安徽省合肥市2021届高三第三次教学质量检测数学(理)试题Word版含解析

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安徽省合肥市2021届新高考数学三模考试卷含解析

安徽省合肥市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.2．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（）A ．2B ．-2C ．-3D ．3【答案】A 【解析】【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x--展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r r r T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.3．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．2π C ．πD ．32π 【答案】D 【解析】【分析】依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【详解】当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确；当2πθ=时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确；当32πθ=时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.4．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】【分析】列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40202m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20102m ==； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1052m ==；415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则1682m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则842m ==；718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224m ==；819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则212m ==； 9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.5．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.6．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2D【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ．【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，设公比为q ，则()2237q a a 4q 8+==，则q =负的舍去)，故选D ．【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题． 7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4 B ．8C ．6D ．12【答案】B 【解析】【分析】可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩，从而可解出22AC AO BOBC BO AO ⎧=+⎨=+⎩，然后根据OA OB ⊥，2AB =进行数量积的运算即可求出()()282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=．【详解】如图：点O 为ABC ∆的三条中线的交点11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-，11()(2)33BO BA BC BC AC =+=-∴由2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩可得：22AC AO BOBC BO AO⎧=+⎨=+⎩，又因OA OB ⊥，2AB =，222(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==.故选：B 【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.8．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．2-C ．1-D ．2【答案】D 【解析】【分析】由|AF 2|＝3|BF 2|，可得223AF F B =.设直线l 的方程x ＝5m ＞0，设()11,A x y ，()22,B x y ，即y 1＝﹣3y 2①，联立直线l 与曲线C,得y 1+y 2＝25my 1y 2＝214m -③，求出m 的值即可求出直线的斜率. 【详解】双曲线C ：2214x y -=，F 1，F 2为左、右焦点，则F 250），设直线l 的方程x ＝5，m ＞0，∵双曲线的渐近线方程为x ＝±2y ，∴m≠±2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＞0，由|AF 2|＝3|BF 2|，∴223AF F B =，∴y 1＝﹣3y 2①由22{440x my x y =--=，得()22410m y -++=∴△＝（）2﹣4（m 2﹣4）＞0，即m 2+4＞0恒成立，∴y 1+y 2＝24m --②，y 1y 2＝214m -③，联立①②得220y -=>，联立①③得2221304y m -=<-，2y ∴=2221123y m =-即：22211234m m ⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭，0m >，解得：12m =，直线l 的斜率为2，故选D ．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．9．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.10．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i + B ．1i -C ．iD ．i -【答案】C 【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】由()11z z i -=+得：()()()211111i iz i i i i ++===-+- 本题正确选项：C 【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．11．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解；【详解】解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC【答案】B 【解析】【分析】连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解．【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11A C AC =，O 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，CF ⊄平面1A BD ，1AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市2021届高三第三次教学质量检测数学理试题 Word版含答案

合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺当！第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),则||a bi +等于 A.2 B.2 C.1 D.1或22.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >”的否定是A.对于任意x R ∈,都有0x e ≤B.不存在x R ∈,使得0x e ≤C.存在0x R ∈,使得00x e >D.存在0x R ∈,都有00x e ≤ 3.若函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,则 A.A B = B.A B ⊂ C.B A ⊂ D.A B =∅ 4.在等差数列{}n a 中,已知1823(4)a a =-,则该数列的前11项和11S 等于 A.33 B.44 C.55 D.66 5.执行如图所示的程序框图,若将推断框内“100S >”改为关于n 的不等式“0n n ≥”且要求输出的结果不变,则正整数0n的取值A.是4B.是5C.是6D.不唯一 6.在极坐标系中,已知点(4,1),(3,1)2A B π+,则线段AB 的长度是 A.1 B.214π+ C.7 D.5 7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是 A.62 B.1C.22 D.648.某校方案组织高一班级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,则不同的选择方案有A.240种B.204种C.188种D.96种 9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A +=,则A ∠的大小是A.2πB.3πC.4πD.6π10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞B.(,0)(3,)-∞+∞C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上. 11.某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,则这80名老师中年龄小于45岁的老师有人12.设 6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则1350246a a a a a a a ++=+++ 13.在平面直角坐标系中,不等式组02y x x y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两部分,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,则实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,若FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,则点P 的坐标为 15.已知向量,OA OB 满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C 满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①若1x y +=,则点C 的轨迹是直线; ②若||||1x y +=,则点C 的轨迹是矩形; ③若1xy =,则点C 的轨迹是抛物线; ④若1x y =,则点C 的轨迹是直线;⑤若221x y xy ++=,则点C 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的全部命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分) 已知函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π. (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题满分12分) 已知数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((n n n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题满分12分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b .(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)已知点A 的坐标为(0,)b ,椭圆上存在点,P Q ,使得圆224x y +=内切于APQ ∆,求该椭圆的方程.19(本小题满分13分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BF ⊥平面,//.ABCD DE BF (Ⅰ)求证:AC EF ⊥;(Ⅱ)若2,1,BF DE ==在EF 上取点G ,使//BG 平面ACE ,求直线AG 与平面ACE 所成角θ的正弦值.20(本小题满分13分) 某校高三班级争辩性学习小组共6人,方案同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观挨次,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,全部展厅参观结束后集合返回,设大事A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;大事B 为:在参观的其次个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人. (Ⅰ)求()P A 及(|)P B A ; (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,则在大事A 发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望. 21(本小题满分13分) 已知函数()ln 2 3.f x x x =-+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设函数2()1t g x x x =-+,若()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。

安徽省合肥市2020┄2021届高三第三次教学质量检测理科综合Word版含答案

合肥市2021年高三第三次教学质量检测理综试题一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下图是某同学实验时拍摄的洋葱根尖分生区细胞分裂图，①〜⑤表示不同的细胞分裂时期。

下列叙述正确的是Ａ．①时期整个细胞的DNA与染色体数量之比等于1Ｂ．②时期染色体的着丝点都排列在细胞中央的细胞板上Ｃ．④时期细胞内两组中心粒发出纺锤丝构成纺锤体Ｄ．细胞周期中各时期的顺序是⑤→④→①→③2.将完全培养液栽培的植物放人密闭的玻璃瓶内，在室外培养一昼夜，测得瓶内二氧化碳浓度的变化如图。

以下分析正确的是Ａ．植物从培养液中吸收氮和镁，可用于合成叶绿素Ｂ．BC段植物只进行呼吸作用，使瓶内C02浓度升高Ｃ．E点时用碘蒸汽处理叶片，叶片不变蓝Ｄ．该植物在该密闭玻璃瓶中可正常生长3.蜜蜂的雌蜂是由受精卵发育而来的二倍体，雄蜂是由卵细胞直接发育而来的单倍体。

蜜蜂长绒毛对短绒毛为显性、体色褐色对黑色为显性。

现有一只雄蜂与蜂王杂交，子代雌蜂均为褐色长绒毛，雄蜂黑色长绒毛和黑色短绒毛各占一半。

以下分析错误的是Ａ．雄蜂体细胞和有性生殖细胞中都不具有成对的同源染色体Ｂ．亲本雌蜂性状为黑色长绒毛，能产生两种基因型的卵细胞Ｃ．亲本雄蜂性状为褐色长绒毛，只能产生一种基因型的精子Ｄ．蜜蜂体色和绒毛长短的遗传与性别相关联，属于伴性遗传4.下列有关遗传变异和繁殖的说法正确的是Ａ．环境引起的变异属于不可遗传变异，不能传给后代Ｂ．21三体综合征可能由于精子或卵细胞染色体异常引起Ｃ．基因异常可引发遗传病，不带有致病基因的人不患遗传病Ｄ．基因型为AaBB的个体自交后代性状分离，该变异属于基因重组5.下列对膝跳反射过程的分析，正确的是Ａ．直接刺激传出神经或效应器也可以引起膝跳反射Ｂ．效应器的传出神经末梢受到叩击能产生动作电位并向脊髓传导Ｃ．动作电位在传人神经纤维和传出神经纤维上的传导是双向的Ｄ．膝跳反射中枢位于脊髓，受大脑皮层的高级神经中枢控制6.使君子是一种绿色开花植物，夏秋两季的傍晚开花，初开时为白色.次日清晨变成粉色，傍晚变成红色，三天后变成紫红色。

2021届安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(理科)(含答案解析)

