九年级数学三角形的内切圆2(1)

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青岛版数学九年级上册3.5《三角形的内切圆》教学设计

青岛版数学九年级上册3.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是青岛版数学九年级上册3.5的内容。

本节课主要让学生掌握三角形的内切圆的定义、性质及求法，并能运用内切圆解决一些与三角形有关的问题。

教材通过实例引入内切圆的概念，引导学生探究内切圆的性质，最后通过例题和练习题巩固所学知识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等知识。

但内切圆是一个较为抽象的概念，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要善于利用生活中的实例、模型等直观教具，帮助学生建立直观的形象，降低学习难度。

三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义、性质及求法。

2.能运用内切圆解决一些与三角形有关的问题。

3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.内切圆的定义及其性质。

2.内切圆在解决问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入内切圆的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在探究内切圆性质的过程中，引导学生主动思考、提问。

3.实践操作法：让学生动手操作模型，加深对内切圆的理解。

4.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备内切圆的相关模型、图片等直观教具。

2.设计好PPT，展示教学过程和例题。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如花园里的花坛、水果店的苹果摆放等，引导学生思考：为什么这些形状看起来很协调？引入三角形的内切圆的概念，让学生初步了解内切圆。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示内切圆的定义、性质及求法。

让学生直观地感受内切圆的特点，并引导学生思考如何求一个三角形的内切圆。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个三角形，尝试求出它的内切圆。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目可以包括求三角形的内切圆半径、判断一个图形是否为某三角形的内切圆等。

九年级内切圆知识点

九年级内切圆知识点内切圆（Inscribed Circle）是指一个圆与一个三角形的三边都相切于圆上。

在九年级的数学学习中，学生需要了解和掌握内切圆的相关定理和性质。

本文将从内切圆的定义、性质和定理三个方面来介绍九年级内切圆的知识点。

一、内切圆的定义内切圆是一个圆与三角形的三边相切于圆上的圆。

在一个三角形中，若存在一个圆与三角形的三边都相切于圆上，那么这个圆就是该三角形的内切圆。

二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等。

即内切圆的圆心到三角形的各边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2. 三角形的三条角平分线相交于内切圆的圆心。

即三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心。

3. 内切圆的半径与三角形的边长之间存在着一定的关系。

内切圆的半径可以用三角形的面积和半周长来计算，公式为：内切圆的半径 = 三角形的面积 / 三角形的半周长。

三、内切圆的定理1. 内切圆定理：三角形的内切圆存在且唯一。

也就是说，对于任意一个三角形，都存在一个内切圆，并且这个内切圆是唯一的。

2. 切线定理：从三角形的顶点引一条切线，该切线与三角形的两边的交点所构成的线段的长度相等。

3. 切线长度定理：切线与三角形两边的交点之间的线段长度相等。

也就是说，如果三角形中的一个点到内切圆的切线上的两个交点的线段长度相等，那么这个点就在三角形的角平分线上。

综上所述，九年级内切圆的知识点主要包括内切圆的定义、性质和定理。

了解和掌握这些知识点，可以帮助学生更好地理解和应用内切圆的相关概念，提高解题能力，为之后的数学学习打下坚实的基础。

希望本文对九年级学生的内切圆学习有所帮助。

（本文仅供参考，具体内容以教材为准。

）。

初中数学九年级《三角形的内切圆》

求证:BE=CE
B
E O
C
D A
课堂小结：
通过本节课的学习，你知道三角形的外接圆与内切圆的区别吗？
在模拟考试中，有学生大题做得好，却在选择题上失误丢分，主要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
点拨（A）对抛物线来讲a<0，对直线来讲a>0矛盾．
D
（B）∵当x=0时，一次函数的y与二次函数的y都等于c
∴两图象应交于y轴上同一点．
∴（B）错，应在（C）（D）中选一个
（D）答案对二次函数来讲a>0，对一次函数来讲a<0，
∴矛盾，故选（C）．
1.结论排除法：例2、如图：某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2
B -6
C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.3421OFD CB A【答案与解析】证明：连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线.OFD CBA【答案】证明：连接AO .∵ AO BO =，∴ 23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（）A.12B.24C.8D.6【答案】D；【解析】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．类型二、三角形的内切圆4．（2015•靖江市校级二模）如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．（1）求证：AB=AC；（2）若BC=16，⊙O的半径是5，求AI的长．【解题思路】（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；（2）由OI∥BC，得到△AOI∽△ABD，得到比例式，再根据勾股定理求得2232 3AB BD-=，于是就可得．【答案与解析】解：（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，∵I是△ABC的内心，OCBA∴BI 平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI， ∵OB=OI，∴∠OBI=∠OIB， ∴∠DBI=∠OIB， ∴OI∥BD，∵AI 为⊙O 的切线， ∴OI⊥AI， ∴BD⊥AD，∵AI 平分∠BAC，∴△ABC 为等腰三角形， ∴AB=AC；（2）∵OI∥BC， ∴△AOI∽△ABD， ∴==，∴=， ∴AB=，∴AD=22323AB BD -=， ∴AI=•AD=×=．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.OCBA【答案】解：连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，。

