黑龙江省哈尔滨尚志中学高一数学下学期期中试题
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 如果等差数列 中，， 那么（）A . 14B . 21C . 28D . 352. （2 分） (2018 高二上·镇原期中) 在△ABC 中,,,a=1,则 b=（ ）A.1B. C.2D.3. （2 分） 已知 A.，若，则（）B. C.D.4. （2 分） (2018 高二上·马山期中) 若，则下列结论不正确的是A.第1页共9页B.C.D. 5.（2 分）(2016 高一下·揭阳期中) 已知在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，且 a=4，b+c=5．A=60°， 则△ABC 的面积为（ ）A. B.3C. D. 6. （2 分） 设 M 是△ABC 内一点，且 别是△MBC、△MCA、△MAB 的面积，若 A.8 B.9 C . 16 D . 18 7. （2 分） (2018·陕西模拟) 已知向量 A.1 B. C.2，则， 定义 f(M)=(m,n,p)，其中 m、n、p 分 的最小值是（ ）则（）第2页共9页D.3 8. （2 分） 在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)<0 的实数 x 的取值范围为（ ） A . (0,2) B . (－2,1) C . (－∞，－2)∪(1，＋∞) D . (－1,2) 9. （2 分） 若数列{an}中，an=46﹣3n，则当 Sn 取最大值时，n=（ ） A . 14 B . 15 C . 15 或 16 D . 1610. （2 分） 设 A.8 B.4 C.1若，则最小值为（ ）D.二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） 已知| |=3，| |=5， • =12，则 在 方向上的投影为________12. （1 分） (2018 高一下·长春期末) 在中,内角的对边分别为,若为 ,面积为，，则________．的周长第3页共9页13. （1 分） (2017 高一下·怀仁期末) 若 满足则的最小值为________．14. （1 分） (2020 高二上·青铜峡期末) 数列 的前 项和为 ，若，则 =________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)15. （5 分） (2016 高二上·东莞开学考) 计算题（1） 已知 cos（ +x）= ，（＜x＜ ），求的值．（2） 若 ， 是夹角 60°的两个单位向量，求 =2 + 与 =﹣3 +2 的夹角．16. （10 分） (2018 高一下·彭水期中) 在 .中，角所对的边分别为 、 、 ，且，（1） 若，求的值；（2） 若的面积，求 、 的值.17. （10 分） (2018·邯郸模拟) 已知数列 满足，，.（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）求数列的前 项和 .18. （10 分） (2016 高一下·岳池期末) 为了提高产品的年产量，某企业拟在 2013 年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元（m≥0）满足 x=3﹣（k 为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是 1 万件．已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1） 试确定 k 的值，并将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为技术改革费用 m 万元的函数（利润=销售金额﹣ 生产成本﹣技术改革费用）；（2） 该企业 2013 年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．第4页共9页19. （10 分） (2016 高一下·新疆期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ﹣csinA=0．acosC（1） 求角 C 的大小；（2） 已知 b=4，△ABC 的面积为 6 ，求边长 c 的值．20. （10 分） (2019 高一下·吉林月考) 在数列 中，，（Ⅰ）求证数列 是等差数列，并求通项公式 ；，设，（Ⅱ）设 围.，且数列四、 填空题 (共 2 题；共 2 分)的前 项和 ，若，求使恒成立的 的取值范21. （1 分） (2018 高二上·浙江月考) 已知函数，若________；若的解集为空集，则 a 的取值范围为________．为奇函数且非偶函数，则22. （1 分） (2017 高二下·湖州期末) 已知 ， 为单位向量，且 • =0，若向量 满足| ﹣（ ） |=||，则| |的最大值是________．第5页共9页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)参考答案第6页共9页15-1、15-2、 16-1、 16-2、17-1、第7页共9页18-1、 18-2、 19-1、 19-2、第8页共9页20-1、四、 填空题 (共 2 题；共 2 分)21-1、 22-1、第9页共9页。
黑龙江高一高中数学期中考试带答案解析
黑龙江高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数等于( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i2.如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4 组数据的线性相关性最强（）A．B．C．D．3.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．4.某商品销售量y（件）与销售价格x（）负相关，则其回归方程可能是（）A. B. C. D5.“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．分析法6.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（）A．B．C．D．7.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟和效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.25B．模型2的相关指数R2为0.50C．模型3的相关指数R2为0.98D．模型4的相关指数R2为0.808.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值（）A．1个B．4个C．3个D．2个10.在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是( )．A．B．C．D．11.向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为( )A．B．C．D．12.定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知x与y之间的一组数据如下，则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点______2.椭圆(为参数)的离心率是 .3.已知，则 .4.已知命题“设是正实数，如果，则有”，用类比思想推广“设是正数，如果则有 __________三、解答题1.m取何值时，复数（1）是实数；（2）是纯虚数.2.已知函数（1）求的单调区间；（2）求上的最小值．3.为了解目前老年人居家养老还是在敬老院养老的意向，共调查了50名老年人，其中男性明确表示去敬老院养老的有5人，女性明确表示居家养老的有10人，已知在全部50人中随机地抽取1人明确表示居家养老的概率为。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数，则（ ）1i z =+z =A ．B ．C ．D ．1i -+1i--1i+1i-【答案】D【分析】根据共轭复数的概念求解.【详解】因为复数，所以，1i z =+1i z =-故选:D.2．向量，，则（ ）()2,1a =-()1,2b =-()2a b a +⋅=A ．B ．65C ．D ．16-【答案】A【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.【详解】，.()23,0a b += ()()232016a b a ∴+⋅=⨯+⨯-= 故选：A.3．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若，，，则ABC b =45A =︒60B =︒（ ）=a A ．1B．C ．2D【答案】D【分析】利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理得，sin sin a bA B =.sin sin b Aa B∴===故选：D.4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，ABO A B O '''1B A B O '=''='那么原三角形的周长是（ ）ABOA ．B ．14+C ．D 22+【答案】B【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.【详解】由题意可得：A O ''===由直观图可得原图，如图所示，可知：，90,1,2AOB BO B O AO A O ''''∠=︒====可得，3AB ===所以原三角形的周长.ABO 134BO AO AB ++=+=+故选：B.5．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）1111ABCD A B C D -AC A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条【答案】C【分析】由异面直线的定义即可得出答案.【详解】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共AC 1BB 1DD 11A D 11B A 11BC 11C D 条.6故选：C6．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）z 21i -z A ．B ．C ．D ．1i +1i --1i -1i-+【答案】D【分析】计算得，关于虚轴对称即关于轴对称，得出结果即可．21i 1i =+-y 【详解】由题意得，21i 1i =+-∵复数与对应的点关于虚轴对称对称，z 21i -∴．1i z =-+故选：D ．7．在中，点在线段上，且，则（ ）ABC D BC 2BD DC =AD =A ．B ．2133AD AB AC=+ 1233AD AB AC=+C ．D ．2AD AB AC =+ 2AD AB AC =+ 【答案】B【分析】根据向量的线性运算公式化简可得.【详解】由已知()22+++33AD AB BD AB BC AB AC AB===-所以，1233AD AB AC=+ 故选：B.8．在中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围为ABC ,,A B C ,,a b c cos 2cos B a bCc +-=a b c +A ．B ．(1,2)(1,2]C ．D ．【答案】C【详解】由正弦定理及得，化简可得，即，2cosB a b cosC c +-=2cosB sinA sinBcosC sinC +-=12cosC =-23C π=所以 ，得，所以a b c+sinA sinB sinC+===03A π<<2333A πππ<+<，所以.13sin A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭a b c ⎛+∈ ⎝故选C .二、多选题9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）,,a b c ,,αβγA ．若，则,a b a c ⊥⊥//b c B ．若，则//,//a b a c //b c C ．若，则,αβαγ⊥⊥//βγD ．若，则,////αβαγ//βγ【答案】BD【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若，则可能异面，A 选项错误.,a b a c ⊥⊥,b c B 选项，若，则，B 选项正确.//,//a b a c //b cC 选项，若，则可能相交，C 选项正确.,αβαγ⊥⊥,αβD 选项，若，则，D 选项正确.,////αβαγ//βγ故选：BD10．已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）,,a b c A ．若，则,a b b c∥∥a c∥B ．若，则a c a b ⋅=⋅b c = C ．()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D ．若且，则a b a c ⊥ ()c a b ⋅+= 【答案】AD【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量均为非零向量，若且，则，即A 正确；,,a b c //a b //b c //a c 对B ，若，则，又，所以，a c ab ⋅=⋅ cos ,cos ,ac a c a b a b ⋅=⋅ 0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c= 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c = 对C ，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C 错误；()a b c ⋅⋅ c ()a b c ⋅⋅ a ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对D ，若且，则，，即D 正确.//a b a c ⊥ c b ⊥ ()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= 故选：AD ．11．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中使得有两个解的ABC ABC 是（ ）A ．， ，B ．，a =4b =π6A =a =4b =3cos 5A =C ．，，D ．，a =4b =π6C =a =4b =π6B =【答案】AB【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.【详解】A 选项，，，πsin 4sin26b A =⨯=sin b A a b <<所以有两个解，A 选项正确.ABC B 选项，为锐角，,cos 0,a b A A <>，，4sin 5A ==416sin 455b A =⨯=，所以有两个解，B 选项正确.sin b A a b <<ABCC 选项，由余弦定理得，4c ==所以有唯一解.ABCD 选项，1sin 2a B ==，所以有唯一解.sin a B a b <<ABC 故选：AB12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为D 【答案】BCD【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确；对于C ，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积1112S =⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为，故C 正确；16112S =⨯⨯⨯=44S =对于D ，棱长为1的正四面体的高h ==积为D 正确.1133311=4331122V ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.三、填空题13．已知，，若，则__________．()2,a k = ()1,2b = //a b k =【答案】4【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，()2,a k =()1,2b =//a b 所以，解得.122k ⨯=⨯4k =故答案为：414．写出一个模为5，且在复平面内对应的点在第三象限的复数__________.z =【答案】（答案不唯一）34i --【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限确定正确结论.【详解】设，则满足即可.()i ,z a b a b =+∈R 220025a b a b <⎧⎪<⎨⎪+=⎩所以符合题意.34i --故答案为：（答案不唯一）34i --15．若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________．2120【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，由题意可得，解得，r 2π32π22π3r ⨯=23r =该圆锥的高为h ==因此，该圆锥的体积为.22112ππ333V r h ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.16．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟B C 塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，，三点A 30︒67︒180.8m D B C D 处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为__________．（参考数据：B D 37︒m 取）sin530.8=【答案】113【分析】先利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出．BC AB 【详解】如图，，，则．67BCD ∠=︒90673760CDB ∠=︒-︒+︒=︒180606753CBD ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理，得，sin sin BC CD CDB CBD =∠∠sin 180.8sin 60sin sin 53CD CDB BC CBD ∠︒==∠︒所以．180.8sin 60180.8tan 30tan 30113msin 53 1.6AB BC ︒=⋅︒=⋅︒==︒故答案为：．113四、解答题17．已知向量的夹角为.,a b 2π,1,23a b == (1)求的值;a b ⋅(2)若和垂直，求实数t 的值.2a b -ta b + 【答案】(1)1-(2)2【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.【详解】（1）由题意可得：.2π1cos 12132a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ （2）若和垂直，则，2a b - ta b + ()()()222220a b ta b ta t a b b -⋅+=+-⋅-= 即，解得.()2240t t ---=2t =18．已知复数，其中i 为虚数单位，.()()2223232iz m m m m =--+-+R m ∈(1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围.【答案】(1)；12m =-(2)1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）z 是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.【详解】（1）因为z 是纯虚数，所以，222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩解得.12m =-（2）因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以，222320320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩解得，112m -<<所以m 的取值范围为.1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭19．如图，直三棱柱中，，，P 为线段上111ABC AB C -11BC AA ==AB =cos ACB ∠=1BC的动点．(1)当P 为线段上的中点时，求三棱锥的体积；1BC B PAC -(2)当P 在线段上移动时，求的最小值．1BC AP CP +【答案】【分析】（1）由余弦定理求出AC =AC =（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.AP CP +AC 【详解】（1）由已知可得sin ACB ∠=由余弦定理有，得到2212cosAC AC ACB =+-∠AC =在中，有ACB △11sin122ACBS AC BC ACB =⋅⋅⋅∠==△1111112236B PAC P ACB C ABC ACB V V V S ---===⨯⨯==△（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），1ABC 1BC 1CBC △连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．AC BC 0P AP CP +AC 在中，，1ABC 1BC =AB =12AC =故，故，即，22211BC AB AC +=1AB BC ⊥190ABC ∠=︒又易知，故，145CBC ∠=︒135ABC ∠=︒由余弦定理得，所以21221cos1355AC =+-⨯︒=AC =（或者在中由勾股定理得1AC C △AC =故AP CP +20．在中，，，．ABC ∆3AB =1AC =60A ∠=︒（1）求；sinACB ∠（2）若为的中点，求的长度．DBC AD 【答案】（12【分析】（1）在中，根据余弦定理得到，再根据正弦定理ABC ∆BC ，即可得到的值.sin sinAB BC ACB A =∠sin ACB ∠（2）首先根据余弦定理求出，在中，由余弦定理即可得到的值.cos C =ACD ∆AD 【详解】（1）在中，，，．ABC ∆3AB =1AC =60A ∠=︒由余弦定理可得：∴BC ==由正弦定理：，可得：∴sin sin AB BC ACB A =∠sinsin AB A ACB BC ∠== （2）为的中点，可得：D BC∴12CD BC =又222cos 2AC BC AB C AC BC +-===在中，由余弦定理可得：∴ACD ∆AD ==【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.21．如图在平面四边形ABCD中，，，AC=3AB=DAC BAC∠=∠sin BAC∠=(1)求边BC；(2)若，求四边形ABCD的面积．2π3CDA∠=【答案】(1)1；【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长；（2）分别利用三角形面积公式求得的面积，进而求得四边形ABCD的面积．,ABC ACDS S△△【详解】（1）因为为锐角，sinBAC∠=BAC∠所以cos BAC∠==因为，，在中，AC=3AB=ABC由余弦定理得，2222cosBCAC AB AC AB BAC=+-⋅⋅∠即，得．279231BC=+-=1BC=（2）在中，由正弦定理得，ADC△sin sinCD ACDAC ADC=∠∠，所以．=1CD=在中，由余弦定理得，ADC△222cos2AD CD ACADCAD CD+-∠=⋅即，解得．211722ADAD+--=2AD=因为132ABCS==△12π12sin23ACDS=⨯⨯⨯=△所以ABCD ABC ACD S S S =+==△△22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，ABC A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A C C B --=且.A C ¹(1)求证：；2B C =(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.BD ABC ∠4a =BD 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角22b c ac =+2222cos b a c ac B =+-的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可4sin sin BD BDC C =∠ABC 2B C =求得线段长度的取值范围.BD 【详解】（1）由题意得，即.222sin sin sin sin sin sin A C A C C B --=21sin sin sin sin A C CB +=由正弦定理得，22b c ac =+又由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-所以，故，2cos c a c B =-sin sin 2sin cos C A C B =-故，整理得，()sin sin 2sin cos C B C C B =+-()sin sin C B C =-又为锐角三角形，则ABC ππππ0,,0,,,2222C B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，因此.C B C =-2B C =（2）在中，由正弦定理得，所以.BCD △sin sin a BD BDC C =∠4sin sin BD BDC C =∠所以，4sin 4sin 2sin sin2cos C C BD BDC C C ===∠因为为锐角三角形，且，所以，解得.ABC 2B C =π02π022π032C C C π⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩ππ64C <<.cos C <<BD <<因此线段长度的取值范围.BD。