2021届安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x2+4x<0}，集合B={x|x<−2}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {x|−4<x<−2}B. {x|−4<x<0}C. {x|x>0}D. {x|x<−2}2.设复数z=(12+i)(1−i)，则|z|=()A. √5B. √102C. 52D. 5√243.具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为()A. 13B. 7+3√2C. 72πD. 144.已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是()A. 3π16B. 3π8C. 3π4D. 3π25.设函数f(x)=3sin(π2x+π4)，则函数f(x)的最小正周期为()A. 2πB. 4πC. 2D. 46.已知对于任意实数x，均有f(π2−x)+f(x)=0且f(π+x)=f(−x)成立，当x∈[0,π4]时，有f(x)=cos2x，则f(79π24)的值为()A. √6−√24B. √6+√24C. √2−√64D. −√6+√247.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线向上平移两个单位长度后与抛物线y2=4x相切，则双曲线的离心率e=()A. √52B. √62C. √2D. 328.下列说法中正确的个数是( )(1)若命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0≤0，则￢p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0>0；(2)命题“在△ABC 中，A >30°，则sinA >12”为真命题；(3)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的充分必要条件； (4)△ABC 中，若A >B ，则sinA >sinB 为真命题．A. 0B. 1C. 2D. 39.已知扇形OAB 的圆心角是60°，半径是1，C 是弧AB⏜上不与A ，B 重合的一点，设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，若u =x +λy 存在最大值，则实数λ的取值范围为( ) A. (12,2)B. (12,1)C. (13,3)D. (1,3)10. 直线l 与圆x 2+y 2+2x −8y =0相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为M(−3,2)，则直线l 的方程为( )A. x −y +5=0B. x +y +1=0C. x −y −5=0D. x +y −3=011. 已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]12. 已知F 1，F 2是距离为6的两个定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹是( )A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. P ，Q 为△ABC 所在平面内不同的两点．若3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，3AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +5CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S △PAB ：S △QAB =______． 14. 知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为，则抛物线的标准方程为15. 从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的不同方案有______ 种． 16. 下列4个命题：①“如果x +y =0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“如果x 2+x −6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sinA >12”的充分不必要条件；④“a =1”是“函数f(x)=(x −1)2在区间[a,+∞)上为增函数”的必要充分条件．其中真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知函数f(x)=1−4sinxsin(x −π3)，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且f(A)=1，b +c =3． (1)求角A 的大小； (2)求边BC 上高的最大值．18. 观察教室内现有的物体，找出两个平面互相垂直的例子．19. 一名箭手进行射箭训练，箭手连续射2支箭，已知射手每只箭射中10环的概率是14，射中9环的概率是14，射中8环的概率是12，假设每次射箭结果互相独立． (1)求该射手两次射中的总环数为18环的概率； (2)求该箭手两次射中的总环数为奇数的概率．20. 已知函数f(x)=e x x的定义域为(0,+∞)．(Ⅰ)求函数f(x)在[m,m +1](m >0)上的最小值；(Ⅱ)对任意x ∈(0,+∞)，不等式xf(x)>−x 2+λx −1恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知F 1(−2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|−|PF 2|=2，记点P 的轨迹为E ． (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点．(i)无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M(m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值． (ii)过P 、Q 作直线x =12的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记λ=|PA|+|QB||AB|，求λ的取值范围．22.(本小题满分10分)选修4−1：几何证明选讲如下图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．(1)求证：AD//OC；(2)若圆O的半径为1，求AD・OC的值．23(本小题满分10分)坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．(1)求的值及直线的直角坐标方程；(2)圆c的参数方程为，(为参数)，试判断直线与圆的位置关系．24(本小题满分10分)不等式选讲：设不等式的解集为，且，．(1)求的值；(2)求函数的最小值．23. 已知函数f(x)=|x+1−2a|+|x−a2|，g(x)=x2−2x−4+4(x−1)2(Ⅰ)若f(2a2−1)>4|a−1|，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若存在实数x，y，使f(x)+g(y)≤0，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了求Venn 图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．阴影部分表示的集合为A ∩B ，解出A ，再与B 求交集．解：因为A ={x|−4<x <0}，Venn 图表示的是A ∩B ，所以A ∩B ={x|−4<x <−2}，故选：A ．2.答案：B解析：解：因为：复数z =(12+i)(1−i)=12+(1−12)i −i 2=32+12i ；所以：|z|=√(32)2+(12)2=√102．故选：B ．通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a +bi 的形式，即可得到结论．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，是基本知识的考查．3.答案：D解析：试题分析：根据三视图判定几何体的形状，再由正视图判断几何体的长与高，俯视图判断几何体的宽，代入公式计算即可。

合肥市2021年高三第三次教学质量检测理科数学试卷 (含答案)

合肥市2021年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-1 14.28=y x 15.1260016.① ②三、解答题：17. (本小题满分12分) 解：(1)由4a C bπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()sin cos a b C C =+. 由正弦定理得()sin sin sin cos A B C C =+，即()()sin sin sin cos B C B C C +=+， ∴cos sin sin sin B C B C =.∵在ABC ∆中，sin 0C >，∴cos sin B B =，即tan 1B =.∵()0B π∈，，∴4B π=.…………………………5分 (2)由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=2222a c b ac+-=，∴222b a c =+.又∵(22b ac =，∴22a c ac +=2，即a c =. 由(1)知4B π=，又∵2c =，∴ABC ∆面积11sin 22222S ac B ==⨯⨯= .………………12分 18. (本小题满分12分)(1) 证明：∵DE ∥BC ，BC ⊥平面ABE ，∴DE ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴DE ⊥AE .在Rt ADE ∆中，由60DAE ∠=，6DE =得，AE =.又45,, 2.BAC BC AB AB BC ∠=⊥∴== 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，解得4BE =.∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥.而BC AE ⊥，∴AE ⊥平面ABC .又∵AC ⊂平面ABC ，∴AE ⊥AC .…………………………5分(2) 解：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵AB ∥平面CEF ，平面ABD 平面CEF FG =，∴AB ∥FG ，∴AF BG FD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG ∆~∆，∴13BG BC GD DE ==，∴13AF FD =. 如图，以E 为坐标原点，EB ，ED 所在的直线分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，D (0，0，6)，C (4，0，2).又∵A(30)，∴133 4442AF AD ，⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴93 442F ，，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴71 42CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()404DC ，，=-. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C A A C D C D B D令平面CDF 的一个法向量为()m x y z ，，=，由00CF m DC m ，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得7200. x z x z ，⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1x =，得()11m =.同理，平面CEF的一个法向量为()3 6n =-， ∴cos 0m n m n m n ，⋅<>==⋅，即二面角D CF E --的大小为.2π …………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)A 系统需要维修的概率为231311112222C ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， B 系统需要维修的概率为23452155111111222222C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则12X B ⎛⎫~2 ⎪⎝⎭，，200X ξ=. ()()2211200(0 1 2),22k k k P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， ∴ξ的分布列为 ∴120022002E ξ=⨯⨯=. …………………………6分 (2)A 系统3个元件至少有2个正常工作的概率为()223323123A P C p p p p p =-+=-+，B 系统5个元件至少有3个正常工作的概率为()()2334455511B P C p p C p p p =-+-+54361510p p p =-+，则 ()()()2543226151233121B A f p P P p p p p p p p =-=-+-=--.∵01p <<.令()0f p >，解得112p <<. 所以，当112p <<时，B 系统比A 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A 系统；当102p <<时，A 系统比B 系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B 系统；当12p =时，A 系统与B 系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A ，B 系统检测不分次序. ………………………12分20.(本小题满分12分)解：(1)()()2ln 1f x x a x =--，则()22ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增. ∵()10f =，∴当1x >时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；②当02a <<时，21a>，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当21,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；③当2a =时，21a=，由()0f x '>得，01x <<；由()0f x '<得，1x >. ∴()f x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减. 又∵()10f =，∴()0f x ≤成立.④当2>a 时，21<a，由()0f x '>得，20x a <<，由()0f x '<得，2x a >. ∴()f x 在20 a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∵()10f =，∴当2,1⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x a 时，()()10f x f >=，不符合题意，舍去；综上得，2a =. …………………………6分(2) 由(1)知，当2a =时，()0f x <在()1+∞，上成立，即ln 1x x <-. 令()211kx n =++(1 2 k n = ，，，)，则()()22ln 111k k n n ⎡⎤+<⎢++⎢⎥⎣⎦， ∴()()()()2222112ln 1ln 1111111nk k n n n n n =⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪+=+⋅+⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎨⎬++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑ ()()()()()()22221121112121112121n n n n n n n n n n +<+++===<+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，即()()()()2222112111ln 21⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅++++⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦<⎨⎬+⎪⎪⎩⎭ n n n n n n ，∴()()()()2222112111n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦<+ *n N ∈). .…………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)由题意知BQ BA BQ BD DQ +=+===8AQ >=，根据椭圆的定义得，交点B 的轨迹是一个以A ，Q 为焦点的椭圆，2a =28c =，∴22218162b a c =-=-=，∴曲线C 的方程为 221182x y +=. …………………………4分 (2)由曲线T 与曲线C 相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T 经过点()30E -，，()30F ，，可设曲线T 的方程为22182x y λ+=(0λ>).将点() 0F 3，坐标代入上式得，1λ=， ∴曲线T 设P (00x 11(22x y ，).① 当切线PG 的斜率不存在时，切线PG 的方程为：3x =±，代入221182x y +=得1y =±，此时PH 与曲线T 相切，M 为PG 的中点，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值；同理可求，当切线PH的斜率不存在时，12MNGH =也是一个定值.②当切线PG 和PH 的斜率都存在时，设切线PG 的方程为：y kx m =+，分别代入2219x y +=和221182x y +=，化简整理得()2229118990k x kmx m +++-=①，()22291189180k x kmx m +++-=②.由题意知，方程①有两个相等的实数根1x ；方程②有两个不相等的实数根02x x ，， ∴110221891km x x x x k +=+=-+，∴0212x x x +=， ∴()020*******y y k x x m kx m y +=++=+=,此时，M 为PG 的中点.同理可证，N 为PH 的中点，12MN GH =是一个定值. 综上可知，12MNGH =是一个定值. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).由2cos 4sin ρθθ=得，22cos 4sin ρθρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24.x y = …………………………5分(2)将直线l 的参数方程1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入24x y =，并整理得()22cos 2cos 4sin 70t t ααα⋅+--=. 设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，由线段PQ 的中点为M 得120t t +=，即22cos 4sin 0cos ααα--=， ∴直线l 的斜率1tan .2k α== ∴直线l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=. …………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)当2a =时，()221f x x x =++-.当2x ≤-时，()2224f x x x =---+≤，解得43x ≥-，结合2x ≤-得，解集为∅；当21x -<≤时，()2224f x x x =+-+≤，解得0x ≥，结合21x -<≤得，01x ≤≤；当1x >时，()2224f x x x =++-≤，解得43x ≤，结合1x >得，413x ≤＜. ∴原不等式的解集为403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分 (2)当12x ≤≤时，221x a x x ++-＞可化为222x a x x +-+＞， ∴222x a x x +>-+或222x a x x +<-+-，即存在[]12x ∈，，使得232a x x >-+，或22a x x <-+-. ∴14a >-，或2a <-， ∴实数a 的取值范围为()1,2,4⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. …………………………10分。