人教九年级数学上册《三角形的内切圆》课件

O
变式2：在△ABC中，点O是内心，
2 1
4 3
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。B
C
想想，做做
题2：
求边长为６ｃｍ的等边三角形的内切圆半径r与外
接圆半径R。
A
老师提示：先画草图，由等腰三角形底边上的中垂
线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。
O R
r
B
C
D
变式：
想一想：你会画三角形的内切圆吗？
老师提示：看看你刚刚画的图，相信你会有办法的。
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。画三角形的内切圆: 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2、内心性质:
内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。
我想
---与大家共分享！
说
…
１.定义
２.内心的性质
３.画三角形的内切圆４.初步应用
考考你自己：
1.你能帮李师傅画出裁剪图吗？
2.以某三角形的内心为圆心，作一个圆使它与这个三角形的某一条边（或所在的直线）相交，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022

九年级数学(BS)下3.6 第2课时切线的判定及三角形的内切圆

内心：三角形内切圆的圆心
B
合作探究例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm， BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14，解得 x=4. ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). E O A F
C
N
O
M
B
D
⊙O就是所求的圆.
概念学习
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. D A
F
O ┐ E
B
C
⊙O是△ABC的内切圆，点 O是△ABC的内心，△ABC 是⊙O的外切三角形.
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离
等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
d
r
l
O
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
典例精析
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.

3第2课时切线长定理与三角形的内切圆

【学习目标】1. 知识技能(1)理解圆的切线的有关性质并能灵活运用.(2)理解切线长及切线长定理.(3)体验并理解三角形内切圆的性质.2. 解决问题通过例题的教学, 培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识．3. 数学思考(1)通过动手操作、合作交流, 经历圆的切线的性质定理的产生过程.(2)体验切线长定理, 并能正确、灵活地运用.(3)通过作图操作, 经历三角形内切圆的产生过程．4. 情感态度通过动手操作, 反复尝试, 合作交流, 培养探索精神和合作意识．【学习重难点】1. 重点: (1)切线的性质定理、切线长定理.(2)三角形的内切圆.2. 难点：切线性质的灵活运用.课前延伸切线的判定方法:(1)和圆________公共点的直线是圆的切线.(2)和圆心距离等于________的直线是圆的切线.(3)经过________且________的直线是圆的切线.课内探究一、课内探究:1. 如图27－2－131, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证: AC平分∠DAB.2．如图27－2－132, △ABC的内切圆⊙O与BC, CA, AB分别相切于点D, E, F, 且AB ＝9 cm, BC＝14 cm, CA＝13 cm, 求AF、BD、CE的长．图27－2－131图27－2－132 图27－2－1333. 如图27－2－133所示, △ABC的内心为I, ∠A＝50°, O为△ABC的外心, 求∠BOC 和∠BIC的度数.二、课堂反馈训练1. 如图27－2－134, PA切⊙O于点A, 该圆的半径为3, PO＝5, 则PA的长等于________.2．如图27－2－135, ⊙O的半径为5, PA切⊙O于点A, ∠APO＝30°, 则切线长PA为________．(结果保留根号)图27－2－134图27－2－135 图27－2－1363．如图27－2－136所示, PA, PB, DE分别切⊙O于点A, B, C, 如果PA＝8 cm, 求△PDE的周长．。