黑龙江省高一数学下学期期中线上考试试题
黑龙江省高一数学下学期期中线上考试试题一、选择题（每小题4分,共48分）1.在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系 （ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定2.已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则4a 等于( ).A. 1B. 2C. 3D. 0 3.在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A.4-B. 4±C. 2-D. 2± 4.已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( )A.4-B. 6-C.8-D.10-5.等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．4B ．12C ．8D ．66．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．1472,5,22,11,,…则5 ）A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 8．已知等比数列{a n }的公比为2， 前4项的和是1， 则前8项的和为（ ）A ．15.B ．17.C ．19.D ．219. 若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x | －7<x <－1}，那么a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410.下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）A ．(x +3)(x －1)>0B ．(x +4)(x －1)<0C ．x 2－2x +3<0 D ．2x 2－3x －2>0 11．在△ABC 中，如果sinA=2sinCcosB.那么这个三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形 （C ）等腰三角形（D ）等边三角形12. 在下列函数中，最小值为2的是 （ ）Ａ．5(5x y x x=+∈R 且0)x ≠ Ｂ．1lg (110)lg y x x x =+<< Ｃ．33()x x y x -=+∈R Ｄ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<二、填空题（每小题4分,共16分）13．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为____________。
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）（）A .B .C .D .2. （2分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（）A . 6B . 5C . 4D . 33. （2分） (2019高三上·宜宾期末) 已知中，，，则等于A .B .C . 或D . 或4. （2分）(2017·泉州模拟) 已知sin2α= ，则cos2（）=（）A . ﹣B .C . ﹣D .5. （2分）无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A . an=n2﹣n+1B . an=n2+n﹣1C . an=D . an=6. （2分）已知，，则的值是（）A .B .C .D . 17. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知为等差数列，若且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·淄川开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（）A .B .C .D .9. （2分）函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A . [kπ+，kπ+]k∈ZB . [kπ+，kπ+]，k∈ZC . [kπ﹣，kπ+]k∈ZD . [kπ﹣，kπ+]，k∈Z10. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知是各项都为正数的等比数列，是它的前项和，若， ,则（）A .B . 54C . 72D . 9011. （2分） (2019高一上·利辛月考) 已知等比数列，前项和为，满足，且，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·黑龙江开学考) 方程的根所在的区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一下·集宁期末) 设的三个内角所对的边分别是，已知，，则 ________14. （1分）(2018·杭州模拟) 设各项均为正数的等比数列中,若 ,则公比 =________15. （2分）(2017·重庆模拟) 在△ABC中，已知面积S= （a2+b2﹣c2），则角C的度数为________．16. （1分） (2018高一下·唐山期末) 公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列，则数列的前7项和为________．三、解答题 (共6题；共37分)17. （10分）(2017·北京) 在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．18. （5分） (2019高三上·凉州期中) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．19. （5分） (2016高二下·长春期中) 已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ ，b+ ，c+ 中至少有一个不大于﹣2．20. （10分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（）x+（）x ，（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．21. （2分） (2017高一下·盐城期末) 如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．22. （5分）(2017·天心模拟) 等差数列{an}中，其前n项和为Sn ，且，等比数列{bn}中，其前n项和为Tn ，且，（n∈N*）（1）求an，bn；（2）求{anbn}的前n项和Mn．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共37分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
黑龙江省哈尔滨市高一数学下学期期中试题
2016-2017年度下学期高一数学学科期中考试试题考试时间：90分钟 分值：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确（共12题，每题5分，共60分）.1、在中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos A a B b =，则一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形2、在ABC ∆中, 60,13A a =︒= ,sinA sinB sinC a b c ++++=（ ） A.239 B.392 C.2393 D.3933、已知2a =v ,3b =v ,且两向量夹角为60︒，求()a b b +⋅v v v = ( )A.8B.10C.12D.144、已知向量(cos ,sin )a x x =v ,(2,2)b =v ，85a b ⋅=v v ，则等于( )A. B. C. D.5、已知向量(,3)a x =v ,(2,2)b =-v ,且a b ⊥v v ,则a b +v v =( )A.5B.26C.25D.106、不等式220ax bx ++>的解集是(2,1)-,则的值是( )A.-2B.-1C.1D.27、如图所示,已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于,灯塔在观察站的北偏东,灯塔在观察站的南偏东,则灯塔与灯塔的距离为( )A. B. C. D.8、当时,不等式恒成立,则实数的( )A.最小值是B.最小值是C.最大值是D.最大值是9、已知数列{a n }满足:a 1=1,a n =2a n-1(n≥2),则a 4=( ) A.8 B.10 C.12 D.1410、设是等差数列项的前n 项和,已知366,8S S ==， 9S =( )A.6B.8C.10D.1211、各项不为零的等差数列{n a }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{n b }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝（ ）.A.2B.4C.8D.1612、数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1(1)n n +,则S 10等于( ) A ．89 B ．910 C ．1011 D ．1112二、填空题：请把答案填在答题卡上。
哈尔滨数学高一下期中复习题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12427]已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 3．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．24．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在 5．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．(0分)[ID ：12352]已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1 7．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．68．(0分)[ID ：12336]在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A．23π B ．43π C ．53π D ．2π9．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,12411．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，25BC =,三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π 12．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2213．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π14．(0分)[ID ：12334]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 15．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.17．(0分)[ID ：12525]已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.18．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．19．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点3)A 处的切线的方程是___________.20．(0分)[ID ：12481]直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．21．(0分)[ID ：12469]已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.22．(0分)[ID ：12507]在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．23．(0分)[ID ：12503]在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______24．(0分)[ID ：12499]若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．25．(0分)[ID ：12482]已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______三、解答题26．(0分)[ID ：12606]已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．27．(0分)[ID ：12590]已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 28．(0分)[ID ：12585]如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：BD ⊥平面PAC .29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12529]设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈.(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．D4．A5．C6．D7．B8．C9．B10．D11．C12．A13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查18．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 019．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的20．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P（0-1）计算PAPB的斜率再利用数形结合求a的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P（0-1）如图所示计算且或则或即实数a的取值范围21．【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关于x轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C关于直线y=x 的对称点为（12）点C关22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用24．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与25．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.3．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 251PC k =+，2222521+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 4．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点的轨迹，与BCM ∆所在平面的公共部分即符合条件的点P .【详解】在正四面体ABCD 中，取正三角形BCD 中心O ，连接AO ，根据正四面体的对称性，线段AO 上任一点到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等的点都在AO 所在直线上，AO 与BCM ∆所在平面相交且交于BCM ∆内部，所以符合题意的点P 只有唯一一个.故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．D解析：D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 7．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =. ()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 9．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．C解析：C【解析】【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =AB AC ⊥，则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，∵三棱锥O ABC -的体积为43，11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+=， 球O 的表面积为2424R ππ=．故选C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 14．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．15．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题16．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 解析：33【解析】【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ.【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,2AO AO ==，易知232sin 6θ== 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题. 17．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查 34 【解析】【分析】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得答案. 【详解】设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，则()2222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，22PD =，12OH DO ==，122CO ，解得342R =. 故答案为：342.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝603【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1．过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°．在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE ＝32． 19．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的 33430x y +-=【解析】【分析】先求出k OA 3，从而圆O 在点(3处的切线的方程的斜率3k = ，由此能出圆O 在点3A 处的切线的方程．【详解】k OA =3O 在点(3处的切线的方程的斜率3k =， ∴圆O 在点A (3处的切线的方程313y x =-（） ， 33430x y +-=． 33430x y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 20．