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安徽省合肥市2021届高三数学第三次教学质量检测试题文(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}13A x x =-<<，集合{}22B x x =-<<，则A B =A.()2 2-，B.()1 2-，C.()2 3-，D.()1 3-， 2.已知i 是虚数单位，则复数12i1iz -=+在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为A.16B.13C.12D.234.若x y R ∈，，则22x y >是1xy>成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()1x x f x a a=-(1a >)，则不等式()()2210f x f x +->的解集是A.()112⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，B.()112⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，C.1 12⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，6.已知向量a ，b 满足2a b a b +=-，其中b 是单位向量，则a 在b 方向上的投影是A.1B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗D.91070881⨯-斗 8.在ΑΒC ∆中，若11112sin sin tan tan A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则 A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23πC.C 的最小值为3πD.C 的最小值为6π9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm (91nm 10m -=)，测得某时刻频移为99.03010⨯(1/h)，则该时刻高铁的速度约等于A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.经过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值为A.92B.5C.9D.1011.点P 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11DCC D 内的一个动点，若APD ∆与BCP ∆的面积之比等于2，则点P 的轨迹是A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式()22ln a x x a x +≤+在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(e 为自然对数的底数)上有实数解，则实数a 的最大值是A.1-B.()121ee e -+C.()31e e e --D.()21e e e --第II 卷 (90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设函数()()222 log 5x e x e f x x x e ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，则()()3f f 的值等于 .14.某高中各年级男、女生人数如下表：年级性别高一高二高三男生 592 563 520女生 528 517a a = .15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21n n S =-.若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于*n N ∀∈都成立，则实数M 的最小值等于 .16.已知长方体1111ABCD A B C D -的棱12AA =，3AD =，点E ，F 分别为棱BC ，1CC 上的动点.若四面体11A B EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号)①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥； ③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为1CC 中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体11A B EF 四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分) 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：人数⑴在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动.试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动?18.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边ABC ∆所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =，113AC AC =. ⑴求证：11A B ∥平面ABC ；⑵求多面体111ABC A B C -的体积V .19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+(0 2πωϕ><，)的部分图象如图所示. ⑴求函数()f x 的解析式；⑵将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0π，上的值域.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.⑴若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；⑵若0OA OB OP ++=，证明：ABP ∆三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程.21.(本小题满分12分)已知函数()()x x f x e e g x ax -=-=，(e 为自然对数的底数)，其中a R ∈.⑴试讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；空气质量指数 (0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，300]300以上空气质量等级一级 (优) 二级(良)三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级(重度污染)六级 (严重污染)⑵当2a =时，记函数()f x ，()g x 的图象分别为曲线1C ，2C .在2C 上取点n P (n n x y ，)作x 轴的垂线交1C 于n Q ，再过点n Q 作y 轴的垂线交2C 于1n P +(11n n x y ++，)(*n N ∈)，且11x =.①用n x 表示1n x +；②设数列{}n x 和{}ln n x 的前n 项和分别为n n S T ，，求证：1ln 2.n n S T n +->请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤<).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线E 的极坐标方程为2+2cos 30ρρθ-=，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点.⑴求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；⑵过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()221f x x x =--+的最小值为m .⑴求m 的值；⑵若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++≥.合肥市2021届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.22e 14.480 15.4 16.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为111413015P +=-=. ………………………6分(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(天)，∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C .又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分(2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=. ∵112AC AC ==，1122BC BC ==， ∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，∵113AC AC =， ∴160ACC ∠=，1132223A ACC S=⨯=∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBBDCBADCAD则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪<⎪⎩(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………6分(2)由题意得，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵[]0x π∈，，∴5444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()g x的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分20.(本小题满分12分)解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.∵022014x y +=，∴022014x y =-. 同理得，122114xy =-.∴0011010101012222220101222222010*********PA PBx x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---，∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ += ∵0OA OB OP ++=，∴2OP OQ =-，则0022x xy y =-⎧⎨=-⎩.将0022x x y y=-⎧⎨=-⎩代入022014x y +=得，2241x y +=，∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()x x F x e e a -'=+-.当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增. 当2a >时，由()0F x '=得，xe =x =∴()F x在 ⎛ -∞ ⎝⎭，和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在 ⎛ ⎝⎭上单调递减. …………………………………5分 (2)①由(1)知，当1x ≥时，()()10F x F ≥>，即当1x ≥时，曲线1C 恒在2C 上方.按题意有，()()1n n f x g x +=，即12nnx x n e ex -+-=，∴12n nx x n e e x -+-=. ②由①知122n n nx x x n e e e x -+-=<. 注意到11x =，∴1112121222n n x x x n n n n e e e x x x x x x x -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅， ∴1112112n n nx x x n n x x x x e -++++⎛⎫⋅⋅⋅⋅<⋅ ⎪⎝⎭，两边同取自然对数得，()121111ln ln ln ln ln2n n n n x x x x n x x x +-++++<++++，即1ln 2n n S T n +->. …………………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线E 的直角坐标方程为()22+14x y +=，直线m 的极坐标方程为θα=(R ρ∈). ………………………………5分 (2)设点A ，C 的极坐标分别为()1ρα，，()2ρα，.由2=+2cos 30θαρρθ⎧⎨-=⎩得，2+2cos 30ρρα-=， ∴122cos ρρα+=-，123ρρ=-， ∴12AC ρρ=-=同理得，BD =∵221cos 3sin 372ABCD S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即344ππα=或时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7. ………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)()3 122113113 1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪-≥⎩，，，，根据函数图象得，()f x 的最小值为-2，∴2m =-. ………………………………5分 (2)由(1)知，2a b c ++=，∴()()()()()()22222222121111112119a b c a b c a b c ⎡⎤+-++⋅++≥⋅+-⋅++⋅=+++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()222123a b c +-++≥，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立，∴2222420a b c b c ++-++≥. ………………………………10分。

安徽省合肥市2021届高三数学第三次教学质量检测试题理(含解析)

合肥市2021高三第三次教学质量检测数学试题（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R（）A. {}1,0-B. {}1C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先求出集合B 的补集再与集合A 进行交集运算。

【详解】1|2B x x 1|2R C Bx x即(){1,0}R A C B故选A 。

【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。

2.已知i 是实数集，复数z 满足3z z i i +⋅=+，则复数z 的共轭．．复数为（） A. 12i B. 12i C. 2i + D. 2i -【答案】C 【解析】【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i+=+ ，对其进行化简得到2z i =-，利用共轭复数的性质得到2z i =+ 。

【详解】3z z i i +⋅=+可化为31iz i+=+3(3)(1)42=21(1)(1)2i i i i zi i i i∴z 的共轭复数为2z i =+故选C 。

【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。

3.执行如图所示的程序框图，若输入1x =-，则输出的y =（）A.14B.34C.716D.1916【答案】D 【解析】【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.【详解】输入1x =-，()131144y =⨯-+=，37||1144x y -=--=<不成立，34x =； 131914416y =⨯+=，3197||141616x y -=-=<成立，跳出循环，输出1916y =.故选D. 【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =（） A.149B.169C.209D.73【答案】A 【解析】【分析】列出关于1a d ,的方程组并解出，即可求得3a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由题意得123161334,65610,2a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩ 解得110,92.9a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以311429a a d =+=.故选A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和.1a d ,等差数列的通项公式和前n 项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于1a d ,的方程组来求1a d ,.5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6【答案】B 【解析】【分析】求出x ，y 将其代入线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+，即可得出a 的值。

安徽省合肥市2021届新高考数学三模考试卷含解析

安徽省合肥市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021三模试题-理科数学DA(1)

( ) n合肥市 2021 年高三第三次教学质量检测数学试题〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 答案 A C D A B B A B B D C D二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分.13.814. - 74 15. - 145三、解答题：17.(本小题总分值12 分)解：(Ⅰ)当n = 1 时，a 1 = 1，故b 1 = 6 . 当n ≥ 2 时，a n = 2a n -1 + 2n -1 ，那么b n = a n + 2n + 3 = 2a n -1 + 2n -1 + 2n + 3 = 2(a n -1 + 2n + 1) = 2[a n -1 + 2(n -1) + 3] ，∴b n = 2b n -1 ，∴数列{b n } 是首项为6 ，公比为2 的等比数列.………………………6 分(Ⅱ)由(Ⅰ)得b = 3⨯ 2n ，∴a = b - 2n - 3 = 3⨯ 2n - 2n - 3 ，nnn2 (1- 2n )∴ S n =3 2 + 22 + + 2n- 2(1+ 2 + + n ) - 3n = 3 ⋅ - n (n +1) - 3n ， 1- 2∴ S = 3⨯ 2n +1 - n 2 - 4n - 6 . …………………………12 分 18.(本小题总分值12 分) 解：(Ⅰ)由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读 100 24 124 不经常阅读50 26 76 合计15050200200 ⨯(100 ⨯ 26 - 50 ⨯ 24)29800那么K 2= = ≈ 5.546 > 5.024 。

