江苏省射阳县第二初级中学2020-2021学年九年级10月月考数学(A)试题

江苏省射阳县第二初级中学2020-2021学年九年级10月月考数学（A ）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，是黑球的概率是（ ）A ．25B ．35C ．12D ．13 2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝21x C ．y ＝3x 2＋x －1 D ．y ＝2x 2＋1x 3．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）A ．y=1+12x 2B ．y=（2x+1）2C ．y=（x ﹣1）2D ．y=2x 24．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1与S 2，周长分别是C 1与C 2，则下列说法正确的是（ ）A ．1232C C = B ．1232S S = C ．32OBCD = D ．32OA OD = 5．将抛物线y ＝2x 2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（ ）A ．(0，﹣1)B ．(1，1)C ．(﹣1，﹣3)D ．(﹣1，1)6．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对7．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）A ．105+B ．15C ．10D ．15+8．如图，点P 是ABC ∆的边AC 上一点，连接BP ，则下列条件中，不能判定ABP ACB ∆∆的是（ ）A ．BC AC BP AB = B ．AB AC AP AB= C ．ABP C ∠=∠ D ．APB ABC ∠=∠9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③（a +c ）2＞b 2；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．二次函数22y ax ax b =-+中，当14x -≤≤时，23y -≤≤，则b a -的值为（ ）A ．6-B ．6-或7C ．3D ．3或2-二、填空题 11．在比例尺为1:200000的宝应交通地图上，宝应大道的长为3cm ，则这条道路的实际长度是________．12．如果22(1)-=-m m y m x 是二次函数，则m =__________．13．已知::1:2:3x y z =，且234x y z -+=，则-x y z +=________14．若二次函数22y x x a =++的图象与x 轴有两个不相同的交点，则a 的取值范围是____．15．正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 16．已知线段AB =2，P 是AB 的黄金分割点，且AP > BP ，那么AP=______．17．已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在抛物线y ＝x 2+2x+m 上，如果0＜x 1＜x 2，那么y 1_____y 2（填入“＜”或“＞”）．18．如图，若抛物线2y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.19．如图在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AC DB ＝4，则AD 的长为_____．20．△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，点D 在AC 上，且AD ＝3，若要在AB 上找一个点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝__________．三、解答题21．为了缓解新冠病毒疫情带来的影响，某商场设立了一个可以自由转动的转盘吸引顾客，并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．（转盘等分成16个扇形），如果冲冲的妈妈购物120元．（1）她获得购物券的概率是多少？（2）冲冲的妈妈获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，在BC 边上利用尺规求作一点P 使得△APB ∽△BAC （不必写作法，保留作图痕迹）．23．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 交于点E ，且AB ＝6，AE ＝4，AC ＝9．（1）求CD 的长；（2）求证：△ABE ∽△ACB ．24．已知二次函数22y x mx m =++-．(1)求证：无论m 为任何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点；(2)若此函数图象与x 轴的一个交点为（-3，0），求此函数图象与x 轴的另一个交点坐标．25．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y （件)与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元)与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？26．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt ABC 中，90,3,4BCA AC BC ∠=︒==，点O 在线段BC 上，且32OC =，以O 为圆心．OC 为半径的⊙O 交线段AO 于点D ，交线段AO 的延长线于点E ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）研究过短中，小明同学发现AD DE DE AE=，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．27．如图，抛物线243y ax x c =-+与x 轴交于A B 、 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知()1,0B -，且抛物线经过点()2,2D -．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 是抛物线上位于x 轴下方的一点，且12ACE ABC S S =△△，求E 的坐标； （3）若点P 是y 轴上一点，以P A C 、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．参考答案1．A【解析】【分析】根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可．