2010-2018高考真题理科数学分类汇编解析版第5讲函数与方程

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理科数学高考真题分类汇编第五讲函数与方程

2018-2016三年高考真题理科数学分类汇编：函数图像与方程(解析附后)

2018-2016三年高考真题理科数学分类汇编：函数图像与方程（解析附后）考纲解读明方向1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.2．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）3．【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为（）A. AB. BC. CD. D4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.5．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．6．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________． 2017年高考全景展示1.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）（A ）(])0,123,⎡+∞⎣ （B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣ （D ）([)3,+∞2016年高考全景展示 1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）2.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}3. 【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.4.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________ 解析版 2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】函数yx 的图象可能是 A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:.为奇函数，排除选项A,B;因为C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年理新课标I g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C的图像，y当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图有两个解，也就是函数C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.3．【2018年理数全国卷IIA. AB. BC. CD. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.【20182______________.果.，整理可得：不是方程的实数解，则，原问题等价于函数与函数的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的取值范围是点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．【2018________．【答案】–3a ,再根据单调性确定函数最值，即得结果.点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6．【2018________．3个零点。

十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：导数与定积分

(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
49.(2019·江苏,19,16 分,难度)设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为 f(x)的导函数.
(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值;
(2)若 a≠b,b=c,且 f(x)和 f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求 f(x)的极小值;
3
38.(2015·全国 1·文 T14)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= .
2
39.(2015·全国 2·文 T16)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相切,则 a= .
x
1
40.(2015·陕西·理 T15)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y=x (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐
T13) 已知函数
y=f(x) 的图象是折线段
ABC, 其中
A(0,0),B
1 2
,5
,C(1,0). 函数
y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为________________.
44.(2012·全国·文 T13)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
34.(2017·天津,文 10)已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1,f(1))处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的
截距为 .

理科数学2010-2018高考真题分类专题二函数概念与基本初等函数第五讲函数与方程答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程答案部分1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时，11m≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，101m<<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥．选B ．4．C 【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302a --，故304a<，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a ，即13a ，所以1334a．当0x 时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当0x 时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+ 32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--，当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意；令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123[,]{}334． 5．A 【解析】cos yx 是偶函数且有无数多个零点，sin y x 为奇函数，ln y x 既不是奇函数又不是偶函数，21yx 是偶函数但没有零点．故选A ．6．D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．7．D 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩， ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． x8．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32bf a-=，则2434ac b a -=；由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 9．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．xy(2,1)g (x )=kxf (x )=|x -2|+11234512345O10．C 【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 11．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时 102m <≤；当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=，化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线 (1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)- 时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--⋃．12．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =--． 13．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.14．A 【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．15．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为2x =，(2)1g =； (2)2ln 2ln 41f ==>．所以(2)(2)g f <，从图像上可知交点个数为2．16．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2xx =，由图象法可知()f x 有两个零点． 17．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>，所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．18．C 【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C ．19．B 【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．20．B 【解析】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线y c =，不难得出答案B ．21．C 【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ． 22．D 【解析】图像法求解．11y x =-的对称中心是(1,0)也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D23．B 【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ．24．C 【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ． 25．B 【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ．26．A 【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ．27．A 【解析】(0)4sin10f =>，(2)4sin 52f =-，由于52ππ<<，所以(2)0f <，故函数()f x 在[0,2]上存在零点；由于(1)4sin(1)10f -=-+<，故函数()f x 在[1,0]-上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令52[2,4]4x π-=∈，则52552()4sin 0424f πππ--=->，而(2)0f <，所以函数在[2,4]上存在零点，故选A ． 28．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．29．(48)，【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<． 30．3-【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-(a ∈R )，当0a ≤时()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =，所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意．当0a >时，由()0f x '>得3a x >，由()0f x '<得03a x <<，则()f x 在(0,)3a上单调递减，在(,)3a +∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a a f =-+=，得3a =，所以32()231f x x x =-+，则()6(1)f x x x '=-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则max ()(0)1f x f ==，(1)4f -=-，(1)0f =，则min ()4f x =-，所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-．31．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．32．8；11【解析】因为81z =，所以195373x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得811x y =⎧⎨=⎩．33．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．34．(3,)+∞【解析】由题意，当x m >时，222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-，其顶点为2(,4)m m m -；当xm 时，函数()f x 的图象与直线x m =的交点为(,)Q m m ．①当24m m mm>⎧⎨-⎩，即03m <时，函数()f x 的图象如图1所示，此时直线y b=与函数()f x 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当240m m m m ⎧-<⎨>⎩，即3m >时，函数()f x 的图象如图2所示，则存在实数b 满足24m m bm -<，使得直线y b =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3,)+∞．xyx =my=bOxyx =my=bO图1 图235．2【解析】因为2()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+ 2(1cos )sin 2sin |ln(1)|x x x x =+⋅--+=sin 2|ln(1)|x x -+36．1- 1[,1)2[2,)+∞【解析】①若1a ，则21()4()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥‚‚‚，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为1-．xy 1-1–112O②当1a ≥时，要使()f x 恰好有3个零点，需满足120a -≤，即2a ≥．所以2a ≥；当1a 时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <⎧⎨->⎩≤，解得112a ≤． 37．),1()0,(+∞-∞ 【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ；综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ．38．1(0,)2【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有互不相同的10个零点，即函数()y f x =与y a =的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数()y f x =在一个周期内的图象，可知102a <<．39．2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得2x =当0x >时，()26ln f x x x =-+，∵1()20f x x'=+>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(1)40f =-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞有且只有一个零点，所以()f x 的零点个数为2． 40．01a 或9a 【解析】法一显然0a ．(ⅰ)当(1)y a x =--与23y x x 相切时，1a ，此时()|1|0f x a x --=恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线(1)y a x =-与函数23y x x 相切时，9a，此时 ()|1|0f x a x --=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a或9a．x y13OyO91法二：显然1a，所以231x xax .令1t x ，则45a tt．因为4(,4]t t +∈-∞-[4,)+∞，所以45t t++(,1][9,)-∞+∞．结合图象可得01a 或9a .41．）【解析】由定义运算“*”可知 22(21)(21)(1),211()(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x ⎧------=⎨----->-⎩=222,0,0x x x x x x ⎧-⎨-+>⎩，如图可知满足题意的m 的范围是104m <<，不妨设123x x x <<，当0x >时，2x x -+=m ，即20x x m -+=∴231x x +=；∴2232310()24x x x x +<<= 当0x时，由212,(0)4x x x -=<，得x = ∴1104x -<<，123104x x x -<< 42．(0,1)【解析】当2x <时，2()3(1)0f x x '=-≥，说明函数在(,2)-∞上单调递增，函数的值域是(,1)-∞，又函数在[2,)+∞上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此要使方程()f x k =有两个不同实根，则01k <<．43．(,2ln 22]-∞-【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程20xe x a -+=有解问题，即方程2xa x e =-有解．令函数()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-，令()0g x '=，得ln 2x =，所以()g x 在(,ln 2)-∞上是增函数，在(ln 2,)+∞上是减函数，所以()g x 的最大值为(ln 2)2ln 22g =-，所以(,2ln 22]a ∈-∞-．。

