高中的常见函数图像及基本性质
高一至高三数学函数知识点
高一至高三数学函数知识点函数作为数学的重要概念，是高中数学学习中的重点和难点之一。
掌握好函数知识，对于学习其他数学分支以及应用数学都具有重要意义。
本文将从高一至高三的角度，全面介绍数学函数的基本知识点。
1. 函数的定义和性质函数是一个将一个集合中的元素唯一地对应到另一个集合中的元素的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值/因变量。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 基本函数类型常见的基本函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
线性函数是一次函数，表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c为常数，且a不为零。
指数函数是以a为底的x的指数函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为常数且a大于0且不等于1。
对数函数是指数函数的反函数，以a为底的对数函数表达式为f(x) = logₐx，其中a为常数且a大于0且不等于1。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是与三角比例相关的函数。
3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系上的几何表达。
函数图像的性质包括对称性、平移、伸缩等。
对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
平移是指通过改变函数表达式中的常数项或自变量的值，使得函数图像在坐标系上发生平行移动。
伸缩是通过改变函数表达式中的系数，使得函数图像在坐标系上发生纵向或横向的拉伸或压缩。
4. 函数的运算和复合函数函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。
加法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) + g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的和。
减法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) - g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的差。
乘法：对于函数f(x)和g(x)，定义f(x) × g(x) = h(x)，h(x)的函数值等于f(x)和g(x)对应函数值的乘积。
常用函数性质及图像
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
高中数学的所有重要函数图像及其性质图像特点单调性定义域值域
数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移； 当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2） 必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3） 走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高中数学常见函数及其应用
高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。
在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。
本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。
线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。
以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。
当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。
2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。
2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。
例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。
通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。
2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。
通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。
四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
高中数学第二章函数-函数及其性质(竞赛精讲)
第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。
（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
四种常见函数的图象和性质总结
一、内容综述：四种常见函数的图象和性质总结图象特殊点性质一次函数与x轴交点与y轴交点（0，b）(1)当k>0时，y随x的增大而增大；(2)当k<0时，y随x的增大而减小.正比例函数与x、y轴交点是原点(0,0)。
