2018版高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_420180503113

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高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_4

M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝＝xy00＋＋abtt，(a、b 为
常数，t 为参数).
跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为π3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
解析
由题意可得直线 l 的参数方程为xy＝＝15＋＋122t3，t (t 为参数)，
要点三直线参数方程的综合应用
例3 已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，
B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
解
设直线的倾斜角为 α，则它的方程为xy＝＝32＋＋ttcsions
α α
，
(t 为参数).由 A，B 是坐标轴上的点知 yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsin ห้องสมุดไป่ตู้ ，即|PA|＝|t|＝sin2α ，0＝3＋tcos α ，
即|PB|＝|t|＝－cos3 α
，故|PA|·|PB|＝sin2 α
的直线，故直线
l
的倾斜角
α＝π6
.
(2)由(1)知，直线 l 的单位方向向量 e＝cosπ6 ，sinπ6 ＝ 23，12.
∵M0＝(－ 3，2)，M(－3 3，0)，∴M→0M＝(－2 3，－2)＝

－4

23，12＝－4e，∴点
M
对应的参数
t＝－4，
几何意义为|M→0M|＝4，且M→0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0 的左下方).

2
3

2＋y－322＝1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0，
x＝－1＋ (2)由y＝12t

高中数学人教A版选修4-4课件第二讲参数方程2.3直线的参数方程

π 1 + ��cos , 3 π (t 为参数), 3 + ��sin 3
它是标准形式 , 所以参数 t 具有标准形式中参数的几何意义, 即参数 t 的绝对值是有向线段��0 �� (点 M 为直线 l 的任一点 )的长度. �� = 1 + ��, 而方程 (t 为参数 )不是标准形式 , �� = 3 + 3�� 所以参数 t 不具有标准形式中参数的几何意义.
答案：(1)
�� = 1 + ��, �� = 5 +
3 �� 2
1 2
(t 为参数)
(2)50°
做一做2 若直线的参数方程为截式方程为 .
1 �� = 2 + ��, 2 3 �� = 3 + �� 2
(t为参数),则它的斜
解析：消去参数 t 可得 y=3+ 3(x-2), 化为斜截式方程为 y= 3x+3-2 3.
π 3

即
�� = 1 + ��, �� = 5 +
3 �� 2
1 2
3
(t 为参数). �� = -1 + ��cos50 °, (t 为参数 ), �� = 3 + ��sin50 °
(2)直线的参数方程可化为故倾斜角等于 50°.
三
直线的参数方程
学习目标思维脉络 1.掌握直线参数方程的标准形式,理解参数 t 的几何直线的参数方程直线的参数方程意义. 2.能利用直线的参数方程直线的参数方程的应用解决简单的实际问题.

2018年数学(人教版选修4-4)课件：第2讲 3 直线的参数方程

3 3 通方程y－2＝ 3 (x＋ 3)，其中k＝tan α＝ 3 ，0≤α<π. π ∴直线l的倾斜角α＝6.
π x＝－ 3＋tcos6，方法二：由于直线l： y＝2＋tsinπ 6
(t为参数)，
π π 这是过点M0(－ 3 ，2)，且倾斜角α＝ 6 的直线，故 6 为所求．
(3)由上述可知直线l的单位方向向量
π π e＝cos6，sin6＝
3 1 . ， 2 2
∵M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
3 1 → ∴M0M＝(－2 3，－2)＝－4 ， 2 ＝－4e. 2
→ ∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M|＝4， → 且M0M与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
数)．
2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，
x＝x0＋at， b 过定点M0(x0，y0)，斜率为 a 的直线的参数方程是 y＝y0＋bt
(a，b为常数，t为参数)．
1．已知直线l过点M0(1,3)，倾斜角为 1 x＝1＋2t， y＝3＋ 3t 2
x＝1＋t， (t为参数)和方程 y＝3＋ 3t
→ (x，y)，则M0M＝(x，y)－(x0，y0)＝(x－x0，y－y0)．
→ → 因为 M0M ∥e，所以存在实数t∈R，使 M0M ＝te，即(x－ x0，y－y0)＝t(cos α，sin α)，于是x－x0＝tcos α，y－y0＝tsin α，即x＝x0＋tcos ＋ 2 t，解：(1)由直线l： y＝2＋1t 2 0,2，－2时，
(t为参数)知当t＝
分别对应直线l上的点(－ 3，2)，(0,3)，(－2 3，1)．

