北京市西城区2016届九年级数学上册期末考试题

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北京市西城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数 y=（x﹣5）2+7 的最小值是（） A．﹣7 B．7 C．﹣5 D． 52．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（）
（） A．30° B．60° C．xOy 中，点 A 的坐标为（﹣1，2），AB⊥x 轴于点
B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 2 倍，得到△OA1 B1 ，且点 A
1
在第二象限，则点 A1 的坐标为（）
A．（﹣2，4） B．（，1） C．（2，﹣4） D．（2，4） 7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处．这时， B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（）
21．某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？
22．已知抛物线 C1 ：y1 =2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点．（1）求 k 的值；（2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 ：2y =2（x+12）﹣4k ？请写出具体的平移方法；（3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 2C ：2y =2（x+21﹣）4k 上，且 n ＜t，直接写出 m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ．点 C，E 分别在⊙O 上，且 OC⊥ AB 于点 D，∠E=30°，连接 OA．

精选北京市西城区九年级上期末考试数学试题

北京市西城区度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（）. A.(4,5)-，开口向上 B.(4,5)-，开口向下 C.(4,5)--，开口向上 D.(4,5)--，开口向下 4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（）. A.48π B.24π C.4π D.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（）. A.m ≤4 B.<4m C. m ≥4- D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内， 4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1212回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ） 0 0.5 h （m ）8.75（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线ky x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。

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北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只．有一个．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A ．2-B ．1-C ．1D ．2 2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B 等于A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5，CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是 A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，那么△AOB 的面积等于．10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ，如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于．12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒． 14．解方程：2410x x -+=．15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=，求弦CD 的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''．（1）在正方形网格中，画出△AB C ''；（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．（1）求证：△EBF ∽△FCD ；（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．（1）请依题意补全图形；（2）求证：AOC DBC ∠=∠；（3）求BMBC的值．22．已知抛物线C ：2=23y x x +-.（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ；（2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与 x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ．（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式；（2）求点E 的坐标；（3）求证：BAE ACB ∠=∠．24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 的对应点为Q ，线段P A 的长为m （0m >）．（1） ①QBC ∠= ︒；② 如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于；（2）当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△P AQ 时，求m 的值．25．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于 MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ．（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于；（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值；（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末九年级数学试卷参考答案及评分标准2015.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．3． 10.28． 11.415． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 23tan30cos 452sin60︒+︒-︒2322⎛=- ⎝⎭ ……………………………………………………… 3分 121.2= ………………………………………………………………………………… 5分 14．解：2410x x -+=．∵ 1a =，4b =-，1c =， ……………………………………………………… 1分∴ 224(4)41112b ac -=--⨯⨯=．……………………………………………… 2分∴ x == ……………………………………………… 3分2==∴ 原方程的解是12x =22x =-…………………………………… 5分15．解：连接OC ．（如图1）∵ PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分∵ 21tan =∠CPO ， ∴ 1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．……………3分设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >）∵ ⊙O的半径等于 ∴=3k =．∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分16．（1）画图见图2． …………………………… 2分（2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．…………………… 3分线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．……………………………………… 4分 ∴ 221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形． …………………………………… 5分所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分整理，得 210024000a a -+=．可得 (40)(60)0a a --=．解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）．当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分（2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分∴ 2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．………………………………………………3分整理，得 2340a -=．解得a =．…………………………………………………………… 5分综上，0a =或a =．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴ ∠P AC=∠APB ．∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.42PC PB PBC =⋅∠=⨯=≈346（米）．………………4分答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分 20．（1）证明：如图4．∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG ．又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分 ∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分（2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，∴ CF =9，15DF ==．由（1）得BE CFBF CD=． ∴ 399124BF CF BE CD ⨯⨯===． …………………………………………… 3分∴154GH FG EF ====．……………………………………4分454DG DF FG =-=． ∴ 1tan 3GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分（2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分又∵2AOC ABC ∠=∠，∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分（3）解：∵，∴ ∠A =∠D ．又∵ AOC DBC ∠=∠，∴ △AOE ∽△DBM ．分BF=BF∴OE BMOA BD=． ∵ 3OC OE =，OA =OC ， ∴13BM OE OE BD OA OC ===． ∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴ BC =BD ． ∴13BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分画图象见图6．……………………………………………………………… 3分（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0） ∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-，∴ 3422a -=-．解得 18a =．∴ 221113(2)28822y x x x =+-=+-．……… 5分∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数my x =（m 为常数）的图象G 上，∴ 1212m =⨯=．………………………………………………………………1分∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=．设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．∵ 直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴ 12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ………… 3分 ∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴ E C y y =．∴ 点E 的坐标为3(,2)2E -．………………………………………………… 4分（3）如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠．∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C--，3(,2)2E -，∴ 点F 的坐标为1(,2)2F -．∴ CF =EF ． ∴ AC =AE ．∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分∵ 点(3,)B n 在图象G 上，∴ 13n =，∴ 1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt △ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-，在Rt △BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH ∠=∠．∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分24．解：（1）①QBC ∠= 90︒；………………………………………………………………1分② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于．……………………………… 2分（2）所画图形见图8．………………………… 3分 m =4分（3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．∵ CA ⊥直线l ，∴ ∠CAP =90︒．易证四边形ADFG 为矩形．∵ 等边三角形ABC 的边长为4， ∴ ∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ， ∴ △ACP ≌△BCQ ．∴ AP = BQ = m ，∠P AC =∠QBC =90︒． ∴ ∠QBF =60︒．在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ， ∴QF =．…………………………………………………………… 5分要使△P AQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得0m <<Q 在直线l 的下方． ∴2DQ DF QF =-=．∵12APQ S AP DQ ∆=⋅=，∴1(2)2m =．240m -+=．解得1m =或2m =经检验，m =0m << 7分② 如图10，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得m >Q 在直线l 的上方． ∴ 2DQ QF DF =--．∵124APQ S AP DQ ∆=⋅=， ∴.12)2m -=．整理，得2330m --=．解得 m （舍负）．经检验，m =在m >8分综上所述，m =32132+时，△P AQ ．25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252．…………………………………2分（2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交OB 于点D ，作BK ⊥x 轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=． ∴ OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴ 13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．……………………………………… 3分∴ 1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．……………………………………… 4分（3）∵ 抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩∴ 抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．………………………5分如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作QN ∥x 轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5，则215222QH n m m ==-++．同（2）得 4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴ 43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴ 434(,)5555d Q AOB QG QH m n n ∠=+=-+=24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（215）． ………………………………………………………… 6分此时点Q 的坐标为5(4,)2．…………………………………………………7分。