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】 判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 21．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关10【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离．【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）|=22(21)(12)-+--=10．故答案为：10．【点睛】 本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．22．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．23．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用解析：0x y -=【解析】【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解.【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.24．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4 【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2, 当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为()()2212a b ++-()2221832a -+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-=4.故答案为4点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.25．【解析】【分析】先由题得到点A 在圆上再设出切线方程为利用直线和圆相切得到k 的值即得过点A 的圆的切线方程【详解】因为所以点在圆上设切线方程为即kx-y-k+2=0因为直线和圆相切所以所以切线方程为所以解析：25x y +=【解析】 【分析】先由题得到点A 在圆上，再设出切线方程为2(1),y k x -=-利用直线和圆相切得到k 的值，即得过点A 的圆的切线方程. 【详解】因为22125+=，所以点()1,2A 在圆上，设切线方程为2(1),y k x -=-即kx-y-k+2=0,12k =∴=-，所以切线方程为112022x y --++=， 所以切线方程为25x y +=，故答案为：25x y += 【点睛】（1）本题主要考查圆的切线方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =.三、解答题 26．（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）存在，k ≤≤34k =±．【解析】 【分析】（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴11⋅=-C M AB k k 即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33F ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆L 223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±，又202357554DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程27．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【解析】 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）224225BC =+=，A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为245m n d +-=，由于A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.28．证明见解析． 【解析】试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为EO ，因此只要证//PA EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD 垂直于平面PAC ，就是要证BD 与平面PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得． 试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO BD ⊥，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .考点：线面平行与线面垂直的判断．29．（1）详见解析；（2）详见解析。
哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷(I)卷
哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知数列满足，则此数列的通项等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·永年期末) 已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则tan（α+ ）的值为（）A .B .C .D .3. （2分）在中,,则此三角形解的情况是（）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解4. （2分） (2016高一下·武城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A .B .C . 或D . 或5. （2分） (2018高二下·河池月考) “ ”是“ ”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 既不充分也不必要条件D . 充要条件6. （2分） (2017高二下·平顶山期末) 设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，例如[2.34]=2，[﹣1.5]=﹣2，令{x}=x﹣[x]，则（）A . 是等差数列但不是等比数列B . 既是等差数列也是等比数列C . 是等比数列但不是等差数列D . 既不是等差数列也不是等比数列7. （2分）已知数列则是它的第（）项.A . 19B . 20C . 21D . 228. （2分）(2017·怀化模拟) 等差数列{an}中，a2+a8﹣a12=0，a14﹣a4=2，记sn=a1+a2+…+an ，则s15的值为（）A . 30B . 56C . 68D . 789. （2分）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A .B . 1C .D . 210. （2分）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（）A . 可在7秒内追上汽车B . 可在9秒内追上汽车C . 不能追上汽车，但其间最近距离为14米D . 不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知，tanα=2，则 =________．12. （1分） (2016高一下·南汇期末) 化简sin2α+sin2β﹣sin2αsin2β+cos2αcos2β=________．13. （1分） (2016高二上·灌云期中) 已知等比数列{an}的公比为q=2，且a1a2a3…a30=330 ，则a1a4a7…a28=________．14. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为________．15. （1分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣若b=， a+c=4，则a的值为________16. （1分） (2016高二上·方城开学考) 若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是________．三、解答题 (共4题；共30分)17. （10分） (2017高二下·吉林期末) 已知函数f(x)＝sinx－ cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β ，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α＋))(0<α< )，且a·b＝．（1）求f(x)在区间上的最值；（2）求的值．18. （5分）(2017·肇庆模拟) 等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an•5n ，求{bn}的前n项和Sn ．19. （10分） (2018高二上·遵义月考) 钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, .（1）求角C的大小；（2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长.20. （5分） (2018高一下·攀枝花期末) 已知正项数列的前项和满足 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共30分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、。
黑龙江省高一下学期期中数学试卷(平行班)
黑龙江省高一下学期期中数学试卷（平行班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）判断下列角与象限，不正确的是（）A . 135°第二象限B . 361°第一象限C . 900°第二象限D . ﹣421°第三象限2. （2分）设是公差为正数的等差数列，则（）A . 40B . 50C . 60D . 703. （2分）下列说法正确的是（）A . 数量可以比较大小，向量也可以比较大小B . 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C . 向量的大小与方向有关D . 向量的模可以比较大小4. （2分）函数的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,记,则的值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·安庆期末) 函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知非零向量，满足3| |=2| |，＜，＞=60°，若⊥（t + ）则实数t的值为（）A . 3B . ﹣3C . 2D . ﹣27. （2分）(2017·兰州模拟) 已知向量，满足| |=| |=2，•（﹣）=﹣2，则|2|=（）A . 2B . 2C . 4D . 88. （2分）(2019·南昌模拟) 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（）A . 46B . 12C . 11D . 29. （2分） (2020高一下·金华月考) 要得到的图象，需要将函数的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位10. （2分）若函数的图象（部分）如图所示，则和的取值是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·杭州期中) 设O是的外心，满足，，若，则的面积是（）A . 4B .C . 8D . 612. （2分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数g(x)=f(x)+的零点个数为（）A . 1B . 2C . 0D . 0或2二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一上·绍兴期末) 若α为第一象限角，且cosα= ，则tanα=________．14. （1分） (2019高二上·石河子月考) 已知数列的前项和为，则 ________.15. （2分）(2016·金华模拟) 自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2 （P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，（I）PQ的中点M的轨迹是________的一部分（不需写具体方程）；（II）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则• 的取值范围是________．16. （1分） (2017高三上·廊坊期末) 在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，则下列结论正确的序号是________．①若a、b、c成等差数列，则B= ；②若c=4，b=2 ，B= ，则△ABC 有两解；③若B= ，b=1，ac=2 ，则a+c=2+ ；④若（2c﹣b）cosA=acosB，则A= ．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·南阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求△ABC的面积；（2）若tanB=2，求a的值．18. （15分） (2019高三上·苏州月考) 已知函数， .（1）存在，对任意，有不等式成立，求实数的取值范围；（2）如果存在、，使得成立，求满足条件的最大整数；（3）对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.19. （15分） (2020高二上·湖南期中) 已知数列的前n项和为，，设（1）求数列的通项公式（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由.（3）求数列的前n项和20. （5分）已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求在（0，）内一条对称轴；（2）求在（0，2π]内的零点．21. （10分） (2016高一下·大连期中) 设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈[0， ]．（1）若| |=| |，求x的值；（2）设函数f（x）= • ，求f（x）的最大值及单调递增区间．22. （10分）计算.（1）已知，化简：；（2）已知0＜x＜1，且x+x﹣1=3，求的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷(A)
黑龙江省哈尔滨市高一下学期数学期中考试试卷（A)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·芒市期中) 已知sin（π+α）=﹣，则 =（）A .B . ﹣C . ﹣D .2. （2分） (2020高一下·元氏期中) 两个正实数满足，则满足，恒成立的m取值范围（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·金华期末) 设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A . ∅B . {2，4，7，8}C . {1，3，5，6}D . {2，4，6，8}4. （2分） (2019高一上·东莞月考) 若，则f[f（–2）]=（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分）(2020·南昌模拟) 下列命题正确的是（）A . “ ”是“ ”的必要不充分条件B . 对于命题：，使得，则：均有C . 若为假命题，则，均为假命题D . 命题“若，则”的否命题为“若，则”6. （2分） (2019高一上·如皋月考) 已知集合， B={x|x2-2x<0} ，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·西安模拟) 近几年，我国农村电子商务发展迅速，使得农副产品能够有效地减少流通环节，降低流通成本，直接提高了农民的收益.某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A . 46.5，48，60B . 47，48，60C . 46.5，48，55D . 46.5，51，608. （2分） (2018高一上·邢台月考) 设 1 ， 1,2, ，，则A .B .C . 1，D . 1,2,3,9. （2分）在中，，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·张掖期末) 下列函数在R上单调递增的是（）A . y=|x|B . y=lgxC .D . y=2x二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是________．12. （1分） (2018高三上·杭州月考) 已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为________.13. （1分）(2019·青浦模拟) 在平面直角坐标系中，在轴、y轴正方向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________14. （1分） (2019高二下·吉林期末) 在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：________.(写出一条即可)15. （1分）某人2010年1月1日到银行存入a元，若每年利息为r，按复利计算利息，则到2020年1月1日可取回的本息和为________元．三、解答题 (共6题；共60分)16. （5分） (2016高三上·湖州期中) 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17. （10分） (2018高二上·新乡月考) 在中，.（1）求的值；（2）求18. （10分） (2019高三上·亳州月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，且 .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.19. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知 .（1）求的值;（2）求的值.20. （15分） (2017高一上·钦州港月考) 对于函数①探索函数的单调性②若为奇函数，求的值③在②的基础上，求的值域21. （10分）(2020·定远模拟) 设函数，其中，e是自然对数的底数.（Ⅰ）若是上的增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若，证明： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
黑龙江省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．（ ） sin675cos315+=A ．0B ．CD ．2【答案】A【分析】由诱导公式可以直接计算所得.【详解】由诱导公式可得 sin 675sin(72045)sin(45)sin 45=-=-=-=cos315cos(36045)cos(45)cos 45=-=-== 所以. sin675cos3150+= 故选：A2．在复平面内，复数（其中i 为虚数单位）对应的点位于（ ） (1i)(2i)z =+-A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. z 【详解】解：， (1i)(2i)3i z =+-=+则对应点的坐标为，位于第一象限. ()3,1故选：A.3．平行四边形ABCD 中，点E 满足，则（ ） 3,(,)AC AE DE AB AD λμλμ==+∈R u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλμ+=A ．B ．-1C ．1D ．1313-【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.【详解】由题意可得：，()11123333DE DA AE AD AC AD AB AD AB AD =+=-+=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即，则.12,33λμ==-13λμ+=-故选：D.4．如图1，在高为的直三棱柱容器中，.现往该容器内灌进一h 111ABC A B C -2,AB AC AB AC ==^些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，AB 水面恰好为（如图2），则容器的体积为（ ）11A B CA B ．3C ．D ．683【答案】D【分析】设容器体积为，水的体积为，无水部分为三棱锥，体积为，，V 14V =213V =143V V -=解得答案.【详解】设容器体积为，水的体积为，V 1122242V =⨯⨯⨯=无水部分为三棱锥，体积为，，故.213V V =12433V V V -==6V =故选：D5．已知向量，对任意的，恒有，则（ ）,||1a e e ≠= R t ∈||||a te a e -≥-A ．B ．a e ⊥ ()a a e ⊥- C ． D ．()e a e ⊥- ()()a e a e +⊥- 【答案】C【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判a e ⋅断和选择.【详解】由可得，||||a te a e -≥- 2222222a ta e t e a a e e -⋅+≥-⋅+ 又，令则上式等价于，对任意的恒成立， 1e = a e m ⋅=22210t mt m -+-≥R t ∈故，解得，解得，即；()244210m m ∆=--≤()210m -≤1m =1a e ⋅= 对A ：由，故不成立，A 错误；10a e ⋅=≠a e ⊥ 对B ：，不确定其结果，故不一定成立，B 错误；()221a a e a a e a ⋅-=-⋅=- ()a a e ⊥- 对C ：，故，C 正确；()10e a e a e ⋅-=⋅-= ()e a e ⊥-对D ： ，不确定其结果，故不一定成立，D 错误.()()21a e a e a -⋅+=- ()()a e a e +⊥- 故选：C.6．如图，P 是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP 异面1111ABCD A B C D -11A CA ．直线B ．直线C ．直线D ．直线AC1DD 1B C 1AD 【答案】D【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可. 