150 ⨯ 50 ⨯124 ⨯ 76 1767所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关. ……………………………6 分2 (Ⅱ)根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1 人，抽到经常阅读的人的概率是，3且X ～B 〔4， 23〕，所以 X 的分布列为：X0 1 234P1 81 88124 8132 8116 81∴ E ( X ) = 4 ⨯ 2 = 8.…………………………12 分3 316.2 53 ⎨4a = 8 ⎨a = 2 19.(本小题总分值12 分)解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连结OP ，OB ，OC.设OB 交AC 于点H ，连结GH. ∵ AD ∥ BC ， AB = BC = CD = 1AD2 ∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 ∴OB ⊥AC ，OB ∥CD ∴CD ⊥ AC .∆PAD 为等边三角形，O 为AD 中点 ∴ PO ⊥ AD平面PAD ⊥ 平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD = AD ， PO ⊂ 平面PAD 且PO ⊥ AD∴PO ⊥ 平面ABCD∵CD ⊂ 平面ABCD ∴ P O ⊥ CD∵ H ，G 分别为OB ， PB 的中点 ∴GH ∥ PO ∴GH ⊥ CD又∵GH AC = H ∴CD ⊥ 平面GAC .………………………6 分(Ⅱ)取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以OE ，OD ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系O - xyz .设AD=4，那么P (0，0，2 )，A (0，-2，0)，C ( ⎛ ，1，0)，D (0，2，0)，G 3 1 ⎫ ，- ， 3 .2 2 ⎪⎝⎭⎛ 3 ⎫ 2AP = (0，2，)， AG = 2 ，， 3 ⎪ .⎝ 2 ⎭ 设平面PAG 的一个法向量n = ( x ，y ，z ) .⎧ ⎧2 y + 2 3z = 0 ⎧ 由⎪n ⋅ AP = 0 ⇒ ⎪⇒ ⎪ y = - 3z . 令z = 1 ，那么n = (1，-3，1).⎨ ⎨⎩⎪n ⋅ AG = 0 ⎪ x + 3 y + 3z = 0 ⎨ ⎩⎪x = z ⎩ 2 2由(Ⅰ)可知，平面AGC 的一个法向量为CD = (- 3，1，0).∴二面角P - AG - C 的平面角θ 的余弦值cos θ = - 20.(本小题总分值12 分)n ⋅ C Dn CD= - 2 3 = - 2 5 5 .……………12 分解：(Ⅰ)由，得⎧c = 1⎩ ，∴⎧c = 1，∴b 2 = 3 ， ⎩∴椭圆C 的标准方程 x 2 + y 2 =4 3 1 . ……………………………6 分(Ⅱ)假设直线l 的斜率不存在，那么直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾，所以直线l 的斜率存在.令 l : y = k ( x -1) ( k ≠ 0 )， m : y = -k ( x + t ) ， A ( x A ，y A ) ， B ( x B ，y B ) ， M ( x M ，y M ) ，N ( x N ，y N ) .将直线m 的方程代入椭圆方程得：(3 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2tx + 4 (k 2t 2 - 3) = 0 ，3 3 3 3 152 ( 2) ( 2) 2 min 2 ∴ x M + x N= - 8k 2t 3 + 4k 2， x M x N 4 (k 2t 2 - 3) = 3 + 4k 2 16 (12k 2 - 3k 2t 2 + 9) ，∴ MN = 1+ k . 3 + 4k 2同理， AB =3 + 4k 2 =12(1+ k 2 ) .3 + 4k 2由 MN 2= 4 AB 得t = 0 ，此时，∆ = 64k 4t 2 -16 (3 + 4k 2 )(k 2t 2 - 3) > 0 ，∴直线m : y = -kx ，∴ P ⎛ 1 ，- 1 k ⎫，即点P 在定直线x = 1 上.…………………………12 分2 2 ⎪2⎝⎭21.(本小题总分值12 分)解：(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为(0, +∞). g ( x ) = f '( x ) = 2x - a ln x - a ， g '( x ) = 2 - a =2x - a.xx 当a ≤ 0 时， g '( x ) > 0 ，函数y = g ( x ) 在(0，+ ∞) 单调递增，函数 y = g ( x ) 没有极值. 当a > 0 时，由g '( x ) = 0 ，得x = a ，函数y = g ( x ) 在⎛ 0 a ⎫ 上单调递减，在⎛ a ，+∞ ⎫上单调， ⎪⎪递增. 2 ⎝ 2 ⎭⎝ 2⎭函数y = g ( x ) 的极小值为g⎛ a ⎫= -a ln a ，没有极大值. …………………………6 分⎪ ⎝⎭ (Ⅱ)(解法一)依题意，要使得 f ( x ) > 0 对∀x ∈[1，e ] 恒成立，只需 f (x )min > 0 即可. ⑴当 a ≤ 2 时，由( Ⅰ) 可知， g '( x ) =2x - a ≥ 0 ，函数 g ( x ) 在[1，e ] 上单调递增，xg ( x ) ≥ g (1) = 2 - a ≥ 0 .函数 f ( x ) 在[1，e ] 上单调递增，∴ f ( x ) = f (1) = 2 + a > 0即-2 < a ≤ 2 .g x ⎡ a ⎤ ⎡ a ⎤⑵当2 < a < 2e 时，由(Ⅰ)可知，函数 ( ) 在⎢1，2 ⎥ 上单调递减，在⎢ 2 ，e ⎥ 上单调递增. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ①当2 < a < e 时， g (1) = 2 - a < 0，g ⎛ a ⎫= -a ln a < 0，g (e ) = 2(e - a ) > 0 . ⎪⎝ ⎭由零点存在性定理可知，存在唯一x ∈⎛ a ，e ⎫，使得g (x ) = 0 ，即2x - a ln x - a = 0 .0 2 ⎪ 0 0 0⎝ ⎭∴a ln x 0 = 2x 0 - a ，此时，函数 f ( x ) 在[1，x 0 ] 上单调递减，在[x 0，e ] 上单调递增.f ( x ) = f ( x ) = x 2- ax ln x + a +1 = x 2 - x (2x - a ) + a + 1 = 1 - x 2 + a ( x + 1)min0 .= ( x 0 +1)(1+ a - x 0 ) .∵ x 0 +1 > 0 ，且1+ a - x 0 > 0 ，满足 f (x )min> 0 ，∴2 < a < e 符合题意.②当e ≤ a < 2e 时， g ( x )max= max {g (1)，g (e )} = max {2 - a ，2e - 2a } ≤ 0 ， 2e 2 +1此时，函数f ( x ) 在[1，e ] 上单调递减， f ( x ) min = f (e ) = e- ae + a +1 > 0 ，即e ≤ a < .e -1⑶当a ≥ 2e 时， g '( x ) =2x - a ≤ 0 ，函数g (x ) 在[1，e ] 上单调递减， g ( x ) ≤ g (1) = 2 - a < 0 ， x22min 此时，函数 f ( x ) 在[1，e ] 上单调递减， f ( x ) = f (e ) = e 2 - ae + a +1 > 0 ，e 2 +1解得a <e -1-，与a ≥ 2e 矛盾，故舍去. e 2 +1综上得， 2 < a < e -1.…………………………12 分(解法二)对∀x ∈[1，e ] ， f ( x ) > 0 恒成立，即对∀x ∈[1，e ] ， x 2 - ax ln x + a + 1 > 0 ， ∴对∀x ∈[1，e ] ， x - a ln x +a +1> 0 .x a +1'a a +1 x 2- ax - (a +1) ( x +1)( x - a -1) 令h ( x ) = x - a ln x + ，那么h ( x ) = 1- - 2 2 2x x x x x①当a +1 ≤ 1 ，即a ≤ 0 时，对∀x ∈[1，e ] ，h '( x ) ≥ 0 ，∴ h ( x ) 在[1，e ] 上单调递增，∴h ( x ) m in= h (1) = 2 + a > 0 ，解得a > -2 ，∴-2 < a ≤ 0 满足题意.②当a +1 ≥ e ，即a ≥ e -1 时，对∀x ∈[1，e ] ，h '( x ) ≤ 0 ，∴h ( x ) 在[1，e ] 上单调递减，∴h ( x ) min= h (e ) = e - a +a +1 > 0 ，解得a < ee 2 +1 e -1 ，∴e -1 ≤ a < e 2 +1 e -1 满足题意.③当1 < a +1 < e ，即0 < a < e -1 时，对于 x ∈[1，a +1) ， h '( x ) < 0 ；对于 x ∈[a +1，e ] ，h '( x ) > 0 ，∴h ( x ) 在[1，a +1] 上单调递减，在[a + 1, e ] 上单调递增，∴h ( x ) = h (a +1) = a ⎛1 + 2 - ln (a +1)⎫.min a ⎪⎝ ⎭设H (a ) = 1 + 2 - ln (a + 1) ，由于H (a ) = 1 + 2- ln (a + 1) 在(0，e -1) 单调递减，a a ∴ H (a ) = 1 + 2 - ln (a + 1) > 1 + 2 - ln e = 2> 0 ，即h ( x ) = aH (a ) > 0 ，a e -1 ∴0 < a < e -1 满足题意.e -1min综上①②③可得，-2 < a < e 2 +1e -1. …………………………12 分22.(本小题总分值10 分)22x 22解：(Ⅰ)曲线C ： x + y= 4 ( y ≥ 0 )，曲线E： + y 4= 1 . ……………………………5 分(Ⅱ)设A ( 2 cos α，2 s in α )，α ∈[0，π ] ，要使得∆AOB 面积的最大，那么B ( 2 cos α，- sin α ).S ∆AOB = 1 AB ⋅ x 2B = 1 ⋅ 3sin α ⋅ 2 cos α = 3sin 2α .2 2 2α ∈[0，2π ]∴当α = π时，∆AOB 4的面积取最大值3 .2 ……………………………10 分.= =⎨⎩6 ( )23.(本小题总分值10 分)⎧-4x + 2，x ≤ -1解：(Ⅰ) f ( x ) = 3 x -1 + x +1 = ⎪-2x + 4，-1 < x < 1 ⎪4x - 2， x ≥ 1当x = 1 时， f ( x ) 的最小值为k = 2 . ……………………………5 分(Ⅱ)依题意，m 2 + 4n 2 = 2 .1 + 1 = 1 + 4 = ⎛1+ 4 ⎫(m 2 + 4n 2+ 4)⋅ 1m 2 n2 +1 m 24n 2+ 4 m 2 4n 2 + 4 ⎪6⎝ ⎭1 ⎡ 4n2 + 4 4m 2⎤ 1 3= ⎢1 + 2⎣ m 4n 2 + 4⎥ ≥ + 4 ⎦ 5 + 2 4 = . 6 2当且仅当 4n 2 + 4 = 4m 2 ，即m 2 = 2，n = 0 时，等号成立.m24n 2+ 4……………………………10 分+。

