极限(2-2)

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2-2极限(3)

m>n m=n m<n
∞ an bm ≠ 0 ) ( ∞
注意涉及无穷大的极限问题 ( ±∞ ) + ( ±∞ ) ( ±∞ ) − ( ±∞ ) ∞⋅∞ ∞ = ∞ 有界量即可 A+ ∞ + ∞ 肯定型）（肯定型） A A ⋅ ∞ ( A ≠ 0) 极限存在 0 ln x 2 lim lim lim =∞ 例 x → 0+ ln x = −∞ ⇒ x → 0 ( x + ln x ) = ∞ , x → 0
存在可推广至有限个的情形，则
★由lim C = C，可得 lim C f ( x ) = C lim f ( x ) n n lim f x ★ lim f ( x ) = lim f ( x )
证明：利用极限基本定理．证明：利用极限基本定理．
x → x0
lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lim α ( x ) + β ( x ) = 0
注意
无限多个无穷小的和未必是无穷小. 无限多个无穷小的和未必是无穷小.
定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小
除非
须区别对待．须区别对待．【例7】 lim x →∞
lim
2 x arctan x x + ( arctan x )
→∞
ln G ， ∀ G > 0 ，若使 | q |> G，得 n > ln | q | ln G 取 N= ．则当n > N时, 成立 | q n |> G． ln | q | lim q n = ∞．说明数列 {q n } 发散．发散．即

第二节数列的极限

第二节数列的极限一、数列极限的定义如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）．数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数(),.n x f n n N +=∈当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？对于数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其通项()()111111.n n n n x nn--+-==+- ()()01123451111111111,111,1,1,1,1122345x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 678910111111,1,1,1,1,678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314x x x x =+=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()11111n n x n n--=-=的值无限接近零．给定1100，要使 11100n x -<，只需11100n <，即100n >．故当100n >时，11.100n x -<给定11000，要使 111000n x -<，只需111000n <，即1000.n >故当1000n >时，11.1000n x -<一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<都成立．事实上，要使11n x n ε-=<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，n ε1⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，1.n x ε-<注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=一般地，有如下数列极限的定义．定义设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为lim ,n n x a →∞=或().n x a n →→∞例1 证明数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的极限是1.证上面已经证过，在此从略可例2 已知()()211n n x n -=+，证明数列{}n x 的极限是0.证 ()()()222111011n n x n n n --==<++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需21n ε<，即n >取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，有0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞=例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -的极限是0.证 0ε∀>，要使1110n n n q q qε----==<，只需1ln ln ,n qε-<即()ln 1ln ln ,1.ln n q n qεε-<>+取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，有 0n x ε-<，故1lim 0.n n q -→∞=二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．证假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2b aε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整数1N ，使得当1n N >时，.2n b ax a --<（2-2）因为lim n n x b →∞=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，.2n b ax b --<（2-3）取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<当n N >时，由（2-3）得2n a bx +>．矛盾．例4 证明数列()()111,2,n n x n +=-= 是分散的．证如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞=按数列极限定义，对于12ε=，∃正整数N ，当n N >时，11111,,,.22222n n n x a a xa x a a ⎛⎫-<-<<+∈-+ ⎪⎝⎭但这是不可能的，因为当n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内．对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得,1,2,n x M n ≤= ，则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界．数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n 无界．定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．证因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，1n x a -<．于是，当n N >时，()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，0n x >（或0n x <）．证就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02aε=>，∃正整数N ，当n N >时， ,2n ax a -<于是， 0.22n a ax a >-=> 推论如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞=，那么0a ≥（或0a ≤）．证只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．假设lim 0n n x a →∞=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；解收敛，1lim0.2n n →∞= （3）212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；解收敛，lim n →∞212 2.n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（5）(){}1nn -；解发散．（7）1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；解发散．2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？（2）无界数列是否一定发散？（3）有界数列是否一定收敛？解（1）必要条件．（2）一定发散．（3）未必一定收敛，如数列(){}1n-有界，但它是发散的．5.根据数列极限的定义证明：（1）21lim0n n →∞=；证 0ε∀>，要使22110n n ε-=<，只需n >．取正整数max ,1N⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，210n ε-<，故21lim0.n n →∞= （2）313lim 212n n n →∞+=+；证因为()31311.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当14nε<时，313.212n n ε+-<+ 要使14n ε<，只需1.4n ε> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，313.212n n ε+-<+故313lim .212n n n →∞+=+（3） 1.n →∞= 证当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论．以下设0.a ≠因为22212a n -=<．0ε∀>，当222a n ε<时，1ε<．要使222a n ε<，只需n >．取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=（4）lim0.999=1.n n →∞个证 0ε∀>，要使10.999110nn ε-=< 个，只需1lg n ε>．取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，0.9991n ε-< 个．故lim 0.999=1.n n →∞个7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0.n n n x y →∞=证因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞=0，故对1Mεε=，N N +∃∈，当n N >时，1n y Mεε<=，从而0,n n n n x y x y M Mεε-=<⋅=所以lim 0.n n n x y →∞=。