第一学期期末九年级数学试题参考答案

北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24(2-………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=……………………………………2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分………………………………………5分19．解：（1）令0=y，则2230x x-++=．解得11-=x，32=x．………………………………………………………1分∵点A在点B的左侧，∴A（1-，0），B（3，0）．…………………………………………………2分对称轴为直线1=x ． …………………………………………………………3分（2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）． …………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=． ………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ． ……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ． ……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=． …………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10． ………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=． …………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =． …………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =． ……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=． ……………………………………………………1分解得 2k =． …………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ． …………………………………………………………………4分（3）31m -<<． ……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∵AB= ∴AD=∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°． ………………………………………………………………2分 ∵在Rt △AOD 中，∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4． ………………………………………………3分（2）∠BAF =75°或15°． ……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°， ∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ． ……………………………1分设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan58xo． ………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan58xo+90=x ． ……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240． …………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240米． 25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ． ……………………………1分 ∴∠PCO =∠1+∠2=90°． ∵PD ⊥AB 于点D ， ∴∠EDA =90°． ∴∠A +∠3=90°．图1∴∠A =∠1． ∴∠2=∠3． ∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ． …………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．3分 ∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4， ∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ， ∴FC=12……………………………………………………………4分 ∠PFC =90°． ∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°． ∴∠A =∠5． ∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255． ……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >． ……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等，∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =．∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-． ………………………………2分（2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，∴2153222x x x -+=-+-．解得 12x =，25x =． ………………3分 ∴交点坐标为（2，1），（5，2-）． ∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）． ∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB=2． …………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形． ………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点， ∴MA = MC ．∴四边形ABCN 是平行四边形． ……6分∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，当0y =时，3x =． ∴点E 的坐标为（3，0）． ∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°． ∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形． ……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2 ②结论：（1 AN ⊥DE ．∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ． 4分在Rt △AND 中，ANAD =cos ∠DAN ．在Rt △ACB 中，ACAB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点，∴AB =2AM ．∴22AC AC AB AM ==．∴AM AC ． ∴AN AD =AMAC． ∴△ANM ∽△ADC ． ∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN =90°．∴NM ⊥AB ． ………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时， ……………………………7分 29．解：（1）所得图形，如图1所示． ……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分（3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ． ∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ， ∴MQ ⊥OQ ． ∴∠MQO =90°． ∵MO =2，MQ =1，∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ．∴∠MOQ =30°．∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3． ∵QH ⊥x 轴， ∴∠QHO =90°． ∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°， ∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23． …………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线， ∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°． ∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ． ∵PN ∥x 轴，图2∴∠NPD =∠PDO ． ∴∠OPD =∠PDO ． ∴OP =OD ． ∵OF ⊥PD ， ∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MF MOMO MD=，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x+=+．解得34x -±=．∵0x >，∴x =． ∵PE ⊥OD ， ∴∠PED =90°=∠MOD ． ∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MOMF PD PE =． ∴PD MO MFPE ⋅==122x x +⋅ (1)x x =+…………………………………………………………7分．可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P32P y <． ………………………………8分。