(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限；(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限反比例函数与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。
(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二次函数与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是(-,)。
(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。
(2)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=注意事项总结：1．关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。
2．对解析式中常数的认识：一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。
3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax2+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+ k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，（其中x1,x2即为图象与x轴两个交点的横坐标）。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
高中所有函数图像及其性质知识点
高中函数的全部总结一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学中，函数是一个非常重要的概念，是数学的基础。
函数不仅在数学上有很多应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
函数的图像和性质是我们学习函数的重要内容之一。
下面我将详细介绍高中数学中的14种函数图像和性质。
一、常数函数图像和性质：常数函数是指对于任何定义域内的自变量，其函数值都是一个固定的常数。
常数函数的图像是一个平行于x轴的直线，也可以看作是y轴上的一个点。
常数函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是{常数}，奇偶性是偶函数。
二、一次函数图像和性质：一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率k，截距b。
一次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是全体实数，当且仅当k=0时，为常数函数，奇偶性是奇函数。
三、二次函数图像和性质：二次函数是指函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域受a的正负号和抛物线的开口方向影响，奇偶性当且仅当a=0时，为一次函数。
四、基本初等函数图像和性质：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
它们都有各自的图像和性质。
1. 幂函数图像和性质：幂函数是指函数的表达式为y=xⁿ，其中n是一个实数，且n≠0。
幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>0时，函数的图像是递增的曲线，当n<0时，函数的图像是递减的曲线。
幂函数的性质包括：定义域是正实数或负实数，值域受n的正负号影响，奇偶性当且仅当n为偶数时，函数关于y轴对称。
2. 指数函数图像和性质：指数函数是指函数的表达式为y=aⁿ，其中a是一个正实数，且a≠1，n是一个实数。
指数函数的图像随着a和n的取值不同而变化，当0<a<1时，函数的图像是递减的曲线，当a>1时，函数的图像是递增的曲线。
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
五大基本函数图像及性质
五大基本函数图像及性质基本函数是数学中最常用的函数，它们能够描述和表示曲线的性质和特征。
常见的基本函数包括指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和偏微分函数。
二、指数函数指数函数是指一类具有指数表达形式的函数，可以用来描述数据之间的相对关系。
指数函数的图像以指定点作为原点，从原点开始上升或下降，通过控制变量取值范围来表示函数值的变化程度。
三、对数函数对数函数是一类定义在正数域上的函数，它的值由底数和指数决定，即形如ax的形式。
它的图形是一条从有限正数到有穷大的抛物线，图像的斜率代表了变化的程度。
四、三角函数三角函数是描述在给定区间内某物体运动的函数，它的图像主要由正弦函数、余弦函数和正切函数构成。
它们的图像是以某一定点为原点，其值随着x变化而循环变化，斜率可以表示变化的程度。
五、双曲函数双曲函数是一类定义在实数域上的函数，它的值由变量的决定，其图像可以表现为一条弯曲的曲线，它的斜率也可以表示变化的程度。
六、偏微分函数偏微分函数是一类关于一元变量的函数，它表示函数在某一点处的切线斜率，其图像表示函数在某一点处的变化率。
综上所述，基本函数是数学中最常用的函数，它们通过控制变量取值范围来表示函数值的变化程度。
常见的基本函数包括指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和偏微分函数，它们的图像由指定点作为原点，其值随x的变化而变化，并代表函数值的变化程度。