【详解】对于A ，连接，设， 11,BD B D 1111A C B D Q ⋂=由，当点位于点时，与共面； 11BB DD ∥P Q BP 1DD 对于B ，当点与重合时，直线与直线相交；P 1C BP 1B C 对于C ，因为且，所以四边形为平行四边形， 11AB C D ∥11AB C D =11ABC D 所以，11AD BC ∥当点与重合时，与共面； P 1C BP 1AD 对于D ，连接，AC 因为平面，平面，平面，， P ∉ABCD B ∈ABCD AC ⊂ABCD B AC ∉所以直线BP 与直线AC 是异面直线.故选：D.7．在锐角中，角的对边分别为，且满足.若ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos c b b A -=恒成立，则实数的取值范围为（ ）()()sin cos 3C B C B λ+--<λA ．B ．C ．D ． (),4-∞(],4∞-⎛-∞ ⎝⎛-∞ ⎝【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.【详解】由正弦定理可知，①， 2cos c b b A -=⇔sin sin 2sin cos C B B A -=又因为，所以②， A B C π++=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+将②式代入①式可得，整理得， sin cos sin sin cos A B B B A -=sin()sin A B B -=因为，所以，即， (),0,A B π∈A B B -=2A B =又因为，所以，即可得A B C π++=3C B π=-2cos()cos(4)cos 4cos 22sin 1C B B B A A π-=-=-=-=-又有恒成立恒成立，()()sin cos 3C B C B λ+--<⇔23cos()2sin 2sin()sin C B A C B A λ+-+<=+又因为是锐角三角形，所以,ABC A ,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即，解得，022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩64B ππ<<所以，故. 2,32A B ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭sin A ⎫∈⎪⎪⎭设，则易知在区间上单调递减，故sin t A =1()f t t t =+⎫⎪⎪⎭2()f t <<所以， 22sin 212sin A t A t ⎛+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝故，即. 4λ≤(],4λ∈-∞故选：B8．在中，角的对边分别为，且满足为中点.过点作ABC A ,,A B C ,,a b c 2,,,3ππ2a A C P ==≠BC P 交所在直线于，则的最大值是（）PQ BC ⊥AC QAQ BC ⋅A B C D ．23【答案】A【分析】连接，则，设，根据余弦定理得到，，BQ BQ QC =AQ m = 222b cm b c-=-224b c bc =+-计算，根据二次函数性质得到最值.()223416433c AQ BCb ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⋅ 【详解】如图所示：连接，则，设，BQ BQ QC =AQ m =中：，整理得到：，ABQ A ()2222cos 60b m m c mc -=+-︒222b c m b c-=-中：，ABC A 222242cos 60b c bc b c bc =+-︒=+-故，，()243b c bc +=+()24b c bc -=-，()()221122AQ BC AQ AC AQ A AB mb mc b c C AQ AB =-=-=-=-⋅⋅⋅⋅ 即， ()()()()()222211341643444433b c b c bc bc bc AQ BC⎛⎫=-+=+-=--+ ⎭⋅⎪⎝当时，有最大值为，此时可以满足， 43bc =()2AQ BC ⋅ 163224b c bc =+-则AQ BC ⋅ 故选：A二、多选题9．已知是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若且，则,l A αβα⋂=∈A β∈∈A l B ．若是平面内不共线三点，，则 ,,A B C α,A B ββ∈∈C β∉C ．若直线，直线，则与为异面直线a α⊂b β⊂a b D ．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面 ,a b ,bc ,a c 【答案】AB【分析】确定，A 正确，若推出和重合，得到B 正确，CD 选项都有多种情A l αβ∈= C β∈αβ况，错误，得到答案.【详解】对选项A ：若且，则，正确；,l A αβα⋂=∈A β∈A l αβ∈=对选项B ：若，又，则和重合，不成立，正确；C β∈,A B ββ∈∈αβ对选项C ：直线，直线，则与为异面直线或或相交，错误； a α⊂b β⊂a b a b A ,a b 对选项D ：若直线是异面直线，直线是异面直线， ,a b ,b c 则直线异面或相交或平行，错误； ,a c ,a c ,a c 故选：AB10．下列论断中，正确的有（ ）A ．在中，若为钝角，则ABC A A sin sin cos cos B C B C +<+B ．在中，角的对边分别为，若，则为等腰三角形 ABC A ,,A B C ,,a b c 22tan tan a B b A =ABC A C ．已知向量是非零向量，则向量与向量共线存在不全为零的实数，使a ab ⇔12,λλ120a b λλ+=D ．向量满足，则或a b c ､､a b a c ⋅=⋅0a =b c = 【答案】AC【分析】确定，根据三角函数得到单调性得到，A 正确，取特殊值排除B ，π2B C <-sin cos C B <根据向量的运算知C 正确，当，且时等式成立，D 错误，得到答案.a b ⊥ a c ⊥【详解】对选项A ：，，，，π0,2B C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭π2B C <-ππ0,22C ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故，同理，故，正确；πsin sin cos 2B C C ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭sin cos C B <sin sin cos cos B C B C +<+对选项B ：取，，则，错误； π3A =π6B =sin sin a Ab B==22tan tan a B b A =对选项C ：非零向量与向量共线，则，即存在不全为零的实数， ab b a λ= 12,λλ使；120a b λλ+=若，，，故向量与向量共线，正确；120a b λλ+= 20λ≠12b a λλ=- a b 对选项D ：当，且时，，错误.a b ⊥ a c ⊥ a b a c ⋅=⋅故选：AC11．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边ABCD ,E H ,AB AD ,F G 上的三等分点，且，则下列说法正确的是（ ） ,BC CD 23CF CG CB CD ==A ．四点共面 ,,,E F G HB ．与异面EF GH C ．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 EF GH M AC AC D ．与的交点一定在直线上 EF GH M AC 【答案】AD【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A ，B ；由FG EH ∥平面基本事实推理可判断C ，D.【详解】在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，则，且EH BD ∥12EH BD =，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且，则，且，23CF CG CB CD ==FG BD ∥23FG BD =因此，点E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确，B 错误；FG EH ∥，，即四边形是梯形，则EF 与GH 必相交，交点为M ， FG EH ∥FG EH >EFGH 点M 在EF 上，而EF 在平面ACB 上，则点M 在平面ACB 上，同理点M 在平面ACD 上， 则点M 是平面ACB 与平面ACD 的公共点，而AC 是平面ACB 与平面ACD 的交线， 所以点M 一定在直线AC 上，故C 错误，D 正确. 故选：AD.12．下列说法正确的是（ ）A ．设是非零向量，且，则 ,a ba b A a b a b ⋅= B ．若为复数，则12,z z 1212z z z z ⋅=⋅C ．设是非零向量，若，则 ,a b a b a b +=- 0a b ⋅=D ．设为复数，若.，则12,z z 1212z z z z +=-120z z =【答案】BC【分析】确定或，A 错误，计算得到BC 正确，举反例，，得到a b a b ⋅= a b a b ⋅=-11z =2i z =D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：是非零向量，且，则或，错误； ,a ba b A a b a b ⋅= a b a b ⋅=-对选项B ：设，，，1i z a b =+2i z c d =+,,,R a b c d ∈，正确；(12z z ac bd ad ⋅=-++对选项C ：，则，整理得到，正确；a b a b +=- ()()22a ba b +=-0a b ⋅=对选项D ：取，，满足，，错误； 11z =2i z =1212z z z z +=-12i z z =故选：BC三、填空题13．已知向量，且，则___________. (23),(31)a t b =-=- ，，(2)a b b +∥a =r【答案】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以，又， (23)a t =- ，(31)b =- ，()24,1a b t +=+ (2)a b b +∥所以，解得，所以，故. ()()41310t +⨯--⨯=7t =-()93a =- ，a =故答案为：14．复数的共轭复数是__________ 11iz =-【答案】1i2-【分析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可. z z 【详解】， 11i 1i 1i (1i)(1i)2z ++===--+∴. 1i 2z -=故答案为：1i2-四、双空题15．已知三棱锥中，,，分别是的中点，A BCD -3AB AC DB DC ====2AD BC ==,EF ,BD CD 是棱上（除端点外）的动点，则的最小值为__________；当时，三棱锥P AC PD PB +2=AP PC 体积为__________.P ABD -【答案】【分析】（1）空间中距离之和的最值问题一般转化为平面中的距离问题，将空间中的面展开铺平研究即可得；（2）解法一：三棱锥体积可以通过间接的方法获得，因为，所以P ABD -2=AP PC ，只要求出三棱锥的体积即可，取的中点为，证明垂直于平面23P ABD C ABD V V --=C ABD -BC G BC ，即可用分割的方法求得体积；AGD 解法二：将三棱锥补形成长方体，再利用切割法即可求得三棱锥的体积. P ABD -【详解】第1空：因为，，3AB DC ==2AD BC ==所以将空间四边形展开铺平可得平行四边形，如图所示：ABCD ABCD在中，，，由余弦定理可得，ADC △2AD =3AC DC ==1cos 3ADC ∠=DB DA =+=而，所以. PD PB DB +≥=PD PB +第2空： 解法一：当时，易知.2=AP PC 23P ABD C ABD V V --=取的中点为，连接，如图所示：BC G ,AGDG因为，，所以，且3AB AC ==2BC =AG BC ⊥AG =又因为，，所以，且3DB DC ==2BC =DG BC ⊥DG =故可知平面，即和分别为三棱锥和的高. BC ⊥ADG BG CG BADG -C ADG -在中，，所以ADG △AG DG ==2AD =122ADG S ==A 故，1()3C ABD B ADG C ADG ADG V V V S BG CG ---=+=+=A 所以23P ABD C ABD V V --==解法二：当时，易知.2=AP PC 23P ABD C ABD V V --=因为，，所以可以构造如图所示的长方体：3AB AC DB DC ====2AD BC ==设长方体的长、宽、高分别为，a b c 、、则可知,解得，222222222994a c DB a b DC b c BC ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩a b c ===，观察图形可知，三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，C ABD -故11432C ABD V -=⨯⨯=23P ABD C ABD V V --==五、填空题16．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，在侧面上1111ABCD A B C D -,E F 1,AD AA P 11ADD A （包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度的取值范围__________.P BEF -1PC【答案】 {⎡⎣【分析】根据题意计算的轨迹为线段和点，分别计算点在线段上时h =P 1A D A P 1A D 和点时的范围，得到答案.A 【详解】设中边的高为，连接，， PEF !EF h 11A C 1C D则三棱锥的体积，故P BEF -116932V =⨯⨯⨯=h =和点到的轨迹为线段和点， 1A D A EF P 1A D A点在线段上时，为边长为P 1A D 11AC D A故到 P 1C =点与点重合时，P A 1PC =综上所述：的长度的取值范围为. 1PC {⎡⎣ 故答案为：.{⎡⎣六、解答题17．已知是坐标原点，，O (2,3),(1,4)OA OB ==(1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影；OB OA(2)若，，，请判断C 、D 、E 三点是否共线，并说明理由. 3OC OA = 3OD OB =2OE OA OB =+ 【答案】(1)坐标2842,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)共线，理由见解析【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到，即可求解.3CD CE =【详解】（1）解：由向量，可得 (2,3),(1,4)OA OB ==213414OA OA OB =⋅=⨯+⨯= 则投影向量的坐标是，， ||cos OB OA < 2842,1313||||||OA OA OB OA OB OA OA OA ⋅⎛⎫>⋅=⋅= ⎪⎝⎭数量投影是，||cos OB OA < ||OA OB OB OA ⋅>==即向量在. OB OA （2）解：、、三点共线， C D E 理由：向量，(2,3),(1,4)OA OB ==因为，，，3OC OA = 3OD OB =2OE OA OB =+ 可得，，， (6,9)OC =(3,12)OD = (5,10)OE = 所以，，(3,3)CD OD OC =-=-(1,1)CE OE OC =-=- 可得，所以、、三点共线.3CD CE =C D E 18．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中P ABCD -2,4,AB PA M ==PB 2,PM MB N =PD 点．求：(1)四棱锥的表面积； P ABCD -(2)三棱锥的体积． N MCD -【答案】(1)4+【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得；（2）根据M 、N 的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积. P ABCD -【详解】（1）作，垂足为E ，PE BC ⊥由正四棱锥性质可知，E 为BC 中点，所以 PE ===所以；144242P ABCD S -=+⨯⨯=+（2）作平面ABCD ，由正四棱锥性质可知O 为BD 的中点 PO ⊥因为 12OB BD ===所以PO ==又是的中点，2,PM MB N =PD 所以221333N MCD M NCD B NCD N BCD P BCD V V V V V -----====1114663P ABCD -==⨯⨯=19．如图，在中，，，与的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线OAB A 3OA OC =2OB OD = AD BC 段、于E 、F 两点.ACBD(1)用，表示；OA OBOM (2)设，.①求证：；②求的最小值.OE OA λ= OF OB μ= 125λμ+=λμ+【答案】(1)1255OM OA OB =+(2)①证明过程见详解；【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可；（2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由三点共线可得存在实数，使得，,,A M D t 1(1)(1)2OM tOA t OD tOA t OB =+-=+-同理由三点共线可得存在实数，使得，,,C M B m 1(1)(1)3OM mOB m OC mOB m OA =+-=+-所以，解得，()()113112t m t m⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1525t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以.1255OM OA OB =+ （2）①设，其中.OM xOE yOF x OA y OB λμ=+=+ 11,[,1]3x y λ+=∈所以，则，所以；1525x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1525x yλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩125λμ+=②所以，当且仅当时取等号，即11212()()(3)55μλλμλμλμλμ+=++=++≥2μλλμ=.λ=λμ+20．已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为()()sin2f x xωϕ=+π0,2ωϕ><π.π,06⎛⎫⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()y f x=(2)若方程在上的解为，求.()13f x=()0,π12,x x()12cos x x-【答案】(1)()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭(2)13【分析】（1）根据周期得到，根据对称中心得到，得到解析式.1ω=π3ϕ=-（2）确定，根据对称性得到，代入解析式计算得到答案.ππ5π2,333x⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭125π6x x+=【详解】（1），，故，()()sin2f x xωϕ=+2ππ2Tω==()()sin2f x xϕ=+一个对称中心为，故，即，π,06⎛⎫⎪⎝⎭π2π,Z6k kϕ⨯+=∈ππ,Z3k kϕ=-∈，故当时，满足条件，此时，故.π2ϕ<0k=π3ϕ=-()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭（2），故，，()0,πx∈ππ5π2,333x⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭()11π1sin233f x x⎛⎫=-=⎪⎝⎭且，即，12ππ22π3322x x-+-=125π6x x+=.()121115ππππ1cos cos2cos2sin263233x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为(),OM a b=()()sin cosf x a x b x x=+∈R(),OM a b=函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴()()sin cosf x a x b x x=+∈R O函数”构成的集合为．S(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，()()ππ3cos63h x x x x⎛⎫⎛⎫=++-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R()h x OM求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．OM(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求(),M a b(b a∈OM ()f x0x x=的取值范围．0tan 2x 【答案】(1)存在，或1,2⎛- ⎝12⎛ ⎝(2) ()),0-∞⋃+∞【分析】（1）由题知，进而根据相伴向量的定义求解即可；()3cos h x x x =+（2）根据三角函数的性质得，进而结合二倍角公式得，再0t n a x ⎫∈+∞⎪⎪⎭0002tan 21tan tan x x x =-令，进而结合函数值域求解即可. 0tan t x⎫∈+∞⎪⎪⎭=【详解】（1）因为()ππ3cos 63h x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3cos cos sin sin 6633x x x x⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭ ππππcossin 3cos cos 3sin sin 6633x x xx =++， 33cos cos 3cos 22x x x xx x =+=+所以，函数存在相伴向量，， ()h x )OM =所以，与或OM)12⎛=⎝. )1,2OM OM⎛-==- ⎝（2）的“相伴函数”，OM ()()sin cos ,tan b f x a x b x x aϕϕ=+=+=因为在处取得最大值， ()f x 0x x =所以，当，即时，0π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈0π2π,Z 2x k k -ϕ=+∈()f x 所以，，0πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0πcos cos2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以， 0cos 1tan sin tan x ϕϕϕ==因为，， (tan ba ϕ=∈1tan ϕ⎫∈+∞⎪⎪⎭所以，0cos 1tan sin t n a x ϕϕϕ⎫∈+∞⎪⎪⎭==所以， 0020002tan 2tan 211tan tan tan x x x x x ==--令，则， 0tan t x ⎫∈+∞⎪⎪⎭=0011tan tanx t x t -=-因为均为上的单调递减函数， 1,y y t t ==-⎫+∞⎪⎪⎭所以在上单调递减， 1y t t =-⎫+∞⎪⎪⎭所以， 0011tan tan xt x t ⎛-=-∈-∞ ⎝所以，，())00202tan 2tan 2,011tan tan tan x xx x x ==∈-∞+∞-- 所以，的取值范围为.0tan 2x ()),0-∞⋃+∞22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离CD =x m ，且记在C 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角∠ACB 最大？ 