2021合肥三模理科数学试卷(含答案)

合肥市2021年高三第三次教学质量检测理科综合试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C BD A C B B D A B D 题号12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 C C C A B B AB CD AB AD第Ⅱ卷（共174分）22. (9分) （1）10.0（2分）（2）2.96 8.75（各1分）（3）8.5~10（答案2分，作图2分）（4）能（1分）23. (6分) （1）最大（1分）（2）148.0 (2分) 偶然（1分）（3）1.45~1.55 7.50~10.5（各1分）24. （14分）（1）由题意可知运动员下滑的距离cos 8.00m x H l θ=-=（1分）由v t -图像可知运动员下滑的距离 2v x t = （2分）把4s t =代入上式可得 4m/s v =（1分）（2）由动能定理可得0f mgh W +=（2分）代入数据解得 4800J f W =-（1分）运动员下滑过程克服摩擦力做的功4800J W =克（1分）（3）由v t -图像可知运动员加速下滑时间1 2.5s t =，减速下滑时间2 1.5s t =，则运动员加速下滑阶段加速度大小2111.6m/s v a t == （1分）减速下滑阶段加速度大小 2228m/s 3v a t == （1分）设运动员加速下滑和减速下滑过程的摩擦力大小分别为1f 、2f ，由牛顿第二定律可得 11mg f ma -= （1分）22f mg ma -=（1分）代入数据解得 1504N f =，2760N f =则 1263:95f f =：（2分）注：其他方法合理也给分25.（18分）（1）根据法拉第电磁感应定律可得，存在磁场的每段时间内线圈中产生的感应电动势（2）在0~t 1时间内，油滴做自由落体运动，设t 1时刻，油滴的速度为v 1，此时两板间加有电压，油滴在重力与电场力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1，油滴正好到达下板且速度为零，故有：11v gt =（1分） 110v g τ=-（1分） 221111111222d gt v t g τ=+- （1分）由以上各式得11t τ== （1分）则油滴释放后第一次下降至最低点的过程中电场力的冲量大小61210N s I F τ-=⋅=⨯⋅ （2分）（3）接着，油滴由下板处向上做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为ν2，方向向上，这时撤去电压使油滴做匀减速运动，经过时间τ3，油滴到达上板且速度为零，故有：22v g τ=230v g τ=-22223311-22d g v g τττ=+ （2分）由以上各式得32ττ= （1分）故21121t t ττ=++= （1分）此后液滴每次在上下两板间先做初速度为0的匀加速直线运动，后做末速度为0匀加速直线运动，且加速度大小均为g ，依照上面分析可知33t = （1分）45t =…分析可得()n 2323=23,4...21s 0n n n t -=-）, （1分）注：其他方法合理也给分26.（14分）（1）①紫红色接近褪去（2分）； ②--+2223I +5Cl +6H O=2IO +10Cl +12H （2分）（2）分液漏斗（2分）（3）降低碘酸钙的溶解度使其析出，便于后续分离（2分）（4）AC （2分）（5）溶液蓝色褪去且30s 内不恢复蓝色（2分） 39.0% （2分）27.（15分）（1）SiO 2（1分）。

【高三】2021年高三数学三模理科试题(合肥市含答案)

【高三】2021年高三数学三模理科试题(合肥市含答案)合肥市2021年高三第三次质量检测数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分后）第i卷（满分50分）―、选择题（本大题共10小题，每小题5分后，共50分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的）1.设集合m={x2<4},n={-1,1,2},则mn＝()a{-1，1，2}b.{-1，2}c.{1，2}d{-1，1}2.已知（1+i)(a-2i)=b-ai(其中a,b均为实数，i为虚数单位），则a+b=()a.-2b.4c.2d.03.等比数列{an}中，a2=2，a5=，则a7=()a.b.c.d.4.“m<1”是“函数f(x)=x2-x+m存在零点”的（)a.充份不必要条件b.充要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件5.右边程序框图，输入a的结果为（）a.初始值ab.三个数中的最大值c.二个数中的最小值d.初始值c6.已知，且z=x2+y+，则z的最小值是（）a.4b.1c.18d.y7.p是正六边形abcdef某一边上一点，，则x+y的最大值为（)a.4b.5c.6d.78.右图为一个直观组合体的三视图，其中正视图由一个半圆和一个正方形共同组成，则该组合体的表面积为（）a.20+17b.20+16c.16+17d.16+l69.五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲，乙不相邻的概率是（)a.b.c.d.10.定义域为r的函数f(x)的图像关于直线x=1对称，当a∈[0,l]时，f(x)=x,且对任意只都有f(x+2)=-f(x),g(x)=，则方程g(x)-g(-x)=0实数根的个数为（）a.1006b.1007c.2021d.2021第ii卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分后，共25分后，把答案填上在答题卡的适当边线）11.已知抛物线的准线方程是x=，则其标准方程是______12.关于x的不等式log21-x>1的边值问题为_______13.曲线c的极坐标方程为:，曲线t的参数方程为(t为参数），则曲线c与t的公共点有______个.14.例如图，一栋建筑物ab低（30-10)m，在该建筑物的正东方向存有一个通信塔cd.在它们之间的地面m点（b、m、d三点共线）测出对楼顶a、塔顶c的仰角分别就是15°和60°，在楼顶a处测得对塔顶c的仰角为30°，则通信塔cd的低为______m.15.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2,p,q,r分别是棱bc,cd,dd1的中点.下列命题：①过a1c1且与cd1平行的平面存有且只有一个；②平面pqr截正方体所得截面图形是等腰梯形；③ac1与平面pqr阿芒塔的角为60°;④线段ef与gh分别在棱a1b1和cc1上运动，且ef+gh=1，则三棱锥e-fgh体积的最大值是⑤线段mn就是该正方体内切球的一条直径，点o在正方体表面上运动，则的值域范围就是[0，2].其中真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）.三、答疑题（本大题共6小题，共75分后.求解应允写下必要的文字说明、证明过程或编程语言步骤）16.(本小题满分12分）未知函数f(x)=asin(部分图像如图所示.(i)求函数f(x)的解析式;(ii)未知），且，谋f(a).17.(本小题满分13分）例如图bb1,cc1，dd1均旋转轴正方形ab1c1d1所在平面a、b、c、d四点共面.(i)求证：四边形abcd为平行四边形；(ii)若e,f分别为ab1,d1c1上的点，ab1=cc1=2bb1=4,ae=d1f=1.(i)求证:cd?平面def;(ii)谋二面角d-ec1-d1的余弦值.18.(本小题满分12分）未知f(x)=logax-x+1(a>0，且a≠1).(i)若a=e,求f(x)的单调区间；(ii)若f(x)>0在区间（1，2)上恒设立，谋实数a的值域范围.19.(本小题满分13分）根据上级部门关于积极开展中小学生研学旅行试点工作的建议，某校同意在高一年级积极开展中小学生研学旅行试点工作.巳言该校高一年级10个班级,确认甲、乙、丙三条研学旅行路线.为并使每条路线班级数大致相当，先制作分别写下存有甲、乙、丙字样的签下各三张，由高一（1)?高一（9)班班长分组,再由高一（10)班班长在分别写下存有甲、乙、丙字样的三张gecko提取一张.(i)设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件a，求事件a的概率p(a);(ii)设立高一（l)、高一(2)两班同路线为事件b,高一（1)、高一（10)两班同路线为事件c，先行比较事件b的概率p(b)与事件c的概率p(c)的大小；(iii)记（ii)中事件b、c发生的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望eξ20.(本小题满分12分后）平面内定点财（1，0),定直线l:x=4,p为平面内动点,作pq?l，垂足为q，且.(i)求动点p的轨迹方程；(ii)过点m与坐标轴不垂直的直线，交动点p的轨迹于点a、b，线段ab的垂直平分线交x轴于点h，试判断-是否为定值.21.(本小题满分13分后）设数列{an}的前n项和为sn，且对任意的，都有an>0,sn=(i)谋a1，a2的值；(ii)求数列{an}的通项公式an。

2021年安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷(理科)