指数函数是一类具有指数表达形式的函数，它的图像从原点开始上升或下降，可以用来描述数据之间的相对关系。
而对数函数是定义在正数域上的函数，它的图形是从有限正数到有穷大的抛物线，斜率代表了变化的程度。
三角函数是描述在给定区间内某物体运动的函数，它们的图像以某一定点为原点，其值随着x变化而循环变化，斜率可以表示变化的程度。
而双曲函数是一类定义在实数域上的函数，它的图像是一条弯曲的曲线，斜率也可以表示变化的程度。
最后，偏微分函数是关于一元变量的函数，它的图像表示函数在某一点处的变化率。
常用基本函数图像与性质
高中常用函数图像与性质一、常值（数）函数1.定义：一般地，形如为常数）（c c y =，那么叫做常值（数）函数.2.图像与性质：解析式)0(>=c c y 0=y )0(<=c c y 图像性质定义域R值域{}c y y =单调性不具单调性奇偶性偶函数对称性对称轴：y 轴（0=x ）二、一次函数1.定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x 的一次函数.特别地，当b=0时，y=kx ，此时y 叫做x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数.2.图像与性质：一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b =图象性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小三、二次函数1.定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.2.解析式：（1）一般式：)0(2≠++=c c bx ax y ；（2）顶点式：)0(442(22≠-++=a ab ac a b x a y ；（3）两点式：)0)()((21≠--a x x x x a ，其中)0,(,)0,(21x x 为图像与x 轴了两交点的坐标.3.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．4.二次函数的系数c b a ,,对图像的影响（1）系数a ：①0>a ，开口向上；0<a ，开口向下；②a 越大，开口越大；a 越小，开口越小；（2）系数b ：b a ,的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”①b a 、同号：0>ab ，对称轴a bx 2-=在y 轴左侧，②b a 、异号：0<ab ，对称轴abx 2-=在y 轴右侧；（3）常数c ：与y 轴交点坐标),0(c ；5.二次函数2y ax bx c =++)0(≠a 的性质()()20f x ax bx c a =++≠0a >0a <图像定义域(),-∞+∞对称轴2bx a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域),44(2∞+-ab ac 24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间)2,(ab--∞递减)2(∞+-，ab 递增)2,(ab--∞递增)2(∞+-，ab 递减6.二次函数2y ax bxc =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住5要素：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.7.二次函数与一元二次方程（1）当抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴两个交点时，公共点的横坐标21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根.（2）①当240b ac ∆=->时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有1个交点（顶点）；③当042<-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；（3）当042<-=∆ac b 时：①当0a >时，图象落在x 轴的上方，0y >恒成立；②当0<a 时，图象落在x 轴的下方，0<y 恒成立；四、反比例函数1.定义：一般地，形如)0(≠=x xky 的函数，称为反比例函数.2.图像与性质：函数解析式>k 0<k五、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且，x 为自变量，函数定义域为R .2.图像与性质：10<<a 1>a 图像定义域R 值域)0(∞+，性质（1）过定点（0，1），即1,0==y x 时（2）在R 上为减函数（2）在R 上为增函数六、对数函数1.定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，x 为自变量，函数定义域为),0(∞+.2.图像与性质：10<<a 1>a图像定义域(0,+∞)值域R性质（1）过定点（1，0），即0,1==yx时（2）在),0(∞+上为减函数（2）在),0(∞+上为增函数七、幂函数1.定义：形如αxy=叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.2.几种常见幂函数的图像3.几种常见幂函数.的图像与性质幂函数性质xy=2xy=3xy=21xy=1-xy=八、对勾函数1.定义：2.图像与性质：解析式)0,0()(>>+=b a xbax x f 图像性质定义域{}0≠x x 值域),2[]2,(∞+--∞ab ab 单调性单调增区间：),(,),(∞+--∞ab a b九、分式函数1.定义：一般地，形如：()()ax bf x ad cb cx d+=≠+叫做分式函数.2.图像与性质：图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,d ac c-，通常用代点法确定两支双曲线的位置。