12.2016-2017学年第一学期初三数学期末试题答案 - 西城

北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2017.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=4×··············································· 4分············································································· 5分18．（1）证明：∵等边△ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB =∠DAC．∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB =∠ADC． ····························································· 3分（2）解：∵∠DAE =60°，AE =AD ，∴△EAD 为等边三角形． ∴∠AED =60°，又∵∠AEB =∠ADC =105°．∴∠BED =45°． ·······································19．解：（1）y =x 2+4x +3=x 2+4x +22-22+3=(x +2)2-1 ··········································································· 2分（2）列表：·················································（3）答案不唯一，如：当x ＜-2时，y 随x 的增大而减小，当x ＞-2时，y 随x 的增大而增大.······················································································· 5分20．（1）证明：∵CE=CD ，∴∠CDE =∠CED . ∴∠ADB =∠CEA . ∵∠DAC =∠B ，∴△ABD ∽△CAE . ····························· 3分（2）解：由（1）△ABD ∽△CAE ，∴BDAB =. ∵BD =2， ∴ ············································································· 5分 21．解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm ． ················································ 1分由题意，得(30-2x )(20-2x )=264．··················································· 3分整理，得x 2-25x + 84=0．解方程，得14x =，221x =（不符合题意，舍去）． ······································· 4分答：剪掉的正方形的边长为4cm ． ·························································· 5分 22．解：（1）本题答案不唯一，如：以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图所示.∴A (-4，0),B (4，0),C （0，6）．设这条抛物线的表达式为(4)(4)y a x x =-+．∵抛物线经过点C ， ∴－16a =6． ∴38a =-．∴抛物线的表达式为2368y x =-+(-4≤x ≤4)． ·························· 4分（2）当x =1时，458y =． ∵4.4+0.5=4.9＜458， ∴这辆货车能安全通过这条隧道. ··········································· 5分23．（1）证明：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，即∠1+∠3=90°． ∵OA =OC ， ∴∠1=∠2．∵∠DCB =∠BAC =∠1． ∴∠DCB +∠3=90°． ∴OC ⊥DF ．∴DF 是⊙O 的切线． ·························································· 2分（2）解：在Rt △OCD 中，OC =3，sinD=35． ∴OD =5，AD =8． ∵弧CE=弧CB ， ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠4．∴OC ∥AF ． ∴△DOC ∽△DAF .∴OC ODAF AD=． ∴245AF =． ··········································································· 5分24．本题答案不唯一，如：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺等； ····（2）设CD 需要测量的几何量如下：①在点A ，点B 处用测角仪测出仰角α，β；②测出A ，B 两点之间的距离s ； ···········（3）求解思路如下：a ．设CD 的高度为x m ．在Rt △DBC 中，由∠DBC =β，可得tan xBC β=；同理，在Rt △DAC 中，由∠DBC =α，可得tan xAC α=； b ．由AB =AC –BC 得tan tan x x s αβ=-，x 可求． ························· 5分 25．（1）证明：∵直径DE ⊥AB 于点F ，∴AF =BF ．∴AM =BM ． ······································································· 2分（2）连接AO ，BO ，如图．由（1）可得 AM =BM ， ∵AM ⊥BM ，∴∠MAF =∠MBF =45°． ∴∠CMN =∠BMF =45°． ∵AO =BO ，DE ⊥AB ， ∴∠AOF =∠BOF AOB ． ∵∠N =15°，∴∠ACM =∠CMN +∠N =60°．即∠ACB =60°．∵∠ACB AOB ． ∴∠AOF =∠ACB =60°． ∵DE =8， ∴AO =4．在Rt △AOF 中，由sin AFAOB AO∠=，得AF=在Rt △AMF 中，AM =BM=．在Rt △ACM 中，由tan AMACM CM∠=，得CM= ∴BC =CM + BM=······················································ 5分26．解：（1）补全表格如下：······················································································· 3分（2）解：设一元二次方程()22340m x m x m -+-=对应的二次函数为：()2234y x m x m =-+-，∵一元二次方程()22340mx m x +--=有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1， ∴240(1)(23)(1)40m m m -<⎧⎨--+⋅-->⎩解得02m <<．∴m 的取值范围是02m <<． ··············································· 5分27.解：（1）抛物线y = -x 2+mx +n 的对称轴为直线x =-3，AB =4. ∴ 点A （-5，0），点B （-1，0）.∴抛物线的表达式为y = -(x + 5) ( x + 1)∴y = -x 2 -6x -5. ······································································· 2分（2）依题意，设平移后的抛物线表达式为：y = -x 2+bx .∴抛物线的对称轴为直线2bx =，抛物线与x 正半轴交于点C （b ，0）. ∴b > 0.∵△OCP 是等腰直角三角形，∴点P 的坐标（2b ，2b ）. ∴ 2()()222b b b b =-+.解得 b = 2.∴点P 的坐标（1，1）. ··························································· 5分（3）当m =4时，抛物线表达式为：y = -x 2+4x +n .∴抛物线的对称轴为直线x =2.∵点M （x 1，,y 1）和N （x 2，,y 2）在抛物线上，且x 1< 2 ，x 2>2，∴点M 在直线x =2的左侧，点N 在直线x =2的右侧. ∵x 1+ x 2> 4， ∴2-x 1<x 2- 2.∴点P 到直线x =2的距离比点M 到直线x =2的距离比点N 到直线x =2的距离近，如图所示.∴y 1>y 2. ························································································· 7分 28．解：（1）证明：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的中线． ∴CD =21AB ．在△ABF 中，点M ，N 分别是边AF ，BF 的中点， ∴MN =21AB ，∴CD = MN ． ································································· 2分（2）答：CN 与EN 的数量关系CN = EN ，CN 与EN 的位置关系CN ⊥EN ． ········································ 3分证明：连接EM ，DN ，如图．与（1）同理可得CD = MN ，EM = DN ．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 边上的中线，∴CD ⊥AB ．在△ABF 中，同理可证EM ⊥AF ． ∴∠EMF =∠CDB = 90︒．∵D ，M ，N 分别为边AB ，AF ，BF 的中点， ∴DN ∥AF ，MN ∥AB ．∴∠FMN =∠MND ，∠BDN =∠MND ． ∴∠FMN =∠BDN ．∴∠EMF +∠FMN =∠CDB +∠BCN ． ∴∠EMN =∠NDC ． ∴△EMN ≌△DNC ． ∴CN = EN ，∠1 =∠2． ∵∠1 +∠3 +∠EMN = 10︒， ∴∠2 +∠3 +∠FMN = 90︒．∴∠2 +∠3 +∠DNM = 90︒，即∠CNE = 90︒．∴CN ⊥EN ． ································································ 5分（3）EN 的最大值为22b a +，最小值为22ba -. ································· 7分 29．解：（1）①90︒，60︒． ········································································ 2分②本题答案不唯一，如：B (0，2).·············································· 3分（2）解：①∵直线l : y =kx +b （k >0）经过点D （1-，0），∴(1)0k b -+=.∴b k =-.∴直线l: y kx k=+-.对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥x轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，可求得点P的坐标（1，3）．进而求得k ······················································································· 6分（3）圆心C的横坐标x C的取值范围是1133Cx-+<<．······················································································· 8分。