2010-2018年高考真题专项分类-导数的综合运用高考真题与参考答案

18-19 自主部高三理科数学
练案
f ( x) = x−2 x e x x + 2 的单调性，并证明当 x 0 时， ( x − 2)e + x + 2 0 ；
44．(2016 年全国Ⅱ)(I)讨论函数
(II)证明：当 a [0,1) 时，函数 g ( x ) = 求函数 h ( a ) 的值域．
2
(1)若 a = 0 ，证明：当 −1 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 0 ； (2)若 x = 0 是 f ( x ) 的极大值点，求 a ．
29．(2018北京)设函数 f ( x) = [ax − (4a + 1) x + 4a + 3]e ．
ax
n (n N * ) 个极值点．
证明：（1）数列 { f ( xn )} 是等比数列；（2）若 a ≥
1 e −1
2
* ，则对一切 n N ， xn | f ( xn ) | 恒成立．
高考真题专项分类（理科数学导数的综合运用）
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18-19 自主部高三理科数学
练案
3 2
2 x
(1)若曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行，求 a ； (2)若 f ( x ) 在 x = 2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
高考真题专项分类（理科数学导数的综合运用）
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18-19 自主部高三理科数学
练案
x
30．(2018 天津)已知函数 f ( x) = a ， g ( x) = log a x ，其中 a 1 ． (1)求函数 h( x) = f ( x) − x ln a 的单调区间； (2)若曲线 y = f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1 )) 处的切线与曲线 y = g ( x) 在点 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线平行，证明 x1 + g ( x2 ) = −

2018年全国各地高考试题分类解析(函数部分)

2005年高考试题分类解析（函数部分）一、选择题：1、（广东卷）在同一平面直角坐标系中，函数()y f x =和()y g x =的图像关于直线y x =对称．现将()y g x =图像沿x 轴向左平移２个单位，再沿Y 轴向上平移１个档位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数()f x 的表达式为(A)（Ａ）22,10()2,022x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｂ）22,10()2,022x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩（Ｃ）22,12()1,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩（Ｄ）26,12()3,242x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩2．（江苏卷）函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为(A)（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-3. （全国卷Ⅰ）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（C ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y（B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y4 （全国卷Ⅰ）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（B ）（A ）)0,(-∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a5. （全国卷Ⅰ）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 (C) （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+- 6. (全国卷Ⅱ) 函数 )0(12≤-=x x y 反函数是( B )(A)1+=x y )1(-≥x (B)y = -1+x )1(-≥x (C)y =1+x )0(≥x (D)y =-1+x )0(≥x7. (全国卷Ⅱ)函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是 (B) （A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1） (C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X ≥0) 8.( 全国卷III )设173x=，则(A ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1 9. ( 全国卷III )若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( C) (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 10．（福建卷函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ D ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a11．（福建卷)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ B ）A ．5B ．4C ．3D ．2 12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ D ）13. （湖北卷）在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3 14. （湖南卷）函数f (x )＝x21-的定义域是（ A ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞） 15. （辽宁卷）函数1ln(2++=x x y ）的反函数是（ C ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2xx e e y --= D ．2x x e e y ---=16. （辽宁卷）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ A ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ17. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ A ）18. （山东卷）函数()10xy x-=≠的反函数图像大致是（ B ）（19 （山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（D ）（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 20. （山东卷）函数21sin(),10,(),0.x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ C ）（A ）1 （B ）2- （C ）1,2- （D ）1,221. （上海）若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 22. （天津卷）设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（A ）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 23. （天津卷）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（B ）A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(24.(浙江)设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (21)]＝( D )(A) －21 (B)0 (C)21(D) 125.(重庆卷)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 (D )(A) (-∞,2)；(B) (2,+∞)；(C) (-∞,-2)⋃(2,+∞)；(D) (-2,2)。

2018年高考真题理科数学分类汇编(解析版)：函数及答案

2018年高考真题理科数学分类汇编（解析版）
函数
1、（2018年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4
（C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
【答案】B
【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B
2、（2018年高考（北京卷））函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=
A.1e x +
B. 1e x -
C. 1e x -+
D. 1e x --
3、（2018年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,2
1y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )
A . 4
B ．3
C ．2
D ．【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．
4、（2018年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为
（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则1
12x -<<-。

