三角形三边之间的关系改

合集下载

北师大版数学七年级下册《三角形的三边关系》教学设计

北师大版数学七年级下册《三角形的三边关系》教学设计一. 教材分析《三角形的三边关系》是北师大版数学七年级下册第7章第2节的内容。

本节课主要让学生通过探究三角形三边之间的关系，理解并掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

这一内容是学生学习三角形相关知识的基础，对于学生后续学习三角形全等、相似等知识有着重要的支撑作用。

二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了平面图形的知识，对图形的性质有一定的认识。

但他们对三角形三边关系的理解可能还停留在直观层面，需要通过实例和活动，引导学生从逻辑推理的角度深入理解这一概念。

三. 教学目标1.理解三角形三边关系的概念，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

2.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力。

3.培养学生小组合作、交流分享的学习习惯。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形三边关系的性质。

2.教学难点：对三角形三边关系性质的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究三角形三边关系。

2.运用直观演示法，帮助学生理解三角形三边关系。

3.采用合作交流法，让学生在小组讨论中深入理解三角形三边关系。

4.运用练习法，巩固学生对三角形三边关系的掌握。

六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、剪刀等教具。

2.设计好相关的探究活动和练习题目。

3.准备黑板、粉笔等板书工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用学生已知的知识，如“不在一条直线上的三点可以确定一个三角形”，引导学生思考：三角形的三边之间有什么关系呢？2.呈现（10分钟）通过实际操作，让学生观察和体验三角形三边之间的关系。

教师引导学生发现并总结：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，用直尺、剪刀等工具，尝试制作符合三角形三边关系的图形。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师出示一些判断题，让学生判断给出的图形是否为三角形，并说明理由。

三角形三边比例与其角关系

三角形三边比例与其角关系
三角形的三边比例与其角关系是由三角形的三边长度之间的比
例关系以及三角形内角之间的关系决定的。

在三角形中，三条边的
长度分别为a、b和c，对应的三个内角分别为A、B和C。

首先，我们来看三角形的三边比例与角关系。

根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即 a + b > c，a + c > b，b + c > a。

这就是三角形的三边关系，它们之间存在一定的比例关系。

其次，根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角
形的三边比例与角关系。

正弦定理指出，a/sinA = b/sinB =
c/sinC，即三角形的每条边与其对应角的正弦值成比例。

余弦定理
指出，a² = b² + c² 2bccosA，b² = a² + c² 2accosB，c²
= a² + b² 2abcosC，即三角形的每条边的平方与其他两条边的平
方和减去它们的乘积与对应角的余弦值成比例。

此外，三角形的三边比例也与三角形的形状有关。

当三角形的
三边长度比例固定时，三角形的形状也随之确定。

比如，当三边比
例为1:1:1时，即三边相等，这样的三角形为等边三角形；当三边
比例为3:4:5时，这样的三角形为直角三角形等等。

总的来说，三角形的三边比例与其角关系是一个复杂而丰富的数学问题，涉及到三角函数、三角形的性质和形状等多个方面的知识。

通过深入学习和理解这些知识，我们可以更好地理解和应用三角形的性质和定理。

三角形的三边关系(基础)知识讲解

三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：要点五、三角形的稳定性??? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD ，△ABE ，△ABC ，△ADE ，△ADC ，△AEC ． (2)线段AE 分别为△ABE ，△ADE ，△ACE 的边． (3)∠B 分别为△ABD ，△ABE ，△ABC 的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A 、E 再找一个第三点，使这点不在AE 上，便可得到以AE 为边的三角形；(3)问的突破口是∠B 一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型三、三角形中重要线段4. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。

注重数形结合增进图形理解——以“三角形三边关系”的教学为例

三角形三条边的关系是在学生初步认识三角形的基础上进行教学的，“任意两边长度之和大于第三边”是三角形边的重要性质，是判断任意三条线段能否组成三角形的依据。

熟练灵活地运用三角形三边关系有助于学生理解和掌握三角形的特征，提高学生全面思考问题的能力。

对于小学生来说，三角形三边关系不难理解，却不容易被发现，需要学生带着问题，在活动操作中将数和形有机融合，借形顿悟，以数释形，才能抓住图形的本质，增进对三角形三边关系的本质理解。