2016西城区初三(上)期末数学

2016西城区初三（上）期末数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．（3分）我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（）A．2 B．8 C． D．4．（3分）将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5）B．（，5）C．（3，5）D．（3，6）6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°7．（3分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A．5 B．C．3 D．8．（3分）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．（3分）当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（）A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2010．（3分）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），则a的取值范围是（）A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜D．＜a＜二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．（3分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．（3分）如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）与抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．（3分）考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写出作图的依据：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．（5分）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．（5分）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．（5分）测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．25．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM=BM ；（2）若AM ⊥BM ，DE=8，∠N=15°，求BC 的长．26．（5分）阅读下列材料：有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x 2+bx +c=0（a ＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a ，b ，c 满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ＞0）对应的二次函数为y=ax 2+bx +c （a ＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a ，b ，c 满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx 2﹣（2m +3）x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．27．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x 2+mx +n 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若△OCP 是等腰直角三角形，求点P 的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2），若x 1＜2，x 2＞2，x 1+x 2＞4，试判断y 1与y 2的大小，并说明理由．28．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN 最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】∵y=（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．【解答】∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．故选D．5．【解答】∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴=，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．6．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．【解答】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+（r﹣1）2，r=，故选D．8．【解答】图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．【解答】AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．【解答】根据图象得：a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】根据题意得△=（﹣2）2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．【解答】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．【解答】∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为：3．14．【解答】∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为：0≤x≤3．15．【解答】∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．【解答】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【解答】原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．【解答】（1）y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．20．【解答】（1）证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）解：由（1）△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．【解答】设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．22．【解答】（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．【解答】（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．【解答】（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．【解答】（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；（2）连接AO，BO，如图，由（1）可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．【解答】（1）补全表格如下：故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，，；（2）解：设一元二次方程mx 2﹣（2m +3）x ﹣4m=0对应的二次函数为：y=x 2﹣（2m +3）x ﹣4m ， ∵一元二次方程mx 2+（2m ﹣3）x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．【解答】（1）抛物线 y=﹣x 2+mx +n 的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点 A （﹣5，0），点B （﹣1，0）．∴抛物线的表达式为y=﹣（x +5）（ x +1）∴y=﹣x 2﹣6x ﹣5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=﹣x 2+bx ．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x 正半轴交于点C （b ，0）． ∴b ＞0．记平移后的抛物线顶点为P ，∴点P 的坐标（，﹣+）， ∵△OCP 是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=180°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由（2）知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即：EN的最大值为，最小值为．29．【解答】（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．∵A（1，1），⊙O的半径为1，∴四边形AEOF是正方形，∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°，设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N．在Rt△POM中，∵PO=2OM，∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°，∴∠MPN=60°，∴直线y=2关于⊙O的“视角”为60°，故答案分别为90°，60°．②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，∴B（0，2），根据对称性点B得到坐标还可以为（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本题答案不唯一）（2）解：①如图1中，∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），∴（﹣2+1）k+b=0，∴b=2k﹣k，∴直线l：y=kx+2k﹣k，对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点．∴CP⊥直线l．则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作CH⊥x轴于点H，∴点H的坐标为（1，0），∴DH=．∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，可求得点P的坐标（﹣+1，3）．∴3=（﹣+1）k+2k﹣k，∴k=．②如图2中，当⊙C与直线y=x+相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，∵直线y=x+与x轴的交点为A（﹣1，0），与y轴的交点为（0，），∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∵PC⊥AP，在Rt△APC中，PC=1，∴AC=PC÷cos30°=，∴OC=﹣1，如图3中，设直线y=x+关于⊙C的“视角”为120°，作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切线，E、F是切点，则∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=，在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=，∴OC=﹣1=，∴直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°时，圆心C的横坐标x C的取值范围﹣1＜x C＜．。