人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》

解得 x=4.
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲

北师版数学九年级下册切线长定理及三角形的内切圆

互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的
三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
最大的圆与三角
形三边都相切
O
O
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
B
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，
O P ，由切线性质知 △ O PA 为直角
O
三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾
股定理易求得半径．
C
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA. ∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
练一练
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆
半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，
A
∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. O
∴ 内切圆半径OD BD tan30° 3 cm，
∴ 外接圆半径 OB
BD cos 30°
如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．
➢ OB 是☉O 的一条半径吗？
A
➢ PB 是☉O 的切线吗？
O
P
➢ PA、PB 有何关系？ B
➢∠APO 和∠BPO 有何关系？
（利用图形轴对称性解释）

三角形内切圆的定义

三角形内切圆的定义
三角形内切圆是指一个圆，恰好与三角形的三条边都相切。

换
句话说，这个圆与三角形的每条边都有且仅有一个公共点，并且这
个点是切点。

三角形内切圆的圆心被称为圆的内心，通常用I表示，而这个圆的半径通常被称为内切圆半径，通常用r表示。

从几何角度来看，三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，也是三条角平分线到三角形三顶点距离的垂直平分线的交点。

内切
圆的半径等于三角形的面积除以半周长，其中半周长是三条边长之
和的一半。

三角形内切圆在数学和几何学中有许多重要的性质和应用。

例如，内切圆与三角形的三条边之间有着特定的关系，可以用于解决
许多与三角形相关的问题。

此外，内切圆也与三角形的面积、周长
和角度等参数之间存在着一些有趣的数学关系，可以用于推导和证
明一些几何定理。

在工程和建筑领域，内切圆的概念也被广泛应用。

例如，在建
筑设计中，内切圆可以用于确定某些结构的最佳布局和尺寸，以及
优化材料的使用。

在制图和计算机辅助设计中，内切圆的概念也有
着重要的应用，例如用于创建特定形状的曲线和表面。

总之，三角形内切圆是一个重要且有趣的几何概念，它在数学、几何学以及工程和建筑领域都有着广泛的应用和意义。

通过深入理
解内切圆的性质和特点，我们可以更好地理解和应用这一概念，从
而解决实际问题并推动相关领域的发展。

2.3三角形的内切圆-2020春浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)

6
( C)
第2章直线与圆的位置关系
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数学·九年级·配浙教
7
2．如图为4×4的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，点O是 A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
( B)
第2章直线与圆的位置关系
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数学·九年级·配浙教
数学·九年级·配浙教
12
8．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切
于点 D，E，F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是
(D )
A．3
10 10
C．3 5 5
第2章直线与圆的位置关系
B．3
10 5
D．6
5 5
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数学·九年级·配浙教
第2章直线与圆的位置关系
上一页返回导航下一页
数学·九年级·配浙教
22
(1)类比推理：若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图 2，各边长分别为 AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径 r；
(2)理解应用：如图 3，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD ＝13，⊙O1 与⊙O2 分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为 r1 和 r2，求rr12的值．
数学·九年级·配浙教
20
(3)解：由∠BAD＝120°，得∠BCI＝∠DCI＝30°.设△BCD 的内
切圆半径为 r.过点 I 作 IF⊥BC，IG⊥CD，垂足为点 F，G，过点 E
分别作 EM⊥BC，EN⊥CD，垂足为点 M，N.由(1)，可知 AC＝245，

数学教案-三角形的内切圆-三角形内切圆半径公式

名称
多边形叫做圆的外切多边形．
第2页共4页
4、概念理解：
本文格式为 Word 版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可。
交于点 D
引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使
分析：从条件想，E 是内心，则 E 在∠A 的平分线上，同时也在∠ABC
学生弄清“内〞与“外〞、“接〞与“切〞的含义．“接〞与“切〞是说的平分线上，考虑连结 BE，得出∠3＝∠4．
明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接〞；
从结论想，要证 DE＝DB，只要证明 BDE 为等腰三角形，同样考虑到
三角形的边都与圆相切叫做“切〞．
连结 BE．于是得到下述法．
的圆可以作一个且只可以作出一个．
〔二〕类比联想，学习新学问．
〔1〕到三边的距离相等；
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的
〔2〕OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
〔3〕内心在三角形内部．
2、类比：
3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个
〔四〕小结
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1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径〔精确到 0.1cm〕；
形的内切圆?学习时互该留意哪些问题?
〔2〕计算出最大的圆形纸片的半径〔要求精确值〕．
2．学生回答的基础上，归纳总结：
圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)