【详解】∵在一个不透明的袋子里装有2个黑球3个白球，共5个球， ∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是25． 故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P=m n ． 2．C【解析】【分析】根据二次函数的定义即可解题.【详解】解：A. y ＝3x －1,是一次函数,B. y ＝21x ,是反比例函数, C. y ＝3x 2＋x －1,是二次函数, D. y ＝2x 2＋1x ,是反比例函数, 故选C.【点睛】本题考查了二次函数的辨别,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.3．D【解析】【分析】抛物线的形状只是与a 有关，a 相等，形状就相同．【详解】y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．【点睛】本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．4．A【解析】【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【详解】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∴123 2CC=，A正确；∴129 4SS=，B错误；∴32OBOD=，C错误；∴OA：OC＝3：2，D错误；故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．D【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】抛物线y=2x2-1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得：y=2(x+1)2-1+2；即y=2(x+1)2+1．此时抛物线顶点坐标是（-1，1）．故选：D．【点睛】主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4对，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．7．A【解析】【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则m==若m 是斜边，则5m ==；在第二个直接三角形中，若n 是直角边，则n ==若n 是斜边，则10n =；又因为两个直角三角形不相似，故m =5和n =10不能同时取，即当m =5，n =5m n +=+，当m =，n =10，10m n +=+故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．8．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两组角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：A 、由∠A ＝∠A ，BC AC BP AB=，不能判定△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意； B 、由∠A ＝∠A ，AB AC AP AB =，能判定△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意； C 、由∠A ＝∠A ，∠ABP ＝∠C ，能判定△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意； D 、由∠A ＝∠A ，∠APB ＝∠ABC ，能判定△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键． 9．B【解析】【分析】直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．【详解】解：由图像可知：对称轴为直线1x =，即20a b +=，0,0,0a b c ＜＞＞，∴①0abc ＜，故错误；②由二次函数的图像可知与x 轴的一个交点在0和-1之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x 轴的另外一个交点在2和3之间，故当2x =时，即420y a b c =++＞，故正确；③根据图像可知24b ac ＞，又因为()24a c ac +≥，故错误；④当1x =-时，即0y a b c =-+＜，由20a b +=可得302b c -+＜，即23c b <，故正确； ⑤由图像可得当1x =时，函数取得最大值，即+y a b c =+，当x m =时，()2+1am bm m y c =+≠，则有2+a b am bm +＞，故正确；所以正确的有②④⑤．故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．10．D【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据a 的符号分类讨论，利用二次函数的最值即可得出结论．【详解】解：二次函数22y ax ax b =-+的对称轴为直线x=212a a--= 当a ＞0时，∵当14x -≤≤时，23y -≤≤，∴当x=1时，y 最小=a －2a ＋b=-a ＋b=-2；当a ＜0时，∵∵当14x -≤≤时，23y -≤≤，∴当x=1时，y 最大=a －2a ＋b=-a ＋b=3；综上：b a -的值为3或2-故选D ．【点睛】此题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数最值求法和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．11．6km【解析】【分析】根据比例尺的意义可以求得答案 ．【详解】解：由比例尺的意义可得宝应大道的实际长度为：200000⨯3=600000cm=6000m=6km ． 故答案为6km ．【点睛】本题考查比例尺的应用，正确理解比例尺的意义是解题关键．12．2【解析】【分析】根据二次函数的定义列式计算即可.【详解】解：由题意得：22m m -=，且210m -≠，解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，由二次函数的定义得到22m m -=，且210m -≠是解题的关键．13．43【分析】设x=k ，y=2k ，z=3k （k ≠0），结合234x y z -+=，求出k 的值，进而即可求解．【详解】∵::1:2:3x y z =，∴设x=k ，y=2k ，z=3k （k ≠0），∵234x y z -+=，∴2(2)3(3)4k k k -⨯+⨯=，解得：k=23， ∴-x y z +=-232k k k k +==43． 故答案是：43． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握设k 值法，是解题的关键．14．