下面，我们以苏教版四年级下册“三角形三边关系”的教学为例，谈谈如何在图形教学中做到数形结合，提高学生对图形本质的理解力。

一、动手操作，以形助数，促进理解实际教学中如何将一目了然的常识与数学定理有机结合，是许多一线教师困惑的地方。

“两点之间线段最短”与“三角形任意两边长度和大于第三边”既有联系又有区别，虽然这两个结论学生接受起来容易，但他们往往难以洞悉结论背后隐藏的推理思考。

学生需要经历“动手实验—观察分析—猜想验证”等过程才能明白。

我们认为，在这个过程中教师要还原数学的思考过程，巧妙地化数为形、以形助数，将枯燥的推理形象化、直观化。

从学生动手操作，收集实验数据进行探究开始，教师可设计如下表格，引导学生操作实验（如图1）。

教学文/宋丽容蔡铭墀注重数形结合增进图形理解———以“三角形三边关系”的教学为例[摘要]数形结合,可以帮助学生认识事物的特征,更快地抓住数学本质,促进学生理解,让学习真实发生。

在“三角形三边关系”的教学中,教师要引导学生动手操作,借助图形直观化数据,促进其理解;巧妙设计问题,用数据刻画图形,实现有效理解;引导学生对比发现,数形交替,使其深度理解。

[关键词]三角形;三边关系;数形结合;图形理解[作者简介]宋丽容,福鼎市实验小学一级教师;蔡铭墀,福鼎市实验小学副校长,高级教师图1第1根小棒第2根小棒()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm ()cm 能否围成三角形(能的打“√”,不能的打“×”)第3根小棒()cm ()cm ()cm ()cm我会探索:从4根小棒中任意挑选3根小棒,能围成三角形吗?8cm4cm 5cm2cm44教学教师让学生判断“能否围成三角形”，并观察表格说说有什么发现，明确指导学生需要做什么、该怎么做。

四年级下册数学教案《2三角形三边关系》-人教版

四年级下册数学教案《2三角形三边关系》-人教版一. 教材分析《2三角形三边关系》这一节是人教版四年级下册数学教材的一部分，主要让学生了解和掌握三角形三边之间的关系。

通过这一节的学习，学生能够理解三角形两边之和大于第三边的概念，并能运用这个概念解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面图形的认识、角的度量等知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，对于三角形三边关系的理解还需要通过实例和操作来进一步加深。

三. 教学目标1.让学生了解三角形三边之间的关系，能够运用这个关系判断三条线段能否构成一个三角形。

2.通过操作和思考，培养学生的观察能力、思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.三角形两边之和大于第三边的概念。

2.如何运用这个概念判断三条线段能否构成一个三角形。

五. 教学方法采用直观演示法、操作实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，掌握三角形三边关系。

六. 教学准备1.准备一些长短不一的线段，用于课堂演示和学生的操作实践。

2.准备一些三角形图形，用于学生的观察和思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些生活中的实例，如用三根木棒搭建一个三角形，让学生感受到三角形三边之间的关系。