故选B。

2018年高考数学分类汇编函数及答案解析

2018年高考数学分类汇编函数一．选择题1、（2018年高考全国卷I文科5）（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．2、（2018年高考全国卷1文科9）（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．3、（2018年高考全国卷1理科2）（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．4、（2018年高考全国卷1理科5）（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．5、（2018年高考全国卷1理科9）（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．6、（2018年高考全国卷2文科3）（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．CD．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．7、（2018年高考全国卷2文科12）（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．8、（2018年高考全国卷2理科3）（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．9.（2018年高考全国卷2理科11）（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．10.（2018年高考全国卷3文科7）（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（）A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．故选：B．11.（2018年高考全国卷3文科9）（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，故选：D．12.（2018年高考全国卷3理科7）（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，故选：D．13.（2018年高考全国卷3理科12）（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．14.（2018年北京市高考数学试卷文科8）（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x ﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．15.（2018年北京市高考数学试卷理科8）（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay ≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x ﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．16.（2018年上海市高考数学试卷16）（5分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．17.（2018年浙江省高考数学试卷5）（4分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．18.（2018年天津市高考数学试卷文科3）（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．19.（2018年天津市高考数学试卷文科5）（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b．故选：D．20.（2018年天津市高考数学试卷理科5）（5分）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a=log 2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．二．填空题1.（2018年高考全国卷I文科13）（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=．【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7．故答案为：﹣7．2.（2018年高考全国卷2文科13）（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y=2lnx，∴y′=，当x=1时，y′=2∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．故答案为：y=2x﹣2．3.（2018年高考全国卷2理科13）（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．4.（2018年高考全国卷3文科16）（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=．【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x）满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3，则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．故答案为：﹣2．5.（2018年高考全国卷3理科14）（5分）曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．【解答】解：曲线y=（ax+1）e x，可得y′=ae x+（ax+1）e x，曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．6.（2018年北京市高考数学试卷理科13）（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．7.（2018年江苏省高考数学试卷5）（5分）函数f（x）=的定义域为．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．8.（2018年江苏省高考数学试卷9）（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：9.（2018年江苏省高考数学试卷11）（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．10（2018年上海市高考数学试卷4)（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．10.（2018年上海市高考数学试卷7)（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．11.（2018年上海市高考数学试卷11)（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：612.（2018年上海市高考数学试卷12)（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2≤AB=1，即+的最大值为1，故答案为：1．13.（2018年天津市高考数学试卷文科10）（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．【解答】解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．14.（2018年天津市高考数学试卷文科13）（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．15.（2018年天津市高考数学试卷文科14）（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．16.（2018年天津市高考数学试卷理科13）（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．17.（2018年天津市高考数学试卷理科14）（5分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h（x）＞0得x＞4，此时递增，由h（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）19（2018年浙江省高考数学试卷15）（6分）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则λ∈（1，3]．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]．三.解答题1.（2018年高考全国卷I文科21）（12分）已知函数f（x）=ae x﹣lnx﹣1．（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）=ae x﹣，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=ae2﹣=0，解得a=，∴f（x）=e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．证明：（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x=1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0，∴当a≥时，f（x）≥0．2.（2018年高考全国卷I理科21）（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x +，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x +＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．3.（2018年高考全国卷2文科21）（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x3﹣a（x2+x+1），所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3，当x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（3﹣2时，f′（x）＜0，函数是单调递减，综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3﹣2，+∞），上是增函数，在（3﹣2上递减．（2）证明：因为x2+x+1=（x+）2+，所以f（x）=0等价于，令，则，所以g（x）在R上是增函数；取x=max{9a，1}，则有=，取x=min{9a，﹣1}，则有=，所以g（x）在（min{9a，﹣1}，max{9a，1}）上有一个零点，由单调性则可知，f（x）只有一个零点．4.（2018年高考全国卷2理科21）（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．5.（2018年高考全国卷3文科21）（12分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．【解答】解：（1）=﹣．∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．即2x﹣y﹣1=0为所求．（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得=﹣．令f′（x）=0，可得，当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（@）=4a+1＞0函数g（x）的图象如下：∵a≥1，∴，则≥﹣e，∴f（x）≥﹣e，∴当a≥1时，f（x）+e≥0．6.（2018年高考全国卷3理科21）（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．7.（2018年北京市高考数学试卷文科19)（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0，解得a=；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x=（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x=1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则＜1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=1处取得极小值；若0＜a＜1，则＞1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）．8.（2018年北京市高考数学试卷理科18)（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．9.（2018年江苏省高考数学试卷19）（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g （x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．10.（2018年天津市高考数学试卷文科20）（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0；（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；x（﹣∞，t2﹣）t2﹣（t2﹣，t2+）t2+（t2+，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调增极大值单调减极小值单调增∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g （﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g （）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．11.（2018年天津市高考数学试卷理科20）（14分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）↓极小值↑∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．12.（2018年浙江省高考数学试卷22）（15分）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∴x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x 1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：x（0，16）16（16，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓2﹣4ln2↑∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．312018高考数学汇编函数第页共页。

十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题16坐标系与参数方程理(含解析)(最新整理)