极限的概念

2-1极限的概念（1）∆=→）（口x f lim x 的读法，直观含义)(lim x f n ∞→与)(lim x f x ∞→ 不同N n R x ∈∈,口当口→⇔∆=→x x f x )(lim 时，口）→∆→⇔∆→x x f x f ()()(（2）收敛或极限存在：Ax f x =→)(lim 口（3）无穷小：=→)(lim x f x 口，无穷大：∞=→)(lim x f x 口注意：⊂∞⊂∞±极限不存在（4）)()(lim +→=+00x f x f x x 、)()(lim 00-→=-x f x f xx 称为)(x f 在点x 的左、右极限（5）∆∆==⇔=-+→)()()(lim000x f x f x f x x ； ∆=-∞=+∞⇔∆=∞→)()()(lim f f x f x 。

2-2 函数的连续性(1) 定义：)(x f 在点0x连续 <=> )()(lim 00x f x f xx =→当 )(x f 在区间 I 上连续 <=> )(x f 在 I 上的每一点都连续。

(2)初等函数都是连续的。

另外，连续函数的和、差、积、商以及它们的复合函数也都是连续的。

（3）有等式))((lim x f x ϕ口→连续时f ))x (lim (ϕ口→x f2-3 基本初等函数在开区间端点的极限值（1）常C =C（2）幂；，负负正正++++=+∞+∞=∞+=+∞=0000)(,)(),()()(（3）指+-∞+∞=+∞=0ee ,（4）对+∞=+∞-∞=+)(ln ,ln0（5）三不存在、=±∞±∞)cos()sin(（6）反=±∞)arctan()2(π±，.,π=∞=+∞+)arccot(-0)arccot(2-4 各类函数做四则运算后的极限（注意符号 “∃”= “存在”） (1) ∃=∃-+∃)(`x 或，∃=∃÷∃)0(非，∃=∃≥∃+)(的0；（2） ∃=∃±∃不）不(， ∃=∃⨯∃不不非0， ∃=∃∞÷不）不（非1；（3） 01=∞， ∞=01，∞×a （a ≠0）=∞ ，∞×∞=∞，∞+a =∞（±∞）+（±∞）= ∞；（4）0⨯有界=0 ， ∞+有界=∞ ；(5) 不定式：00,0,1,,0,,00∞∞-∞∞⨯∞∞∞以及；（6）不定式：不）（不，）不或∃⨯∃÷⨯-+∃0(``。

ch2-2 收敛数列的性质

n
原式 lim
n
am n
mk
am 1n a1n a0 n bk bk 1n 1 b1n1 k b0 n k
m 1 k
1 k
k
am , k m; bm 0, k m.
例4 解
an , 其中 a 1. 求 lim n n a 1
即有 | xn || a | 1.
记 M max{ x1 , , xN ,| a | 1}, 则对一切正整数n,皆有 xn M , 故 xn 有界.
注：有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如，
数列{(-1) }有界，但它并不收敛（看上节例6）.
n
推论:无界数列必定发散.
当n N 2时, bn b .
取N max{N1 , N 2 }, 则当n N时上述两不等式同时成立，从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2
lim(an bn ) a b.
n
2. anbn ab (an a)bn a(bn b) (an a) bn a bn b .
收敛数列的四则运算法则
定理2.7(四则运算法则)
若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn }也都是收敛数列, 且
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim( an bn ) lim an lim bn
n
an 1 证由于an bn an (1)bn 及 an , bn bn
因此只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可.