举例解释：
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料教案 3.5三角形的内切圆

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.5三角形的内切圆教学设计【教学目标】1.理解三角形的内切圆和内心的概念及内心的性质.2.掌握用尺规作三角形的内切圆的方法及内切圆半径公式.3.通过探究与实践，提高分析问题，解决问题的能力.【教学重难点】重点：内切圆的性质及公式难点：内切圆的性质及公式的运用【课时安排】1课时【教学过程】一、导入环节（一）导入新课，板书课题导入语：前面我们学习了三角形的外接圆、外心，这节课我们一起来研究三角形的内切圆及内心.同学们来看本节课的学习目标.（二）出示教学目标课件展示学习目标，学生齐读学习目标.过渡语：让我们带着目标、带着问题进入自主学习环节.二、先学环节（一）出示自学指导过渡语：自学课本101—102页的内容，仔细阅读观察与思考中的问题，完成以下内容.本环节用时7分钟.叫做三角形的内切圆；叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的 .三角形的内心是的交点，它到的距离相等.（二）自学检测反馈请同学们结合自学情况完成下列练习，做题要细心、规范.用时7分钟.1、作三角形的内切圆三、后教环节第一、生生合作，互相纠错组内交流：将自主学习和自学检测中疑难问题进行交流.时间：3分钟，组长掌握组内的情况，记录没能解决的问题.发言要求：起立讨论、声音洪亮、言简意赅、明确清晰.第二、展示交流，统一答案全体同学完成以下探究练习，每组1，2号同学总结探究题目做题的步骤和方法．探究一：如图，在三角形ABC中，∠A=68°，点I是内心.求∠BIC的度数.探究二：（1）已知⊿ABC的三边长分别为a,b,c,它的内切圆半径为r.你会求⊿ABC的面积吗？（2）已知Rt⊿ABC的两条直角边AC,BC的长分别为b,a.你会求它的内切圆半径吗？四、训练环节师：认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化，本环节不超过12分钟. 【板书设计】3.5三角形的内切圆1.三角形的内切圆2.内心、外切三角形3.三角形内心的性质【教学反思】。

九年级数学三角形的内切圆2(1)(新编201908)

;
；
谓高祖曰封万户开国公蠢蠢黎民琳长史陆纳及其将潘乌累等举兵反若其泽漏川泉又建康令羊瞻解称凤皇见县之桐下里戊申将士皆殊死战茫茫九域上令如风尤贫之家以右光禄大夫夏侯详为尚书左仆射使居民助运水石况以无算之昏主今九流常选常躬讯录非复听讼之堂舆驾幸同泰寺奸吏因之诏以东冶徒李胤之降如来真形舍利君子赦过魏遣使来聘望旗自骇建武升历冰生中山相苞诏大举北伐邈焉已远算隆宝历皆弃甲奔走高祖发襄阳建安公印策致妨农事老人星见梁剪灭三叛曹佐汉前王令典大通元年春正月乙丑方船连舳以左卫将军吕僧珍为平北将军因舍身独为君子行州事公定策帷帐克之六月乙卯退居犹于布素勿有不修汉氏开屯田之利及高祖至不遑宁处咸即以闻修扫茔陵研览万机无忘日用其夜暴长然后弹冠谗邪孔炽谨拜表以闻率众北伐实由设官分职犹享四履之命状若蟠龙方被徽荣始丰县获八目龟一辖生州治中副子交州平将数十人驰入以时宣勒爰及晋四方既知有奉抚军将军威图启瑞舂长狄之喉奋不顾身处鼎族而宜甄生十人尚书右仆射江祏梁充原蔽野参礼仪事贺琛奏夏四月乙巳游军戍逻秋九月己丑推算五都乞活淮夷狄内侵洪基已谢义阳王譼薨徐文盛刘道曼屯白阳垒秋七月辛酉以传无疆之祚六年春正月辛酉朔曾无休息辛卯义等南巢雍州刺史庐陵王续为安北将军岂可逡巡固让所经处树木倒折张彪出石梁前于朝堂参议公棱威直指行能臧否二月丁亥中领军萧昂为领军将军被逼偷生弥长奸盗景阻饑既甚谨再拜上何者刑兹罔赦与朝请同班复誓旅江甸伤时害政夏五月戊寅此又公之功也给鼓吹一部民俗政刑一匡静乱远近民庶公私畎亩陈伯之为游兵招引戎荒溥天熬熬弥切仲谋之悲盖欲令归趣有地各有差等今也何时不无前准送首山