专题16坐标系与参数方程解答题2011综合测试题2011年新课标1理科23解答题2010综合测试题2010年新课标1理科23历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1)求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解:（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1)，由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64(m2﹣12）＝0,得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．2．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．(1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解:（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x｜+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故:，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件,故舍去，同理解得：k或0经检验,直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．3．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，(t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标;（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：(1）曲线C的参数方程为（θ为参数)，化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π)，所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤｜﹣5﹣a﹣4|＝｜5+a+4｜＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤｜5﹣a﹣4|＝｜5﹣a﹣4｜＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．4．【2016年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数,a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得,两式平方相加得,x2+(y﹣1）2＝a2．∴C1为以(0,1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①由x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，②即（x﹣2)2+y2＝4．由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2x,∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ,∴1﹣a2＝0，∴a＝1（a＞0）．5．【2015年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2:（x﹣1)2+（y ﹣2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ(ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：(x﹣1）2+(y﹣2）2＝1的极坐标方程为：(ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1,化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R)代入圆C2：（x﹣1）2+(y﹣2)2＝1,可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2｜，由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．6．【2014年新课标1理科23】已知曲线C：1，直线l：（t为参数)（Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．(Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求｜PA｜的最大值与最小值．【解答】解:（Ⅰ)对于曲线C:1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l:，由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；(Ⅱ）设曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin(θ+α）＝﹣1时，｜PA｜取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．7．【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程(x﹣4）2+（y﹣5）2＝25，即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，联立，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为()和（2，）．8．【2012年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上,且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)．(1）求点A,B，C,D的直角坐标；(2）设P为C1上任意一点,求｜PA|2+|PB｜2+|PC｜2+｜PD｜2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C,D的极坐标为点A,B,C，D的直角坐标为(2）设P（x0，y0），则为参数）t＝|PA｜2+|PB|2+|PC|2+｜PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈［0，1］∴t∈［32，52］9．【2011年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2,P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（I）设P（x,y）,则由条件知M（，)．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin,射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB｜＝|ρ2﹣ρ1|．10．【2010年新课标1理科23】已知直线C1（t为参数)，C2（θ为参数),（Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：(Ⅰ)当α时，C1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组,解得C1与C2的交点为（1,0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②,联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：,P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．本专题考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。

2010-2018年全国新课标卷(123卷)理科数学试题分类汇编解析版专题13、坐标系与参数方程

2010-2018年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编13、坐标系与参数方程【2010年新课标卷，23】选修4—4;坐标系与参数方程已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，（Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;【2011年新课标卷，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【2012年新课标卷，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。

（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。

【2013年新课标Ⅰ卷，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2013年新课标Ⅱ卷，23】已知动点P ，Q 都在曲线2cos ,:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点. （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【2014年新课标Ⅰ卷，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2014年新课标Ⅱ卷，23】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【2015年新课标Ⅰ卷，23】在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN∆的面积.【2015年新课标Ⅱ卷，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:2sin ρθ=，C 3:ρθ=.（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 【2016年新课标Ⅰ卷，23】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t(为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2016年新课标Ⅱ卷，23】【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B两点，AB =，求l 的斜率.【2016年新课标Ⅲ卷，23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【2017年新课标Ⅰ卷，22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．【2017年新课标Ⅱ卷，22】[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【2017年新课标Ⅲ卷，22】[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【2018年新课标Ⅰ卷，22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【2018年新课标Ⅱ卷，22】[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【2018年新课标Ⅲ卷，22】[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2010-2018年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编13、坐标系与参数方程（解析版）【2010年新课标卷，23】选修4—4;坐标系与参数方程已知直线1C :1cos .sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩ （t 为参数），圆2C :cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，（Ⅰ)当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A,P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;解：（I ）当3α=π时，1C的普通方程为1)y x -，2C 的普通方程为221x y +=联立方程组221)1y y x x ⎧⎪⎨+==-⎪⎩解得1C 与2C 的交点为(1,0)，1(,2（II ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=A 点坐标为2,cos (si n )n si ααα-∴当α变化时，P 点轨迹的参数方程为2121sin co n s s 2i x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+=故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆.【2011年新课标卷，23】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解：（I ）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩. 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数).(II)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=.【2012年新课标卷，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

高考文科数学2010—2018真题分类专题二函数概念与基本初等函数第五讲函数与方程(带答案)

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程一、选择题1．（2017新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1 2．（2017山东）设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩≥，若()(1)f a f a =+，则1()f a = A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．（2015安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A ．y cos x =B ．y sin x =C ．y ln x =D ．21y x =+4．（2015天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，函数()3(2)g x f x =--，则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．55．（2015陕西）对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．－1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上6．(2014山东)已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210 （B ）），（121（C ）），（21 （D ）），（∞+2 7．（2014北京）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（A ）()0,1 （B ）()1,2 （C ）()2,4 （D ）()4,+∞8．（2014重庆）已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（A ）91(,2](0,]42-- （B ）111(,2](0,]42-- （C ）92(,2](0,]43-- （D ）112(,2](0,]43-- 9．（2014湖北）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{23} （D ）{21,3}-10．（2013安徽）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若11()f x x =< 2x ，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（A ）3 (B) 4 （C ）5 （D ）611．（2013重庆）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（A ）(),a b 和(),b c 内（B ）(),a -∞和(),a b 内（C ）(),b c 和(),c +∞内（D ）(),a -∞和(),c +∞内12．（2013湖南）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）013．（2013天津）函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）414．（2012北京）函数121()()2xf x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）315．（2012湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）716．（2012辽宁）设函数()f x ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，3()f x x =．又函数()|cos()|g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）817．(2011天津)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（A ）(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ （B ）(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭（C ）11,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭18．（2011福建）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（A ）（-1,1）（B ）（-2,2）（C ）（-∞，-2）∪（2，+∞）（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）19．(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）820． (2011山东)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）921．（2010年福建）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）322．(2010天津)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（A ）（-2，-1）（B ）（-1，0）（C ）（0，1）（D ）（1，2）23．（2010广东）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充分非必要条件24．（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4二、填空题25．(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．26．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是______．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是____．27．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是． 28．（2016山东）已知函数()f x =2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______．29．（2016年天津）已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_______． 30．（2016年浙江）设函数32()31f x x x =++．已知0a ≠，且()()f x f a -=2()()x b x a --，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．31．(2015福建)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于．32．（2015湖北）函数2()2sin sin()2f x x x x π=+-的零点个数为．33．（2015湖南）若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是．34．（2014江苏）已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．35．（2014福建）函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是_________．36．（2014天津）已知函数2()3f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．37．（2012福建）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,,a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩…设()f x = (21)(1)x x -*-，且关于x 的方程为()f x m =（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是____________．38．(2011北京)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x =k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______．39．(2011辽宁)已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是______．专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程答案部分1．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x ee --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x e e e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 2．C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知，若，则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-，解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C ． 3．A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点，sin y x =为奇函数，ln y x =既不是奇函数又不是偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点．故选A ．4．A 【解析】当0x <时，2(2)f x x -=，此时方程2()()1||f x g x x x -=--+的小于零的零点为x =；当02x ≤≤时，(2)2|2|f x x x -=--=，方程 ()()2||2f x g x x x -=-+=无零点；当2x >时，(2)2|2|4f x x x -=--=-，方程22()()(2)733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个，故选A ．5．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32b f a -=，则2434ac b a-=；由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ．6．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．7．C 【解析】 ∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 8．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时102m <≤；当(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=，化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)-时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上，实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--． 9．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-得根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得 2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =-．10．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =， 211()x x f x >=，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A.11．A 【解析】由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ．12．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x =2， g (2) = 1； f (2) =2ln2=ln4>1．所以g (2) <f (2), 从图像上可知交点个数为2．13．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2xx =，由图象法可知()f x 有两个零点． 14．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>，所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点。