2021年安徽省合肥市高考数学第三次教学质量检测试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x −3>0}与B ={x|x =2k −1,k ∈Z}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 设z =1+i 2i+i(i 是虚数单位)，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √23. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的长度为( )A. 4√2B. 4√3C. 8D. 8√24. 在平面直角坐标系中，已知点P(cost,sint)，A(2,0)，当t 由π3变化到2π3时，线段AP 扫过形成图形的面积等于( )A. 2B. π3C. π6D. π125. 已知曲线C ：y =cos2x ，曲线E ：y =sin(x +π3)，则下面结论正确的是( )A. 把C 上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向右平移π6个单位长度得到曲线E B. 把C 上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，再向左平移π6个单位长度得到曲线E C. 把C 上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)后，再向右平移π6个单位长度得到曲线E D. 把C 上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)后，再向左平移π6个单位长度得到曲线E6. 若函数f(x)={2x ,0<x <2,4−x,x ≥2满足f(a)=f(2a )，则f(2a)=( )A. 2B. 0C. −2D. −47. 如图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都要雇佣人工采摘，然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C 处销售.路径1：先将油桃集中到A 处，再沿公路AC 运送；路径2：先将油桃集中到B 处，再沿公路BC 运送.已知AC =3km ，BC =4km.为了减少运送时间，园主在油桃园中画定了一条界线，使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近，另一侧的采摘工按路径2运送路程较近若这条界线是曲线E 的一部分，则曲线E 为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线8. 已知等比数列{a n }的各项均为实数，公比为q ，则下列结论错误的是( )A. 若a 1a 2>0，则a 2a 3>0B. 若a 1+a 2<0，且a 1+a 3<0，则q >−1C. 若a n+1>a n >0，则a n +a n+2>2a n+1D. 若a n a n+1<0，则(a n+1−a n )(a n+1−a n+2)<09. 某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24h 城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24ℎ.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min 才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h 内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车( )A. 25辆B. 24辆C. 23辆D. 22辆10. 已知圆C ：x 2+y 2+4x +1=0，过圆外一点P 作圆C 的切线，切点为A.若|PA|=√2|PO|(O 为坐标原点)，则|PC|的最小值为( )A. 4B. 4−√2C. 4−√3D. 4−√511. 已知函数f(x)=xln ax +ae x ，g(x)=−x 2+x ，当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [1e 2,+∞)B. [1e ,+∞)C. [1,+∞)D. [e,+∞)12. 几何中常用表示|L|的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，|L|分别对应其长度、面积和体积.在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，P 为△ABC 内部一动点(含边界)，在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则|L|等于( )A. 6π+12B.22π3+6 C.203π+12 D.22π3+12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知△ABC 的重心为G ，若BG⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x −y = ______ ． 14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF|=2|PQ|，则抛物线C 的方程为______ ．15. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动.该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，则不同的安排方法共有______ 种(用数字作答)．16. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线(Cassini Oval).在平面直角坐标系中，设定点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，点O 为坐标原点，动点P(x,y)满足|PF 1|⋅|PF 2|=a 2(a ≥0且为常数)，化简得曲线E ：x 2+y 2+c 2=√4x 2c 2+a 4.下列四个命题中，正确命题的序号是______ .(将你认为正确的命题的序号都填上) ①曲线E 既是中心对称又是轴对称图形； ②当a =c 时，|PO|的最大值为√2a ； ③|PF 1|+|PF 2|的最小值为2a ； ④△F 1PF 2面积的最大值为12a 2．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ab =√2sin(C +π4)．(1)求B ；(2)若b 2=(2−√2)ac ，c =2，求△ABC 的面积．18. 如图，在四棱锥A −BCDE 中，BC ⊥平面ABE ，且DE//BC ，DE =3BC =6，∠BAC =45°，∠DAE =∠ABE =60°． (1)求证：AE ⊥AC ；(2)设F为棱AD上一点，且AB//平面CEF，求二面角D−CF−E的大小．19.某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由A、B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为p(0<p<1)，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常工作，否则就需要维修．(1)当p=1时，每个系统维修费用均为200元.设ξ为该电子产品需要维修的总费用，求ξ的分布列与数2学期望；(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测.从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应优先检测哪个系统？20.已知函数f(x)=2lnx−a(x−1)．(1)若f(x)≤0，求实数a的值；<√e(n∈N∗)．(2)求证：[1+(n+1)2]⋅[2+(n+1)2]⋅⋯⋅[n+(n+1)2](n+1)2n21.已知点D是圆Q：(x+4)2+y2=72上一动点，点A(4,0)，线段AD的中垂线交DQ于点B．(1)求动点B的轨迹方程C；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点E(−3,0)，F(3,0).过曲线C上任一点P向曲线T作切线，切点分是一个定值，并求别为M，N，这两条切线PM，PN分别与曲线C交于点G，H(异于点P).证明：|MN||GH|出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy，直线l过点M(1,2).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．(1)设直线l的倾斜角为α，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求直线l的方程．23.已知函数f(x)=|x+a|+2|x−1|．(1)当a=2时，解不等式f(x)≤4；(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式f(x)>x2成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U =R ，集合A ={x|x 2−2x −3>0}={x|x <−1或x >3}， B ={x|x =2k −1,k ∈Z}={奇数}， ∴∁U A ={x|−1≤x ≤3}，阴影部分表示集合为： B ∩(∁U A)={−1,1，3}，∴阴影部分表示集合的元素共有3个元素．故选：C ．求出集合A ，B ，进一步求出∁U A ，阴影部分表示集合为B ∩(∁U A)，由此能求出阴影部分表示集合的元素的个数．本题考查集合的运算，考查补集、交集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z =1+i 2i+i =−i(1+i)2i(−i)+i =12+12i ，则|z|=√(12)2×2=√22，故选：B ．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为四棱锥体A −BCDE ；如图所示：所以BC=4=DE=AE，所以CD=AD=AC=BE=√42+42=4√2，BE=√(4√2)2+42=4√3．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用勾股定理的应用求出个各棱长，最后求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，如图：t=π3时，P(12,√32)，t=2π3时，P′(−12,√32)，线段AP扫过图形的图形为如图的阴影部分：其面积S=S弓形PP′+S△APP′=S弓形PP′+S△OPP′=S扇形PP′=12×1×π3=π6，故选：C．根据题意，作出图形，分析线段AP扫过图形的图形，进而计算可得答案．本题考查弓形面积的计算，涉及三角形面积的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：对于A，把C上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，可得y=cosx再向右平移π6个单位长度得到曲线E：y=cos(x−π6)=sin(x+π3)，故正确；对于B ，把C 上各点横坐标伸长到原来2倍(纵坐标不变)后，可得y =cosx 再向左平移π6个单位长度得到y =cos(x +π6)，故错误；对于C ，把C 上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)后，可得y =cos4x ，再向右平移π6个单位长度得到y =cos4(x −π6)=cos(4x −2π3)，故错误；D ，把C 上各点横坐标缩短到原来12倍(纵坐标不变)后，可得y =cos4x ，再向左平移π6个单位长度得到y =cos4(x +π6)=cos(4x +2π3)，故错误；故选：A ．利用三角函数的伸缩变换以及平移变换，分析每一个选项是否正确即可．本题考查了三角函数的图象变换和诱导公式的应用问题，考查计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)={2x ,0<x <2,4−x,x ≥2，显然，f(x)在(0,2)上单调递增，再[2,+∞)上单调递减． ∵f(x)满足f(a)=f(2a )，①当a ∈(0,2)时，f(a)=2a ，f(2a )=4−2a ， ∴2a =4−2a ，∴2a =2，∴a =1．则f(2a)=f(2)=4−2=2．②当a ≥2时，2a ≥4，f(a)=4−a ，f(2a )=4−2a ， ∴4−a =4−2a ，即a =2a ，a 无解．综上可得，f(2)=2，故选：A ．由题意分类讨论，先求出a 的值，再利用分段函数，求得f(2a)的值．本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设曲线E 上的点为P ，由题意可知，|PA|+|AC|=|PB|+|BC|，可得|PA|−|PB|=|BC|−|AC|=1，P 的轨迹满足双曲线的定义，所以曲线E 为双曲线．故选：C ．利用已知条件，推出曲线E 满足双曲线的定义，得到结果．本题考查双曲线的简单性质，双曲线的定义的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：等比数列{a n }的各项均为实数，公比为q ，对于A ：当a 1a 2=a 12⋅q >0，则a 2⋅a 3=a 12⋅q 3>0，故A 正确；对于B ：若a 1+a 2<0，且a 1+a 3<0，则{a 1(1+q)<0a 1(1+q 2)<0，故a 1<0，所以q >−1，故B 正确；对于C ：由于a n+1>a n >0，所以a n+1q+a n+1⋅q >2a n+1，故C 正确；对于D ：由于a n a n+1<0，所以(a n+1−a n )(a n+1−a n+2)=(a n+1−a n+1q)(a n+1−a n+1q)>0，故D 错误．故选：D ．直接利用等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：总工程量为20×24=480小时；第一辆车做的工程量为24小时；第二辆车做的工程量为24−13小时；......第n 辆车做的工程量为24−n−13小时(n <73)；∴n 辆车做的工程量和为24n −13(1+2+...+n −1)； ∴24n −n 2−n 6≥480，解得n ≥24，故还需要抽调23辆．故选：C ．利用题中的条件易知每一辆工程车的工作量成等差数列，可求出所有工程车的工作量，列出等式即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：圆C：x2+y2+4x+1=0，圆的圆心(−2,0)，半径为√3，设P(x,y)，由题意可得|PC|2=|PA|2+3，即(x+2)2+y2=3+2(x2+y2)，整理可得x2−4x+y2−1=0，即(x−2)2+y2=5，P的轨迹为(2,0)为圆心，半径为√5，所以|PC|的最小值为：4−√5．故选：D．求出P的轨迹方程，然后求解|PC|的最小值即可．本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．11.【答案】B【解析】解：由函数f(x)=xln ax+ae x，g(x)=−x2+x，所以不等式f(x)≥g(x)恒成立，等价于f(x)−g(x)=xln ax+ae x+x2−x≥0恒成立；因为x∈(0,+∞)，所以ln ax +ae xx+x−1≥0；设函数ℎ(x)=ln ax +ae xx+x−1，x∈(0,+∞)，则ℎ(x)=lna−lnx+ae xx+x−1，计算ℎ(1)=lna+ae，且a>0；所以ℎ′(x)=−1x +ae x(x−1)x2+1=(x−1)(a x+1)x2，当x>0，a>0时，令ℎ′(x)=0，解得x=1，所以x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；所以ℎ(x)≥ℎ(1)=ae+lna；设F(a)=ae+lna，a∈(0,+∞)，则F′(a)=e+1a>0，所以F(a)在(0,+∞)上单调递增，且F(1e)=1−1=0；要使f(x)≥g(x)恒成立，需使F(a)≥0恒成立，即a≥1e，所以a的取值范围是[1e,+∞)．故选：B．不等式f(x)≥g(x)恒成立，等价于f(x)−g(x)=xln ax +ae x+x2−x≥0恒成立；构造函数ℎ(x)=ln ax+ae xx+x−1，x∈(0,+∞)，利用导数判断单调性，求出ℎ(x)的最小值F(a)，再令最小值F(a)≥0，从而求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．12.【答案】D【解析】解：到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面ABC的视角下看，如图所示，其中BCMN，ACJK，ABYQ区域内的几何体为半圆柱，CMJ，BNY，KAQ区域内的几何体为被两平面截的部分球，球心分别为A，B，C，ABC区域内的几何体为三棱柱，其高为2，因为BCMN，ACJK，ANYQ为矩形，所以∠MCB=90°，∠ACJ=90°，因为∠MCJ=360°−(∠MCB+∠ACJ)−∠ACB=180°−∠ACB，同理，∠NBY=180°−∠ABC，∠KAQ=180°−∠BAC，所以∠KAQ+∠NBY+∠MCT=3×180°−(∠ABC+∠BAC+∠ACB)=360°，所以这三个区域的几何体合成一个完整的半径为1的球，所以V CMT+V NBY+V KAQ=43π×13=4π3(V CMJ表示CMJ区域几何体的体积，其它以此类推)，V BCMN+V ACJK+V ABYQ=(12×π×12)×(3+4+5)=6π(其中12×π×12表示半圆底面)，V ABC=12×3×4×2=12，所以|L|=4π3+6π+12=22π3+12．