高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大版

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高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3课时函数的奇偶性与周期性精品理北师大版

• (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
• 1．对任意实数x，下列函数中为奇函数的是( )
• A．y＝2x－3
B．y＝－3x3
• C．y＝5xD．y＝来自|x|cos x• 答案： B
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的
－x2＋2x＋1x＞0， (3)f(x)＝x2＋2x－1x＜0； (4)f(x)＝|x＋43－|－x23.
• 解析： (1)此函数的定义域为R. • ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． • (2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称， • 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． • (3)函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称， • 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， • 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即函数是奇函数．
2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．
(1)设a＞0，f(x)＝eax＋eax是R上的偶函数，求实数a的值； (2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x)＝－x2－x1－1＋12 ＝－x1－2x2x＋12＝x2x2－x 1－12 ＝x2x－1 1＋12 ＝f(x) ∴f(x)是偶函数．

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性名师课件文北师大版

4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是_(_－__1_,0_)_∪__(_1_，__＋__∞__)____。
解析画草图，由 f(x) 为奇函数知： f(x)>0 的 x 的取值范围为 ( － 1,0)∪(1，＋∞)。
③由 x＋ x2＋1>x＋|x|≥0 知 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为 R，
又 f(－x)＝ln(－x＋－x2＋1)
＝ln x＋ 1x2＋1＝－ln(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
则 f(x)＝ln(x＋ x2＋1)为奇函数；
④由11－＋xx>0，得－1<x<1，即 f(x)＝ln 11－＋xx的定义域为(－1,1)，
得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故
f(x)为非奇非偶函数。
②f(x)＝|lxg－1－ 2|－x22 ；【解】由1|x－－x22|>≠0，2 得，定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称。 ∴x－2<0。∴|x－2|－2＝－x。∴f(x)＝lg1－－xx2。又∵f(－x)＝lg [1－x－x2]＝－lg1－－xx2＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数。
22xx＋－1a，即 1－a·2x＝－2x＋a，化简得 a·(1＋2x)＝1＋2x，所以 a＝1，f(x)
＝22xx＋－11。由 f(x)>3 得 0<x<1。故选 C。
【答案】 C
(4)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则f(x)的解
x2－x－1 x>0，
变式训练2 (1)(2016·九江模拟)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书

第三节　函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．(　×　)(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(　√　)(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　√　)(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．(　×　) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C　解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝．又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD　解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1　函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC　解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D　解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1．又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D　解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数　解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2　函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7　2x＋9　解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1　解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1　解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B　解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD　解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6　解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3　函数性质的综合应用——应用性考向1　函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC　解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D　解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2　函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4．又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8　解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2．所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3　函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C　解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2　解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③　解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。

2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性周期性与对称性课件理北师大版

3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( A．f(x)＝x－1 C．f(x)＝2x－2
－x
)
B．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝2x＋2
－x
D [D 中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．]
4．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，则 f(8)的值为( A．－1 C．1 B．0 D．2
2．奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反 (填“相同”“相反”)． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若函数 f(x)是奇函数且 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( 1 A．－ 3 1 C． 2 1 B． 3 1 D．－ 2
)
B [依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)， 1 1 ∴b＝0 且 a＝3，则 a＋b＝3.]
第第三节
章
函数、导数及其应用
函数的奇偶性、周期性与对称性
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双基自主测评题型分类突破课时分层训练
[考纲传真]
(教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的
图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
(对应学生用书第 13 页) [基础知识填充] 1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数 f(x)中，f(x)和 f(－x)的绝对值相等，符号相反．即 f(－x)＝－f(x)，反之，满足 f(－x)＝－f(x)的函数一定是奇函数．图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数 f(x)中，f(x)＝f(－x)，反之，满足 f(－x)＝f(x)的函数一定是偶函数．