引导学生思考：为什么这三根木棒能够搭建成一个三角形？学生通过观察和思考，得出三角形两边之和大于第三边的结论。

2.呈现（10分钟）教师通过展示一些三角形图形，让学生观察并思考：这些三角形的三边之间有什么关系？学生通过观察和思考，得出三角形两边之和大于第三边的结论。

3.操练（10分钟）学生分组进行操作实践，每组用准备好的线段和三角形图形，尝试组成不同的三角形。

学生在操作过程中，能够更好地理解和掌握三角形三边之间的关系。

4.巩固（10分钟）教师提出一些问题，让学生回答。

如：如果三条线段的长度分别是3cm、4cm、5cm，它们能否构成一个三角形？为什么？学生通过思考和回答，进一步巩固对三角形三边关系的理解。

直角三角形三边比例关系

直角三角形三边比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，另外两个角度则分别为锐角和钝角。

在直角三角形中，三个边长之间存在着一种重要的比例关系，这种关系在数学中被称为“直角三角形三边比例关系”。

在直角三角形中，三条边分别被称为斜边、对边和邻边。

斜边是直角三角形中最长的边，对边则是与直角相对的边，邻边则是与直角相邻的边。

在直角三角形中，三个边长之间的比例关系可以表示为：斜边的长度 = 对边的长度×正弦角度 + 邻边的长度×余弦角度这个公式被称为“正弦定理”，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度和它们与直角的夹角大小。

另外，直角三角形中还存在着一个重要的比例关系，被称为“勾股定理”。

勾股定理告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。

这个公式可以表示为：斜边的平方 = 对边的平方 + 邻边的平方勾股定理是直角三角形中最基础的性质之一，它可以帮助我们计算直角三角形中任意一条边的长度，只要我们知道另外两条边的长度。

除了正弦定理和勾股定理之外，直角三角形中还存在着其他的比例关系。

例如，三角形的内角和为180度，因此在直角三角形中，直角的角度为90度，而其他两个角度之和则为90度。

因此，如果我们知道一个角度的大小，就可以计算出另外一个角度的大小。

此外，在直角三角形中，正弦角度、余弦角度和正切角度之间也存在着一定的比例关系。

例如，正切角度等于对边与邻边的比值。

这些比例关系可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。

总之，直角三角形三边比例关系是数学中非常重要的一种关系，它可以帮助我们计算直角三角形中各个角度的大小和三条边的长度。

通过学习这种比例关系，我们可以更好地理解直角三角形的性质和特征，从而更好地解决与直角三角形相关的数学问题。

三角形的三边关系教学设计与反思

观察下图的三角形，你能发现什么特点？师:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.师：观察下图的三角形，你能发现什么特点？有三条边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形也叫作正三角形.【总结归纳】(2)在一个三角形中，任意两边之和与通过设计两个活动，让学生经历“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

”这一结论得出的过程，并通过练习的设计进一步加深对这一结论的理解。

学生能在活《三角形三边的关系》教学反思《三角形三边的关系》是四年级下册内容，是在学生已经初步认识三角形的基础上，使学生进一步深化理解三角形的组成特征，即三角形任意两边的和大于第三边，加深对三角形的认识。

在探索三角形边的关系过程中，让学生体验通过对实验数据收集、整理、分析，从中发现和归纳结论的方法。

学生都知道三角形是由三条线段围成，但是对于“任意的三条线段不一定都能围成三角形”这一知识却似懂非懂。

另外，“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，对于学生来说理解并不是非常困难，此内容的教学价值更多的在于过程和方法。

因此，在教学中应尽量地为学生提供探索的空间，引导学生围绕问题主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学探究活动，让学生自主地“做”和“悟”，从而得出结论。

再次，学生的操作材料（吸管和小棒）都有一定的粗细，在实践操作时难免产生误差，此时，可恰当地运用多媒体动态演示，能有效地突破教学难点。

本节课的教学，我认为重点在于探究的过程与方法。

通过动手用三根吸管围三角形（有的能围成，有的围不成），引导学生进行观察、实验、猜测、验证等数学探究活动，初步感悟到：“当任意两边的和大于第三边时，能围成三角形”的规律。

本节课，我设计了一连串的问题：“为什么这三根吸管围不成三角形？”、“怎样的三根吸管能围成三角形？”、“第三根小棒的长度应在哪个取值范围内？”引导学生发表自己的观点，并对他人的观点发表自己的意见，进行质疑。

三角形三边关系归纳

三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：三角形的两边为a、b，那么第三边c 满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，那么7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。