高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2.3直线的参数方程课件(共37张PPT)

选修4-4 坐标系与参数方程
第二讲参数方程
三直线的参数方程
2.3 直线的参数方程
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
一提出问题
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
x y
x0 y0
t
cos
（t为参数，
t sin
为常量）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
思考：直线参数方程中的 t 的几何意义到底是什么？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张P3π 4
1
2 t， 2
y 2 t sin 3π 2 4
2 t， 2
（t 为参数）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
高二数学人教A版选修4-4坐标系与参数方程第二讲2 .3直线的参数方程课件（共 37张PP T）
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为的直线l
设直线任一点M (x, y),
M 到M 0的距离d M 0M 向量M 0M
直线的参数方程的其他形式
x y
x0 y0
at bt
t 没有明显的几何意义
化为普通方程 y y0 b tan

高中数学第二章参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_4

3 1 ， . 2 2
因为 M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
3 1 → 所以M0M＝(－2 3，－2)＝－4 ， 2 2＝－4e，
所以点 M 对应的参数 t＝－4，
→ → 几何意义为|M0M|＝4，且M0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0 的左下方)．
5 1 5 得 t＝，则 B 2，0 .而 A(1，2)，得|AB|＝ . 2 2
5 答案： 2
类型 1 直线参数方程的标准形式(自主研析) 3 x＝－ 3＋ 2 t， [典例 1] 已知直线 l： (t 为参数)． y＝2＋1t 2 (1)求直线 l 的倾斜角； (2)若点 M(－3 3，0)在直线 l 上，求 t，并说明 t 的几何意义．
答案：B
5 4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为 π，则直线 l 6 的参数方程是________________． 5 x＝2＋tcos6π，解析：直线 l 的参数方程为 (t 为参 5 y＝－4＋tsin π 6 3 x＝2－ 2 t，数)，即 (t 为参数)． y＝－4＋1t 2
1 x＝ 3＋2t， [变式训练] (1)若直线的参数方程为 (t y＝3－ 3t 2 为参数)，则此直线的斜率为( A. 3 B．－ 3 ) 3 C. 3 3 D．－ 3
π (2)设直线 l 过点(1，－1)，倾斜角为，则直线 l 的参 6 数方程为________．
1 x＝ 3＋2t，解析：(1)直线的参数方程 (t 为参数)可 y＝3－ 3t 2
于 60°.(
)
1 x＝2＋2t， (4)直线的参数方程为 (t 为参数)，则它的 y＝3＋ 3t 2 斜截式方程为 y＝ 3x＋3－2 3.( )

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程

【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程

3π x＝， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ，应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】当φ＝，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
典例剖析【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ，给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ，将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，

高考数学总复习第2节参数方程课件新人教A版选修44

数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)，即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1，故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程

x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t，的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝－200 60 40 2 －－4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t，设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求最值问题，计算简便．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结

第二讲参数方程
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和它们的应用． 1．曲线参数方程的定义一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程的．化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ

2017_2018学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_420170913628

3 1 ， . 2 2
因为 M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
3 1 → 所以M0M＝(－2 3，－2)＝－4 ， 2 2＝－4e，
所以点 M 对应的参数 t＝－4，
→ → 几何意义为|M0M|＝4，且M0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上点 M0 的左下方)．
3 x＝2－ 2 t，答案： (t 为参数) y＝－4＋1t 2
x＝1＋3t， 5．已知直线 l1： (t 为参数)与直线 l2：2x y＝2－4t
－4y＝5 相交于点 B，且点 A(1，2)，则|AB|＝________． x＝1＋3t，解析：将代入 2x－4y＝5， y＝ Nhomakorabea－4t，
三、直线的参数方程
[学习目标] 1.掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义(重点)． 2.能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．直线的参数方程经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数)．为_______________
x＝t－1，的参数方程是 (t y＝2t－1
为参
t x＝－1＋2， (2)直线的参数方程为 (t 为参数)， M0 ( － y＝2＋ 3t 2 1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意 → 义是M 0M.( )
x＝－2＋tcos 60°， (3)直线 (t 为参数)的倾斜角 α 等 y＝3＋tsin 60°
归纳升华 1．已知直线 l 上一点的坐标和直线的倾斜角，可直接写出直线参数方程．

高中数学《2-3 直线的参数方程》新人教A版选修4-4

求这条直线的方程.
解把 : 它直 x 变线 0 数,成 y 的要0 ,ty 普都注才通是意是y0 方常:参程 c so i为 n s y (x y 0 xt 0a )n ( x x 0 )
进一步整理数，得： y si n y0x co sx 0
令该比例式的比值为 t,即 ysiny0
A. 或 5
66
B. 或 3
44
C. 或 2
33
D. 或5
66
6.如直线 x y 4 btat(t为参数）与曲线 x2y24x 10相切，则这条直线的倾斜角等于或 2
在直线上.
3
M(-1,2)
易知直线的倾斜角为 4
所以直线的参数方程可以写成
B
x
=-1源自+tc
o
s
3 4
y
2
t
sin
3 4
(t为参数
ppt课件
）
O
x
即
x
1
2t 2 (t为参数）A
y
把它代入抛y物线2 y=x222的t 方程,得
M(-1,2)
B
t2 2t20
O
x
解得 t122 10， t222 10
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上
两点间的距离.
xyxy00abtt
当a2 b2 1时，
(t为参t才数具）有|此t|=几|M何0M意| 义
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
ppt课件
作业:p41第1题预习:例2,例3.例4