高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的

解析
由题意知 f( － 2) ＝ f(2) ＝ 0 ，当 x ∈ ( － 2,0] 时，
f(x)<f( － 2) ＝ 0 ，由对称性知， x ∈ [0,2) 时， f(x) 为增函数， f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2,2)时，f(x)<0，故选 B.
x 4．若函数 f(x)＝为奇函数，则 a＝( 2x＋1x－a 1 A.2 2 B.3 3 C.4 D．1
[ 双基夯实] 一、疑难辨析判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) 2．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )
3．函数 y＝数．( × )
1 －x ＋
x－1 既是奇函数又是偶函
解析
) B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)＝f(1)
∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)，又∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)>f(－2)，故选 B.
3．[2017· 福建模拟] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) B．(－2,2) D．(2，＋∞) A．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
第2章函数、导数及其应用
第3讲函数的奇偶性与周期性
板块一知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 函数的奇偶性
考点 2
函数的周期性
1．周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x f(x＋T)＝f(x) 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件文

D 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为 f(－x)≠－f(x)，且 f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．
答案：D
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
第三节函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）；
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，x，
x＜0， x＞0.
解：(1)由3x－2－x32≥≥00得 x2＝3，所以 x＝± 3，即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)，
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋sin x
解析：A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C．{x|x＜0，或 x＞4} D．{x|0＜x＜4}
解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件理

2
基础自主梳理
第五页，共47页。
「基础知识填一填」
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任偶函数意一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那关于
y轴
对称
么函数 f(x)就叫做偶函数
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，
常见的命题角度有 (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．
第三十四页，共47页。
[多维视角] 角度一函数的奇偶性与单调性相结合
(2017 届重庆适应性测试二)若 f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(－3)＝0，则 x·f(x)＜0 的解集为________．
第二十四页，共47页。
【解】 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为 4 的周期函数． (2)当 x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x.
第二十七页，共47页。
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期”的应用.
必修(bìxiū)部分
第二章函数(hánshù)、导数及其应用

高三理科数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件

【变式训练】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=-��(1��),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=
.
2.5 【解析】由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-��(��1+2) = − -��1(1��)=f(x),故函数 f(x)的周期为 4,则
13
【变式训练】
1.判断函数 f(x)=
��
2-2�� 2 + 2��
(�� ≥ (��
<0)0, )的奇偶性.
1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x<0时,-x>0,
第三节函数的奇偶性与周期性
1
考纲概述
考查热点
考查频备考指导
次
(1)了解函数奇偶性的含义,并能奇偶性的含义与
运用奇偶性的含义判断一些简单判断
★★★★
函数的奇偶性; (2)掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟练地利用对称
利用周期性含义 ★★
求函数值
函数的奇偶性与周期性在高考中占有重要的地位,在命题时主要是与函数的概念、图象、性质等综合在一起考查.题型以选择题与
性解决函数的综合问题;
函数的奇偶性、对
填空题为主,数形结合是解决此类问题的重要工具.
(3)了解函数周期性的含义,能根称性及周期性的 ★★★★ 据函数的周期性将给定自变量转综合应用

数学一轮复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案含解析

第3讲函数的奇偶性与周期性［考纲解读］ 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)［考向预测］从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有错误!f（－x)＝f(x)，那么函数f（x)就叫做偶函数关于错误!y轴对称奇函一般地，如果对于函数f关于错误!原点数（x)的定义域内任意一个对称x，都有错误!f（－x）＝－f（x），那么函数f（x)就叫做奇函数2．周期性（1）周期函数：对于函数y＝f（x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时,都有错误!f(x＋T)＝f（x）,那么就称函数y＝f(x）为周期函数,称T为这个函数的周期．(2）最小正周期：如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个错误!最小的正数，那么这个错误!最小正数就叫做f（x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0”是“函数f（x）在区间［a，b]（a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(）(2）若函数f（x）是奇函数，则必有f（0）＝0。