北京市西城区届九级上期末数学试卷含答案解析

2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（）A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A （1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5） B．（，5）C．（3，5） D．（3，6）6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°7．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA ．若AB=4，CD=1，则⊙O 的半径为（）A ．5B ．C ．3D ．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm ，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A ．9280mmB ．6280mmC ．6140mmD ．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m ，树高h （单位：m ）的范围是（）A ．3＜h ＜5B ．5＜h ＜10C ．10＜h ＜15D ．15＜h ＜2010．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y=ax 2+bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3），则a 的取值范围是（）A ．a ＜0B ．﹣3＜a ＜0C ．a ＜D ．＜a ＜二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数y=x 2﹣2x +m 的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）的抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）交于点A （0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写出作图的依据：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）对应的二次函数为y=ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（）A．2 B．8 C． D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A （1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（）A．（2，5） B．（，5）C．（3，5） D．（3，6）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），∴=，∵A（1，2），∴C（，5）．故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（）A ．5B ．C ．3D ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O 的半径为r ，在Rt △ACO 中，根据勾股定理列式可求出r 的值．【解答】解：设⊙O 的半径为r ，则OA=r ，OC=r ﹣1， ∵OD ⊥AB ，AB=4， ∴AC=AB=2，在Rt △ACO 中，OA 2=AC 2+OC 2， ∴r 2=22+（r ﹣1）2， r=，故选D ．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm ，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（）A ．9280mmB ．6280mmC ．6140mmD ．457mm 【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解：图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm ．故选C ．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m ，树高h （单位：m ）的范围是（）A ．3＜h ＜5B ．5＜h ＜10C ．10＜h ＜15D ．15＜h ＜20【考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解：AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），则a的取值范围是（）A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=（﹣2）2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF ∥BC（写出一个即可）【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为：3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）的抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）交于点A （0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为：0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解：解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写出作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】（1）直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；（2）利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；（2）利用描点法画出二次函数图象；（3）利用二次函数的性质求解．【解答】解：（1）y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=（x+2）2﹣1；（2）列表：如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．（2）由（1）△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】（1）证明：∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）解：由（1）△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）．设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．（2）当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：（1）写出所使用的测量工具；（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下：①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；（3）设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；（2）连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM ；（2）连接AO ，BO ，如图，由（1）可得 AM=BM ， ∵AM ⊥BM ，∴∠MAF=∠MBF=45°， ∴∠CMN=∠BMF=45°， ∵AO=BO ，DE ⊥AB ， ∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN +∠N=60°，即∠ACB=60°， ∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°． ∵DE=8， ∴AO=4．在Rt △AOF 中，由，得AF=，在Rt △AMF 中，AM=BM==．在Rt △ACM 中，由，得CM=，∴BC=CM +BM=+．26．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x 2+bx +c=0（a ＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a ，b ，c 满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程： ①设一元二次方程ax 2+bx +c=0（a ＞0）对应的二次函数为y=ax 2+bx +c （a ＞0）； ②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a ，b ，c 满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；（2）根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）补全表格如下：故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，，；（2）解：设一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0对应的二次函数为：y=x2﹣（2m+3）x﹣4m，∵一元二次方程mx2+（2m﹣3）x﹣4=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，∴解得0＜m＜2．∴m的取值范围是0＜m＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A（﹣5，0），点B（﹣1，0）．∴抛物线的表达式为y=﹣（x+5）（x+1）∴y=﹣x2﹣6x﹣5．（2）如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，﹣+），∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由（2）知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即：EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2+1，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．点A关于⊙O的“视角”就是两条切线的夹角．∠MPN就是直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，根据对称性即可推出点B坐标．（2）①对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点，推出CP⊥直线l，则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥x轴于点H，想办法求出点P坐标即可解决问题．②如图2中，当⊙C与直线y=x+相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，想办法求出点C坐标，如图3中，设直线y=x+关于⊙C的“视角”为120°，求出此时的点C坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．∵A（1，1），⊙O的半径为1，∴四边形AEOF是正方形，∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°，设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N．。

北京市西城区届九年级上学期期末考试数学试题(WORD版-有答案)