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质六大基本初等函数图像及其性质一、常数函数（也称常值函数）y=C（其中C为常数）；常数函数（y=C）是平行于x轴的直线，定义域为R，值域为{C}，非奇非偶，单调性为不变，公共点为(0,C)。
二、幂函数y=x^α，x是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：当α为正整数时，函数的图像都经过原点，并且在原点处与x轴相切。
当α为奇数时，图像关于原点对称；当α为偶数时，图像关于y轴对称。
2.幂函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=x^2.R。
[0,+∞)。
偶。
增。
(0,0)y=x。
R。
R。
非奇非偶。
增。
(0,0)y=x^3.R。
R。
奇。
增。
(0,0)y=x^-1.{x|x≠0}。
{y|y≠0}。
奇。
(-∞,0)减。
(-1,0)∪(0,1)三、指数函数y=a^x（a>1且a≠1），定义域为R，为无界函数。
1.指数函数的图像：当a>1时，图像是单调增的曲线，经过点(0,1)；当0<a<1时，图像是单调减的曲线，也经过点(0,1)。
2.指数函数的性质：函数。
定义域。
值域。
奇偶性。
单调性。
公共点y=a^x(a>1)。
R。
(0,+∞)。
非奇非偶。
增。
(0,1)y=a^x(0<a<1)。
R。
(0,1)。
非奇非偶。
减。
(0,1)本文介绍了指数函数和对数函数的基本概念和性质。
首先，介绍了指数函数的图像和比较大小的方法。
当底数互为倒数时，两个指数函数的图像关于y轴对称。
当底数大于1时，指数函数的值随着底数的增大而增大；当底数小于1时，指数函数的值随着底数的增大而减小。
其次，介绍了指数的运算法则，包括整数指数幂的运算性质和分数指数幂的运算性质。
其中，整数指数幂的运算性质包括指数相加、相减和相乘的规律；分数指数幂的运算性质包括分数指数幂的乘方和除法的规律。
接着，介绍了对数函数的概念和性质。
对数函数是指底数为常数且大于1的指数函数的反函数。
常用对数是以10为底的对数，自然对数是以无理数e为底的对数。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
其图像的画法是按定义域的划分分别作图。
函数图像总结
函数图像总结函数图像总结函数图像总结一基本函数图像1y=kx(x≠0)2y=kx+b(k≠0)3y4yax2bxc(a0)5yxa6yxk(k0)xk(k0)7yax(a 0,a1)x8ylogax(a0,a1)二抽象图像平移f(x）f(x+1)f(x）f(x-1)f(x）f(x)+1f(x）f(x)-1f(x)f(2x)f(x)2f(x) f(x）f(2x+2)y=f（-x）变成y=f（-x+2）练习：cosxcos2xcos2xcos（2x+4）cosxcos2x+4三图像的变换1f(x）f(|x|)保留y轴右边的，左边关于右边y轴对称2f(x）|f(x)|保留x轴上方的，下方关于x轴对称3f(x）f(-x）y轴对称4f(x）-f(x)x轴对称5f(x）-f(-x）原点对称6f(x）f（|x+1|）先根据1方法变成f（|x|）,在向左平移一个单位得到f（|x+1|）7f(x）f（|x|+1）先向左平移一个单位得到f（x+1），再根据1方法变成f（|x|+1）8f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)9f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称egf（x）= 2x与g（x）=-2x关于对称一、函数yf(x)与函数yf(x)的图象关系函数yf(x)的图象是由yf(x)的图象经沿y轴翻折180°而得到的（即关于y轴对称）。
注意它与函数yf(x)满足f(x)f(x)的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数yf(x)本身是关于y轴对称的。
（二）伸缩变换及其应用：函数yaf(bx)的图像可以看作是由函数yf(x)的图像先将横坐标伸长(|b|＜1）或缩短(|b|＞1）到原来的1倍，再把纵坐标伸长(|a|＞1）或缩短(|a|＜1）到原来的|a|倍即可得到。
如：|b|1的图像x1要求：1会画y=|x+1|y=-2会画f（x）=lg|x|以及f（x）=|lgx|3会画f（x）=|lg|x+1||以及f(x)=x2-4|x|+5f(x)=|x2-2x-3|二1由图像可知f（x+1）为偶函数对称轴为2由图像可知f（x+1）为奇函数关于点（，）对称Eg、对a，bR，记max{a，b}＝(A)0(B) a,ab，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是b,a＜b13(C)(D)3901（选讲）1、yf(x)绕原点顺时针方向旋转；yf（x）12、yf(x)；yf （x）绕原点逆时针方向旋转9000yQP(a,b)(yf(x)yQ1xP1(b,a)(yf1(x))P(a,b)(yf(x)0P1(b,a)1(yf(x))0（乙）x（甲）（图五）0说明：关于绕原点旋转180的变换实际上就是关于原点对称的问题。