()（3）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x）的图象关于直线x＝a对称．（）（4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．(）(5）已知函数y＝f（x)是定义在R上的偶函数，若在（－∞，0)上是减函数，则在（0，＋∞）上是增函数．()(6)若T为y＝f（x)的一个周期,那么nT（n∈Z）也是函数f(x）的周期．()答案（1）√(2)×(3)√（4）√（5)√（6）×2．小题热身（1)下列函数中为奇函数的是(）A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝｜ln x｜D．y＝2－x答案A解析A是奇函数,B是偶函数,C，D是非奇非偶函数．(2）若f(x)是R上周期为2的函数,且满足f(1）＝1,f(2)＝2,则f(3）－f(4）＝________。

[推荐学习]2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．奇(偶)函数的性质(1)对于函数f (x)，f (x)为奇函数⇔f (－x)＝－f (x)；f (x)为偶函数⇔f (－x)＝f (x)．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)如果奇函数y＝f (x)在原点有定义，则f (0)＝0.3．函数的周期性(1)对于函数f (x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x＋T)＝f (x)，则f (x)为周期函数．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．(3)若T是函数y＝f (x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f (x)的一个周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( )(3)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)关于点(b,0)中心对称．( )(4)函数f (x)在定义域上满足f (x＋a)＝－f (x)，则f (x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )【导学号：66482035】A ．－13B ．13 C ．12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f(x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．]判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数. 4分(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数. 8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数. 12分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 8分因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数. 12分a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.【导学号：66482036】1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x ). 5分故函数f (x )的周期为2. 8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009. 12分 [迁移探究2] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋＝f (x ). 5分故函数f (x )的周期为2. 8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009. 12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x )．(3)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f (0)＝0既不是f (x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．。

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的奇偶性与周期性课件

2
－log2a，所以 f(log2a)＋f(log1 a)＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)≤
2
2f(1)，即 f(log2a)≤f(1)，因为函数在区间[0，＋∞)上单调递增，所以 f(|log2a|)≤f(1)，即|log2a|≤1，所以－1≤log2a≤1，解得 12≤a≤2，即 a 的取值范围是21，2.故选 C.
(2)一些重要类型的奇偶函数 ①函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数.
ax－a－x a2x－1 ②函数 f(x)＝ax＋a－x＝a2x＋1(a>0 且 a≠1)为奇函数.
b－x ③函数 f(x)＝logab＋x为奇函数. ④函数 f(x)＝loga( x2＋1±x)为奇函数.
设 F(x)＝gf((xx))，则 F(－x)＝gf((－－xx))＝－g(fx(x))＝－F(x)，所以 F(x)
为奇函数，C 错误；设函数 H(x)＝|f(x)g(x)|， H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以
H(x)为 R 上的偶函数，D 正确.故选 D. 答案：D
第三讲函数的奇偶性与周期性
课标要求
考情分析
1.结合具体函数，了解函数 1.本讲以理解函数的奇偶性、会用函数奇偶性的概念和几何意义. 的奇偶性为主，常与函数的单调性、 2.了解函数周期性、最小正周期性交汇命题，加强函数与方程思周期的含义，会判断和应想、转化与化归思想的应用意识.
用简单函数的周期性
【变式训练】 1.若函数 f(x)＝1k＋－k2·2x x在定义域上为奇函数，则实数 k＝_____. 解析：因为 f(x)在定义域上为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，即 1k＋－k2·2－－x x＝12＋x－k·k2x，所以k2·2x＋x－k1＝k2·2x－x＋k1，整理得(k2－1)22x＝1－ k2，根据等式恒成立，则 k2－1＝0，解得 k＝±1.