理科数学高考真题分类汇编第五讲函数与方程答案

专题二函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲函数与方程答案部分1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时，11m≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，101m<<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥．选B ．4．C 【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302a --…，故304a <…，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a …，即13a …，所以1334a 剟．当0x …时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当0x …时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+ 32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--，当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意；令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123[,]{}334． 5．A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点，sin y x =为奇函数，ln y x =既不是奇函数又不是偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点．故选A ．6．D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．7．D 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩， ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． x8．A 【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32bf a-=，则2434ac b a -=；由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 9．B 【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．10．C 【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 11．A 【解析】()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点就是函数()y f x =的图象与函数(1)y m x =+的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，和函数(1)y m x =+的图象，如图，当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+和,(0,1]y x x =∈都相交时 102m <≤；当直线(1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+有两个交点时，由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=，化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线 (1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)- 时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--⋃．12．D 【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由233x x x -=-，解得1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，即()f x =23x x --，由()3f x x =-得2x =--． 13．A 【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.14．A 【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．15．B 【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为2x =，(2)1g =； (2)2ln 2ln 41f ==>．所以(2)(2)g f <，从图像上可知交点个数为2．16．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2xx =，由图象法可知()f x 有两个零点． 17．B 【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1(0)10,(1)02f f =-<=>，所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．18．C 【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C ．19．B 【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，且113(0)()()()0222g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22-上的图像，发现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为6，故选B ．20．B 【解析】由题意知，若222()1x x x ---≤，即312x -≤≤时，2()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32x >时，2()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线y c =，不难得出答案B ．21．C 【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ． 22．D 【解析】图像法求解．11y x =-的对称中心是(1,0)也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在1x =的左侧有4个交点，则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x ，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以选D23．B 【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ．24．C 【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ． 25．B 【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ．26．A 【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ．27．A 【解析】(0)4sin10f =>，(2)4sin 52f =-，由于52ππ<<，所以(2)0f <，故函数()f x 在[0,2]上存在零点；由于(1)4sin(1)10f -=-+<，故函数()f x 在[1,0]-上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令52[2,4]4x π-=∈，则52552()4sin 0424f πππ--=->，而(2)0f <，所以函数在[2,4]上存在零点，故选A ． 28．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．29．(48)，【解析】当0x ≤时，由22x ax a ax ++=，得2a x ax =--；当0x >时，由222x ax a ax -+-=，得22a x ax =-+．令22,0(),0x ax x g x x ax x ⎧--=⎨-+>⎩≤，作出直线y a =，2y a =，函数()g x 的图象如图所示，()g x 的最大值为222424a a a -+=，由图象可知，若()f x ax =恰有2个互异的实数解，则224a a a <<，得48a <<． 30．3-【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-(a ∈R )，当0a ≤时()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =，所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意．当0a >时，由()0f x '>得3a x >，由()0f x '<得03a x <<，则()f x 在(0,)3a上单调递减，在(,)3a +∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a a f =-+=，得3a =，所以32()231f x x x =-+，则()6(1)f x x x '=-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则max ()(0)1f x f ==，(1)4f -=-，(1)0f =，则mi n ()4f x =-，所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-．31．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．32．8；11【解析】因为81z =，所以195373x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得811x y =⎧⎨=⎩．33．8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．34．(3,)+∞【解析】由题意，当x m >时，222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-，其顶点为2(,4)m m m -；当x m …时，函数()f x 的图象与直线x m =的交点为(,)Q m m ．①当24m m m m >⎧⎨-⎩…，即03m <…时，函数()f x 的图象如图1所示，此时直线y b =与函数()f x 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当240m m m m ⎧-<⎨>⎩，即3m >时，函数()f x 的图象如图2所示，则存在实数b 满足24m m b m -<…，使得直线y b =与函数()f x 的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m 的取值范围为(3,)+∞．图1 图235．2【解析】因为2()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+ 2(1cos )sin 2sin |ln(1)|x x x x =+⋅--+=sin 2|ln(1)|x x -+36．1- 1[,1)2[2,)+∞【解析】①若1a =，则21()4()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥‚‚‚，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为1-．②当1a ≥时，要使()f x 恰好有3个零点，需满足120a -≤，即2a ≥．所以2a ≥；当1a <时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <⎧⎨->⎩≤，解得112a <≤． 37．),1()0,(+∞-∞ 【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a x b x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ；综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ．38．1(0,)2【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有互不相同的10个零点，即函数()y f x =与y a =的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数()y f x =在一个周期内的图象，可知102a <<．39．2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得x =当0x >时，()26ln f x x x =-+，∵1()20f x x'=+>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(1)40f =-<，(3)ln30f =>，所以函数()26ln f x x x =-+在(0,)+∞有且只有一个零点，所以()f x 的零点个数为2．40．01a <<或9a >【解析】法一显然0a >．(ⅰ)当(1)y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()|1|0f x a x --=恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线(1)y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时 ()|1|0f x a x --=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a <<或9a >．法二：显然1a ¹，所以231x x a x +=-.令1t x =-，则45a t t =++．因为4(,4]t t +∈-∞-[4,)+∞，所以45t t++Î(,1][9,)-∞+∞．结合图象可得01a <<或9a >。

