。
量子门操作是指对量子位进行的幺正操作，能够改变量子位的状态。
最常见的量子门是Hadamard门，它可以将一个量子位的初始状态从0或1转化为它们的叠加态。
另一个重要的量子门是CNOT门，它可以在两个量子位之间实现“比特翻转”操作，即当一个量子位为1时，可以改变另一个量子位的状态。
量子计算的优势在于它具有指数级的并行性。
在传统计算中，处理多个任务需要逐个进行，而在量子计算中，可以同时处理大量的任务，从而在一些特定的问题上获得更高的计算效率和速度。
三、研究进展与应用前景目前，关于量子信息和量子计算的研究正在不断深入和推进。
量子通信是其中的一个重要方向，包括量子密钥分发和量子隐形传态等。
量子密码学可以在安全通信中提供强大的保密性和防护性。
另一个重要的研究方向是量子模拟和优化。
量子计算的并行性可以用来模拟复杂的物理系统，如分子和量子磁体等。
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学简明教程》授课教案一、第1章：量子力学导论1.1 课程简介介绍量子力学的发展历程及其在现代物理学中的重要性。
解释量子力学与经典力学的区别和联系。
1.2 教学目标让学生了解量子力学的历史背景和发展。
让学生理解量子力学的基本概念和原理。
1.3 教学内容量子力学的历史背景和发展。
量子力学的基本概念：波函数、薛定谔方程、测量问题等。
1.4 教学方法采用讲授法，辅以案例分析、讨论等方式，帮助学生理解和掌握基本概念。
二、第2章：一维势阱与量子束缚态2.1 课程简介研究一维势阱中粒子的行为，探讨束缚态和散射态的性质。
2.2 教学目标让学生掌握一维势阱的基本性质和量子束缚态的解法。
让学生了解束缚态和散射态的区别。
2.3 教学内容一维势阱的基本性质：能级、能态、束缚态和散射态。
量子束缚态的解法：数学表达式、图形表示、解的存在性等。
2.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解一维势阱的性质。
通过实例分析，让学生掌握量子束缚态的解法。
三、第3章：势垒穿透与量子隧道效应3.1 课程简介研究在势垒作用下，粒子穿过势垒的概率问题，探讨量子隧道效应的性质。
3.2 教学目标让学生了解势垒穿透的条件和量子隧道效应的物理意义。
让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
3.3 教学内容势垒穿透的条件：入射粒子的能量、势垒的宽度、形状等。
量子隧道效应的物理意义和数学表达式。
量子隧道效应的应用：纳米技术、扫描隧道显微镜等。
3.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解势垒穿透和量子隧道效应。
通过实例分析，让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
四、第4章：哈密顿算符与量子平均值4.1 课程简介引入哈密顿算符的概念，研究量子系统的能量本征值和本征态。
探讨量子平均值的计算方法及其在实际问题中的应用。
4.2 教学目标让学生理解哈密顿算符的概念及其物理意义。
让学生掌握量子平均值的计算方法及其应用。
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学》电子教案杨子元编宝鸡文理学院物理系一、简单介绍《量子力学》在物理学中的地位与作用1．物理学课程体系中，分为基础课与专业课基础课包括力、热、光、电、原子物理专业课——四大力学：理论、热统、电动、量子力学2．大学四年中所学所有课程大多为经典物理（即十八、九世纪物理）只有在量子力学中才涉及近代物理的内容3．量子力学是从事物理教学及其研究中的一门基础专业学科（讲授意义） 二、学习中应注意的几个问题1．关于“概念”问题；量子力学中物理概念距离我们的生活越来越远，因此更加抽象。
例“波函数”概念（与经典概念比较，例“力”概念）2．克服经典物理思想的束缚，防止用经典物理方法解决量子力学问题。
例：①轨道概念在量子力学已抛弃；②K P E E E +=不再成立，而用P K E E E +=表示3．必要的数学知识：偏微分方程，勒让德多项式，贝塞尔函数，矩阵（尤其是矩阵的对角化），厄米多项式，傅里叶变换。
三、教材与参考书1．张怿慈 《量子力学简明教程》 人民教育出版社 2．曾谨言 《量子力学》上、下册 科学出版社 3．蔡建华 《量子力学》上、下册 人民教育出版社 4．梁昆淼 《物学物理方法》 人民教育出版社 5．[美]玻姆 量子理论 商务印书馆 6．大学物理（93.9—95.4） 《量子力学自学辅导》第一章 绪 论量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）运动规律的基础理论，它是本世纪二十年代总结大量事实和旧量子的基础上建立起来的，它不仅是近代物理学的基础，而且被广泛的应用于化学和电子学等领域。
在介绍量子力学之前，首先回顾一下量子力学产生的历史过程。
§1.1 经典物理学的困难一、困难1687年，牛顿的划时代巨著《自然哲学的教学原理》在伦敦出现。
当时，自然科学没有完全从哲学分划出来，而用了哲学这个名称。
牛顿经典力学的主要内容是它的三大定律，到了十九世纪末，二十世纪初牛顿建立的力学大厦远远超出了这三条定律，可以说整个经典物理的大厦已竣工。