参考数据:. sin 80.14,sin 370.6,sin 450.7,sin1270.8≈≈=≈ 【答案】(1)151.5m BE =(2)，∠ACB 最大x =【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可； ABC A BC Rt BCD A BD （2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两π02ACB βα∠=<-<Rt BCD A Rt ACD △tan ,tan αβ角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即tan ACB ∠x 可得解.【详解】（1）由题意可知，， 37,45,8,45BCD ACD ACB A ∠=︒∠=︒∠=︒=︒在中，，ABC A sin sin AB BCACB A=∠所以，250BC =≈在中，， Rt BCD A sin 2500.6150BD BC BCD =⋅∠≈⨯=所以出山高；150 1.5151.5m BE =+=（2）由题意知，且， ,ACD BCD βα∠=∠=π02αβ<<<则， π02βα<-<在中，， Rt BCD A 150tan BD CD xα==在中，， Rt ACD △200tan AD CD xβ==则 ()200150tan tan tan tan 2001501tan tan 1x x ACB x x βαβαβα--∠=-==++⋅250503000030000x x x x ==≤=++当且仅当，即 30000x x=x =所以取得最大值时， tan ACB ∠x =又因为，所以此时最大，π02ACB <∠<ACB ∠所以当时，最大.x =ACB ∠。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z =2i1i-，则复数z 的虚部为（）A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】C【分析】先通过复数的除法运算求出z ，进而求出虚部.【详解】由题意，()2i 1i 2i 1i 1i 2z +===-+-，则z 的虚部为1.故选：C.2．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβC ．若//αβ，//a α，则//a βD ．若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c 【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析．【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，故A 选项错误；若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ或α与β相交，故B 选项错误．若//αβ，//a α，则//a β或a β⊂，故C 选项错误；若a αβ⋂=，b βγ= ，c αγ⋂=，//a b ，则//b c ，正确，证明如下：//a b ，a γ⊄，b γ⊂，//a γ∴，又a α⊂，且c αγ⋂=，//a c ∴，则//b c ，故D 选项正确；故选：D ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A ．3B ．23C ．4D ．12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a =，所以||2a = ，2a b +()2222||44||a ba ab b =+=+⋅+4421cos604=+⨯⨯⨯+ =23.故选：B4．已知向量(cos ,3)a α= ，(sin ,4)b α=- ，//a b，则3sin cos 2cos 3sin αααα+-的值是（）A ．12-B ．2-C ．43-D ．12【答案】A【分析】根据//a b ，可得4tan 3α=-，再利用同角之间的公式化简3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--，代入即可得解.【详解】因为向量(cos ,3)a α= ，(sin ,4)b α=- ，//a b 4cos 3sin a a ∴-=，即4tan 3α=-3sin cos 3tan 1412cos 3sin 23tan 2412αααααα++-+∴===--+-故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是3sin cos 3tan 12cos 3sin 23tan αααααα++=--的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.5．已知,,A B C 均在球O 的球面上运动，且满足π3AOB ∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为（）A ．12πB ．48πC ．323πD ．643π【答案】C【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大,等体积法即可解决.【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故3243R =，则球O 的体积为34π323π3R V ==，故选:C.6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，3AB =，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，过BF 的平面α与直线1C E 平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（）A ．3B ．32C ．33D ．35【答案】D【分析】取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，进而证明1//EC 平面ABFG 得到平面ABFG 即为所求的平面α，再求面积即可.【详解】解：如图，取1DD 中点G ，连接,,GA GF AF ，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，所以11//,AE C F AE C F =，所以四边形1AEC F 是平行四边形，所以1//EC AF ，因为G 为1DD 中点，F 为棱1CC 的中点，所以//,GF DC GF DC =，又因为//,AB DC AB DC =，所以//,AB GF AB GF =，所以四边形ABFG 是平行四边形，又因为1EC ⊄平面ABFG ，AF ⊂平面ABFG ，所以1//EC 平面ABFG ，所以平面ABFG 即为所求的平面α，又因为12AA AD ==，3AB =，所以面积为232135S =⨯+=故选：D7．圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA CATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315-m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30︒，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m【答案】D【分析】在在Rt ABM 中，求出AM ，在ACM △中，利用正弦定理求出CM ，再解Rt MCD △即可得解.【详解】由题意可知，在Rt ABM 中，15315,15AB AMB =-∠=︒，则()232162sin sin15sin 453022224AB AMB AM -∠==︒=︒-︒=⨯-⨯=，所以15315302624AM -==-，在ACM △中，301545,1806015105MAC AMC ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，则1804510530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin AM CMACM MAC=∠∠，所以230226012CM ⨯==，在Rt MCD △中，60CMD ∠=︒，则3sin 2CD CMD CM ∠==，所以3603032CD =⨯=，所以小明估算索菲亚教堂的高度为303m .故选：D.8．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3tan tan cos cA B a B=+，下列结论正确的是（）A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为43C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且23AD =，则112b c+=D ．当33a b c -=时，ABC 为直角三角形【答案】D【分析】选项A ：先用正弦定理得3sin tan tan sin cos CA B A B=+，再利用三角恒等变换，求出3A π=，即可；选项B ：直接解三角，发现无解即可；选项C ：利用等面积法，的到,b c 的关系即可；选项D ：利用正弦定理得31sin sin sin 32B C A -==，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.【详解】选项A:因为3tan tan cos cA B a B=+，由正弦定理可得3sin tan tan sin cos CA B A B=+，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以()3tan tan sin cos sin cos cos sin A B A B B A A B =++，化简可得()3tan tan tan tan tan A B A B A+=+，因为3tan tan cos cA B a B =+，所以tan tan 0A B +≠可得tan 3A =，()0,A π∈，故3A π=，选项A 错误；选项B ：当2a =，4c =时，由选项A ，得3A π=，因为2222cos a b c bc A =+-，可得24120b b -+=，无解，故此时三角形不存在，选项B 错误；选项C ：因为若AD 是BAC ∠的角平分线，且23AD =，由选项A ，得3A π=故6BAD CAD π∠=∠=，而BAD CAD ABCS S S +=△△△得11123sin 23sin sin 262623c b bc πππ⨯⨯+⨯⨯=，得12c b bc +=，所以1112b c +=，选项C 错误；选项D ：因为33a b c -=，由正弦定理可得31sin sin sin 32B C A -==，又A B C π++=，3A π=，得23B C π=-，所以21sin sin 32C C π⎛⎫--=⎪⎝⎭，化简可得1cos 62π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得6C π=或2π，由条件可知C B <，故2C π=舍去，故6C π=，所以2B π=，所以ABC 为直角三角形，选项D 正确．故选：D二、多选题9．设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12iz =+【答案】AD【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i z z +=+，则12415z z +=+=，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10．下列说法中错误．．的为（）．A ．已知()1,2a = ，()1,1b = 且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b > 且a 与b 同向，则a b>D ．非零向量a 和b ，满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30°【答案】AC【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．【详解】解：对于A ， (1,2),(1,1),a b a == 与a b λ+ 的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ+=++=+++=+>，且0(0λλ≠=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量124e e =，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；对于D ．因为||||a a b =- ，两边平方得，2||2·b a b =，则223()||||2a a b a a b a +=+= ，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=++= ，故23||()32cos ,2||||||3||a a ab a a b a a b a a +<+>===+ ，而向量的夹角范围为[0︒，180]︒，得a与a b +的夹角为30︒，故D 项正确．故错误的选项为AC ．故选：AC ．11．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .下面四个结论正确的是（）A ．2a =，30A =︒，则ABC 的外接圆半径是4B ．若cos sin a bA B=，则45A =︒C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D ．若3AB =，1AC =，30B =︒，则ABC 的面积为34或32【答案】BCD【分析】由正弦定理有2sin aR A=判断A ；由正弦定理有cos sin A A =，结合三角形内角性质求角的大小判断B ；由题意得222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理边角关系、余弦定理即可判断三角形形状判断C ；利用余弦定理求BC ，应用三角形面积公式求面积判断D.【详解】A ：由外接圆半径为2212sin 22a R A ===⨯，错误；B ：由cos sin sin a b aA B A==，即cos sin A A =，故tan 1,0180A A =︒<<︒，则45A =︒，正确；C ：由222sin sin cos 1A B C ++<，则2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，正弦边角关系知：222a b c +<，而222cos 02a b c C ab+-=<，0180C ︒<<︒，所以C 为钝角，则ABC 为钝角三角形，正确；D ：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即2320BC BC -+=，可得1BC =或2BC =，显然1BC =或2BC =都满足构成ABC ，故ABC 的面积1sin 2AB BC B ⋅为34或32，正确.故选：BCD12．在正三棱锥-P ABC 中，设APB APC BPC θ∠=∠=∠=，2PA =，则下列结论中正确的有（）A ．当π2θ=时，P 到底面ABC 的距离为233B ．当正三棱锥-P ABC 的体积取最大值时，则有π3θ=C ．当π6θ=时，过点A 作平面α分别交线段PB ，PC 于点E ，F （E ，F 不重合），则AEF △周长的最小值为22D ．当θ变大时，正三棱锥-P ABC 的表面积一定变大【答案】ACD【分析】利用等体积法求正三棱锥的高判断A ；分析得当π2θ=时三棱锥体积最大判断B ；利用平面展开图分析C ，写出表面积，利用三角函数的单调性判断D ．【详解】A ，当π2θ=时，22AB BC AC ===，1322222322ABC S =⨯⨯⨯=△，设正三棱锥-P ABC 的高为h ，111332P ABC ABC V S h PA PB PC -==⨯⋅⋅ ，得233h =，正确；B ，由P ABC A PBC V V --=，当正三棱锥-P ABC 的体积取最大值时，△PBC 面积及A 到面PBC 距离最大，而2PA =，则A 到面PBC 距离最大为2，此时PA ⊥面PBC ，易知π2θ=，错；C ，当π6θ=时，过点A 作平面α分别交线段PB ，PC 于E ，(,F E F 不重合)，将棱锥展开，如上图示，则AEF △周长的最小值为展开图的直线距离22，正确；D ，在APB △中根据余弦定理得2222cos 88cos AB AP BP AP PB θθ=+-⋅=-，所以()1πsin 231cos 23ABC S AB BC θ=⋅=- ，所以()21π3231cos 32sin 43sin 2326ABC PAB S S S θθθ⎛⎫=+=-+⨯⨯⋅=-+ ⎪⎝⎭ ，因为2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,662θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故函数πsin 6y θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，即当θ变大时，正三棱锥-P ABC 的表面积一定变大，正确．故选：ACD ．三、填空题13．已知()1,1a = ，()2,1b =- ，则b 在a上的投影向量的坐标为.【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的定义求b 在a上的投影向量坐标即可.【详解】由b 在a上的投影向量为2111(1,1)(,)222||||a b a a a ⋅-+⋅=⋅=--.故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为93π，则该圆锥的母线长为.【答案】6【分析】利用圆锥侧面积、底面积及体积公式列方程求母线长即可.【详解】令圆锥母线、底面半径分别为,l r ，则2222π2π1π93π3rl r l r r ⎧=⎪⎨-⋅=⎪⎩，所以3227l r r =⎧⎨=⎩，可得6l =.故答案为：615．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，120BAC ∠=︒且∠BAC 的平分线交BC 于D ，若1AD =，则4b c +的最小值为．【答案】9【分析】先根据三角形面积关系列,b c 等量关系，再根据基本不等式求最值.【详解】因为AD 平分∠BAC ，所以60BAD CAD ∠=∠=︒，ABC ABD ACD S S S =+ ，即111sin120sin 60sin 60222bc cAD bAD ︒=︒+︒，又1AD =，整理得bc c b =+，故111b c+=所以()114445c bb c b c b c b c ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭4259c b b c ≥⋅+=，当且仅当4c b b c=，111b c +=，即3b =，32c =时等号成立，则4b c +的最小值是9．故答案为：9.四、双空题16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，如图所示，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，13AA =，则四面体1A A BC -的体积为，四棱锥111A BCC B -的外接球的表面积为．【答案】114π【分析】直接根据锥体的体积公式代入计算即可得到结果；根据题意找出球心所在位置为1OO 的中点位置，然后求得半径，根据球的表面积公式即可得到结果.【详解】由题意可得1121122ABC S AB AC =⨯⋅=⨯⨯=V ，且1h AA =，则11113133AB A A BC C V S h -=⋅=⨯⨯=V 因为ABC 外接圆的圆心即为BC 中点，设为O ，111A B C △外接圆的圆心即为11B C 中点，设为1O ，则1OO 的中点到六个顶点的距离相等，则1OO 的中点M 为外接球的球心，即CM 为半径，22115222OC BC AC AB ==+=，11322OM AA ==所以225914442CM OC OM =+=+=，即外接球的表面积为2144π4π14π4R =⨯=故答案为:1，14π五、解答题17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M ，N ，P 分别为AB ，BC ，B 1C 1的中点．(1)求证：AC ∥平面B 1MN ；(2)求证：平面ACP ∥平面B 1MN ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由已知，M ，N 分别为AB ，BC 的中点．所以MN ∥AC ，利用线面平行的判定定理即可证明AC ∥平面B 1MN ；（2）由已知，P 为B 1C 1的中点．可证B 1P ＝CN ，B 1P ∥CN ，从而证明四边形B 1PCN 是平行四边形，得到CP ∥B 1N ，利用线面平行的判定定理即可证明CP ∥平面B 1MN ，结合第（1）问AC ∥平面B 1MN ，利用面面平行的判定定理即可证明平面ACP ∥平面B 1MN.【详解】（1）证明：因为M ，N 分别为AB ，BC 的中点．所以MN ∥AC ，因为MN ⊂平面B 1MN ，AC ⊄平面B 1MN ，所以AC ∥平面B 1MN ，得证.（2）证明：因为P 为B 1C 1的中点．所以B 1P ＝CN ，又因为B 1P ∥CN ，所以四边形B 1PCN 是平行四边形，所以CP ∥B 1N ，又因为B 1N ⊂平面B 1MN ，CP Ë平面B 1MN ，所以CP ∥平面B 1MN ，由第（1）问，AC ∥平面B 1MN ，AC ∩CP ＝C ，AC ⊂平面ACP ，CP ⊂平面ACP ，所以平面ACP ∥平面B 1MN ．得证.18．