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性创新教学案(含解析)新人教

第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有01f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于02y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有03f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于04原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有01f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个02最小的正数，那么这个03最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0〞是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性〞的必要条件．( )(2)假设函数f(x)是奇函数，那么必有f(0)＝0.( )(3)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )(5)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，假设在(－∞，0)上是减函数，那么在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)假设T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．小题热身(1)以下函数中为奇函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x答案 A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)假设f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝________.答案－1解析因为f(x)是R上周期为2的函数，所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，那么f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，所以f(－2)＋f(0)＝－5.(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.答案 3解析因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，假设当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图，那么不等式f(x)＜0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1．(2020·成都市高三阶段考试)y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由f (|－x |)＝f (|x |)，知①是偶函数；由f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，知②是奇函数；由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝x 是定义在R 上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，知④是奇函数．2．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x ≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg1－x2－x.又f (－x )＝lg [1－－x2]x＝lg 1－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，那么f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，那么f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．角度2 奇函数、偶函数性质的应用3．(2019·衡水模拟)f (x )是定义在R 上的奇函数，假设x ＞0时，f (x )＝x ln x ，那么x ＜0时，f (x )＝( )A ．x ln xB ．x ln (－x )C ．－x ln xD ．－x ln (－x )答案 B解析设x ＜0，那么－x ＞0，所以f (－x )＝－x ln (－x )．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ln (－x )．4．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，那么(M ＋N －1)2020的值为( )A ．1B ．2C ．22020D ．32020解析由x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2＝sinπx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sinπx ＋2e x x 2＋e 2＋1.令g (x )＝sinπx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2020＝1.5．假设f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，那么a ＝________. 答案－32解析解法一：因为f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln (e －3x＋1)－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 3x ＋1－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 3xe 3x －ax ＝ln (1＋e 3x )－3x －ax ＝ln (e 3x ＋1)＋ax ，所以－3－a ＝a ，解得a ＝－32.解法二：函数f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln (e－3x＋1)－ax ＝ln (e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1e 3x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1e 3x ＝e 2ax，整理得e2ax ＋3x＝1.所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法(如举例说明2)(3)性质法(如举例说明1(③)，4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.注意：对于定义域为I 的奇函数f (x )，假设0∈I ，那么f (0)＝0.1．f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，那么f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3答案 A解析由得，f (0)＝20＋m ＝0. 解得m ＝－1.当x ≥0时，f (x )＝2x－1，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3. 2．(2019·辽宁名校联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称答案 B解析记f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )2lg －x －2－x ＋2＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象关于原点对称．3．(2020·武汉十校联考)假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，那么g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 ∵f (x )＋g (x )＝e x，① ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )－g (x )＝e －x，②由①②解得g (x )＝e x －e－x2.应选D.题型二函数的周期性1．(2019·温州模拟)定义在R 上的函数f (x )的最小正周期等于T ，那么以下函数的最小正周期一定等于T2的是( )A ．f (2x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2C ．2f (x )D ．f (x 2)答案 A解析由得f (x ＋T )＝f (x )，所以f (2x ＋T )＝f (2x )，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以函数f (2x )的周期是T 2；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋2T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的周期是2T ；2f (x ＋T )＝2f (x )，所以函数2f (x )的周期是T .函数f (x 2)不一定是周期函数．2.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋e x，那么f(2020)＝________.答案 1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝1f x＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.1．求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数，如举例说明1递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：假设f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：假设f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，那么x＝t＋a，那么f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式2．函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：假设T是函数的周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．如举例说明2.1．(2019·绵阳模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x ＜3，f x －4，x ≥3，那么f (9)＝________.答案 1解析 f (9)＝f (9－4)＝f (5)＝f (5－4)＝f (1)＝2×1－1＝1.2．f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，那么f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．题型三函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1．(2019·成都模拟)函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，假设f (2a )＞f (1－a )，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 答案 C解析因为函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2a )＞f (1－a )⇔f (|2a |)＞f (|1－a |)，又当x ≥0时，f (x )单调递减，所以|2a |＜|1－a |，所以(2a )2＜(1－a )2，即3a 2＋2a －1＜0，解得－1＜a ＜13.角度2 周期性与奇偶性结合2．(2018·全国卷Ⅱ)f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．假设f (1)＝2，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f [1－(x ＋3)]＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f [1－(x ＋1)]＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，应选C.角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3．(2019·青岛二中模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋2)＝f (x )；②f (x －2)为奇函数；③当x ∈[0，1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(x 1≠x 2)恒成立，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系正确的选项是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152B ．