北京市西城区2０１7-2０18学年度第一学期期末试卷ﻩ九年级数学 2０18.1一、选择题(本题共１6分，每小题2分）１. 如图,在Rt △ABC 中,∠AC Ｂ＝9０°,如果ＡＣ=3，AB =5，那么ｓin B 等于（ )．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ,2y 的大小关系是（）.Ａ.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（）. Ａ．(4,5)-,开口向上Ｂ.(4,5)-，开口向下 C.(4,5)--,开口向上 D.(4,5)--,开口向下4.圆心角为60︒，且半径为1２的扇形的面积等于( ）.A ．48π B.24π C.4π Ｄ.2π 5．如图，A Ｂ是⊙O 的直径,CD 是⊙Ｏ的弦，如果∠A ＣD =34°,那么∠BAD 等于（ ). A.3４°ﻩ Ｂ.4６° C.56° Ｄ．66° 6．如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么ｍ的取值范围是( ). A ．m ≤4 Ｂ.<4m C. m ≥4- D.>4m - ７.如图，点P 在△ABC 的边ＡＣ上,如果添加一个条件后可以得到 △A ＢＰ∽△AC Ｂ,那么以下添加的条件中,不．正确的是（ )． A ．∠ＡBP =∠C Ｂ.∠ＡＰB =∠ＡＢC Ｃ.2AB AP AC =⋅ D.AB ACBP CB=8．如图,抛物线32++=bx ax y (a ≠０)的对称轴为直线1x =, 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为( ）.A.4- Ｂ.2- C.1 D. 3 二、填空题(本题共1６分，每小题2分)9．抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .ﻩ１0．如图，在△ABC 中,Ｄ,E 两点分别在AB ,AC 边上,DE ∥ＢC , 如果23=DB AD ,ＡC =1０，那么EC = ．11. 如图,在平面直角坐标系ｘOy 中,第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点Ｃ，ＰD ⊥x 轴于点Ｄ,那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图,直线1y kx n =+(ｋ≠０)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0）分别交于(1,0)A -,(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图,⊙Ｏ的半径等于4,如果弦ＡB 所对的圆心角等于120︒,那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2０１７年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了,我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中,中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中,两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布,大桥主跨ＢD 的中点为E ,最长的斜拉索C Ｅ长577 ｍ,记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α,那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨B Ｄ长的表达式应为ＢＤ= (ｍ) .１５.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点Ｃ,与x 轴交于Ａ,B 两点,其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交ｘ轴于点Ｄ，CE ∥ＡＢ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论:①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图,⊙O 的半径为３,A ,P 两点在⊙O 上,点Ｂ在⊙Ｏ内, 4tan 3APB ∠=,AB AP ⊥．如果ＯB ⊥OP ,那么O Ｂ的长为 .三、解答题(本题共６8分,第17-20题每小题5分,第21、2２题每小题6分,第2３、24题每小题5分,第２5、2６题每小题6分,第２７、28题每小题７分) 1７.计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒.18.如图，ＡB ∥CD ,ＡC 与BD 的交点为Ｅ，∠ABE=∠ACB .(1)求证：△AB Ｅ∽△A ＣB ;（2)如果ＡＢ=6，AE=4，求A Ｃ，CD 的长.1９．在平面直角坐标系ｘＯy 中,抛物线1C ：22y x x =-+.(1)补全表格(2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ,请画出抛物线1C ,2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍.20.在△ABC 中,AB=AC=２，45BAC ∠=︒．将△A ＢC 绕点A 逆时针旋转α度(０<α＜18０)得到△AD Ｅ,Ｂ，C 两点的对应点分别为点Ｄ,E ，BD ，CE 所在直线交于点F . (1)当△ABC 旋转到图1位置时，∠ＣAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒;(２)当α=４5时,在图2中画出△AD Ｅ,并求此时点A 到直线ＢE 的距离．2１.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h （m)与它的飞行时间ｔ（s ）满足二次函数关系，t 与ｈ的几组对应值如下表所示．ｔ（s ）０ 0.5 1 1．5 2 … h (m ）０ 8．７5 15 18.75 20…（1）求与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）; (2)求小球飞行３ｓ时的高度;(3）问:小球的飞行高度能否达到２2 m ？请说明理由．２2．如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，双曲线ky x=(k ≠0)与直线12y x =的交点为(,1)A a -,(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为１,直线P A ，P Ｂ与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN . (１)直接写出a ,k 的值;（2)求证：P Ｍ=ＰN ，PM PN ⊥．23．如图,线段ＢC 长为1３,以C 为顶点，C Ｂ为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点Ａ落在α∠的另一边l 上,且满足4sin 5A =．求△AB Ｃ的高BD 及ＡＢ边的长，并结合你的计算过程画出高ＢD 及AB 边.(图中提供的单位长度供补全图形使用）24.如图，A Ｂ是半圆的直径,过圆心Ｏ作ＡB 的垂线，与弦ＡＣ的延长线交于点Ｄ,点Ｅ在ＯD 上,=DCE B ∠∠. （1)求证：ＣＥ是半圆的切线;（2）若CD=10,2tan 3B =,求半圆的半径.25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-(ａ为常数). （１)当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； (２）若记抛物线Ｇ的顶点坐标为(,)P p q .①分别用含a 的代数式表示p ,q ;②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ;③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化,但点P 总落在的图象上.A ．一次函数Ｂ．反比例函数 C.二次函数（3）小明想进一步对(２)中的问题进行如下改编:将(2）中的抛物线G 改为抛物线Ｈ:22y x ax N =-+(a 为常数),其中Ｎ为含a 的代数式，从而使这个新抛物线Ｈ满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线Ｈ的函数表达式：(用含a 的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数,k ≠0）中,k= ,b= .２6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Ｍ:2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（１)求抛物线M 的函数表达式；(２)设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转１80°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ;②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时,结合函数的图象,求t 的取值范围.27．如图1，在Ｒｔ△AOB 中,∠AO Ｂ＝９0°,∠OAB =３0°，点C 在线段O Ｂ上,OC =２ＢC ,AO 边上的一点Ｄ满足∠OCD =３0°.将△OC Ｄ绕点O 逆时针旋转α度(９０°<α<１8０°）得到△OC D ''，Ｃ,Ｄ两点的对应点分别为点C '，D ',连接AC ',BD ',取AC '的中点Ｍ,连接OM ．（1)如图２,当C D ''∥ＡB 时,α= °,此时ＯM 和BD '之间的位置关系为； (2)画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系,并加以证明．２8.在平面直角坐标系xO ｙ中，A ，Ｂ两点的坐标分别为(2,2)A ,(2,2)B -.对于给定的线段AB 及点Ｐ,Q ,给出如下定义：若点Ｑ关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ＡＢＰ的内部（不含边界)，则称点Ｑ是点Ｐ关于线段A Ｂ的内称点． (1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -,2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____＿__＿＿__＿; ②若点Ｍ在直线1y x =-上,且点M 是点Ｐ关于线段ＡB 的内称点,求点Ｍ的横坐标M x 的取值范围；（２）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ,若点Ｅ是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线ＤＥ与⊙C 相切,求半径r 的取值范围.。