已知()22sin ,cos a x x = ，(3cos ,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及x 的范围求出26x π+的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：2(1)(2sin ,cos )a x x = ，(3cos ,2)b x = ，由2()23sin cos 2cos f x a b x x x=⋅=+ 3sin 2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x \的最小正周期22T ππ==，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得：2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，()f x \的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；()2由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为7210,6sin π+=当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为213,2sin π+=故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0．19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=（1）求角A ；（2）若ABC ∆的周长为8，外接圆半径为3，求ABC 的面积.【答案】（1）60A =︒；（2）433.【解析】（1）由条件、三角形的内角和、三角函数的和差公式和正弦定理可化得答案；（2）由正弦定理求出a ，然后可得b c +，然后结合余弦定理可得bc ，然后可得答案.【详解】（1）由()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=和A B C π++=得即()()cos cos 23sin cos a B C a B C b C A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin a B C a B C a B C B C+--23sin cos b C A =即sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan 3A =，因为()0,A π∈，所以3A π=（2）因为ABC 的外接圆半径为3，所以32sin 2332a R A ==⨯⨯=，所以5bc +=，由余弦定理得()22222cos 22cos 3a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=()23b c bc +-所以()22325916bc b c a =+-=-=，得163bc =，所以ABC 的面积1116343sin 22323S bc A ==⨯⨯=20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，P 为1BB 的中点，M 为11B C 的中点，(1)求证：1D M ∥平面1A DP ；(2)若12,60AA AB BAD ==∠=︒，求M 到平面1A DP 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：取1CC 的中点N ，连接1,D N MN ，先证明四边形11A D NP 为平行四边形，得11D N A P ∥，再证明平面1D MN ∥平面1A DP ，利用面面平行的性质即可证明；方法二：连接1AD ，交1A D 于点O ，连接,OP PM ，证明四边形1OD MP 为平行四边形，得11D N A P ∥，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）利用等体积法即可求解.【详解】（1）方法一：取1CC 的中点N ，连接1,,D N MN PN ，因为M 为11B C 的中点，所以1MN B C ∥，而11B C A D ∥，所以1MN A D ∥，又1MN A DP ⊄平面,11A D A DP⊂平面所以//MN 平面1A DP ，又因为P 为1BB 中点，所以1111NP B C A D ∥∥，则四边形11A D NP 为平行四边形，则11D N A P ∥，又1111,D N A DP A P A DP⊄⊂平面平面所以1D N ∥平面1A DP ，且1D N MN N = ，所以平面1D MN ∥平面1A DP ，则1D M ∥平面1A DP ．方法二：连接1AD ，交1A D 于点O ，连接,OP PM ，因为M 为11B C 中点，所以112PM BC ∥，又因为11AD BC ∥，所以1PM OD ∥，所以四边形1OD MP 为平行四边形，则1D M OP ∥，又11D M A DP ⊄平面,OP ⊂平面1A DP所以1D M ∥平面1A DP（2）由（1）可知，M 到平面1A DP 的距离等于1D 到平面1A DP 的距离，设为h ，因为111D A DP P ADD V V --=，所以11111333A DP A DD S h S ⋅=⋅，而112,6ADD A DP S S ==，所以2h =21．某公园有一块三角形空地，如图，在ABC 中，1003AB AC ==，120BAC ∠= ，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在ABC 中间挖出一个池塘AEF 用来放养观赏鱼，E 、F 在边BC 上，且60EAF ∠= ．(1)若100BE =，求EF 的长；(2)为节省投入资金，池塘AEF △的面积需要尽可能的小，记EAB θ∠=，试确定θ为何值时，池塘的面积最小．【答案】(1)100EF =(2)当30θ= 时，AEF △的面积最小【分析】（1）在ABE 中，利用余弦定理可求得AE 的长，分析可知AEF △为等边三角形，即可得出EF 的长；（2）分析可知060θ<< ，利用正弦定理求出AE 、AF ，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换化简AEF △的面积关于θ的表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得当AEF △的面积取最小值时对应的θ值.【详解】（1）解：在ABC 中，1003AB AC ==，120BAC ∠= ，则ABC 为等腰三角形，所以，30ABC ACB ∠=∠= ，在ABE 中，1003AB =，30ABE ∠=o ，100BE =，由余弦定理可得2232cos 303000010000210031001002AE AB BE AB BE =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，所以，AE BE =，则ABE 为等腰三角形，且30BAE ABE ∠=∠= ，所以，60AEF ABE BAE ∠=∠+∠= ，又因为60EAF ∠= ，所以，AEF △为等边三角形，故100EF AE ==.（2）解：因为EAB θ∠=，其中060θ<< ，在ABE 中，1003AB =，30ABE ∠=o ，EAB θ∠=，所以，150AEB θ∠=- ，由正弦定理sin sin AE AB ABE AEB =∠∠可得()()11003sin 5032sin sin 150sin 30AB ABE AE AEB θθ⨯∠===∠-+ ，在ACF △中，1003AC =，30ACF ∠= ，60CAF θ∠=- ，90AFC θ∠=+ ，由正弦定理sin sin AF AC ACF AFC =∠∠可得()11003sin 5032sin cos sin 90AC ACF AF AFC θθ⨯∠===∠+ ，所以，()11503503375003sin 22cos 2sin 30314cos sin cos 22AEF S AE AF EAF θθθθθ=⋅∠=⨯⨯⨯=⎛⎫++ ⎪⎝⎭△()27500375003750032sin 230123sin cos 2cos 3sin 2cos 21θθθθθθ===+++++ ，因为060θ<< ，所以，30230150θ<+< ，则()1sin 23012θ<+≤ ，所以，当23090θ+= 时，即当30θ= 时，AEF △的面积取最小值25003.22．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos 2cos c B b C a A +=.(1)求角A 的大小；(2)求11tan tan B C+的取值范围.【答案】(1)π3(2)23,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）根据正弦定理的边角转化，结合三角恒等变换求解；（2）切弦互化，结合（1）中的结果，利用三角恒等变换，将待求表达式用一个角来表示，运用三角函数的性质求解.【详解】（1）由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，又()()sin cos sin cos sin sin πsin C B B C B C A A +=+=-=，则sin 2sin cos A A A =，又()0,πA ∈，则sin 0A ≠，则1cos 2A =，则π3A =；（2）()sin 11cos cos sin cos sin cos tan tan sin sin sin sin sin sin B C B C C B B C B C B C B C B C +++=+==sin 3sin sin 2sin sin A B C B C==，由π3A =可得2π3C B =-，又ABC 为锐角三角形，则π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，则22π3131sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin 32222B C B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3111π1sin 2cos 2sin 2444264B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，又ππ5π2666B <-<，则π61sin 212B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则11π13sin 222644B ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，即13sin sin 24B C <≤，则2131tan ,3ta 3n B C ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭+∈.。
黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
哈尔滨市2022-2023学年度下学期期中考试高一数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()22i 1i z -=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】应用复数除法化简复数，即可得复平面上对应点，进而确定所在象限.【详解】由题意得()()()()()22i 2i 1i 3i223i 1i1i 1i 2--++=⨯=⨯=+--+，所以z 在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.故选：A2.若α为平面，有下列命题，其中真命题的是（）A.若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l α∥B.若直线a 在平面α外，则a 平面αC.若直线a b ，直线b ⊂平面α，则a 平面αD.若直线,a b b ∥ 平面α，则a 平行于平面α内的无数条直线【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系可直接判断.【详解】A 项还可能l ⊂α，故A 错误；B 项还可能a 与平面α相交，故B 错误；C 项还可能a α⊂，故C 错误；由直线与平面平行的性质以及平行的传递性可知D 正确.故选：D.3.已知圆锥的体积为13Sh ，其中S 为圆锥的底面积，h 为圆锥的高.现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为4cm ，高为8cm ），现向杯中以38cm /s 的速度匀速注入水，则注水()010s t t <<后，杯中水的高度为（）A.312cm πt B.332cm πt C.362cmπt D.3122cm πt 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的体积公式即可求解.【详解】假设注水()010s t t <<后，杯中水的水面半径为cm x ，则杯中水的高度82cm 4h x x ==，所以21π283x x t ⨯=，解得312πt x =，故杯中水的高度3122cm πth =.故选：D.4.如图，在正四棱锥O ABCD -中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30︒，E ，F 分别是线段OB ，OC 上的一点，则AE EF FD ++的最小值为（）A.4B.8C.22D.42【答案】D 【解析】【分析】将正四棱柱的侧面展开，可知AE EF FD ++的最小值为AD ，然后在OAD △中求解即可【详解】如图，将正四棱柱的侧面展开，则AE EF FD ++的最小值为AD ．在OAD △中，4OA OD ==，90AOD ∠=︒，则242AD OA ==．故选：D5.如图所示，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中22O C O A O B ''''''===，则以下说法正确的是（）A.ABC 是钝角三角形B.ABC 的面积是A B C ''' 的面积的2倍C.B 点的坐标为(0,2)D.ABC 的周长是442+【答案】D 【解析】【分析】将'''A B C 还原成原图依次分析选项可得答案.【详解】根据题意，将A B C ''' 还原成原图，如图，对于A ，ABC 中，有2OC OA OB ===，AC OB ⊥，所以22BC AB ==，4AC =，故ABC 是等腰直角三角形，A 错误；对于B ，ABC 的面积是142⨯=AB OB ，A B C ''' 的高为2sin 452''⨯= O B ，所以A B C ''' 的面积为12222''⨯=A C ，ABC 的面积是A B C ''' 的22倍，B 错误；对于C ，因为2OB =，B 的坐标为()02，，C 错误；对于D ，ABC 的周长为442BC AB AC ++=+，D 正确故选：D.6.已知121212,,22,2,2z z z z z z ∈-===C ，则12z z +=（）A.22B.2C.1D.12【答案】A【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z m n =+，根据已知可得22a b +，22m n +，22+am bn ，代入()()2212+=+++z z a m b n 计算可得答案.【详解】设()1i ,z a b a b =+∈R ，()2i ,z m n m n =+∈R ，所以224a b +=，224m n +=，因为1222z z -=，所以()()228-+-=a m b n ，即220+=am bn ，所以()()222222122222+=+++=+++++=z z a m b n a b m n ab mn .故选：A.7.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是（）A.EF 与GH 平行B.EF 与GH 异面C.EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D.EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上【答案】D 【解析】【分析】根据题意，连接EH ，FG ，由线面的平行关系，即可得到结果.【详解】如图所示：连接EH ，FG .因为F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，所以//GF BD ，且23GF BD =.因为点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，所以//EH BD ，且12EH BD =，所以//EH GF ，且EH GF ≠，所以EF 与GH 相交，设其交点为M ，则M ∈平面ABC ，同理M ∈平面ACD .又平面ABC ⋂平面ACD AC =，所以M 在直线AC 上．故选:D.8.已知锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22a b bc =+，若()cos cos C B A λ-+存在最大值，则实数λ的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,3C.()0,2 D.()2,4【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出2A B =，根据ABC 为锐角三角形可求得角B 的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出()22cos 2cos 21cos cos B C B A B λλ+=--++，求出cos 2B 的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数λ的不等式，解之即可.【详解】由余弦定理可得22222cos a b c bc A b bc =+-=+，则2cos c b A b -=，由正弦定理可得()sin sin 2sin cos sin 2cos sin B C B A A B A B=-=+-()sin cos cos sin 2cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A B A B =+-=-=-，因为ABC 为锐角三角形，则π02A <<，π02B <<，所以，ππ22A B -<-<，又因为函数sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增，所以，A B B -=，可得2A B =，由于ABC 为锐角三角形，则π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即π022π02π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得π6π4B <<，()()cos cos cos π4cos 2cos 2cos 4C B A B B B Bλλλ-+=-+=-22cos 2cos 21B B λ=-++，因为ππ232B <<，则10cos 22B <<，因为22cos 2cos 21B B λ-++存在最大值，则1042λ<<，解得02λ<<.故选：C.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知(1,3),(2,1),(3,5)a b c ==-=-，则（）A.()2a b c +⊥ B.()2//a b c+C.2a c+= D.2a c b+=【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.【详解】(1,3),(2,1),(3,5)a b c ==-=-对于A ，2(3,5)a b +=- ，(2)335(5)0a b c +⋅=-⨯+⨯-≠，2a b +与c不垂直，A 不正确；对于B ，2(3,5)a b c +=-=- ，有(2)//a b c +，B 正确；对于C ，(4,2)a c +=- ，有22||4(2)25a c +=+-=，C 不正确；对于D ，22||(2)15b =-+= ，由选项C 知||25a c += ，||2||a c b += ，D 正确.故选：BD10.如图，在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,D E F 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面DEF 平行的是（）A. B.C. D.【答案】AC 【解析】【分析】对A ，C ，利用线面平行的判定定理即可判断；对C ，将平面DEF 扩展，即可得出AB 与平面DEF 相交；对D ，由DF 与其所在的对角线平行,而AB 与对角线相交，可知AB 与平面DEF 相交.【详解】解：对于A ，//,AB DE AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故A 正确；对于B ，如图，取正方体所在棱的中点G ，连接FG 并延长，交AB 延长线于H ，则AB 与平面DEF 相交于点H ，故B 错误；对于C ，//AB DF ，AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴直线AB 与平面DEF 平行，故C 正确；对于D ，AB 与DF 所在平面的正方形对角线有交点B ，DF 与该对角线平行，∴直线AB 与平面DEF 相交，故D 错误.故选：AC.11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >B.若=cos cos a b B A，则ABC 为等腰直角三角形C.sin sin sin a b cA B C+=+ D.若tan +tan +tan <0A B C ，则ABC 为钝角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断结论.【详解】对于A ，若A B >，所以a b >，利用正弦定理可得2sin 2sin R A R B >，所以sin sin A B >，故A 正确；对于B ，由于=cos cos a b B A ，利用正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，整理得11sin2=sin222A B ，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以=A B 或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，所以+2sin +2sin ==2=sin +sin sin +sin sin b c R B R C aR B C B C A ，故C 正确；对于D ，由于tan +tan +tan <0A B C ，所以()()tan tan tan tan +1tan tan tan A B C A B A B C++=-+=tan +tan +tan tan tan =tan tan tan <0C C A B C A B C -，因为0<,,<πA B C ，所以,,A B C 中必有一个钝角，故ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ACD.12.在ABC 中，P ，Q 分别为边AC ，BC 上一点，BP ，AQ 交于点D ，且满足AP tPC = ，BQ QC λ=，BD DP μ= ，AD mDQ =，则下列结论正确的为（）A.若12t =且3λ=时，则23m =，9μ=B.若2μ=且1m =时，则13λ=，12t =C.