f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4) 答案 C解析由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，所以f (x )＝f (x －2)，又f (x －2)为奇函数，所以f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋2×4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝⎛⎭⎪⎫112－2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又x ∈[0,1)时，f (x )单调递增．故奇函数f (x )在(－1,1)上单调递增．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.1．函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，那么f (2－x )＞0的解集为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 f (x )＝(x －1)(mx ＋n )＝mx 2＋(n －m )x －n . ∵函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即mx 2＋(n －m )x －n ＝mx 2－(n －m )x －n ，得－(n －m )＝(n －m )，即n －m ＝0，那么m ＝n ，那么f (x )＝mx 2－m ，∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，∴m ＜0，由f (2－x )＞0，得m (2－x )2－m ＞0，即(2－x )2－1＜0，得x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，即不等式的解集为(1,3)．2．(2019·广东珠海模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫201912＝( )A.94 B.14 C ．－94D ．－14答案 D解析因为f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2020－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．组基础关1．(2019·武威模拟)以下函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝e x－e －xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝|x |答案 A解析 f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ；f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x符合题意．2．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，那么函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为( )答案 A解析因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，排除B ；由两函数的图象可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2时，y ＝f (x )·g (x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，y ＝f (x )·g (x )>0，所以只有选项A 符合题意，应选A.3．(2020·烟台适应性练习)定义在R 上的函数f (x )的周期为2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，那么f (5a )等于( ) A.716 B ．－25C.1116D.1316答案 B解析由于函数f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，所以a ＝35，因此f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.应选B. 4．函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，那么f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (－x )＋(－x )＝f (x )＋x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，令x ＝2，那么f (－2)＝f (2)＋4＝5，应选D.5．(2019·成都模拟)假设函数f (x )＝1－a2x －1的图象关于原点对称，那么实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析由得，函数f (x )为奇函数，所以f (1)＋f (－1)＝0，即1－a 2－1＋1－a12－1＝0,1－a ＋1＋2a ＝0，解得a ＝－2.6．(2019·合肥模拟)偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，那么对实数a ，b ，“a >|b |〞是“f (a )>f (b )〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为f (x )是偶函数，所以f (|b |)＝f (b )．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，a ＞|b |≥0.所以f (a )＞f (|b |)＝f (b )．假设f (a )＞f (b )．举反例f (－3)＝f (3)＞f (1)，而－3＜|1|.故由f (a )＞f (b )无法得到a ＞|b |.所以“a ＞|b |〞是“f (a )＞f (b )〞的充分不必要条件．7．(2020·沈阳市高三质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，那么以下不等关系恒成立的是( )A ．b －a ＜2B ．a ＋2b ＞2C ．b －a ＞2D ．a ＋2b ＜2答案 C解析由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－1＋2x1＋2x＝21＋2x －1，所以f (x )在R 上为减函数，由f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，得f (2a ＋b )＞－f (4－3b )＝f (3b －4)，故2a ＋b ＜3b －4，即b －a ＞2.应选C.8．函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝lg x ，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值为________．答案－lg 2 解析由得f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2.f (－2)＝－f (2)＝－lg 2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－lg 2.9．奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x －2)，且当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，那么f (2021)＝________.答案－4解析因为函数f (x )(x ∈R )为奇函数满足f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是以6为周期的周期函数，因为当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，所以f (2021)＝f (337×6－1)＝f (－1) ＝1－1＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－4.10．(2020·甘肃天水摸底)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，那么函数f (x )在[1,2]上的解析式是________．答案f(x)＝log2(3－x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．所以设x∈[1,2]，那么x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．组能力关1．p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析假设函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋a2＋x2)＋ln (x＋a2＋x2)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．2．函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，假设g(x)＝f(x)＋2019，那么g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1C．2019 D．4038答案 D解析因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，那么不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析假设x∈[－2,0]，那么－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0≤x ≤2，－x －1，－2≤x <0，假设x ∈[2,4]，那么x －4∈[－2,0]，即f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝－x ＋3，x ∈[2,4]，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象如图：那么当x ∈[－1,3]时，不等式xf (x )>0等价为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，即1<x <3或－1<x <0，所以不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．4．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＜0，记a ＝f 4.10.24.10.2，b ＝f 0.42.10.42.1，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1，那么( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a答案 A解析设0<x 1＜x 2，由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，得f x 1x 1＞f x 2x 2，所以函数g (x )＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，因此a ＝f 4.10.24.10.2＝g (4.10.2)＜g (1)，b ＝f 0.42.10.42.1＝g (0.42.1)>g (0.42)>g (0.5)，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1＝g (log 0.24.1)＝g (log 154.1)＝g (－log 54.1)＝g (log 54.1)∈(g (1)，g (0.5))，即a <c <b ，应选A.5．假设函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，那么a ＝________. 答案 1或－1解析令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1，根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，可知u (x )＝1－a 2＋1e x＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1. 6．(2019·河北重点中学联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－.2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正确的选项是________(正确的序号都填上)．答案①②④解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k ∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.专业.。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案文

