云南省昆明高三数学上学期第二次月考理新人教A版

高三年级第二次月考 数 学 试 题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

请将答案写在答题卡上，写在试卷上的无效。

满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题），每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填入答题卡对应的空格内）。

1．已知集合{}{}=>=>-<=B A x x B x x x A 则或,0log ,112 （ ）A ．{}1>x xB ．{}0>x xC ．{}1-<x xD ．{}11>-<x x x 或 2．已知z i z 则复数,1)1(=-在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知q p bm am q b a p 是则,:,:22>>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量且)1,(sin ),2,(cos αα=-=∥4tan(πα-则，）等于 （ ）A ．3B ．－3C ．31 D ．－31 5．x xx f -=1)(的反函数为 （ ）A ．)1(11-≠+=x x yB ．)1(11-≠-=x x yC ．)1(11≠+=x x yD ．)1(11-≠+=x xy 6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图 （如下图）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系，要从这1000中再用分层抽样 方法抽出100人作出一步调查，则在[2500，3000] （元）/月收入段应抽出（ ）人。

A ．20 B ．25 C ．40 D ．507．已知数列{}n a 为等差数列，且)cos(,41221321a a a a a +=++则π的值为（ ）A ．23 B ．23-C ．21 D ．21-8．设n m l ,,为不同的直线，βα,为不同的平面，有如下四个命题： ①若,,αβα⊥⊥l 则l ∥β ②若,,αβα⊂⊥l 则β⊥l③若,,n m m l ⊥⊥则l ∥n ④若n m ,α⊥∥β且α∥n m ⊥则,β 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数xx x f )lg()(=的图像可能是（ ）10．如图为12个单位正方形组成的长方形图形，若沿格线从左下角顶点A 走到右上角顶点B ，每步只走一个单位长度，则所有最短路线的走法中，经过点C 的走法种数是（ ） A ．42 B ．35 C ．20 D ．15 11．已知正实数b a ,满足：ab b a 则,4)1)(1(=--的最小值是 （ ）A ．－1B ．3C ．3D ．912．设函数)(x f 的定义域为R ，且),()1()2(x f x f x f -+=+)2011(,1)4(f f -<若 a a a 则,33-+=的取值范围是（ ）A ．)3,(-∞B ．（)3,0C ．（),3+∞D ．)3()0,(∞+-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接答在答题卡上。

13．y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00033y x y x 则y x z+=2的最大值14．已知A 、B 是球状、O 球面上两点，在空间直角坐标系中O （0，0，0），A （),1,1,2-),2,2,0(B 则A 、B 在该球面上的最短距离是 。

15．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上横坐标为a 23的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是 。

16．已知b 为二项式nx )9(+展开式中各项系数之和，且∞→n lim aa b a b n n 1101=+++，则实数a 取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，且满足.222bc a c b =-+（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若)(,,,3x f y y ABC x B a =∆=求的周长为的大小为设角的最大值。

18．（本小题满分12分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。

卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是185，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。

19．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2。

（Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，,PC PQ λ=试确定λ的值，使得二面角Q —BD —P 为45°。

20．（本小题满分12分）已知数列{}.),1(23+∈-=N n a S n a n n n 项和的前 （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 3log =，求数列{}n n b a 的前n 项和。

21．（本小题满分12分）设函数.,)(R m x e x f mx ∈-=-其中（Ⅰ）求函数)(x f 的最值；（Ⅱ）给出定理：如果函数],[)(b a x f y 在区间=上连续，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数),()(b a x f y 在区间=内有零点，即存在.0)(),,(00=∈x f b a x 使得 运用上述定理判断，当1>m 时，函数)2,()(m m x f 在区间内是否存在零点。

22．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=，点N 的轨迹为曲线E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λλ求,=的取值范围。