故选：D．首先确定到动点P距离为1的点的轨迹所构成的空间体在垂直于平面ABC的视角下看的平面图形，得到BCMN ，ACJK ，ABYQ 区域内的几何体为半圆柱，CMJ ，BNY ，KAQ 区域内的几何体为被两平面截的部分球，ABC 区域内的几何体为三棱柱，其高为2，然后由空间几何体的体积公式求解即可．本题考查了空间中动点轨迹的求解，空间几何体的体积公式，解题的关键是确定动点的轨迹是何种空间几何体，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】−1【解析】解：连接AG 交BC 于D ，则D 为BC 的中点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， △ABG 中，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BG⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x =−23，y =13，x −y =−1．故答案为：−1．由已知结合三角形重心性质及向量的线性表示及平面向量基本定理即可求解．本题主要考查了三角形重心的性质及平面向量基本定理，属于基础题．14.【答案】y 2=8x【解析】解：设Q(x 0,4)，由抛物线的定义知，|QF|=x 0+p2， ∵|QF|=2|PQ|．∴x 0+p2=2x 0，得x 0=p2，将Q(p 2,4)，代入抛物线y 2=2px 得p =4，即抛物线方程为y 2=8x ．故答案为：y 2=8x ．根据抛物线的定义，求出p 的值即可求出抛物线方程．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，以及抛物线标准方程的求解，属于基础题．15.【答案】12600【解析】解：将10个班分成(3,3，4)一组，再分配到三个革命老区，则有 C 103C 73C 44A 22⋅A 33=12600种，故答案为：12600．将10个班分成(3,3，4)一组，再分配到三个革命老区即可求出答案．本题考查了分组分配问题，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：①：以−x 代x ，得(−x)2+y 2+c 2=√4(−x)2c 2+a 2，∴x 2+y 2+c 2=√4x 2c 2+a 4，∴曲线关于y 轴对称，以−y 代y ，得x 2+(−y)2+c 2=√4x 2c 2+a 4，∴x 2+y 2+c 2=√4x 2c 2+a 4，∴曲线关于x 轴对称，以−x 代x ，以−y 代y ，得(−x)2+(−y)2+c 2=√4(−x)2c 2+a 2，∴x 2+y 2+c 2=√4x 2c 2+a 4，∴曲线关于原点对称，∴①正确，②：当a =c 时，∵x 2+y 2+c 2=√4x 2c 2+a 4，∴y 2=√4x 2a 2+a 4−x 2−a 2≥0，∴x 2≤2a 2， ∴PO 2=x 2+y 2=√4x 2a 2+a 4−a 2≤√8a 4+a 4−a 2=2a 2， ∴|PO|≤√2a ，∴②正确，③：∵|PF 1|⋅|PF 2|=a 2，∴当a >0时，|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1|⋅|PF 2|=2a ，当a =0时，P 与F 1(−c,0)，F 2(c,0)中一点重合，∴|PF 1|+|PF 2|=2c ，∴③错误， ④：S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|sin∠F 1PF 2=12a 2sin∠F 1PF 2，当∠F 1PF 2=π2时，S △PF 1F 2的最大值为12a 2，∴④正确．故答案为：①②④．利用曲线的方程的对称性判断①，利用两点间的距离公式判断②，利用基本不等式判断③，利用三角形的面积公式判断④．本题考查曲线方程的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．17.【答案】解：(1)由a b =√2sin(C +π4)得a =b(sinC +cosC)．由正弦定理得sinA =sinB(sinC +cosC)，即sin(B +C)=sinB(sinC +cosC)， ∴cosBsinC =sinBsinC ． ∵在△ABC 中，sinC >0， ∴cosB =sinB ，即tanB =1．∵B∈(0,π)，∴B=π4．(2)由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac ，即√22=a2+c2−b22ac，∴b2=a2+c2−√2ac．又∵b2=(2−√2)ac，∴a2+c2=2ac，即a=c．由(1)知B=π4，又∵c=2，∴△ABC面积S=12acsinB=12×2×2×√22=√2．【解析】(1)由已知结合正弦定理进行化简可求tan B，进而可求B；(2)由余弦定理先进行化简，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵DE//BC，BC⊥平面ABE，∴DE⊥平面ABE．又∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE．在Rt△ADE中，由∠DAE=60°，DE=6得，AE=2√3．又∠BAC=45°，BC⊥AB，∴AB=BC=2．在△ABE中，AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos∠ABE，解得BE=4．∴BE2=AB2+AE2，即AB⊥AE．而BC⊥AE，AB，AC⊂平面ABC，∴AE⊥平面ABC．又∵AC⊂平面ABC，∴AE⊥AC(5分)(2)解：连接BD交CE于点G，连接FG．∵AB//平面CEF，平面ABD∩平面CEF=FG，∴AB//FG，∴AFFD =BGGD．在直角梯形BCDE中，△BCG∽△DEG，∴BGGD =BCDE=13，∴AFFD=13．如图，以E为坐标原点，EB，ED所在的直线分6别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0，0)，D(0,0，6)，C(4,0，2)．又∵A(3,√3,0)，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,−√34,32)，∴F(94,3√34,32)， ∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−74,3√34,−12)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)．令平面CDF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−7x +3√3y −2z =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)．同理，平面CEF 的一个法向量为n ⃗ =(3,√3,−6)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=0，即二面角D −CF −E 的大小为π2.(12分)【解析】(1)证明DE ⊥AE.AB ⊥AE.结合BC ⊥AE ，推出AE ⊥平面ABC.即可证明AE ⊥AC ．(2)连接BD 交CE 于点G ，连接FG.以E 为坐标原点，EB ，ED 所在的直线分别为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CDF 的一个法向量，平面CEF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D −CF −E 的大小即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)A 系统需要维修的概率为C 3112(12)2+(12)3=12， B 系统需要维修的概率为C 52(12)2(12)3+C 5112(12)4+(12)5=12，设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则X ～B(2,12)，ξ=200X ．P(ξ=200k)=P(X =k)=C 2k⋅(12)k ⋅(12)2−k (k =0,1,2)， ∴ξ的分布列为∴Eξ=200×2×12=200. (6分)(2)A 系统3个元件至少有2个正常工作的概率为P A =C 32p 2(1−p)+p 3=−2p 3+3p 2，B 系统5个元件至少有3个正常工作的概率为P B =C 53p 3(1−p)2+C 54p 4(1−p)+p 5=6p 5−15p 4+10p 3，则f(p)=P B −P A =6p 5−15p 4+12p 3−3p 2=3p 2(p −1)2(2p −1)． ∵0<p <1.令f(p)>0，解得12<p <1．所以，当12<p<1时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统；当0<p<12时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测B系统；当p=12时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序．(12分)【解析】(1)求出A系统需要维修的概率，B系统需要维修的概率，设X为该电子产品需要维修的系统个数，X～B(2,12)，ξ=200X.求出概率得到分布列，然后求解期望．(2)求出A系统3个元件至少有2个正常工作的概率，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率，令f(p)>0，解得12<p<1.然后得到结论．本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(1)f(x)=2lnx−a(x−1)，则f′(x)=2x −a=2−axx．①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，∵f(1)=0，∴当x>1时，f(x)>f(1)=0，不符合题意，舍去；②当0<a<2时，2a >1，由f′(x)>0得，0<x<2a，由f′(x)<0得，x>2a，∴f(x)在(0,2a )上单调递增，在(2a,+∞)上单调递减，∵f(1)=0，∴当x∈(1,2a)时，f(x)>f(1)=0，不符合题意，舍去；③当a=2时，2a=1，由f′(x)>0得，0<x<1；由f′(x)<0得，x>1，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又∵f(1)=0，∴f(x)≤0成立；④当a>2时，2a <1，由f′(x)>0得，0<x<2a，由f′(x)<0得，x>2a，∴f(x)在(0,2a )上单调递增，在(2a,+∞)上单调递减，∵f(1)=0，∴当x∈(2a,1)时，f(x)>f(1)=0，不符合题意，舍去；综上得，a=2．(2)证明：由(1)知，当a=2时，f(x)<0在(1,+∞)上成立，即lnx<x−1，令x=1+k(n+1)2(k=1,2,⋯,n)，则ln[1+k(n+1)2]<k(n+1)2，∴∑ln nk=1[1+k (n +1)2]=ln{[1+1(n +1)2]⋅[1+2(n +1)2]⋯⋯[1+n(n +1)2]}<1(n+1)2+2(n+1)2+⋯+n(n+1)2=n(n+1)2(n+1)2=n2(n+1)=12(1+1n)<12，即ln{[1+(n+1)2]⋅[2+(n+1)2]⋯[n+(n+1)2](n+1)2n}<12，∴[1+(n+1)2][2+(n+1)2]⋯[n+(n+1)2](n+1)2n<√e(n ∈N ∗)．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据f(x)≤0，求出a 的值即可； (2)根据lnx <x −1，令x =1+k(n+1)2(k =1,2,⋯,n)，求出ln[1+k(n+1)2]<k(n+1)2，累加即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．21.【答案】解：(1)由题意知BQ +BA =BQ +BD =DQ =√72=6√2，且6√2>AQ =8，根据椭圆的定义得，交点B 的轨迹是一个以A ，Q 为焦点的椭圆，2a =6√2，2c =8， ∴b 2=a 2−c 2=18−16=2， ∴曲线C 的方程为x 218+y 22=1. (4分)(2)由曲线T 与曲线C 相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T 经过点E(−3,0)，F(3,0)，可设曲线T 的方程为x 218+y 22=λ(λ>0).将点F(3,0)坐标代入上式得，λ=12，∴曲线T 的方程为x 29+y 2=1．设P(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，G(x 2,y 2).①当切线PG 的斜率不存在时，切线PG 的方程为：x =±3，代入x 218+y 22=1得y =±1，此时PH 与曲线T相切，M 为PG 的中点，N 为PH 的中点，|MN||GH|=12是一个定值；同理可求，当切线PH 的斜率不存在时，|MN||GH|=12也是一个定值．②当切线PG 和PH 的斜率都存在时，设切线PG 的方程为：y =kx +m ，分别代入x 29+y 2=1和x 218+y 22=1，化简整理得(9k 2+1)x 2+18kmx +9m 2−9=0①，(9k 2+1)x 2+18kmx +9m 2−18=0②．由题意知，方程①有两个相等的实数根x 1；方程②有两个不相等的实数根x 0，x 2， ∴x 1+x 1=x 0+x 2=−18km 9k 2+1，∴x 0+x 2=2x 1，∴y 0+y 2=k(x 0+x 2)+2m =2kx 1+2m =2y 1，此时，M 为PG 的中点．同理可证，N 为PH 的中点，|MN||GH|=12是一个定值．综上可知，|MN||GH|=12是一个定值．(12分)【解析】(1)根据椭圆的定义得，交点B 的轨迹是一个以A ，Q 为焦点的椭圆，求出a ，b 得到椭圆方程． (2)求出曲线T 的方程为x 29+y 2=1.设P(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，G(x 2,y 2).①当切线PG 的斜率不存在时，推出|MN||GH|=12是一个定值；当切线PH 的斜率不存在时，|MN||GH|=12也是一个定值．②当切线PG 和PH 的斜率都存在时，设切线PG 的方程为：y =kx +m ，分别代入x 29+y 2=1和x 218+y 22=1，利用韦达定理，结合中点坐标公式推出|MN||GH|=12是一个定值．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题，22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数)，由ρcos 2θ=4sinθ得，ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2=4y. (5分)(2)将直线l 的参数方程{x =1+tcosαy =2+tsinα代入x 2=4y ，并整理得t 2⋅cos 2α+(2cosα−4sinα)t −7=0．设点P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，由线段PQ 的中点为M 得t 1+t 2=0，即−2cosα−4sinαcos 2α=0，∴直线l 的斜率k =tanα=12．∴直线l 的方程为y −2=12(x −1)，即x −2y +3=0. (10分)【解析】(1)利用已知条件直接求解直线l 的参数方程，由ρcos 2θ=4sinθ得，ρ2cos 2θ=4ρsinθ，然后求解曲线C 的直角坐标方程．(2)将直线l 的参数方程{x =1+tcosαy =2+tsinα代入x 2=4y ，利用参数的几何意义，转化求解直线的斜率，得到直线方程即可．本题考查直线的参数方程，极坐标方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−43，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤43，结合x >1，得1<x ≤43；综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,43].(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2，即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2．即a >(x −32)2−14，或a <−(x −12)2−74，由x =32时(x −32)2−14取得最小值−14；由x =1时−(x −12)2−74取得最大值为−2；所以a >−14，或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−14,+∞)．【解析】(1)a =2时f(x)=|x +2|+2|x −1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．(2)1≤x ≤2时f(x)=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义化为关于a 的不等式，从而求得实数a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．第21页，共21页。