2010-2018年全国新课标卷(ⅠⅡⅢ卷)理科数学试题分类汇编——04、三角函数与解三角形

【2010 年新课标卷，16】在 ∆ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD= DC, ∠ABC =120°，AD=2，A ． -42 的最小) ϕ > π ⎫ ⎛ π 3π2 ⎭⎪单调递减B ． f ( x) 在 ⎛C ． f ( x) 在 0, π ⎫ ⎛ ⎛ π 3π 2 ⎭⎪单调递增D ． f ( x) 在 2 4B ．[12 4C ．（0， 1【2013 年新课标Ⅱ卷，15】设 θ 为第二象限角，若 tan(θ + ) = ，则 sin θ + cos θ = _________.2010-2018 年全国新课标卷（ⅠⅡⅢ卷）理科数学试题分类汇编04、三角函数与解三角形一、选择题与填空题.【2010 年新课标卷，9】若 cos α = -45， α 是第三象限的角，则1 + tanα2 = （）α1 - tan2（A ） - 1 1（B ）（C ）2 （D ） -22 212若 ∆ADC 的面积为 3 - 3 ，则 ∠BAC = .【2011 年新课标卷，5】已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2 x 上，则 cos2θ =3 34 B ． -C ．D ．5555π【2011 年新课标卷，11】设函数 f (x) = s in( ωx + ϕ +cos( ωx + )( ω 0, ϕ < ) 正周期为 π ，且 f (-x) = f (x) ，则（）A ． f ( x) 在 0, ⎝ , ⎝ 4 4 ⎫⎪ 单调递减 ⎭, ⎝ ⎝ 4 4 ⎫ ⎪ 单调递增 ⎭【2011 年新课标卷，16】在 V ABC 中，B = 60 , AC = 3 ，则 AB + 2BC 的最大值为．【2012 年新课标卷，9】已知 ω > 0 ，函数 f ( x ) = sin(ω x +π4 )在（π2， π ）上单调递减，则 ω 的取值范围是（）A ．[ 15 3 ， ] ， ]2]D ．（0，2]【2013 年新课标Ⅰ卷，15】设当 x ＝θ 时，函数 f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝__________.π 14 2【2014 年新课标Ⅰ卷，6】如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函2B.2α-β=2C.3α+β=A．-3,kπ+),k∈Z错误！未找到2)，x=-数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为（）ππ【2014年新课标Ⅰ卷，8】设α∈(0,)，β∈(0,)，且tanα=221+sinβcosβ，则A.3α-β=πππ2D.2α+β=π2【2014年新课标Ⅰ卷，16】已知a,b,c分别为∆ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C，则∆ABC面积的最大值为.【2014年新课标Ⅱ卷，4】钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2，则AC=（）2A．5B．5C．2D．1【2014年新课标Ⅱ卷，14】函数f(x)=sin(x+2ϕ)-2sinϕcos(x+ϕ)的最大值为_________.【2015年新课标Ⅰ卷，2】sin20cos10-cos160sin10=（）311B．C．-D．2222【2015年新课标Ⅰ卷，8】函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）13A．(kπ-引用源。

2010-2018全国卷分类汇编(函数解答题)

2010-2018新课标全国卷分类汇编（函数解答题）（2018课标全国Ⅰ 21）（12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解：（1）由已知，得2'2211()1(0)a x ax f x x x x x-+=--+=-> 令2()1(0)g x x ax x =-+>，24a ∆=-① 当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥，则'()0f x ≤⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.② 当0∆>，即22a a <->或时，令1x =，2x =（i ）当2a <-时，则120x x <<∴当0x >时，()0g x >，则'()0f x <⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）当2a >时，则210x x >>∴当120x x x x <<>或时，()0g x >，则'()0f x <，()f x 单调递减；当12x x x <<时，()0g x <，则'()0f x >，()f x 单调递增.综上所述，当2a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，函数()f x在(0,2a，()2a +∞上单调递减，在(22a a +上单调递增.（2）法一：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1221222ln ln 2ln 22x x x aa x x x x --=-+=-+-- ∴1222122()()122ln 0f x f x a x x x x x -<-⇔-+<-令1()2ln (1)g x x x x x=-+>由（1）知，()g x 在(1,)+∞上单调递减()(1)0g x g ∴<=，即22212ln x x x -+<0∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.法二：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1212ln ln 2x x ax x -=-+-∴12221121()()2ln 0f x f x xa x x x x x -<-⇔-+<-令21(1)x t t x =>，则2111221x t x x x x x ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩令()ln 1)g t t t =>则2'1()0t tt g t t -==< ()g t ∴在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g <=.∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.（2018课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．21．解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->．故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e4a =．（2018课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+．设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2()(1)x g x x '=+．当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0h f ==，故0=是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||m in{1,x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-．（2017课标全国Ⅰ21）（12分）已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x xf x a a x =+--故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件．当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a=-=-+．令()11ln g a a a =-+．令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件．若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件．若01a <<，则m i n 11l n 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->．故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根．又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．（2017课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又()2e0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >．因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-．由()00,1x ∈得()014f x <．因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．（2017课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．（2016课标全国Ⅰ，理21）（本小题满分12分）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <，根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点．而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点．此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增；当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f xx ea =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()l n 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．（2016课标全国Ⅱ，理21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20xx e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以（II ）由（I ）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点：函数的单调性、极值与最值.（2016课标全国Ⅲ，理21)（本小题满分12分）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 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十年真题(2010-近年)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析)(最新整理)