北京市西城区九年级上学期期末考试数学试题(含答案).doc

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。

2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2015-2016学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.二次函数y=（x-5）2+7的最小值是（）A. B. 7 C. D. 52.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A.B.C.D.3.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A. 12B.C.D.4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=（x-h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.5.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A.B.C.D.7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A. 40海里B. 海里C. 海里D. 海里8.如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A.B.C.D.9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A. B.C. D.10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若，则的值为______．12.点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．14.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=116.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22.已知抛物线C1：y1=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．23.如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sin A=，求PC的长．26.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（-3，-1）两点．观察图象可知：①当x=-3或1时，y1=y2；②当-3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x-1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为______；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4＞0的解集为______．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=-x+3与二次函数y=-+bx+c 的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=-+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．28.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=______，NM与AB的位置关系是______；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小29.在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为______°；②自点A（-1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=（x-5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选B．根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-，函数最大值y=．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】C【解析】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选：C．连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．4.【答案】C【解析】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=（x-3）2-4，故选：C．运用配方法把一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵点A的坐标为（-1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1的坐标为（-2，4）．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选：C．根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60-x）（300+20x），故选：B．根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，令y=0，则2x2-8x-42=0，解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．12.【答案】＞【解析】解：当x=-3时，y1=x2-5x=24；当x=2时，y2=x2-5x=-6；∵24＞-6，∴y1＞y2．故答案为：＞．分别计算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15.【答案】102+（x-5+1）2=x2【解析】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x-5+1）2=x2．故答案为：102+（x-5+1）2=x2．设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16.【答案】直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．17.【答案】解：原式=4××-（）2=6-=．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC-BD=15-6=9，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19.【答案】解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3．则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，-4）．AB=3-（-1）=4，CD=4-（-4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【解析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．20.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【解析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21.【答案】解：设人行道的宽度为x米，由题意得，2××（8-2x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.【答案】解：（1）根据题意得：△=16-8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2-4x+2=2（x-1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2-8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2-8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2-8中，令y=0，解得：x=1或-3．则当n＜t时，即2（x+1）2-8＜0时，m的范围是-3＜m＜1．【解析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△=0，据此即可求得k的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；（3）首先求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．23.【答案】解：（1）∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，则∠BAF′=∠OAF′-∠OAB=15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【解析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24.【答案】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【解析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25.【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．∴∠AED=∠B．∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB=10，sin A=，∴BC=AB•=6．∴AC==8．∵DE=，sin A=，∴AE=．∴EC=AC-AE=8-=．∵PC=PE，PF⊥EC，∴EF=．∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP=．∴PC=．【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．26.【答案】±1和-4；x＞1或-4＜x＜-1【解析】解：（2）；（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4．则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4．故答案是：±1和-4；（4）不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，此时x的范围是：x＞1；当x＜0时，x2+4x-1＜，则-4＜x＜-1．故答案是：x＞1或-4＜x＜-1．（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（3）根据图象即可直接求解；（4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案．本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，分成两种情况讨论是本题的关键．27.【答案】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y=-x2+x-2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，-2）．由勾股定理，得AB==；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∵M是线段AC的中点，∴MA=MC.∴四边形ABCN是平行四边形．一次函数y=-x+3的图像于x轴交于点E.当y=0时，x=3.∴点E的坐标为（3，0）∴DE=1=DB.在Rt BDE中，DBE=DEB=45同理DAB=DBA=450∴ABE=DBA+DBE=900∴四边形ABCN是矩形.【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．28.【答案】；垂直；BD为6，ME最小为7.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴AD==2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∵N为ED的中点，∴AN=DE=，∵M为AB的中点，∴AM=AB=2，∵=，==，∴，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，同理=，∴，∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，MB=2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是7．（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29.【答案】45；（-，【解析】解：（1）答案如图：（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光与切线的夹角为45°．②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，∴入射光线与反射光线夹角为150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（-，）．（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1-（2-m）2，∴PO2=m2+1-（2-m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2-m2，∴OC=PN+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2-m2=（+）2，∴m1=2-，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．（3）当反射光线平行X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．这是个几何，代数综合题．考查的知识点比较多，用到数形结合的思想，要求作图能力强，学会用方程的思想去思考．。

