考前30天之备战高考数学冲刺押题系列-名师预测 卷 9

卷9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．集合A ＝{ x |1＜x ≤3，x ∈R }，B ＝{ x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A B ＝ ． 2．已知||a ＝3，||b ＝2．若⋅a b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为 ． 3．设x ，y 为实数，且1i x -＋12i y -＝513i-，则x ＋y ＝ ． 4．椭圆2x ＋2my ＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ． 5．若θ∈42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 ． 6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ＜6，x ＞0，y ＞0}，A ＝{(x ，y )|x ＜4，y ＞0，x －2y ＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．7．已知a ，b 为异面直线，直线c ∥a ，则直线c 与b 的位置关系是 ．8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S 的值为 ．9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．10．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．11．设OM ＝112⎛⎫⎪⎝⎭，，ON ＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅≤1，0≤OP ON ⋅≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ．12．设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是 ． 13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．方程2x －1＝0的解可视为函数y ＝x 的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标．若4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k x (k ≤4)所对应的点9()i ix x ，(i ＝1，2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()f x ＝sin()A x ωϕ+，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(2)3M π-，． （1）求()f x 的解析式； （2）当x ∈[]122ππ，时，求()f x 的值域． 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)．求风向和风速(风速用v 表示)．18．（本小题满分16分）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．（附加题）21．【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，已知AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）. （1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．22．［必做题］（本小题满分10分）在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。

小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）． （1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．23．［必做题］（本小题满分10分）已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，（其中n *∈N ）123n n S a a a a =++++.(1)求n S ；(2)求证：当4n ≥时，2(2)22n n S n n >-+．参考答案1．[－1，3] 2．120︒ 3．4 4．14 5． 6．297．相交或异面 8．45 9．8 10．1.75 11．－1 12．(-∞，1)(0-，3) 13．11 14．(-∞，24)(24-，)+∞15．（1）由最低点为M (23π，－2)得A ＝2．由x 轴上相邻两个交点之间的距离为2π得2T＝2π，即T ＝π，ω＝2T π＝2ππ＝2．由点M (23π，－2)在图象上得22sin(2)3πϕ⨯+＝－2，即4sin()3πϕ+＝－1．故43πϕ+＝2k π－2π，k ∈Z ．所以ϕ＝k π－116π．又0＜ϕ＜2π，所以ϕ＝6π，故()f x ＝2sin(2)6x π+． （2）因为x ∈[]122ππ，，所以(2)6x π+∈7[]36ππ，．当26x π+＝2π，即x ＝6π时，()f x 取得最大值2；当26x π+＝76π，即x ＝2π时，()f x 取得最小值－1．故()f x 的值域为[－1，2]．16．（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ， 所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF ． 又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， 故DE ∥平面PBC ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD ．又因为AB ⊥AD ，PD AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ．ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ； PA AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ．17．10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒的S 点处，即∠SPQ＝4π，所以PQ ＝QS ＝600v (m)． 又10分钟后测得气球在P 的东偏北30︒方向，其仰角为60︒的T 点处，即∠RPQ ＝6π，∠TPR ＝3π，RT ＝2QS ＝1200v (m)，于是PR ＝tan3RT π＝(m)．在△PQR 中由余弦定理，得QR＝(m)． 因为2PR＝2)＝2(600)v＋2)＝2PQ ＋2QR ．所以∠PQR ＝2π，即风向为正南风．因为气球从S 点到T 点经历10分钟，即600s ，所以风速为||600QR(m/s)． 18．（1）设圆心C (a ，b )，则2220222 1.2a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00.a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为2x ＋2y ＝2r ，将点P 的坐标代入，得2r ＝2，故圆C 的方程为2x ＋2y ＝2．（2）设Q (x ，y )，则2x ＋2y ＝2，且PQ MQ ⋅＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝2x ＋2y ＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ MQ ⋅的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．（3）由题意，知直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，，得22(1)k x +＋2k (1－k )x ＋2(1)k -－2＝0． 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得A x ＝22211k k k --+，同理B x ＝22211k k k +-+．所以ABk ＝B A B A y y x x --＝(1)(1)B A B A k x k x x x -----＝2()B A B A k k x x x x -+-＝1＝OP k ． 所以直线OP 和AB 一定平行．19．（1）因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1． 因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2．两式相减：1n a +－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n a ． 因为n a ≠0，所以1n n a a +＝12( n ∈*N )． 所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ∈*N )．（2）因为1n b +＝n b ＋n a ( n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭．从而有21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝212n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝2，3，…)．将这n －1个等式相加，得ADCB En b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋212n -⎛⎫⎪⎝⎭＝1112112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭．又因为1b ＝1，所以n b ＝3－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝1，2，3，…)．（3）因为n c ＝n (3－n b )＝1122n n -⎛⎫⎪⎝⎭，所以n T ＝022111111223(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ① 12n T ＝123111111223(1)22222n nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ② ①－②，得12n T ＝021111122222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦－122n n ⎛⎫⎪⎝⎭．故n T ＝1124112n⎛⎫- ⎪⎝⎭-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n －142nn ⎛⎫⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +( n ＝1，2，3，…)．20．（1）若()f x ＝ax ＋b ∈M ，则存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有()f kx ＝akx ＋b ＝2k＋()f x ，即a (k －1)x ＝2k 恒成立，得100k k -=⎧⎨=⎩，，无解，所以()f x ∉M ．（2）2log ()kx ＝2k ＋2log x ，则2log k ＝2k，k ＝4，k ＝2时等式恒成立，所以()f x ＝2log x ∈M ．（3）因为y ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 有交点，由图象知，y ＝log a x 与y ＝2x必有交点． 设log a k ＝2k ，则()f kx ＝log ()a kx ＝log a k ＋log a x ＝2k＋()f x ，所以()f x ∈M ． 附加题部分21．【选做题】A ．（选修4-l ：几何证明选讲）连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°………………………2分则6EB x =-，CE =2CE AE EB =， 即有(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x = …………8分 ∴ 25630AC AE AB ==⨯=，即AC =10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， ………4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②， ………6分根据①②，则有1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，………………………………10分 C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩得1sin cos y x θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得22(1)1x y +-=，………………………4分∴曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于的圆．令cos ,sin x y ρθρθ==，代入并整理得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分D ．（选修4－5：不等式选讲） （1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………5分（2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． ………………………………10分 22．[必做题]（1）若8种口味均不一样，有5638=C 种；若其中两瓶口味一样，有561718=C C 种；若三瓶口味一样，有8种。