若121tλ-=时，则121t μ-=D.()()()()1111t m t m μλμλ=++++【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线定理的推论，得到1111111t m m t m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，代入相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB 选项，对上式变形得到1111t t t t λλλμ++=+++，假设121t λ-=成立，推导出10λ=，得到矛盾，故C 错误，根据向量共线定理的推论得到1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t mμμμ++⋅⋅+⋅=+++，变形得到()()()()1111t m t m μλμλ=++++.【详解】由题意得：1t AC AP t += ，1m AQ AD m += ，BQ QC λ=，()AQ AB AC AQ λ-=- ，即111AQ AC ABλλλ=+++即11111m t AD AP AB m t λλλ++=⋅+++，所以111111t m m AD AP AB t m m λλλ+=⋅⋅+⋅++++，因为,,B D P 三点共线，所以1111111t m m t m m λλλ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =且3λ=时，11312111311312m m m m +⋅⋅+⋅=++++，解得：23m =，1BP BD μμ+= ，1BC BQ λλ+= ，AP tPC =，所以()BP BA t BC BP -=- ，即111t BP BC BA t t=+++，即11111t BD BQ BA t t μλμλ++=⋅+++ ，所以111111t BD BQ BA t t λμμλμμ+=⋅⋅+⋅++++ ，因为,,A D Q 三点共线，所以1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，当12t =且3λ=时，131121113111122μμμμ+⋅⋅+⋅=++++，解得：9μ=，故A 正确；若2μ=且1m =时，11211t t λλλ+⋅+=++，113112t t t λλ+⋅+=++，解得：11,23t λ==，B 错误；1111111t t t λμμλμμ+⋅⋅+⋅=++++，变形为：1111t t t t λλλμ++=+++，①若121tλ-=时，则2t t λλ-=，代入①式得：1111t μ-=+假设121t μ-=成立，则121t t=+，解得：2t =-，此时10λ=，显然无解，故假设不成立，故C 错误；同理可得：1111111m m m λμμλμμ++⋅⋅+⋅=+++，1111111m t m m t mμμμ++⋅⋅+⋅=+++，所以()()11111111t m m t m m μμμμμ-⋅=-=++++++，()()11111111m m m m m λμμλμμ-⋅=-=++++++，所以()()()()1111t mt m μλμλ=++++D 正确.故选：AD【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知||||3a b ==，e 是与向量b 方向相同的单位向量，向量a 在向量b 上的投影向量为32e ，则a 与b的夹角为_________【答案】60 ##3π【解析】【分析】根据向量a在向量b 上的投影向量为32e ，由cos ,32a b a b a b b b⋅⋅⋅==求解.【详解】解：因为向量a在向量b 上的投影向量为32e ，所以cos ,32a b a b a b b b⋅⋅⋅==，即1cos ,2a b = ，因为[],0,a b π∈，所以,60a b =，故答案为：6014.棱长为1的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，构成的几何体的表面积为__________．【答案】23【解析】【分析】在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，即可得出D MNC -为正四面体，求出表面积即可．【详解】在原正方体纸盒上，分别将,,,M N C D 四点两两相连，如图所示，因为,,,,,MN MC MD ND NC CD 为正方体的面对角线，所以2MN MC MD ND NC CD ======，所以D MNC -为正四面体，所以表面积为：23(2)4234⨯⨯=，故答案为：23．15.在ABC 中，D 是BC 边上一点，且π1,62AD B BD ==，若D 是BC 的中点，则AC AB=__________；若43AC =，则ADC △的周长的最大值为__________.【答案】①.213##1213②.843+##438+【解析】【分析】第一空，先在ABD △中利用余弦定理得到32AB BD =，再在ABC 中利用余弦定理得到72AC BD =，从而得解；第二空，先求得π3ADB ∠=，从而在ADC △中，利用余弦定理与基本不等式求得8AD CD +≤，从而得解.【详解】因为D 是BC 的中点，则24BD BC AD ==，π6B =，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD BD AB AB BD B =+-⋅⋅，即2223242BD BD AB AB BD =+-⋅⨯，整理得223304AB AB BD BD -⋅+=，解得302AB BD -=，所以32AB BD =，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC BC AB AB BC B=+-⋅⋅22233274224224BD BD BD BD BD =+-⨯⨯⨯=，即72AC BD=，所以7212332BDAC AB BD ==，若43AC =，π6B =，2BD AD =，由上述知332AB BD AD ==，所以22224BD AD AB AD ==+，则DA AB ⊥，故π3ADB ∠=，则23ADC ∠=π，在ADC △中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即()22248AD CD AD CD AD CD AD CD=++⋅=+-⋅()()222324AD CD AD CD AD CD +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则()264AD CD +≤，即8AD CD +≤，当且仅当4AD CD ==时，等号成立，故843AD CD AC +++≤，即ADC △的周长的最大值为843+.故答案为：213；843+.【点睛】易错点睛：本题容易犯错的点是第一空的条件用于第二空，或者在第二空的解析过程中被第一空的条件D 是BC 的中点误导，导致走了弯路.16.已知ABC 中，2||29AB AB AC +⋅=，3BC = ，则ABC 面积的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】利用条件结合余弦定理，求出22218c b +=，cos 4bA c=，再求出22222211sin 1cos 11614491644b A A c b b c c c=-=-=⨯-=⨯-，代入面积公式1sin 2ABC S bc A = 转化为关于2b 的二次函数即可求解.【详解】由题知，ABC 如图所示：因为2||29AB AB AC +⋅=，所以22cos 9c cb A +=，由余弦定理得：222222cos 92cos a b c bc A b c bc A =+-⇒=+-，联立解得：22218c b +=，cos 4b A c=，所以22222211sin 1cos 11614491644b A A c b b c c c=-=-=⨯-=⨯-，所以2241111sin 144914492248ABC S bc A b c b b b c ==⨯⨯⨯⨯-=⨯- ，()2219857638b =⨯--+≤.故答案为：3.【点睛】考查了解三角形中余弦定理，面积公式等相关知识点，对于范围问题可尝试转化为二次函数或基本不等式来分析求解.四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．（1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）点G 不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点M ，根据AF =14AB ，得到F 为AM 的中点，又E 为AA 1的中点，根据三角形中位线定理得EF ∥A 1M ，从而在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1DBM 为平行四边形，进一步得出EF ∥B D ．最后根据线面平行的判定即可证出EF ∥平面BC 1D ．（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC 上存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG 与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【小问1详解】证明：取AB 的中点M ，∵AF =14AB ，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D =BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．【小问2详解】设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=，∵111111sin 321sin 2E AFGABC A B CAF AG GAF AE V V AB AC CAB AA --⨯⋅∠⋅=⋅∠⋅111134224AG AG AC AC=⨯⨯⨯=⋅∴112416AG AC ⋅=，∴32AG AC =，∴AG =32AC >AC ．所以符合要求的点G不存在．18.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222222sin sin b c a a c b B A+-+-=．（1）证明：A B =．（2）若D 为BC 的中点，从①4=AD ，②1cos 4C =，③2CD =这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A B =；（2）三种情况，在ACD 中，利用余弦定理证明即可.【小问1详解】已知222222sin sin b c a a c b B A+-+-=，由余弦定理可得2cos 2cos sin sin bc A ac B B A =，即cos cos sin sin b A a B B A=，又由正弦定理sin sin b aB A =，得cos cos A B =，角A ，B 为△ABC 中内角，所以A B =.【小问2详解】△ABC 中,A B =，D 为BC 的中点，如图所示，()1①②⇒③已知4=AD ，1cos 4C =，求证2CD =.证明：2AC CD =，ACD 中，2222224161cos 244AC CD AD CD CD C AC CD CD +-+-===⋅，解得2CD =.()2①③⇒②已知4=AD ，2CD =，求证1cos 4C =.证明：24AC CD ==，所以ACD 中，222164161cos 22424AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯.()3②③⇒①已知1cos 4C =，2CD =，求证：4=AD .证明：24AC CD ==，在ACD 中，由余弦定理，22212cos 164242164AD AC CD AC CD C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以4=AD 19.在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知在13a =，b c >，(cos ,cos )m C A =，(2)n a c b =- ，且m ⊥ n .（1）求角A 大小；（2）若ABC 面积为33，12BD DC =，求AD 的长.【答案】（1）π3（2）2193【解析】【分析】（1）利用向量垂直充要条件及两角和的正弦公式即可求得cos A 的值，进而求得角A 大小；（2）先利用题给条件求得b c 、的值，再利用向量的数量积求得AD，进而得到AD 的长【小问1详解】(cos ,cos )m C A = ，(2)n a c b =- ，且m ⊥ n ，则0m n ⋅=，则cos (2)cos 0a C c b A +-=，∴sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A +-=，则sin 2sin cos 0B B A -=又sin 0B >，∴1cos 2A =，又∵(0,π)A ∈，∴π3A =.【小问2详解】由11sin 33324ABC S bc A bc ===△，可得12bc =又由22213a b c bc ==+-，可得2225b c =+联立222512b c bc ⎧+=⎨=⎩，解之得43b c =⎧⎨=⎩或34b c =⎧⎨=⎩又b c >，则43b c ==，因为12BD DC = ，所以1233AD AC AB=+所以2221441441761693499999929AD AC AB AC AB =++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯=所以2193AD = ，即2193AD =20.在ABC 中，,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，已知23cos S bc A =.（1）求角A 大小；（2）若3a =，求223b c bc ++的取值范围.【答案】（1）π3（2）(]3,15【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得1sin 2S bc A =，结合题设化简即可求解；（2）由正弦定理可得2sin ,2sin b B c C ==，由余弦定理可得223b c bc +=+，进而结合三角恒等变换化简可得22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】根据题意，23cos S bc A =，且1sin 2S bc A =，则12sin 23cos bc A bc A ⨯=，即tan 3A =，在ABC 中，有()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知，π3A =，可得3sin 2A =，2ππ3BC A +=-=，由3a =，则根据正弦定理有2sin sin sin a b c A B C===，得2sin ,2sin b B c C ==，根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得223b c bc +=+，所以2222π334316sin sin 316sin sin 383sin cos 8sin 3b c bc bc B C B B B B B ⎛⎫++=+=+=+-=++⎪⎝⎭π743sin24cos278sin 26B B B ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]22π378sin 23,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭.21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=，已知4CD =m ，2CE =m ．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．【答案】（1）732；（2）1033.【解析】【分析】（1）先由余弦定理求出ME ，再求出cos CME ∠，进而求出sin ENM Ð，最后根据正弦定理求出答案；（2）先用等面积法求出,,MN EM EN 间的关系，进而运用余弦定理结合基本不等式建立,,MN EM EN 之间的不等式，两者结合即可得到答案.【详解】（1）当M ，D 重合时，由余弦定理知，222cos 27ME CM CE CM CE MCE =+-⋅⋅∠=所以22257cos 214CM ME CE CME CM ME +-∠==⋅，因为π2CME EMN ∠+∠=，所以57sin cos 14EMN CME ∠=∠=因为cos 0EMN ∠>，所以221cos 1sin 14EMN EMN ∠=-∠=，因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭3127cos sin 227EMN EMN =∠+∠=，∴在EMN 中，由正弦定理可知，sin sin MN EM MEN ENM =∠∠，解得732MN =m .（2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 532h m ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以1135222EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅⋅，所以103MN EM EN =⋅又由余弦定理可知，2221222MN EM EN EM EN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅≥⋅-⋅=⋅，当且仅当EM EN =时“=”成立.所以2103MN MN ≥，解得1033MN ≥m ．答：（1）路灯在路面的照明宽度为732m ；（2）照明宽度MN 的最小值为1033m ．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.【答案】（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【解析】【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t=-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.【点睛】关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。
(高一下数学期中14份合集)黑龙江省哈尔滨市高一第二学期半期考精选试卷含答案
高一下学期(第二学期)数学期中考试试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
每题只有一项符合题目的要求) 1．-300°化为弧度是 （ ） A 34π-B 35π-C 32π-D 65π- 2若(0,2)x π∈，则使函数y=有意义的x 的取值范围是A (,)42ππ B (,)4ππ C 5(,)44ππ D 53(,)(,)442ππππU 3.已知角α的终边过点()43P -，，则ααcos sin 2+的值是（ ） A35 B 52 C 52- D 35- 4. 已知D,E,F 分别是ABC ∆的边AB ,BC ,CA 的中点则( )A BD 0BE FC --=u u u r u u r u u u r r ,B BD 0CF DF -+=uu u r uu u r uuu r rC AD 0CE CF +-=u u u r u u r u u u r r D AD 0BE CF ++=u u u r u u r u u u r r5．在ABC ∆中，0120,tan tanB 3C A =+=,则tan tanB A ∙= A14 B 13 C 12 D 436．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB uu u r 在CD uu ur 方向上的投影为A322B 3152C －322D －31527.函数22cos ()1y x π=--是（ ）8．已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则实数k 等于A 92-B 0C 3D 1529.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,再把图象上各点向左平行移动3π个单位长度，则所得到的图象的解析式为( )A y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B y ＝cos x 2 C y ＝sin x 2 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 10．比较大小，正确的是（ ） A sin(1.5)sin3cos 2>> B sin(1.5)sin3cos 2<<C ()sin3sin 1.5cos2<<D sin3cos 2sin(1.5)<<11.设函数f(x)＝cos lg x x -的零点个数有几个A 1B 2C 3D 412．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP uu r ＝λCB uu r ，当PA PC ∙uu r uu u r取到最小值时，λ的值为( ) A 14B 15C 16D 18二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个扇形的圆心角是0120，半径为3，则该扇形的面积是________________.14.已知(sin ,1)a θ=-r ，1(,cos )2b θ=r ，且//a b r r ，则sin 2θ＝ .15. 已知tan()3αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2β= . 16. 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
黑龙江省哈尔滨市高一下数学期中考试考试试卷