2016年北京各区初三上期末几何综合及答案

2016年初三上期末数学汇编——几何综合CBACBAEDCBA1、DC 已知：在等边△ABC 中， AB= D ，E 分别是AB ，BC 的中点（如图1）．若将△BDE 绕点B 逆时针旋转，得到△BD 1E 1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE 1与AD 1的交点为P ．（1）判断△BDE 的形状；（2）在图2中补全图形，图1①猜想在旋转过程中，线段CE 1与AD 1的数量关系并证明； ②求∠APC 的度数；（3）点P 到BC 所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）图2 备用图2、XC 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________；（2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图3、HD （1）如图1，△ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD .若AC =2， BC =1，则△BCD 的周长为；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长.①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图3中补全图形，求EOF ∠的度数； ③若89AF CE=，则OF OE的值为 .6、SJS 在正方形ABCD 中，DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线，点G 在线段AD 上，过点G 作PG ⊥DE于点P ，连接CP ，过点D 作DQ ⊥PC 于点Q ，交射线PG 于点H ．（1）如图1，若点G 与点A 重合.①依题意补全图1；②判断DH 与PC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点H 恰好在线段AB 上，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写．．．．出计算结果．．．．．）．图1 图28、CP 已知，点O 是等边△ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC .（1）如图1，已知∠AOB =150°，∠BOC =120°，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC . ①∠DAO 的度数是；②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB =α，∠BOC =β.①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为1，直接写出OA+OB+OC 的最小值.ABCDABCO 图1图29、TZ 王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第31页遇到这样一道题：如图1，在△ABC 中，P 是边AB 上的一点，联结CP .要使△ACP ∽△ABC ，还需要补充的一个条件是____________，或_________. 请回答：（1）王华补充的条件是____________________，或_________________. （2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在△ABC 中，∠A=30°，AC 2= AB 2+AB.BC. 求∠C 的度数．ABC图2图1PCBA10、FS在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处（如图1）．图1 图2（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接,OP、OA．已知△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN、 PA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M、N在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由．11、HR如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=21秒时，则OP= ，S△ABP= ；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E.试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．答案PBPAO1、DC2、XC28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3 ②结论：（1）中NM 与AB 证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ， ∴∠CAB =∠B =45°． ∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ， ∴AD =AE ，∠DAE =90°．AN ⊥DE ．∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ． 4分在Rt △AND 中，ANAD=cos ∠DAN在Rt △ACB 中，ACAB=cos ∠CAB∵M 为AB 的中点，∴AB =2AM ．∴2AC AC AB AM ==．∴AM AC =． ∴AN AD =AMAC． ∴△ANM ∽△ADC ． ∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN =90°．∴NM ⊥AB ． ………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时， ……………………………7分3、HD （本小题满分8分）解：（1）3； ………………………………1分（2）①如图，△EDF 即为所求； ………………………………3分②在AD 上截取AH ，使得AH =DE ，连接OA 、OD 、OH . ∵点O 为正方形ABCD 的中心，∴OA OD =，90AOD ∠=︒，1245∠=∠=︒. ∴△ODE ≌△OAH . ………………………………4分 ∴DOE AOH ∠=∠，OE OH =. ∴90EOH ∠=︒.∵△EDF 的周长等于AD 的长， ∴EF HF =. ………………………………5分 ∴△EOF ≌△HOF .∴45EOF HOF ∠=∠=︒. ………………………………6分………………………………8分4、CY5、FT6、SJS （1）①依题意补全图1 (1)② DH=CP (2)证明：∵DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线∴∠1=∠2=45° ∵PG ⊥DE 于点P ∴∠3=45°∴∠HAD =135°，∠PDC =135° ∴∠HAD =∠PDC∵四边形ABCD 为正方形∴AD=CD.∵DQ ⊥PC ，∴∠ADQ +∠CDQ =90°，∠4+∠CDQ =90°.∴∠ADQ =∠4∠HAD =∠PDC ，∠ADQ =∠4，AD=CD ∴△HAD ≌△PDC. ∴DH=CP …………….…………….. ...5分（2）求解思路如下：a ．与②同理可证∠HGD =∠PDC,∠ADQ =∠4 可证△HGD ∽△PDC ；b ．由②可知△GPD 为等腰直角三角形，可设PD=PG=x ，GD, AG易证△AGH 为等腰直角三角形2x ； c. 由△HGD ∽△PDC得21x x =解方程求得PD 的长 ……….7分7、SY8、CP28．解：（1）①90°. (1)分②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是222OA OB OC +=. 如图1，连接OD .∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴△ADC ≌△BOC ，∠OCD=60°.∴CD = OC ,∠ADC =∠BOC =120°, AD= OB . ∴△OCD 是等边三角形.∴OC =OD =CD ，∠COD =∠CDO =60°. ∵∠AOB =150°，∠BOC =120°， ∴∠AOC =90°.∴∠AOD =30°，∠ADO =60°. ∴∠DAO =90°.在Rt △ADO 中，∠DAO =90°， ∴222OA AD OD +=.∴222OA OB OC +=. ……………………………………………………………… 3分（2）①如图2，当α=β=120°时，OA +OB +OC 有最小值.作图如图2的实线部分. ……………………………………………………… 4分如图2，将△AOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△A ’O ’C ，连接OO ’. ∴△A ’O ’C ≌△AOC ，∠OCO ’=∠ACA ’=60°. ∴O ’C = OC , O ’A ’ = OA ，A ’C = BC , ∠A ’O ’C =∠AOC . ∴△OC O ’是等边三角形.∴OC = O ’C = OO ’，∠COO ’=∠CO ’O =60°. ∵∠AOB =∠BOC =120°， ∴∠AOC =∠A ’O ’C =120°. ∴∠BOO ’=∠OO ’A ’=180°. ∴四点B ，O ，O ’，A ’共线.∴OA +OB +OC = O ’A ’ +OB +OO ’ =BA ’ 时值最小. …………………………………… 6分②当等边△ABC 的边长为1时，OA +OB +OC 的最小值A ’B………………… 7分DABO 图1O O /A /4321ABC图29、TZ10、FS28．解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．-------------------------1分又∵∠D=∠C， 2∴△O C P∽△P D A．---------------------------------------------2分如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴12OP CPPA DA==．∴CP=12AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=(8－x)2+42．---------------------------------------------3分解得：x=5．∴A B=A P=2O P=10．-------------------------------------------------4分∴边AB的长为10．（2）①----------5分D②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的．过点M 作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．∵AP =AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB =∠ABP =∠MQP ． ∴MP =MQ ．又ME ⊥PQ ∴点E 是PQ 的中点 ∵MP =MQ ，BN =PM ，，． ∴BN =QM ，又 MQ ∥AN 可证点F 是QB 的中点 ∴E F =PB 21． ------------------------------------------------6分 ∵△BCP 中，∠C =90°，PC=4，BC=AD=8 ∴PB=54为定值∴EF 为定值． ----------------------------------------------------------7分∴在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的它的．11、HR 28.解：（1）1，433；…………………………………… 2分（2）①∵∠A<∠BOC=60°， ∴∠A 不可能是直角.②当∠ABP=90°时，∵∠BOC=60°， ∴∠OPB=30°. ∴OP=2OB ，即2t=2.∴t =1. …………………………………… 3分③当∠APB=90°，如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则OP=2t ，OD=t ，，AD=2t +，DB=1t -. ∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD ∽△PBD.2016年初三上期末数学汇编——几何综合第 11 页共 11 页∴BD PD PD AD ==24t t 20+-=，解得12t t = （舍去）. …………………………………… 4分（3）补全图形，如图∵AP=AB ，∴∠APB=∠B.∵OE ∥AP∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ ∥BP ，∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°，∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP ，∵∠B=∠QOP ，∴∠1=∠2.∴△QAO ∽△OEP. ∴EPAO EO AQ =，即AQ·EP=EO·AO. ∵OE ∥AP ，∴△OBE ∽△ABP. ∴31BA BO BP BE AP OE ===. ∴OE=31AP=1，BP=23EP. ∴AQ·BP=AQ·23EP=23AO·OE=23×2×1=3. …………………………………… 6分。