1a <【解析】【分析】根据二次函数的性质，b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵二次函数22y x x a =++的图象与x 轴有两个不相同的交点，∴b 2-4ac ＞0，22-4×a×1＞0， 解得，a ＜1故答案为：a ＜1【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，掌握△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点是解题的关键．15．y=x 2+6x【解析】【分析】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．161；【解析】【分析】根据黄金分割的定义2AP BP AB =⨯，即可求得答案.【详解】根据题意，设AP x =，则2BP x =-,依题意得：2AP BP AB =⨯，即：()222x x =- 化简得：2240x x +-=解得：1x =(负值已舍)1【点睛】本题考查了黄金分割的定义，利用黄金分割的定义构建方程是解题的关键.17．<【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=-22=-1， a=1，开口向上，当x ＞-1时， y 随x 的增大而增大，因为0＜x 1＜x 2，所以y 1＜y 2．故答案为＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的增减性，考查了二次函数的性质．18．23x -<<【分析】观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.【详解】解：设21y ax h =+，2y kx b =+，∵2ax b kx h -<-∴2ax h kx b +<+，∴12y y <即二次函数值小于一次函数值，∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.19．1【解析】【分析】根据射影定理列式计算即可．【详解】由射影定理得，AC 2＝AD •AB ，2＝AD ×（AD +4），解得，AD 1＝1，AD 2＝﹣5（舍去），故答案为：1．【点睛】本题考查的是相似三角形——射影定理，需要牢记射影定理公式可以帮助快速解决题目.20．5或9 5【解析】【分析】分△ADE∽△ACB，△ADE∽△ABC两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】∵∠A是公共角，当△ADE∽△ACB时，∴AE ADAB AC=，即3106AE=，解得：AE=5；当△ADE∽△ABC时，∴AE ADAC AB=，即3610AE=，解得：AE=95；故答案为：5或95．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于要根据对应边分情况讨论求解．21．（1）她获得购物券的概率＝716；（2）冲冲的妈妈获得100元、50元、20元的概率分别为116、18、14．【解析】【分析】找到红色、黄色或绿色区域的份数之和占总份数的多少即为获得购物券的概率．【详解】（1）∵共有16种等可能事件，其中满足条件的有7种，她获得购物券的概率＝7 16；（2）共有16种等可能结果，其中获100元购物券的有1种，冲冲的妈妈获得100元的概率＝1 16；共有16种等可能结果，其中获50元购物券的有2种，冲冲的妈妈获得50元的概率＝216＝18；共有16种等可能结果，其中获20元购物券的有4种，冲冲的妈妈获得20元的概率＝416＝14．所以，冲冲的妈妈获得100元、50元、20元的概率分别为116、18、14．【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．见解析【解析】【分析】作出AB的垂直平分线，可得BP=AP，则∠PBA=∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC．【详解】解：如图所示：△APB∽△BAC，点P即为所求．【点睛】本题主要考查了相似三角形以及复杂作图－作线段的垂直线，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．23．（1）152；（2）见解析【解析】【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；（2）根据AB、AE、AC的长可得AE ABAB AC，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．【详解】（1）∵AE＝4，AC＝9 ∴CE=AC-AE＝9-4＝5 ∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴CD CE AB AE=，∴651542AB CECDAE．（2）∵4263AEAB，6293ABAC∴AE AB AB AC=∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.24．（1）见解析；（2）与x轴的另一个交点坐标为（12-，0）【解析】【分析】（1）求出∆的值，根据∆的取值范围即可证明函数图象与x轴总有两个交点；（2）把代入求出m的值，然后解方程2730 22x x++=即可求出与x轴的另一个交点坐标. 【详解】（1）证明：由题意可得：△=m2﹣4（m-2）m=（m-2）2+42 ＞0，）故无论m为任何非零实数，此函数图象与x轴总有两个交点．（2）解：∵二次函数22y x mx m =++-的图象与x 轴的一个交点为（-3，0）， 求得：m=12-. ∵二次函数的解析式为：27322y x x =++， ∴当y=0时，273022x x ++=，解得：x 1=-3，x 2=12-， ∴与x 轴的另一个交点坐标为（12-，0）. 【点睛】二次函数图像与x 轴的交点横坐标是一元二次方程的根.当△=0时，二次函数与x 轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>0时，二次函数与x 轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△<0时，二次函数与x 轴没有交点，一元二次方程没有实数根.25．（1）()401016y x x =-+≤≤ （2）()225225x --+，16x =，144元 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式；（2）根据“总利润=每件的利润⨯销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【详解】（1）设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，将()10,30、()16,24代入，得：10301624k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：140k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 的函数解析式为()y x 4010x 16=-+；（2）根据题意知，()()()2W x 10y x 10x 40x 50x 400=-=--+=-+- ()2x 25225=--+， a 10=-<，∴当x 25<时，W 随x 的增大而增大，10x 16，∴当x 16=时，W 取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．