2018-2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4

三直线的参数方程1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)由α为直线的倾斜角知 α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数． (3)当M 与M 0重合时，t ＝0.直线的参数方程[例1] 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(1)分别求t ＝0,2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义． [思路点拨] (1)直接代入t 的值求解；(2)把直线的参数方程化为普通方程求倾斜角或把直线的参数方程化为标准形式求倾斜角；(3)利用参数t 的几何意义，即M 0M ―→＝te 求解． [解] (1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)知，当t ＝0,2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0,3)，(－23，1)．(2)法一：把直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)化为普通方程为y －2＝33(x＋3)，设直线l 的倾斜角为α，则k ＝tan α＝33(0≤α<π)，解得α＝π6.故直线l 的倾斜角为π6.法二：易知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，则直线l 过定点M 0(－3，2)，且倾斜角为π6，故直线l 的倾斜角为π6.(3)由(2)可知直线l 的单位向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，且M 0(－3，2)，又已知M (－33，0)，所以M 0M ―→＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，所以点M (－33，0)对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M ―→|＝4，且M 0M ―→与e 方向相反．理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t(t 为参数)的倾斜角为( )A.π3 B.2π3 C.4π3D.5π3解析：选B 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ＝1－12·(－2t )，y ＝2－3t ＝2＋32·(－2t ).所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝－12.因为θ∈[0，π)，所以θ＝2π3.2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋22t ＝6，解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.直线的参数方程的应用[例2] 已知直线l 过点P (2,0)，斜率为3，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 两点间的距离|PM |； (2)点M 的坐标，线段AB 的长|AB |.[思路点拨] 首先由参数方程的概念求出直线l 的参数方程，然后再利用参数的几何意义求解．[解] (1)因为直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)．因为直线l 和抛物线相交，将直线l 的参数方程代入抛物线y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0. 因为Δ＝(－15)2＋4×8×50>0，所以设这个二次方程的两个实根为t 1，t 2. 则t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，因为M 为AB 的中点，根据t 的几何意义，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程①，得点M 坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516，y ＝45×1516.即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5738.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A ，B 两点坐标．解：(1)∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7.整理得t 2－43t ＋9＝0.① 设A ，B 对应的参数分别t 1和t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3. (2)解①得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2.所以直线l 的倾斜角为π4.(2)易知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.一、选择题1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 80°，y ＝3＋t cos 80°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．10°C ．160°D ．140°解析：选B 将直线的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 10°，y ＝3＋t sin 10°(t 为参数)，故其倾斜角为10°，故选B.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)的斜率为( )A ．－33B ．－32C.33D.12解析：选A 直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)化为普通方程为y －1＝－33(x －3)，则直线的斜率k ＝－33. 3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：选D 直线可化为yx＝tan α，即y ＝tan α·x ，圆方程可化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 4．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝3＋t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－ty ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－ty ＝3－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t y ＝5＋55t (t 为参数)解析：选 C 直线2x －y ＋1＝0经过点(1,3)，斜率k ＝2，可得直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3－2t (t 为参数)．直线还经过点(2,5)，相应的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋55t ，y ＝5＋255t (t为参数)．二、填空题5．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋0.8t ，y ＝2＋0.6t (t 为参数)，则它的普通方程是________．解析：由直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋0.8t ，y ＝2＋0.6t (t 为参数)，消去参数t 整理得3x －4y ＋5＝0. 答案：3x －4y ＋5＝06．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析：设P (－2－2t,3＋2t )是直线上满足条件的点，则(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，t 2＝12，t ＝±22，则P (－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)7．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t ，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．解析：由|PM 0|＝2知，t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.答案：±1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t (t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式．解：(1)把t ＝x －53代入y ＝10－4t ，得y ＝10－4(x －5)3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5－35(－5t )，y ＝10＋45(－5t )，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的单位长度，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)将直线l 的参数方程化为标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，代入y 2＝8x ，并整理得3t ′2－16t ′－64＝0，则t 1′＋t 2′＝163，t 1′t 2′＝－643，所以|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝323. 10．经过P (－2,3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A ，B 两点． (1)若线段AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若P 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0.(2)|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6sin α＋8cos αsin 2α2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－7sin 2α＝2sin 2α16＋12sin 2α. 又α＝π4，∴|AB |＝2sin2π416＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＝87.。

2018_2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_4

当 t＝0,2，－2 时，分别对应直线 l 上的点(－ 3，2)，(0,3)，(－2 3，1).
解答
(2)求直线l的倾斜角；
解答
(3)求直线l上的点M(－3 3 ，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.
解由(2)可知直线l的单位向量

e＝cos
π6，sin
π6＝ 23，12，且 M0(－
得
A12，3 2 3，B－52，
23或
A－52，
23，B12，3
2
3.
解答
命题角度2 求积|M0A|·|M0B|问题
例3

过点P

210，0 作倾斜角为αபைடு நூலகம்直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，
求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.
3，2)，
又已知 M(－3 3，0)，
∴―M―0M→＝(－2

3，－2)＝－4
23，12＝－4e，
∴点 M(－3 3，0)对应的参数 t＝－4，
几何意义为|―M―0M→|＝4，且―M―0M→与 e 方向相反.
解答
类型二直线参数方程的应用
命题角度1 求弦长|AB|问题例2 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A， B两点. (1)求|AB|；
确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos

α，(t为参数)，这是直
线参数方程的标准形式，特别地，当α＝π2时y＝，y直0＋线ts的in参α 数方程为xy＝＝xy00，＋t
(t为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，
y0)，斜率为 ba