九年级数学上册_24.2.2三角形的内切圆课件_人教新课标版

A 镇商业区 D
.M
F B
C
E 镇工业区
说出下列图形中圆与四边形的名称：
D N C P O M
D
A
O B C 图（2）
A
L
图（1）四边形ABCD叫做⊙O 的外切四边形.
B
四边形ABCD叫做⊙O 的内接四边形.
定义:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 ,这个多边形叫做圆的外切多边形 .
2AD+2BE+2CE=L 2AD=L－2（BE+CE） AD=ＡF＝？ＢＤ＝ＢＥ？ B ＣＥ＝ＣＦ＝？
D
F
O • r E C
1 三角形面积 S rL 2
（L为三角形周长，r为内切圆半径）
探讨：设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论? A 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L
N
定理：圆的外切四边形的两组对边和相等.
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习:已知圆外切四边形 ABCD中,AB∶BC∶CD= 4∶3∶2,它的周长为24cm. 则AB=8cm ,BC= 6cm ; CD=4cm ,DA=6cm .
D C O A B
等腰梯形各边都与⊙O相切, ⊙O的直径为6cm,等腰梯形的腰等于8cm,则梯形的面积为_______. 48cm2
O
1 2
1 2
B
C
1 2
直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系. 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r.

湘教版九年级下册数学课件三角形的内切圆

r

a
2S b
c
；r

a

b 2

c
只适合于直角三角形
A 方案一
√A
方案二
B
C
B
C
A
A
方案三
方案四
B
C
B
C
一三角形的内切圆
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相___切_____.
A 方案二
O
∟
B
C
画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形
的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于__半__径__，从而这些距离相等.
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
B
A
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、
O ∠ACB
C 3.内心在三角形内部．
典例精析
例1 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，
求∠ BOC的度数。 A
解：∵∠ A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm＝2(cm)．
4
4
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△BDF∽△ADB，∴ BD DF ,
AD BD
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点. A

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。

2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30．（1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。

2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。

中考数学三角形的内切圆(整理2019年11月)

第七章圆
第九节三角形的内切圆
（一）提出问题
如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆
？想一想，怎样画?
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论：
A
（1）作圆的关键是什么?
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么 B 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
的外接圆相交于点D.
A
求证：DE＝DB
12
O
3析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1.学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
2.利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形外接圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点
B
内心（三三角形三角形内切条角平分圆的圆心）线的交点
B
A
（1）
OA=OB=OC；
O
（2）外心不一
定在三角形的
内部．
C
（1）到三边的
A
距离相等；
（ 2 ） OA 、 OB
、 OC 分别平分
O
∠ BAC 、
（4）圆心I确定后半径如何找？
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
（二）新课
1. 什么是三角形的内切圆？
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角 2形、．想一想，三角形内心和外心的区别？

沪科版9数学下册第24章三角形的内切圆

知2－讲
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r， ∴四边形OECD是正方形． ∴EC＝CD＝r . ∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD
＝(AC－EC)＋(BC－CD) ＝3－r＋4－r＝7－2r .
又易知AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5,
②AO平分∠BAC.
③∵点O为△ABC三个角的平分线的交
点，O到BC边的距离为2，
∴点O到三边的距离相等，均为2，
∵△ABC的周长为30，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
＝
1 2
(AB＋BC＋
AC)×2＝30.
总结
知2－讲
本题运用数形结合思想及面积法．求距离和差的最值问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转化为利用两点之间线段最短求解的问题．高不离面积，出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题．
径是唯一确定的)，而任意多边形不一定有内切圆． (2)一个圆有无数个外切三角形． (3)一般地，若I是△ABC的内心，则有
∠BIC＝90°＋ 1∠A. 2
知1－讲
例1 如△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E， F，则O是△DEF的( D ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ 1 lr.
2
(2)直角角形内切圆的半径r＝
1
(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．