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常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 ｆ（x ）=b (b ∈Ｒ）1)、y ＝ a 与 x=ａ 得图像与走势2）、图象及其性质：函数f (ｘ)得图象就是平行于ｘ轴或与ｘ轴重合(垂直于y 轴）得直线一次函数 f (ｘ）=ｋｘ+b (ｋ≠０，b ∈Ｒ）1）、两种常用得一次函数形式：斜截式——点斜式——2)、对斜截式而言，k 、b 得正负在直角坐标系中对应得图像走势：3)、｜k|越大，图象越陡；｜k|越小,图象越平缓 4）、定 义 域：Ｒ 值域：R单调性：当k>0时 ；当k ＜０时奇 偶 性：当b ＝０时,函数f （ｘ）为奇函数；当b ≠0时，函数f （ｘ)没有奇偶性; 反 函 数:有反函数（特殊情况下:K=±1并且b=0得时候)。
补充：反函数定义：例题：定义在r 上得函数y=f(x)； y=g （x)都有反函数,且ｆ（x-1)与g —1（x)函数得图像关于y=x 对称，若g(5)=201６,求f(4）=周 期 性:无 ５）、一次函数与其它函数之间得练习 1、常用解题方法： 2、与曲线函数得联合运用反比例函数 f (x ）= (k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远)图象及其性质：永不相交,渐趋平行；当k 〉0时，函数f (x ）得图象分别在第一、第三象限;当k 〈0时，函数f (x )得图象分别在第二、第四象限； 定 义 域: 值 域：单 调 性:k> k ＜周 期 性：无奇 偶 性：奇函数反 函 数：原函数本身补充:1、反比例函数得性质2、与曲线函数得联合运用（常考查有无交点、交点围城图行得面积）—-入手点常有两个-—⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数得取值；⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1)、y ＝1/(x —2）与y ＝１/ｘ—2得图像移动比较 2）、y=1/(—ｘ)与y=-（1／x ）图像移动比较3）、f (ｘ)= (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数)(对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数一般式:xy b Of (x )=bx y Of (x )=kx +b x yOf (x )= y f (x )=R 2)点关于直线(点)对称,求点得坐标顶点式： 两根式：图象及其性质:①图形为抛物线，对称轴为 ,顶点坐标为②当时,开口向上,有最低点 当时。
③当 = 〉0时,函数图象与轴有两个交点（ )；当＜0时，函数图象与轴有一个交点（ )；当=0时，函数图象与轴没有交点。
④ 关系定 义 域:R 值 域：当时，值域为（ );当时,值域为（ ） 单 调 性：当时；当时、 奇 偶 性：b=／≠0反 函 数:定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无 补充:1、ａ得正／负；大/小与与函数图象得大致走向（所以,a 决定二次函数得 )２、3、二次函数得对称问题：关于ｘ轴对称；关于y 轴对称;关于原点对称；关于（m ，n ）对称4、二次函数常见入题考法:⑴交点（交点之间得距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题）指数函数，系数只能为1。
图象及其性质：1、恒过,无限靠近轴;2、与关于轴对称；但均不具有奇偶性。
3、在y 轴右边“底大图高";在y 轴左边“底大图低”——靠近关系定 义 域：R 值 域：单 调 性：当时;当时。
奇 偶 性:无 反 函 数：对数函数 周 期 性：无 补充:１、2、图形变换Log 21/x 与Lo ｇ２— xｌn(x —1）与lnx — １对数函数（与指数函数互为反函数)图象及其性质：①恒过,无限靠近轴；②与关于轴对称；③ｘ〉1时“底大图低”；０〈x ＜1时“底大图高"（理解记忆）定 义 域:R 值 域：单 调 性：当时；当时; 奇 偶 性:无 反 函 数：指数函数 周 期 性：无 补充： 1、双钩函数(变形式 )图象及其性质：①两条渐近线： ②最值计算： 定 义 域: 值 域:单 调 性： 奇 偶 性:奇函数 反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性得考察中用得较多，需特别注意最值得算法xyOf (x )=f (x )=xyOf (x )=f (x )=幂函数（考察时，一般不会太难)无论n 取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
不需要背记,只要能够快速画出n=±1， ±1/2，±3，，1/3,0，得图象就行注意：掌握y ＝x 3得图像；掌握y=ａｘ3+bx 2+cx+d 得图像（当ａ>0，当a ＜0时）;补充：利用数形结合，判断非常规方程得根得取值范围。
例：P 393，例题１0函数图象变换一.平移变换 二.对称变换①y ＝f （－x ）与ｙ＝f （ｘ)关于y 轴对称； ②y =－ｆ(x )与ｙ=f （ｘ）关于x 轴对称； ③y =－ｆ(－x ）与y =f (x )关于原点对称;④y ＝f －1（x )与y ＝f （x ）关于直线y =x 对称;⑤y ＝｜ｆ（x ）｜得图象可将y =f (x ）得图象在x 轴下方得部分以xx 轴上方，其余部分不变。
⑥y =f (|x ｜）得图象:可将ｙ＝f (x ),ｘ≥0得部分作出，再利用偶函数关于y 轴得对称性。