参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1—6 AABBAB 7—12 DADCDC 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．6 14．π 15．)3,0(π16．[)+∞--∞,10)10,(三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解：（I ）在ABC ∆中，由bc d c b =-+222及余弦定理，得,212cos 222=-+=bc a c b A…………3分而3,0ππ=<<A A 则 …………5分（II ）由3,3π==A a 及正弦定理，得,2233sin sin sin ====Aa C c B b而).320)(32sin(2,sin 2,32,πππ<<-==-==x x c x b x C x B 则…………7分 于是3)6sin(32)32sin(2sin 23++=-++=++=ππx x x c b a y ， 由,6566320ππππ<+<<<x x 得 当.33,326max ===+y x x 时即πππ…………10分18．解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由,185292=C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924=C C…………5分（II ）)1,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P kkkξ.9)61(4,364=-⨯==⨯=∴ξξD E …………12分19．解：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，AF ，因为E 为PC 中点，所以EF//CD ，且121==CD EF ， 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=1，所以EF//AB ，EF=AB ，四边形ABEF 为平行四边形， 所以BE//AF ，BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 所以BE//平面PAD 。

…………3分 （2）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD 。

如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 。

则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）).0,1,1(),0,1,1(-==BC DB所以.,0DB BC DB BC ⊥=⋅ 又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBD 。

…………7分（3）平面PBD 的法向量为BC =（-1，1，0）),1,0(,),1,2,0(λλ=-=所以Q )1,2,0(λλ-设平面QBD 的法向量为),,(c b a n =则⎩⎨⎧=-+=+=⋅=⋅0)1(20,0,0λλb b a 得，所以)12,1,1(--=λλ， 所以,22)12(2245cos 2=-⋅==︒λ注意到.12),1,0(-=∈λλ得…………12分20．解：（I ）因为,),1(23N n a S n n ∈-=所以).1(2311-=++n n a S 两式相减，得),(2311n n n n a a S S -=-++即),(2311n n n a a a -=++ ,,31++∈=∴N n a a n n…………3分又)1(23)1(321111-=-=a a a s 即， 所以31=a}{n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，从而}{n a 的通项公式是+∈=N n a n n ,3…………6分（II ）由（I ）知}{,log 3n n n n b a n a b 设数列==的前n 项和为T n 。

则n n n T 333323132⋅++⨯+⨯+⨯=,33)1(33323131432+⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T两式相减得1323313131312+⋅-⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n T…………10分13)13(23+⋅--=n nn ， 所以.4334121+⋅-=+n n n T …………12分21．解：（I ）上连续在),()(+∞-∞x f ，,1)('-=-m x e x f令.,0)('m x x f ==解得.0)(',1,),(0)(',1,),(>>+∞∈<<-∞∈--x f em x x f e m x mx m x 时当时当 （*）所以，当x=m 时，f （x ）取极小值也是最小值，,1)()(min m m f x f -==∴由（*）知f （x ）无最大值， …………6分（II ）函数]2,[)(m m x f 在上连续，而,2)2(m e m f m-=.),1()(,02)(',1,2)(',2)(上递增在则令+∞∴>->∴>-=-=m g e m g m e m g m e m g m m…………8分由,0)2(,0)1()(,023)1(>>>>-=m f g m g g 即得 …………10分又,0)(,01)(<∴<-=m f m m f根据定理，可判断函数f （x ）在区间（m ，2m ）上存在零点 …………12分 22．解：（I ）0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，|,|||NM NA =∴又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （-1，0），A （1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为.22,222==c a 焦距.1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x…………4分（II ）当直线GH 斜率存在时，设直线CH 方程为,2+=kx y代入椭圆方程1222=+y x ， 得.034)21(22=+++kx x k .2302>>∆k 得由…………6分设),,(),,(2211y x H y x G 则221221213,214k x x k k x x +=+-=+ 又)2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ.,)1(,222122121x x x x x x x x λλλ=+=+∴=∴,)1(2122221λλx x x x x ==++∴ 22222)1()121(316,213)1()214(λλλλ+=++=++-∴kk k k 整理得.131,10.331.316214.3163233164,2322<<∴<<<<<++<∴<+<∴>λλλλλ 又解得k k…………10分又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x ,131<≤∴λ即所求λ的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31 …………12分。