26．（1）见解析；（2）结论成立，见解析【解析】【分析】（1）过点O 作OH AB ⊥于H ，由勾股定理可求AB 的长，由面积法可求32OH OC ==，即可求结论．（2）连接,CD EC ，通过证明DAC CAE ∽，可得AC AD AE AC=，由3DE AC ==，可得结论．【详解】解：（1）如图1，过点O 作OH AB ⊥于H ，∵90,3,4BCA AC BC ∠=︒==，∴5AB ===， ∵ABC AOC ABO S S S =+， ∴113134352222OH ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，∴32OH =， ∴OC OH =，且OH BA ⊥，∴AB 是O 的切线；（2）结论成立，理由如下：连接,CD EC ，∵DE 是直径，∴90ECD ACO ∠=︒=∠，∴ECO ACD ∠=∠，∵OC OE =，∴CEO OCE ∠=∠，∴ACD CEO ∠=∠，又∵DAC EAC ∠=∠，∴DAC CAE ∽， ∴AC AD AE AC=， ∵32OC =， ∴23DE OC AC ===， ∴DE AD AE DE=， 故小明同学发现的结论是正确的．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，切线的判定与性质，勾股定理，圆的有关知识．证明DAC CAE ∽是解题的关键．27．（1）224233y x x =--；（2）()1238,1,,2,23E E E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()10,2P，(20,2P -，(30,2P -，450,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）将点B ，D 的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a ，c 的方程组，解方程组求出a ，c 的值，就可得到抛物线的解析式.（2）由y=0，求出对应的x 的值，即可得到点A 的坐标，从而可求出AB 的长，再由x=0求出对应的y 的值，可得到点C 的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积，利用待定系数法求出直线AC 的函数解析式，过点E 作x轴的垂线交l AC 于点F ，利用函数解析式设点F ，E 的坐标，利用已知条件建立关于a 的方程，解方程求出a 的值，即可得到符合题意的点E 的坐标.（3）利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当点A 为等腰△PAC 的顶点时，AC=AP ；当点C 为等腰△PAC 的顶点时，CA=CP ；当点P 为等腰△PAC 的顶点时，PA=PC ，分别求出符合题意的点P 的坐标.【详解】（1）将点()1,0B -，点()2,2D -代入243y ax x c =-+ ， 可得4+038423a c a c ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得232a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线解析式：224233y x x =-- ； （2）当0y =时，2242033x x --= ， 解方程2242033x x --=，得121,3x x =-= ， ()3,0A ∴ ，4AB ∴= ，当0x =时，2y =- ，()0,2C ∴- ，1142422ABC c S AB y ∴=⋅=⨯⨯=△ ， 设:Ac l y kx b =+，将点()()3,0,0,2A C -代入y kx b =+ ，得302k b b +=⎧⎨=-⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， 223y x ∴=- ， 如图1，过点E 作x 轴的垂线交Ac l 于点F ，设点2,23F a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点224,233E a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中13a -<< ， 2223,1013222233,03ACE A c a a a S EF x x a a a a a ⎧--<<∴=-=-=⎨-+<<⎩， 由12ACE ABC S S =△△ ， 可得232a a -=或232a a -+= ，解得：1a =（舍），2341,2a a a === ，()1238,1,,2,23E E E ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ； （3）情形一：当点A 为等腰PAC 的顶点时，AC AP =，如图2，,AC AP OA CP =⊥ ，2CO OP ∴== ，∴点()10,2P ；情形二：当点C 为等腰PAC 的顶点时，CA CP =,如图3，CA CP ==，((230,2,0,2P P ∴-+- ；情形三：当点P 为等腰PAC 的顶点时，PA PC =，如图4，过线段AC 的中点D 作垂线交y 轴于点P ，由中点坐标公式可得3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， PD AC ∴⊥ ，1AC PD k k ∴⋅=- ， 又23AC k =， 32PD k ∴=- ， 设PD 的解析式为32y x b =-+， 将3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入32y x b =-+可得54b =， 35:24PD l y x ∴=-+ ， 当0x =时，54y = ， 450,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；综上所述：()10,2P ，(20,2P-+，(30,2P -，450,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用-几何问题，解题时需注意利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当点A 为等腰△PAC 的顶点时，AC=AP ；当点C 为等腰△PAC 的顶点时，CA=CP ；当点P 为等腰△PAC 的顶点时，PA=PC ， 分别求出符合题意的点P 的坐标.。