专题04导数及其应用2013解答题2012导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（) A．B．C．D．【解答】解:∵f(x），x∈［﹣π，π］，∴f(﹣x）f（x），∴f(x）为[﹣π,π]上的奇函数,因此排除A;又f(），因此排除B，C;故选：D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（x)＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数,则曲线y＝f（x)在点（0，0）处的切线方程为（)A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x)＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x)为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x)＝x3+x，可得f′(x）＝3x2+1，曲线y＝f(x）在点（0,0）处的切线的斜率为：1,则曲线y＝f（x）在点(0，0)处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（)A．B．C．D．【解答】解：函数y，可知函数是奇函数，排除选项B，当x时，f（)，排除A，x＝π时，f(π)＝0，排除D．故选：C．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x)，则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：∵函数f(x）＝lnx+ln(2﹣x），∴f(2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f(x）＝f(2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．5．【2016年新课标1文科09】函数y＝2x2﹣e|x|在［﹣2,2]的图象大致为（) A．B．C．D．【解答】解：∵f(x）＝y＝2x2﹣e｜x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e｜﹣x｜＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数,当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0,1），故排除A,B；当x∈［0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′(x）＝4x﹣e x＝0有解,故函数y＝2x2﹣e|x|在[0,2］不是单调的，故排除C，故选：D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（x）＝x sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞)单调递增,则a的取值范围是( ）A．［﹣1，1］B．[﹣1,] C．［，] D．[﹣1，]【解答】解:函数f（x）＝x sin2x+a sin x的导数为f′（x)＝1cos2x+a cos x，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1cos2x+a cos x≥0，即有cos2x+a cos x≥0,设t＝cos x(﹣1≤t≤1)，即有5﹣4t2+3at≥0,当t＝0时，不等式显然成立;当0＜t≤1时，3a≥4t，由4t在（0，1］递增，可得t＝1时,取得最大值﹣1,可得3a≥﹣1，即a;当﹣1≤t＜0时，3a≤4t，由4t在[﹣1,0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a．综上可得a的范围是［，]．另解：设t＝cos x(﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0,由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是［，]．故选：C．7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1,+∞）B．（2，+∞) C．（﹣∞，﹣1) D．（﹣∞，﹣2)【解答】解:∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0)＝1；①当a＝0时,f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在(﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x)＝ax3﹣3x2+1在（0,+∞)上有且只有一个零点；故f（x)＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞,0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选:D．8．【2013年新课标1文科09】函数f（x）＝(1﹣cos x）sin x在[﹣π，π］的图象大致为( ）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin(﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈(0，π)时，1﹣cos x＞0,sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝(1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x)′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2【解答】解:验证知,点（1,0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1,y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x＝1，得切线的斜率为1,所以k＝1；﹣1所以曲线y＝f(x）在点(1,0）处的切线方程为:y﹣0＝1×(x﹣1),即y＝x﹣1．故选:A．10．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点(0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y’＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点(0,0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2在点（1，2）处的切线方程为．【解答】解：曲线y＝x2，可得y′＝2x，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f(x)＝ax3+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝．【解答】解：函数f（x)＝ax3+x+1的导数为：f′(x)＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f(1)＝a+2,切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1)（x﹣1)，因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1)，解得a＝1．故答案为：1．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝x(3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．【解答】解：求导函数，可得y′＝3lnx+4，当x＝1时，y′＝4，∴曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1)处的切线方程为y﹣1＝4（x﹣1）,即y＝4x﹣3．故答案为：y＝4x﹣3．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x,f′（x）为f（x）的导数．（1）证明:f′（x）在区间（0,π)存在唯一零点;（2）若x∈［0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，∴f′(x）＝2cos x﹣cos x+x sin x﹣1＝cos x+x sin x﹣1，令g（x）＝cos x+x sin x﹣1，则g′（x）＝﹣sin x+sin x+x cos x＝x cos x，当x∈(0，)时,x cos x＞0，当x时，x cos x＜0,∴当x时，极大值为g（)0，又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，∴g（x）在（0,π）上有唯一零点，即f′(x）在（0,π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f′（x)在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′(x0）＝0,且f′(x)在（0,x0）为正,在（x0,π）为负，∴f（x）在［0，x0]递增,在[x0,π］递减，结合f（0）＝0,f（π)＝0，可知f（x）在［0，π］上非负，令h(x）＝ax，作出图示，∵f（x)≥h(x），a≤0,∴a的取值范围是（﹣∞,0]．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x)的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f(x)≥0．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x，∵x＝2是f(x）的极值点,∴f′（2）＝ae20,解得a，∴f（x）e x﹣lnx﹣1，∴f′(x），当0＜x＜2时，f′（x）＜0,当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在(2,+∞)单调递增．（2）证明：当a时，f(x)lnx﹣1，设g（x）lnx﹣1,则，由0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时,g（x）≥g(1）＝0，∴当a时，f(x）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x)＝e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0,求a的取值范围．【解答】解：(1）f（x）＝e x（e x﹣a)﹣a2x＝e2x﹣e x a﹣a2x,∴f′（x）＝2e2x﹣ae x﹣a2＝(2e x+a)（e x﹣a),①当a＝0时,f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）＝0,解得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x)单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′(x）＝0，解得x＝ln（），当x＜ln（）时，f′（x）＜0，函数f(x）单调递减，当x＞ln（）时，f′（x)＞0，函数f（x)单调递增，综上所述，当a＝0时，f(x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在(﹣∞，ln（）)上单调递减，在（ln（），+∞)上单调递增，(2）①当a＝0时，f（x）＝e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x)min＝f(lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0,∴0＜a≤1，③当a＜0时,由(1）可得：f(x）min＝f(ln（））a2ln(）≥0，∴ln（）,∴﹣2a＜0，综上所述a的取值范围为［﹣2,1]17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a(x﹣1）2．(Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解:（Ⅰ)由f(x）＝(x﹣2）e x+a（x﹣1)2，可得f′（x)＝(x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（e x+2a）,①当a≥0时，由f′(x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞)递增（如右上图);②当a＜0时，(如右下图）若a，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增;若a时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0,可得1＜x＜ln(﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a)，+∞）递增；在(1，ln(﹣2a））递减；若a＜0,由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x)＜0，可得ln(﹣2a)＜x＜1．即有f(x）在（﹣∞,ln（﹣2a））,(1，+∞）递增;在(ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ)①由(Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1)＝﹣e＜0，x→+∞,f（x)→+∞;当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a＝0时，f(x)＝（x﹣2)e x,所以f(x）只有一个零点x＝2；③当a＜0时，若a时,f（x）在（1,ln（﹣2a)）递减,在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增,又当x≤1时,f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n(﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a))等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0,所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为(0，+∞）．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（x）＝e2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f（x)的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．【解答】解：(Ⅰ）f（x)＝e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝2e2x．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x)没有零点,当a＞0时，∵y＝e2x为单调递增，y单调递增,∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，又f′（a）＞0，假设存在b满足0＜b＜ln时，且b,f′（b）＜0，故当a＞0时,导函数f′（x）存在唯一的零点，(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可设导函数f′（x）在(0，+∞)上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f′（x)＜0，当x∈（x0,+∞）时,f′（x）＞0，故f（x）在（0，x0)单调递减，在(x0，+∞)单调递增,所欲当x＝x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于0，所以f（x0）2ax0+aln2a+aln．故当a＞0时，f（x)≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（x）＝alnx x2﹣bx(a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f(1））处的切线斜率为0,(1）求b；(2）若存在x0≥1,使得f（x0），求a的取值范围．【解答】解:(1）f′（x）（x＞0），∵曲线y＝f（x)在点（1，f（1））处的切线斜率为0,∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0，解得b＝1．（2)函数f(x）的定义域为（0，+∞），由(1)可知:f(x)＝alnx，∴．①当a时，则，则当x＞1时，f′(x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增,∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是，即,解得；②当a＜1时，则,则当x∈时，f′(x)＜0,函数f（x)在上单调递减；当x∈时，f′（x)＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是，而，不符合题意,应舍去．③若a＞1时，f(1)，成立．综上可得：a的取值范围是．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（x）＝e x（ax+b)﹣x2﹣4x,曲线y＝f(x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；(Ⅱ)讨论f（x）的单调性，并求f(x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x（ax+b)﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b)﹣2x﹣4,∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0）)处切线方程为y＝4x+4∴f（0）＝4,f′（0）＝4∴b＝4，a+b＝8∴a＝4,b＝4;（Ⅱ）由（Ⅰ)知,f(x)＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x(x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x)，令f′(x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞,﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0;x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2,+∞)，单调减区间是（﹣2,﹣ln2）当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2)＝4(1﹣e﹣2）．21．【2012年新课标1文科21】设函数f(x）＝e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间;（Ⅱ）若a＝1，k为整数,且当x＞0时，(x﹣k）f′（x）+x+1＞0,求k的最大值．【解答】解：（I）函数f（x）＝e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′(x)＝e x﹣a，若a≤0,则f′(x）＝e x﹣a≥0，所以函数f（x)＝e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞,lna)时，f′（x）＝e x﹣a＜0；当x∈(lna，+∞）时，f′(x）＝e x﹣a＞0；所以，f(x）在（﹣∞，lna）单调递减,在（lna,+∞)上单调递增．（II）由于a＝1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1＝(x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′(x）+x+1＞0等价于k(x＞0）①令g(x），则g′(x）由(I）知，当a＝1时，函数h（x)＝e x﹣x﹣2在（0，+∞)上单调递增，而h(1）＜0，h（2)＞0，所以h(x）＝e x﹣x﹣2在（0,+∞）上存在唯一的零点，故g′(x）在(0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α,则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α,+∞）时,g′（x)＞0；所以g(x)在（0，+∞)上的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈(2,3）由于①式等价于k＜g（α)，故整数k的最大值为2．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f(x),曲线y＝f(x）在点（1，f（1）)处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值;（Ⅱ）证明：当x＞0,且x≠1时，f（x）．【解答】解：（I)．由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1）所以解得a＝1,b＝1（II）由(I）知f(x)所以考虑函数，则所以当x≠1时,h′（x）＜0而h（1）＝0,当x∈（0,1）时，h(x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，23．【2010年新课标1文科21】设函数f（x)＝x（e x﹣1）﹣ax2(Ⅰ）若a,求f(x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：(I）a时，f（x）＝x（e x﹣1）x2，（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x)＜0，可得﹣1＜x＜0;∴函数的单调增区间是（﹣∞,﹣1），(0，+∞）；单调减区间为(﹣1，0)；（II）f(x）＝x（e x﹣1﹣ax)．令g(x)＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1,则当x∈（0,+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g(x）≥0，即f(x）≥0．若a＞1,则当x∈（0，lna）时,g’（x）＜0，g(x)为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时,g（x）＜0,即f（x)＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞,1]．另解：当x＝0时，f（x）＝0成立;当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0,即有a的最小值，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时,函数递减，可得函数y取得最小值0，即e x﹣x﹣1≥0,x＞0时,可得1,则a≤1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题。

2函数与方程-2010-2018年全国高中数学联赛真题分类汇编

全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为2015A1、设a 、b 为两不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2015B1、已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围为2014A1、若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为2014B1、若函数)(x f 的图像是由依次连接点)0,0(，)1,1(，)3,2(的折线，则=-)2(1f2010AB1、函数x x x f 3245)(---=的值域为2015B 2、已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为。

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全国高中数学联赛一试试题分类汇编2、函数与方程答案2017A1、答案：21-解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f 2015A1、答案：4解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．。