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案文2.3 函数的奇偶性与周期性[知识梳理]1．函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．(2)奇偶函数的性质①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，称T 为这个函数的周期．对于周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数周期的常见结论设函数y ＝f (x )，x ∈R ，a >0.(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a ； (5)若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |； (6)若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； (7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |；(8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 6．掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x＋a －x为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为奇函数；(3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数． [诊断自测] 1．概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A1P 39A 组T 6)已知函数f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫12＋11＝－2.故选A.(2)(必修A1P 39B 组T 3)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)内也单调递减，又∵f (－2)＝0， ∴f (2)＝0，函数f (x )的大致图象如右图，∴xf (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C. 3．小题热身(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0，∴a ＝1.(2)(2018·山西四校联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (2)＝3，则f (2018)＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝3.题型1 函数奇偶性的判断典例判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(1－x )1＋x 1－x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.用定义法，性质法．解 (1)当且仅当1＋x1－x ≥0时函数有意义，所以－1≤x <1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(3)解法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3⇒－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数的定义域关于原点对称．所以f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x ，又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x2x，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．解法二：求得函数f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．化简函数f (x )，可得f (x )＝4－x2x，由y 1＝x 是奇函数，y 2＝4－x 2是偶函数，可得f (x )＝4－x2x为奇函数．方法技巧判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性．2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性． 3．验证法：即判断f (x )±f (－x )是否为0.4．性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练1．(2018·广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析易知y ＝1＋x 2与y ＝2x＋12x 是偶函数，y ＝x ＋1x 是奇函数．故选D.2．判断下列各函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，0(x ＝0)，－x 2＋x (x >0).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，所以f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. 因为f (－x )＝－lg [1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (2)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．又f (0)＝0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.题型2 函数奇偶性的应用角度1 已知函数奇偶性求值典例 (2018·湖南质检)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3本题用转化法，将f (x )－g (x )转化为f (x )＋g (x )．答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1.故选C.角度2 已知函数奇偶性求解析式典例设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|利用函数的周期性结合奇偶性转化求解．答案 D解析 ∀x ∈R ，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x ＋2)＝f (x )，故y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数．①当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4；②当x ∈(－1,0]时，－x ∈[0,1)，－x ＋2∈[2,3)，又函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝f (－x ＋2)＝－x ＋2，综合①②可知，f (x )＝3－|x ＋1|.故选D.角度3 已知函数奇偶性求参数典例 (2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x是奇函数，则实数a ＝________.根据f (x )＋f (－x )＝0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法．答案－2解析解法一：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋2a x ＝x ＋2ax＋a ＋2.因函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即－x －2a x＋a ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a x＋a ＋2＝－x －2a x－(a ＋2)，则a ＋2＝－(a ＋2)，即a ＋2＝0，则a ＝－2.解法二：由题意知f (1)＝－f (－1)，即3(a ＋1)＝a －1，得a ＝－2.将a ＝－2代入f (x )的解析式，得f (x )＝(x ＋2)(x －2)x，经检验，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f (－x )＝－f (x )，故a ＝－2.角度4 函数性质的综合应用典例 (2017·合肥三模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)本题用平移法，利用图象的对称性结合函数的单调性进行判断．答案 A解析因为函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移，a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．