安徽省合肥市2021届高三第三次(5月)教学质量检测试题(文)

安徽省合肥市2021届高三第三次（5月）教学质量检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1.设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z =（）B.3C.5 2.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，1 12B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，则()C R A B =（）A.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.{}1 D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 3.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是（）A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，34.若正项等比数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，则其公比为（） A.12B.2或-1C.2D.-1 5.运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于（）A.10-B.3-C.3D.16.若l m ，是两条不同的直线，α为平面，直线l ⊥平面α，则“//m α”是“m l ⊥”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N 个，落在圆内的豆子个数为M 个，则估计圆周率π的值为（）C.3MN8.函数()cos sin f x x x x =-的图象大致为（）9.若ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=（）A.10B.8C.7D.410.已知双曲线2222: 1y x C a b-=(0a >，0b >)的上焦点为F ，M 是双曲线虚轴的一个端点，过F ，M 的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点，且6AF =，则双曲线C 的方程为（）A.22128y x -=B.22182y x -=C.2214x y -= D.2214y x -= 11.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（）A. B.40 C.16+ D.16+12.若函数()ln af x x a x x=+-在区间[]1 2，上是非单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.14 23⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.4 +3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， C.4 +3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭， D.14 23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题 13.已知23x =，24log 3y =，则x y +的值等于_________. 14.若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.15.已知()()2 0 0 2OA OB ==，，，，AC t AB t R =∈，.当OC 最小时，t = . 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.若21S =，201820165S S -=，则2018S = .三、解答题17.将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数cos2y x =的图象. (Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)比较()1f 与()πf 的大小.18.2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCDA B C D -的底面是梯形，AB CD ，AB AD ⊥，14AA =，2DC AB =，3AB AD ==，点M 在棱11A B 上，且11113A M AB =.点E 是直线CD 的一点，1AM BC E 平面.(Ⅰ)试确定点E 的位置，并说明理由； (Ⅱ)求三棱锥1M BC E -的体积.20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆2211612x y E +=：，以椭圆E 的焦点为顶点作相似椭圆M .(Ⅰ)求椭圆M 的方程；21.已知函数()2e x f x a x a =++(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数()f x 的图象在0x =处的切线为l ，当实数a 变化时，求证：直线l 经过定点； (Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-. (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.【参考答案】一、选择题13.2 14.8 15.1216.3027 三、解答题17.解：(Ⅰ)将函数cos2y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数cos4y x =的图象，再将所得图象向右平移π12个单位长度，得到函数ππcos 4cos 4123y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，即()πcos 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)()ππcos 4πcos 33f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，而()π1cos 43f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∵ππ4π23<-<，∴()()10πf f <<. 18.解：(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生1824⨯=人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率123287P ==. 19.解：(Ⅰ)如图，在棱11C D 上取点N ，使得111D N A M ==. 又∵11//D N A M ，∴11////MN A D AD . ∴四边形AMND 为平行四边形，∴//D AM N . 过1C 作1//C E DN 交CD 于E ，连结BE ， ∴//DN 平面1BC E ，//AM 平面1BC E ， ∴平面1BC E 即为所求，此时1CE =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，//AM 平面1BC E ，∴11111334632M BC E A BC E C ABE V V V ---⎛⎫===⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.20.解：(Ⅰ)由条件知，椭圆M 的离心率12e =，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)， ∴椭圆M 的方程为22143x y +=(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx b =+. 由22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2223484120k x kbx b +++-=.令()()2222644344120k b k b ∆=-+-=得，2234b k =+.联立y kx b =+与2211612x y +=，化简得()2223484480k x kbx b +++-=.设A (11x y ，)，B (22x y ，)，则1222212228834448448.34kb k x x b k b b x x k b -⎧+=-=⎪⎪+⎨--⎪⋅==⎪+⎩，∴12AB x =-=，而原点O 到直线l的距离d =∴162ABO S AB d ∆=⋅=. 当直线l 的斜率不存在时，:2l x =或2x =-，则6AB =，原点O 到直线l 的距离2d =， ∴6ABO S ∆=.综上所述，ABO ∆的面积为定值6.21.解：(Ⅰ)∵()2e x f x a x a =++，∴()e 2x f x a x '=+，()0f a '=. 又∵()02f a =，∴直线l 的方程为2y ax a =+， ∴直线l 经过定点(-2，0). (Ⅱ)∵()2e x f x a x a =++，∴()e 2x f x a x '=+. 设()e 2x g x a x =+，则()e 2x g x a '=+.当0a ≥时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，则()e 2x f x a x '=+最多有一个零点，函数()f x 至多有一个极值点，与条件不符；当0a <时，由()e 20x g x a '=+=，得2ln x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当2 ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0g x '>；当2ln x a⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0g x '<.∴()g x 在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增，在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减，∴()2ln g x g a ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()max 22ln 2ln 1g x g a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令22ln 10a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2 0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.∵()00g a =<，2 0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴22ln 2ln 10g a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵()()g x f x '=在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递增，∴()()g x f x '=在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一零点1x ，当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<；当12 ln x x a ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>.∴()f x 在2 ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一极值点.又∵当2 0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，2122ln 4ln g a aa ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 设()ln 2x h x x =-，其中()2e x a =-∈+∞，，则()112022xh x x x -'=-=<，∴()()e e 102h x h <=-<，∴()12244ln 2ln 0h x g a a a⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即当2 0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，2122ln 4ln 0g a aa ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而 22ln 2ln 10g a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵()()g x f x '=在2ln a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上单调递减，∴()()g x f x '=在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一零点2x ，当22ln x x a⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>；当()2x x ∈+∞，时，()0f x '<.∴()f x 在2ln a⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有唯一极值点.综上所述，当()f x 有两个极值点时，2 0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.22.解：(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴πtan 32θθ==，或. 不妨记点A 对应的极角为π2，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，πcos cos sin 2AOB θθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭.23.解：(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证.。

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