2-2极限

ε
lim an = a : 当 n 无限增加时， an 无限趋近于 a．无限增加时， n →∞
，
ε 1 N= 对给定的 ε > 0 , 能找到 , 当 n > N时, 有 | an − 4 |< ε
定义4：给定数列定义：给定数列{an}，如果存在数 a，，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
为单调递增数列；若对一切 n 恒成立 a n < a n +1，就称 {a n } 为单调递增数列；
若对一切 n 恒成立 a n > a n+1，就称 {an } 为单调递减数列；
单调上升数列与单调下降数列统称为单调数列．
问题: 问题: 如何用数学语言刻划 “无限趋近”. n→ ∞ 1 例如 an = 4 + −−→ 4 n 分析：意味着可以在序列中走得足够远分析： n → ∞ 意味着可以在序列中走得足够远 an 无限趋于 4，意味着 | an − 4 | 可以小到我们所愿意的程度可以小到我们所愿意的程度 1 由 | an − 4 | = 可见只要 n 充分大就能够保证 | an − 4 | 任意小．任意小． n 1 0.1，比如给定 0.1，欲使 | an − 4 | < 0.1 ，只要n > = 10 0.1 0.0001，给定 0.0001，欲使 | an − 4 | < 0.0001 ，只要 n > 10000 一般地，对于给定的任意小的正数 ε ，欲使 | an − 4 |< ε 一般地， 1 只要 n > ，即
(3) 0, 1, 0, 2,L , 0, n,L an =
(4)

2-2-1极限的概念090922

0, 要f(使 x ) A ,
x x0 x x0

x x0 , x0
只要 x x0 且x0
x0
即 x x 0 x 0且 x 0 x x 0
故取 mx 0 i,n x 0 } {则 , 0 当 xx 0时 ,
就有 x x 0,
a x x n n a a 至多只有有限项：
x n U (a ( a ,,) a )
x1, x2 , ..., xN .
注 {xn}是否收{x敛 n}的与前有限. 项无关
例1
已知
xn
n(1)n, n
证明数列xn的极限为1.
证
xn1
limx xx0
x0.
注 0 x x 0 x x 0 ， x x 0
x 0 x x 0 ,x x 0
为了确保 f(x) x 有意义，即
只须
当 xU (x0,)时x ， 0 x00

U ( x0, )
n2
cos n
即n
2

故取 N [cosn2 ],

N 不能与 n 有关！
……
注将 xn 0 适当放大的目的，是为了易于求 N. 放大时，应该注意适当！即要求： xn0b(n) 其中 limb(n)0
n
否则，若 n l im b(n)b00，则 b(n)就不可能任意小.
x
x
则称直线 y = A为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
例如，f ( x ) g(x)
1, x 1 1 x
y
1பைடு நூலகம்
1
1 x

数学分析ch2-2数列极限

0 ，不妨考虑任意给定的
0
q
,则
N
可取为
lg
lg|q|
，当
n N 时，成立| qn 0 | 。
（2）根据数列极限的定义来证明某一数列收敛，其关键是对任意给定的 0寻找正整数 N 。在上面的两例题中， N 都是通过解不等式 xn a 而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的正整数N，所以在证明中常常对 x n a 适度地做一些放大处理，这是一种常用的技巧。
注
（2）在上述的定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有当确定时，才能找到相应的正整数 N 。
注
（2）在上述的定义中，既是任意的，又是给定的。因为只有当确定时，才能找到相应的正整数 N 。
（3）从极限的定义可知，一个数列{xn} 收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项无关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。
显然，下面两数列 {n2 }： 1，4，9，…， n2 ,… {(1)n }: -1,1,-1,1,… 是发散数列。
无穷小量
极限为
0
的数列称为无穷小量，例如数列
1 n
,
(1)n n2 1
都是
无穷小量。
lim
n
xn
a
{xn
a
} 是无穷小量。
例2.2.2 证明{ q n }( 0 | q | 1 ) 是无穷小量。
n2 2n2
1 7n
1 2
。
证首先有
n2 1 1 = 7n 2 。
2n2 7n 2 2n(2n 7)
显然当 n 6时，
7n 2 2n(2n 7)

2-1,2-2极限的定义

x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
x x0

时,函数极限的直观定义

当x x0 时 , 若 f ( x)无限接近与常数A, 则称A为函数 f ( x)在x0处的左极限,记为
x x0
lim f ( x ) A或 f ( x 0 0 ) A.
函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：
(1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等；
(3) 左、右极限中至少有一个不存在.
找找例题！
例
x2 1 求 f ( x) 2 x 1
x 1 x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
n1
, ;
n1
{( 1)
{
n 1
}
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
3, 3
, ;
3
n ( 1) n
3 ,
}
3 , , 3