故选A.方法技巧1．利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )转化为已知区间上的函数值求解．见角度1典例．2．利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．见角度2典例．3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到含有待求参数的关于x 的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解．见角度3典例．4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．见角度4典例．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．见角度2典例．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．冲关针对训练1．(2017·河南模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6答案 B解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≥0时，f (x )＝3x＋m . ∴f (0)＝0，即m ＝－1. ∴f (x )＝3x－1(x ≥0)．f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log35－1)＝－(5－1)＝－4.故选B.2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.故选C.题型3 函数的周期性及应用典例1 (2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2本题综合奇偶性、周期性求解．答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2.故选D.典例2 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (2017)＝________.综合用奇偶性、周期性解决．答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝2.方法技巧函数周期性的判定与应用1．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．见典例1.2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．见典例2.冲关针对训练1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)等于( )A ．336B ．339C ．1678D ．2012答案 B解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016)＝1×20166＝336.又f (2017)＝f (1)＝1，f (2018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝339.故选B. 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cos πx 3，则f (2017)＝________.答案 2解析由已知可得f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.∴f (2017)＝f (6×336＋1)＝f (1)．∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－1f (－1)，所以f (1)＝f (－1)＝－1f (2)＝－1cos2π3＝2.∴f (2017)＝2. 题型4 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性典例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)利用奇偶性和周期性将自变量转化到已知单调区间，再利用函数的单调性比较大小．答案 D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.典例2 (2018·南昌期末)已知函数f (x )对于任意m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且当x >0时f (x )>1.(1)求证：函数f (x )在R 上为增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.利用抽象函数的特殊条件，结合定义法解决函数的单调性，进而化抽象不等式为具体不等式求解．解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，则f (x 2－x 1)>1. ∵函数f (x )对于任意m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1成立，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，∴函数f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋f (1)＋f (1)－2＝3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2，即为f (a 2＋a －5)<f (1)，由(1)知，函数f (x )在R 上为增函数，a 2＋a －5<1，即a 2＋a －6<0， ∴－3<a <2.∴不等式f (a 2＋a －5)<2的解集是{a |－3<a <2}．把不给出具体解析式只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数．这类题目能全面考查学生对函数概念的理解，解答抽象函数的题目，掌握常见的基本函数及性质是关键．同时注意特殊值法、赋值法、图象法的应用．冲关针对训练1．(2018·太原检测)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上( )A ．有最小值f (a )B ．有最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2C ．有最小值f (b )D ．有最大值f (b )答案 C解析令y ＝－x ，则由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )得f (0)＝f (x )＋f (－x )，① 再令x ＝y ＝0得f (0)＝f (0)＋f (0)得f (0)＝0，代入①式得f (－x )＝－f (x )．得f (x )是一个奇函数，图象关于原点对称． ∵当x <0时，f (x )>0，即f (x )在R 上是一个减函数，可得f (x )在[a ，b ]上有最小值f (b )．故选C. 2．(2017·池州模拟)已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 答案 B解析根据题意，若对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则函数f (x )在区间[4,8]上为增函数，若f (x ＋4)＝－f (x )，则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，若y ＝f (x ＋4)是偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，a ＝f (6)，b ＝f (11)＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)＝f (7)，又由函数f (x )在区间[4,8]上为增函数，则有b <a <c .故选B.1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.2．(2017·河南测试)已知函数f (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)－22x＋1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 D解析令g (x )＝ln (2x ＋4x 2＋1)，则g (－x )＋g (x )＝ln (－2x ＋4x 2＋1)＋ln (2x ＋4x 2＋1)＝ln 1＝0，所以函数g (x )是奇函数，则f (－a )＝g (－a )－2×2a 1＋2a ＝－g (a )－2×2a1＋2a .又f (a )＝g (a )－22a ＋1，两式相加，得f (－a )＋f (a )＝－2×(2a＋1)1＋2a＝－2.又f (a )＝1，所以f (－a )＝－3.故选D.3．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．