三、伸缩变换①y =A ｆ（x )（A 〉0)得图象，可将y ＝f (x ）图象上每一点得纵坐标伸(A >1）缩(0<Ａ＜１）到原来得Ａ倍,横坐标不变而得到．②y ＝f (ax )（a ＞0）得图象，可将y ＝f （x )得图象上每一点得横坐标伸(0＜ａ<１）缩(a ＞1）到原来得,纵坐标不变而得到．四、函数及图象(大致图象） 典型例题精讲例1:已知y =f （ｘ）得图象如图2—7所示，则下列式子中能作为ｆ（x ）得解析式就是( A）Ａ． Ｂ．x 2－2|x ｜+1 C 。
｜ｘ2-１| D 。
解析：当ｆ（ｘ)=时,其图象恰好就是上图.例2:画出函数y ＝lg|ｘ＋1|得图象。
解析:ｙ=lg ｜x ＋１｜。
例３：要将函数y =得图象通过平移变换得到y ＝得图象,需经过怎样得变换？解析：y ＝－1，先沿x 轴方向向左平移1个单位，再沿y 轴方向向上平移１个单位,即可得到y ＝个单位b 个单位向左平移a 个单位向右a 平移个单位y=f x ()y=f x+a ())-by=f x ()+b y=f x-a ()得图象.例４：方程kx＝有两个不相等得实根,求实数ｋ得取值范围．解析：设y1＝ｋｘﻩﻩ①y＝②2方程①表示过原点得直线，方程②表示半圆,其圆心（2，0），半径为1，如图2—9。
易知当OA与半圆相切时, ,故当0≤k<时，直线与半圆有两个交点,即０≤k＜时,原方程有两个不相等得实根。
例5：作函数f(x)=x+得图象．分析：f(x）＝x＋不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x)得性质进行研究.解析：函数得定义域就是(－∞，0)∪(０,＋∞)，∵ｆ（－x）=-f(ｘ),∴ｆ(ｘ）就是（－∞,０）∪（0，＋∞）上得奇函数,又｜f（x）|＝｜x＋｜＝|x｜+≥２,当且仅当|x|=１时等号成立,∴当ｘ＞０时y≥2；当x＜0时,ｙ≤－2;当ｘ∈(0,1）时函数为减函数,且急剧递减；当x∈［1，＋∞）时函数为增函数,且缓慢递增,又x≠0，y≠０,∴图象与坐标轴无交点,且ｙ轴就是渐近线，作出第一象限得函数得图象，再利用对称性可得函数在定义域上得图象，如图2—10所示.评述:(1）熟悉各种基本函数图得“原型”就是函数作图得一项基本功；先研究函数得性质,再利用性质作图则能减少作图得盲目性,提高图象得准确性。
（2）与图象有关得“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量得作用.例6：f（x）就是定义在区间[—c，c]上得奇函数，其图象如图所示．令g(ｘ)＝ａｆ(ｘ）+b，则下列关于函数ｇ（x)得叙述正确得就是( B）A.若a〈0，则函数g(x)得图象关于原点对称B.若a=－1,—２＜b<０，则方程g（x)=0有大于2得实根C．若a≠0,b＝２，则方程g（x)=0有两个实根D.若a≥１，b＜2，则方程ｇ（x)＝０有三个实根解析:将f（x)图象上每点得纵坐标变为原来得ａ倍，横坐标不变,再将所得图象向上(ｂ＞0）或向下(b<0）平移|b｜个单位，得g(x）=ａf（x)＋b得图象。
例6：(全国Ⅱ)把函数y=ｅｘ得图象按向量=（2，３）平移，得到ｙ＝f(ｘ）得图象,则f（x）= （C)(A)ｅx-３+2 （B)e x＋３－2 （C)e x－２＋3 (D）eｘ＋２－3例7：（菏泽模拟)如图为函数y＝m＋得图象，其中ｍ,n为常数,则下列结论正确得就是（ D ）(A）m＜0，n〉１（B）ｍ>O，n〉l (C）m＞O，０〈n<1 (Ｄ）ｍ<0，０〈n<１例8:(安庆模拟）函数y=e —|x－1｜得图象大致就是( D）例9:在直角坐标系ｘOy中,已知△AOＢ三边所在直线得方程分别为ｘ=0,ｙ=0，2x＋3y＝３０，则△ＡＯＢ内部与边上整点(即横、纵坐标均为整数得点)得总数就是（B)ﻩＢ.91 ﻩﻩC。
８８ﻩﻩﻩD。
7５A.95 ﻩﻩ解析：画出图象,补形做出长方形AOBC,共有整点数11×16＝１76，而六点(0,10），(３,8）,（6,6),（９，4），（１２,2)，(15,０）在长方形得对角线上，所以符合题意得点数为（17６+6）×＝9１. 例1０:将函数y=ｌog x得图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C,图象C１与C关于原点对称，图象C２与C1关于直线ｙ=x对称，那么C2对应得函数解析式就是＿＿___。
解析:C:y＝loｇ（x-1）;由－ｙ=ｌog（－x-１)得Ｃ1：y＝log2（－x—１）;求Ｃ1得反函数得y=－1－2x。
例１1:若函数ｙ＝|－x2+４x－３|得图象C与直线ｙ=kx相交于点M（２，１），那么曲线Ｃ与该直线有个交点.解析:(数形结合法）作y＝｜－x2+4ｘ－3｜得图象,知其顶点在M(２,１）.过原点与点Ｍ（2，１）作直线y＝kx,如图.∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．例１2:作函数ｙ=()｜x-1|得图象.解析：(１）y=故它在区间［１,＋∞)上得图象,可由ｙ=2-x（x≥0）得图象沿ｘ轴方向向右平移1个单位得到在区间(—∞,１)上得图象,可由ｙ＝2x（x〈０）得图象沿x轴方向向右平移1个单位得到。
例1３:已知函数y＝f（x)(x∈R）满足f(a+x)＝ｆ（a—ｘ），求证y＝f(ｘ）得图象关于直线x ＝a对称。
证明:设ｐ（ｘ0，y０)就是ｙ＝f（ｘ)图象上得任一点，则有ｙ0=f（x0），设点P关于直线x=a得对称点为p′(ｘ′,y′)，则有，即由y０＝f（x0)y′=ｆ［ａ－（a－x′)］=f(x′）．即点p′（x′,y′）也在y=f（x)得图象上.∴ｙ=f（ｘ)得图象关于直线x=a对称．例14：画出函数ｙ=得图象，并利用此图象判定方程＝x＋a有两个不同得实数解时，实数a所满足得条件.解析：图象就是抛物线ｙ２＝２x+1在y≥０上得部分.把y=ｘ＋a代入ｙ2＝2x+1,得（ｘ＋a）２＝2ｘ＋1,即ｘ２＋２（a—1)x＋a２－1=0，由Δ=0得a＝１,此时直线与抛物线相切。