注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 x 1 , x 2 , , x n , .
例10
设
x 2 1, f ( x) x 1,
x 1 , x 1
2
求 lim f ( x ) 。
x 1
解

x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1

lim f ( x ) 2
f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.

d2_2函数的极限与极限运算法则

17
§2.3
极限的性质与运算法则
1、极限的性质 2、运算法则
18
一、变量的极限
定义3.1 对于任意给定的正数，在变量y 的变化过程，总有一个时刻，在那时刻之后，恒有
| y A | 成立, 则称变量y在此变化过程中以A为极限。
记作: lim y A 例:
lim c c
19
x 4x 2 lim 4 0 x 2 x 6 x 2 1 4 x 3x 2 lim 2 x 3 x 6 x 1
3 2
0, m n 结论 , m n a0 b , m n 0
例7．
2 x5 5x 3 2 2 lim 5 x x 6 x 1
3
3

lim( x 1)
3
lim( x 5x 3)
x 2
x 2 2
2 1 7 3 3
23
2x 3 例３求 lim 2 x 1 x 5 x 4 解分母极限 lim( x 2 5 x 4) 1 5 4 0
分子极限 lim( 2 x 3) 2 3 1
lim( x 1) ?
x 1
x 1 且x 1 直观可看出： x 1 x 1 且x 1
如图
y
２
A
１
x
4
时,函数 f ( x ) 的极限１、当 x x0
x “当 x 无限接近于 x0 (但不等于 0 ) 时函数 f ( x )无限接近常数A”
定义2.4
证明：
x0
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1

高中常见极限知识点总结

高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。

在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。

本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。

也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。

3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。

可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。

二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。

2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。

3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。

4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。

5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。

极限的计算方法

极限的计算方法在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数或数列在无限接近某个值或趋势的过程中的行为。

极限的计算方法是数学中的重要内容之一，下面将介绍几种常用的极限计算方法。

1. 代入法代入法是一种简单直接的计算极限的方法。

当函数在某个点存在极限时，可以尝试将该点代入函数中计算。

例如，对于函数f(x)=2x+3在x=2处的极限，可以直接将x=2代入函数中得到f(2)=2*2+3=7，故极限为7。

2. 分子有理化法分子有理化法适用于分子含有根式的极限。

例如，计算函数f(x)=(sqrt(x)-1)/(x-1)在x=1处的极限。

由于计算根式的极限较为困难，我们可以将分子有理化，即将(sqrt(x)-1)乘以(sqrt(x)+1)得到(x-1)/(sqrt(x)+1)。

此时，x=1成为可直接代入的点，极限为(1-1)/(sqrt(1)+1)=0/2=0。

3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于函数在某个点无法直接计算出极限的情况。

夹逼定理的基本思想是找到两个函数，一个比待求函数小，另一个比待求函数大，且两个函数的极限相等，通过比较可以确定待求函数的极限。

例如，计算函数f(x)=x*sin(π/x)在x=0处的极限。

由于当x趋近于0时，sin(π/x)的值夹在-1与1之间，因此可以构造两个函数g(x)=x和h(x)=-x作为夹逼函数。

由于g(x)<=f(x)<=h(x)，而g(x)和h(x)的极限都为0，所以根据夹逼定理，f(x)在x=0处的极限也为0。

4. 泰勒展开法泰勒展开法适用于计算某些复杂函数的极限。

泰勒展开利用了函数在某个点附近的局部性质，将其展开为无穷级数，常用到泰勒展开的函数包括指数函数、三角函数等。

例如，计算函数f(x)=e^x在x=0处的极限。

根据泰勒展开公式，e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，当x趋近于0时，高阶项的影响逐渐减小，因此可以截取前几项进行计算。