4．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析函数y ＝x 3＋3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数y ＝e x＋e－x2是偶函数，排除B ；函数y ＝x sin x 是偶函数，排除C ；函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，且f (－x )＝log 23＋x3－x＝－f (x )，是奇函数，D 正确．故选D. 2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析函数f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，排除A ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，0)上单调递减，排除B ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝log 21|x |＝－log 2(－x )在(－∞，0)上单调递增，且函数f (x )在其定义域内是偶函数，C 正确；函数f (x )＝sin x 是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x ) B ．x 3＋ln (1－x ) C ．x 3－ln (1－x ) D ．－x 3＋ln (1－x )答案 C解析当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝( )A ．－0.5B ．0.5C ．－2.5D ．2.5答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．∴函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，∴f (2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f(x)在∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x，则f(2017)等于( )A.12B．－12C．1 D．－1答案 B解析由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－12.故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A．2 B．1C．－1 D．－2答案 A解析∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝( ) A．－2 B．－1C．0 D．2答案 D解析因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2答案 A解析∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f (x )是周期函数，且周期为4. ∴f (2018)＝f (2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.故选A.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点所构成的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3x ]＝－x 2－3x ，易求得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，当x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 1＝1，x 2＝3；当－x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7(舍去)．故g (x )的零点为1,3，－2－7.故选D. 二、填空题11．(2018·武昌联考)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.答案 ±1解析 ∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x)(1＋k ·2x )(2x＋k ) ＝(k 2－1)(22x＋1)(1＋k ·2x )(2x＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0，可得k 2＝1，∴k ＝±1.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案－25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.13．(2017·郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则称f (x )为准奇函数．给出下列函数：①f (x )＝(x －1)2，②f (x )＝1x ＋1，③f (x )＝x 3，④f (x )＝cos x ，其中所有准奇函数的序号是________．答案 ②④解析对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称．对于①，f (x )＝(x －1)2，函数图象无对称中心；对于②，f (x )＝1x ＋1，函数f (x )的图象关于(－1,0)对称；对于③，f (x )＝x 3，函数f (x )的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x )＝cos x ，函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称．所以所有准奇函数的序号是②④.14．(2018·太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案 3解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )，∴f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数，∵S n ＝2a n ＋n ①，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.三、解答题15．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解 (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)．∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y ＝f (x )在[0,2018]上有404个解，在[－2018,0]上有403个解，所以函数y ＝f (x )在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0. 证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3. 所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.所以实数m 的取值范围是[0,1)．。

新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件

1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( √ )
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条
件．( √ )
(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周
期．( √ )
解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0) ＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．
(2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－ x)，可知 x＝a 为对称轴．
1 2
.
解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所
以 f(－x)＝f(x)，即(－x)3(2－x1－1＋a)＝x3(2x－1 1＋a)，所以 2a＝
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12，则 f(6)等于( D )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：当 x>12时，fx＋12＝fx－12，即周期为 1，则 f(6)＝ f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，