立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系

(1)如图所示，在正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，M，N分别是C

1

C，

B 1C

1

的中点．求证：MN∥平面A

1

BD.

(2)在正方体AC

1

中，M，N，E，F分别是A

1

B

1

，A

1

D

1

，B

1

C

1

，C

1

D

1

的中点，

求证：平面AMN∥平面EFDB.

思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.

(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD

＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

求证：PQ∥平面BCD.

题型二证明垂直关系(微专题)

微专题1：证明线线垂直

(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中

点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.

(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A

1B

1

C

1

中，AA

1

＝AB

＝AC＝1，E，F分别是CC

1，BC的中点，AE⊥A

1

B

1

，D为棱A

1

B

1

上的点，求

证：DF⊥AE.

微专题2：证明线面垂直

(3)在正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，求证：BD

1

⊥平面ACB

1

.

(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A

1B

1

C

1

为三棱柱，

且AA

1

⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.

若AA

1＝AC，求证：AC

1

⊥平面A

1

B

1

CD.

微专题3：证明面面垂直

(5)已知正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，E，F分别是BB

1

，CD的中点，求

证：平面DEA⊥平面A

1FD

1

.

(6)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1

2PD ，

求证：平面PQC⊥平面DCQ.

思考题2 (1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF⊥B P 交BP 于点F ，求证：PB⊥平面EFD.

(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.

①证明：AP⊥BC；

②若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.

题型三 探究性问题

在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方

形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF⊥平面PCB.若存在，确定G 点的位置；若不存在，试说明理由．

思考题3 (2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED.

(1)求证：PA⊥平面ABCD ；

(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

专题二 求解异面直线所成角和线面角问题

题型一 异面直线所成的角

(1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是

CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．

(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A

1B

1

C

1

中，∠A

1

AC＝∠BAC＝

60°，平面A

1ACC

1

⊥平面ABC，AA

1

＝AC＝AB，则异面直线AC

1

与A

1

B所成角的余弦值为

思考题1 (2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC 的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD所成角的余弦值为________．

题型二定义法求线面角

(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A

1B

1

C

1

中，侧棱AA

1

⊥平面AB

1

C

1

，且

△AB

1C

1

为等边三角形，B

1

C

1

＝2AA

1

＝2，则直线AB与平面B

1

C

1

CB所成角的正切值为( )

A.

3

2

B.

2

2

C.

6

4

D.

6

2

(2)如图，在正方体ABCD－A

1B

1

C

1

D

1

中，点O为线段BD的中点．设点P

在线段CC

1上，直线OP与平面A

1

BD所成的角为α，则sinα的取值范围是

( )

A．[

3

3

，1] B．[

6

3

，1] C．[

6

3

，

22

3

] D．[

22

3

，1]

思考题2 (1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC－A

1B

1 C

1

中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB

1

与平

面AB

1C

1

所成的角的大小为________．

(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )

A．90° B．60° C．45° D．30°

题型三向量法求线面角

(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面

ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的

中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．

(2)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面