2-2极限2

AB = 2 sin x , AB = 2 x , AB < AB ⇒ sin x < x
结论成立
【证】 ∀ε > 0, 要使 sin x − sin x0 < ε x + x0 x − x0 x − x0 Q sin x − sin x0 = 2 cos ≤ x − x0 sin ≤ 2 sin 2 2 2 ∴取δ = ε > 0, 则当0 < x − x0 < δ 时，有 sin x − sin x0 < ε
x → x0
x → x0
lim f ( x ) = A 的本质是：的本质是：
函数必须包含在其极限 A 的任意的“邻域”内，只要自的任意的“邻域” 的适当选取的“邻域” 变量包含在其极限 x0 的适当选取的“邻域”内．
y
y = f (x)
A+ε
A
A−ε
o
x0 −δ
(
δ
x0
δ
x0 +δ
)
x
显然： x x C = C , 显然： lim →
复习
lim an = a : ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
n →∞
lim f ( x ) = A : ∀ε > 0, ∃X > 0, 当 > X ⇒ f ( x ) − A < ε x x →∞
定理1 数列收敛的充要条件数列收敛的充要条件) 定理 (数列收敛的充要条件 lim an = a ⇔ {an} 的任一子列均收敛于 ⇔ lim a2k −1 = lim a2k = a 的任一子列均收敛于a n →∞
x<0 x≥0

函数的极限2-点极限

03 函数在某点的极限计算
函数在某点的极限计算方法
定义法
根据函数极限的定义，通过取极限的运算来计算函数在某点
的极限值。
等价无穷小替换法
利用等价无穷小替换简化函数表达式，从而更容易计算极限值。
洛必达法则
当函数在某点的导数存在时，可以利用洛必达法则计算极限值。
泰勒公式法
利用泰勒公式将函数展开成多项式，从而更容易计算极限值
通过直观的方式描述了函数在某一点的变化趋势，为后续精确定义奠定基础。
函数极限的精确定义
精确定义
对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，记作 lim(x→a)f(x)=L。
精确定义的意义
通过ε和δ的对应关系，给出了函数极限的严格数学定义，具有更高的严谨性和通用性。
无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量与无穷大量是函数极限理论中的重要概念，它们在自变量的变化过程中表现出完全相反的性质。
在研究函数极限的过程中，了解无穷小量和无穷大量的性质和关系对于理解函数的变化趋势和极限概念至关重要。
无穷小量的倒数成为无穷大量，反之亦然。
无穷小量是绝对值无限变小的量，而无穷大量则是绝对值无限增大的量。
函数在某点的极限计算注意事项
注意函数的定义域
在计算函数在某点的极限值时，需要确保该点在函数的定义域内。
注意函数的连续性
如果函数在某点不连续，那么在该点可能无法计算极限值。
注意等价无穷小替换的条件
在使用等价无穷小替换时，需要确保替换的条件满足，否则可能导致计算错误。
04 无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
无穷小量

函数的极限(二)

（2）lim f 而 xx0
lim f (x)
xx0
(
x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
lim
xx0
f
(x)都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧
极限，
显然 lif( m x ) a lif( m x ) lif( m x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
(三)例题
变化趋势？
y
x 1 (x 0)
(1)图象
1
01 x -1
(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1
(二)函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，
如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0
2.4函数的极限(二)
高二备课组
序言
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极限运算法则与常见的极限计算

极限运算法则与常见的极限计算极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。

在本文中，我们将介绍常见的极限运算法则，并结合一些例子来说明如何应用这些法则来计算极限。

1. 基本极限运算法则(1) 常数法则：若c为常数，则lim(x→a) c = c。

这意味着在极限运算中，常数可以直接提出来。

(2) 幂函数法则：若n为正整数，则lim(x→a) x^n = a^n。

这意味着在极限运算中，幂函数可以直接求解。

(3) 指数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→∞) a^x= ∞，lim(x→-∞) a^x = 0。

这意味着指数函数在无穷远处的极限值为无穷或零。

(4) 对数函数法则：若a为正实数且a≠1，则lim(x→0) log_a(x) = -∞，lim(x→∞) log_a(x) = ∞。

这意味着对数函数在0或无穷远处的极限值为负无穷或正无穷。

2. 极限运算法则的应用(1) 和差法则：lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)。

这意味着在求解两个函数之和或差的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相加或相减。

(2) 积法则：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

这意味着在求解两个函数的乘积的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相乘。

(3) 商法则：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)，其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。

这意味着在求解两个函数的商的极限时，可以分别求解各个函数的极限，然后再进行相除。

(4) 复合函数法则：若lim(x→a) g(x) = b，lim(y→b) f(y) = c，则lim(x→a) f[g(x)] = c。