黑龙江省哈尔滨市高一下数学期中考试考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 若角的终边相同，则的终边在（）．A . 轴的非负半轴上B . 轴的非正半轴上C . 轴的非负半轴上D . 轴的非正半轴上2. （2分）若函数y=f(x)是函数的反函数，且，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·河北开学考) 在△ABC中，已知下列条件解三角形：①A=60°，a= ，b=1；②A=30°，a=1，b=2；③A=30°，c=10，a=6；④A=30°，c=10，a=5，其中有唯一解的序号为（）A . ①②③B . ①②④C . ②③④D . ①③④4. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 已知函数F（x）=g（x）+h（x）=ex ，且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若对任意的x∈（0，+∞），不等式g（2x）≥ah（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，2 ]B . （﹣∞，2 ）C . （﹣∞，2]D . （﹣∞，2）二、填空题 (共10题；共10分)5. （1分） (2016高三上·莆田期中) 若α是第三象限角，则180°﹣α是第________象限角．6. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知点在角的终边上，且，则________.7. （1分）已知α是第三象限角，，则sinα=________8. （1分） (2018高一上·林芝月考) 函数的定义域是________．（要求用区间表示）9. （1分）若，且，则tan（2π﹣α）=________．10. （1分） (2018高一下·上虞期末) ________.11. （1分）若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是________12. （1分）(2017·扬州模拟) 已知sinθ= ，θ∈（0，），则tan2θ=________．13. （1分）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的解析式为________14. （1分） (2019高二上·集宁月考) 已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是________．三、解答题 (共4题；共45分)15. （10分） (2017高一下·邯郸期末) 已知cos（π+α）= ，且＜α＜π．（Ⅰ）求5sin（α+π）﹣4tan（3π﹣α）的值（Ⅱ）若0＜β＜，cos（β﹣α）= ，求sin（+2β）的值．16. （10分）已知函数，且f（x）的最小正周期是2π．（1）求ω及f（0）的值；（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A、B、C，若，，求sinC的值．17. （10分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量h（x）（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式h（x）=f（x）+g（x）（3＜x＜7，m为常数），其中f （x）与（x﹣3）成反比，g（x）与（x﹣7）的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套．（1）求h（x）的表达式；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）18. （15分） (2018高一上·南昌月考) 已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤3}，且f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值是4．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=x+5﹣f（x），若对任意的，均成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共10题；共10分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。
黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年重点中学高一(下)期中数学试题及参考答案
黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年重点中学高一（下）期中数学试题及参考答案一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合{}101，，-=A ，{}210，，=B ，则()A.{}10， B.{}101，，- C.{}210，， D.{}2101，，，-2.复数()()i m m m z 422-+-=为纯虚数，则实数m 的值为()A.1B.0C.1- D.0或13.若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为()A.3B.31C.316 D.34.已知()2,x a =，()1,2-=b ，且b a ⊥，则x 等于()A.4B.4- C.1D.1-5.在ABC ∆中，若︒=60C ，ab c =2，则ABC ∆的形状是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6.若()32，=AB ，()21，-=AC ，则=CB ()A.()13，B.()13--， C.()13，- D.()13-，7.一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为()A.π3 B.π33C.π2D.π38.半径为的球内接一个正方体，则该正方体的体积是()A.322RB.334R πC.393R D.3938R二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9.对于直线n m ,和平面α，下列命题中错误的是()A.如果α⊂m ，α∥n ，那么nm ∥B.如果α⊂m ，α⊄n ，n m ,是异面直线，那么α∥n C.如果α∥m ，α∥n ，那么n m ∥D.如果n m ∥，α∥m ，α⊄n ，那么α∥n10.若平面向量c b a ,，1==2=，则=-+b ()A.0B.1C.3D.4三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.计算：=+-ii11______．12.化简：=-x x cos 21sin 23______.13.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是______．14.已知()1,2=a ，则与a 平行的单位向量的坐标为______．四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。
黑龙江省哈尔滨高一下学期期中数学试题(解析版)
高一数学期中考试试卷（考试时间：70分钟，试卷满分：100分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）{1,0,1}A =-{0,1,2}B =A B = A.B. {0,1}{1,0,1}-C.D. {0,1,2}{1,0,1,2}-【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义可求.A B ⋂【详解】，{}0,1A B = 故选：A.2. 复数为纯虚数，则实数的值为（ ） ()()211i z m m m =-+-m A. 1B. 0C.D. 0或11-【答案】B【解析】 【分析】由纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0即可求解.【详解】因为为纯虚数，所以， z 2(1)0010m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩故选：B.3. 若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为（ ）A. B. C. D. 313163【答案】D【解析】【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得.【详解】设球的半径为，依题意可得，显然，所以. R 324π4π3R R =0R >3R =故选：D 4. 已知，，且，则等于 ）(,2)a x = (2,1)b =- a b ⊥ xA. 4B. －4C. 1D. －1 【答案】C【解析】【分析】根据，由求解.a b ⊥ 0a b ⋅= 【详解】解：因为，，且，(,2)a x = (2,1)b =- a b ⊥ 所以，解得，220x -=1x =故选：C5. 在中，若，，则的形状是（ ）ABC A 60C ︒=2c ab =ABC A A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】 【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角222cos 2b a c C ab+-=60C ︒=2c ab =b a =形形状.【详解】由余弦定理知， 222cos 2b a c C ab+-=因为，，2c ab =60C ︒=所以， 221cos 6022b a ab ab ︒+-==所以，所以，()20a b -=b a =因此，所以，B A =60B AC ︒===即是等边三角形，ABC A 故选：D. 6. 若，，则等于（ ）()2,3AB = ()1,2AC =- CB A . B. C. D.()3,1()3,1--()3,1-()3,1-【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算法则计算即可.【详解】因为，，()2,3AB = ()1,2AC =- 所以.()()()2,31,23,1CB AB AC -=-==- 故选：A7. 一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）A. B. C. D.2π3π【答案】B【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，SO ==故体积为. 21π13⨯=故选：B8. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A.B. C. D. 334π3R 33R 【答案】C【解析】【分析】求出球的内接正方体棱长，再求正方体体积即可.【详解】半径为R 的球内接一个正方体，设正方体的棱长为，a 该球即为正方体的外接球，直径长度为正方体的体对角线长，则，即， R ==a R =所以正方体的体积为. 333a R ⎫==⎪⎪⎭故选：C 二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 对于直线，和平面，下列命题中错误的是（ ）m n αA. 如果，，那么.m α⊂//n α//m n B. 如果，，，是异面直线，那么.m α⊂n α⊄m n //n αC. 如果，，那么.//m α//n α//m n D .如果，，，那么. //m n //m αn α⊄//n α【答案】ABC【解析】【分析】A 中还有异面，B 中可能相交，C 中可能相交或异面，根据线面平行的判断定理,m n ,n α,m n 可得D 正确.【详解】A 中，如果，，那么或异面，故A 错误；m α⊂//n α//m n ,m n B 中，如果，，，是异面直线，那么或相交，故B 错误；m α⊂n α⊄m n //n α,n αC 中，如果，，那么或异面或相交，故C 错误；//m α//n α//m n D 中，由线面平行的判定定理可得一定成立，故D 成立，//n α故选：ABC.10. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则（ ）a b c ||||1a b == ||2= c ||a b c +-= A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】AC【解析】 【分析】就夹角为、分类计算后可求. 02π3a b c +- 【详解】如果，，两两的夹角为，则，a b c 00a b c +-= 当，，两两的夹角不为，则，，两两的夹角为， a b c 0a b c2π3故a b c +-=3==故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.11. 计算：=____. 11i i-+【答案】i -【解析】【详解】， ()()()()1112i 1112i i i i i i i ----===-++-故答案为i -点睛：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类i 项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的i 共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．i 12.________ 1cos 2x x -=【答案】 πsin 6x ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】根据辅助角公式计算即可. . 1πππcos cos sin sin cos sin 2666x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故答案为： πsin 6x ⎛⎫-⎪⎝⎭13. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为，则它的表面积是__________．2【答案】【解析】【详解】每个等边三角形面积为，故表面积为，故答案为122⨯⨯=4=14. 已知，则与平行的单位向量的坐标为_________.()2,1a = a 【答案】或⎛ ⎝【解析】【分析】与共线的单位向量为即可得解. a a a± 【详解】与共线的单位向量为， a a a± 因为，所以()2,1a =a ==，，)2,1a a ∴==)2,1a a⎛-==⎝ 即与平行的单位向量的坐标为或. a⎛ ⎝故答案为：或⎛ ⎝四、解答题：本题共4小题，每小题10分，共40分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知，，，是第三象限角，求，，3cos 5α=-π(,π)2α∈12sin 13β=-βsin()αβ+cos()αβ-的值.tan()αβ+【答案】，， 16sin()65αβ+=()33cos 65αβ-=-()16tan 63αβ+=【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得到的正弦及，进而利用正余弦及正切的α512cos ,tan 135ββ=-=和差公式进行计算 【详解】因为，， 3cos5α=-π(,π)2α∈所以， 4sin 5α==因为，是第三象限角， 12sin 13β=-β所以， 512cos ,tan 135ββ==-=所以， ()4531216sin sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()412tan tan 1635tan 4121tan tan 63135αβαβαβ-+++===-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭16. 已知，，与的夹角是，计算： ||4a = ||3b = a b120︒（1）；(23)(2)a b a b -⋅+ （2）.||a b + 【答案】（1）61（2【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律可求的值..(23)(2)a b a b -⋅+ （2）利用的大小.a b +=||a b + 【小问1详解】 2221(23)(2)443416434332a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯ .64242761=+-=【小问2详解】a b +==. ==17. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点.a 1111ABCD A B C D -P 1DD（1）求的长；1BD （2）求证：平面.1//BD APC【答案】（1）1BD =（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理计算可得；BD （2）设交于，连接，即可得到，从而得证.BD AC O PO 1//BD PO 【小问1详解】连接，则， BD BD ==又正方体中平面，平面，所以1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD BD ⊂ABCD ，1DD BD ⊥所以.1BD ==【小问2详解】设交于，连接．BD AC O PO 在中，、分别为、的中点，1BDD A P O 1DD BD ，∴1//BD PO 平面，平面，PO ⊂APC 1BD ⊄APC 平面.∴1//BD APC18. 已知分别为锐角三个内角的对边，且.,,a b c ABC A ,,A B C 2sin a B =（1）求A ；（2）若，，求.2a =ABC A ,b c 【答案】（1）π3（2） 22，==b c【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合角的范围化简求解；（2）先由三角形面积公式得到，再用余弦定理得到，联立两个方程求解即可.4bc =228b c +=【小问1详解】在中，由正弦定理：， ABC A sin sin a b A B=因为，2sin a B =所以，2sin sin A B B =因为是锐角三角形，所以， ABC A ππ0,022B A ＜＜＜＜所以，所以， sin 0B ≠sin A =所以. π3A =【小问2详解】由，得 1sin 2ABC S bc A ===△4bc =在中，由余弦定理：，ABC A 222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，所以，2a =228b c +=又因为，解得. 0b c ,＞22，==b c。
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、选择题
1.已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是( )
A. B. C. D.
2.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ,则角 等于（ ）
A． B． C． D．
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
19．某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产品x吨，B产品y吨．
A． B．
C． D．
12．已知 中， , , 成等比数列，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题
13．不等式 的解集为
14．如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ，现测得 ， ， 米，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，则塔高 ______米
所以 则
21.(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, , ,且 ，
则2sinB(2 −1)=− cos2B，即有2sinBcosB=sin2B=− os2B，
tan2B=− ，由锐角B,可得B= ；
(2)由余弦定理可得,b2=a2+c2−2accosB⩾2ac−2ac⋅ =ac，
可得ac⩽4，当且仅当a=c=2取得最大值4，
A． B．
C． D．
8．中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地 ”则该人最后一天走的路程为
则△ABC面积为 .即有△ABC面积的最大值为 .
22.
解方程组 得 ，即 ．
∴ =300x+200y=14000．
答：该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元．
20.（1）由 .得当
两式相减得 即
，（ ）当n=1时， 求得 ，则
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列, +1= ，所以
（2）设数列 的公差为d,由（1）得 = , ，所以d= ， =n，又 ，所以
13. 14. 15. 16.
17．解： 1 ，
由正弦定理知： ，
是三角形内角， ， ， 或 ，，
是锐角， ．
2 ， 的面积为 ， ， ；
由余弦定理得 ，
即b+c=13,则三角形ABC周长为a+b+c=20.
18.解：（1）由题意得 ,又数列各项为正数，所以 ，
设等比数列公比为 ，则 = ，
则由 得 将 = 代入得 ，
3.设数列 是等差数列,若 则 （ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
4．设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．B．8C．9D．10
5．下列函数的最小值为2的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．设等差数列 的前 项和记为 ,若 ,则 ( )
A． B． C． D.
7．如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )
所以
（2）由（1）得
所以
19.详解：（I）设该公司一天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则x，y满足条件的数学关系式为．
画出该二元一次不等式组表示的平面区域(可行域)如下图所示．
（II）设利润为z元，由题意得z=300x+200y，
可得
平移直线 ，结合图形可得当直 经过可行域上的点A时，截距 最大，此时z最大．
15．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为
16．若存在正整数 使不等式 成立，则实数 的范围为
三、解答题
17．已知 中，角 所对的边分别为 ． 是锐角，且 .
（1）求 的度数；
（2）若 的面积为 ，求 的周长.
18．等比数列 的各项均为正数，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
，且 .
（1）求锐角B的大小；
（2）在（1）的条件下，如果b=2，求 .
22.已知函数
（1）若 解关于x的不等式 （结果用含m的式子表示）；
（2）若存在实数m，使得当 时，不等式 恒成立，求负数n的最小值.
高一数学期中考试参考答案
1.C2.A.3.C.4.C.5.B.6.B.7.C.8.C.9.C.10.D.11.B.12.A
（I）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；
（II）该公司每天需生产A，B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?
20．数列 的前 项和 满足 .
（1）求证:数列 是等比数列,并求 ；
（2）若数列 为等差数列,且 , ，令 ，求数列 的前 项 .
21．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，向量 ，
A．24里B．12里C．6里D．3里
9.已知 满足 则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．10
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若2S+a2=（b+c）2，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合 ，对于满足集合A的所有实数t，使不等式 恒成立的x的取值范围为