二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2〔1〕以下长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是〔〕A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm〔2〕〔2004年哈尔滨市中考试题〕以以下各组线段为边，能组成三角形的是〔〕A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm 简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有以下长度的三条线段能否组成三角形？〔1〕a－3，a，3(其中a＞3)；〔2〕a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；〔3〕a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析〔1〕因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.〔2〕因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.〔3〕因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a ＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两局部，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=x cm，底BC=y cm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，那么第三边长为______.简析设第三边长为x厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应防止答案的错误.例6 等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,那么它的周长等于_______. 简析等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，那么底是6，即周长等于16；当6是腰时，那么底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7 a 、b 、c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0.试判断三角形的形状. 简析因为a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0，那么有2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0.于是有〔a－b 〕2+〔ｂ－ｃ〕2+〔ｃ－a 〕2＝0.此时有非负数的性质知〔a －b 〕2=0；〔ｂ－ｃ〕2=0；〔ｃ－a 〕2＝0，即a －b =0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a =0.故a =b =c .所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值.简析因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0.所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10.故b =5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4简析由三角形的三边关系知：假设以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，那么可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，那么不可以组成三角形；假设以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，那么也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C .例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？简析设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c .所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ).所以，31(a ＋b ＋c )＜aB C 图2 图1 D CB A＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24.所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个.八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时那么需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 P 是△ABC 内任意一点，试说明AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由.简析如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD .在△PDC 中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞P A ＋PC ，BC ＋CA ＞P A ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA＞P A ＋PB ＋PC .在△P AB 中，P A ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△P AC 中，P A ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )，综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞P A ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).课堂练习1. 假设三角形的两边长分别为6、7，那么第三边长a 的取值范围是__________。

普通三角形三边关系

普通三角形三边关系三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。

在普通三角形中，三条边的关系是其中一个重要的性质，它们之间存在着一定的关系。

我们来讨论三边之间的关系。

对于一个普通三角形ABC，它的三条边分别为a、b、c。

根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，即a+b>c，a+c>b，b+c>a。

这是因为，如果两边之和等于第三边，那么这三条边就不能构成一个三角形，而是一条直线。

如果两边之和小于第三边，那么这三条边也无法连接起来形成一个封闭图形。

所以，三边之间的关系可以表达为a+b>c，a+c>b，b+c>a。

接下来，我们来探讨三边的长度关系。

在普通三角形中，三边的长度不一定相等，但它们之间有一定的大小关系。

根据三角形三边关系定理，如果一个三角形的两条边的长度之和大于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是锐角。

如果两条边的长度之和等于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是直角。

如果两条边的长度之和小于第三条边的长度，那么这两条边所对应的两个角的夹角就是钝角。

三边之间还存在着一种关系，即三边的长度之间的比值关系。

在普通三角形中，三边的长度之间满足一定的比例关系。

这个比例关系可以通过正弦定理、余弦定理和正切定理来描述，但在本文中我们不涉及公式。

简单来说，如果已知三角形的一个角和两边的长度，那么可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出其余两边的长度。

这些函数可以帮助我们解决一些实际问题，比如测量无法直接测量的距离。

我们来总结一下普通三角形三边关系的要点。

在普通三角形中，三边之间满足a+b>c，a+c>b，b+c>a的关系。

三边的长度之间也存在着一定的大小关系，可以分为锐角、直角和钝角三种情况。

此外，三边的长度之间还满足一定的比例关系，可以通过正弦、余弦或正切函数来计算出未知边的长度。

这些关系和定理在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的性质。

四年级数学下册三角形三边的关系教学反思

四年级数学下册三角形三边的关系教学反思
在教授四年级数学下册三角形三边的关系时，我发现学生们对这个概念有些困惑。

经过反思和总结，我认为以下几点可以改进：
1. 强调基础知识。

在教授三角形三边的关系之前，应该先讲解三角形的基本概念、分类和性质，加深学生对三角形的认识。

2. 视觉化教学。

使用图片、演示等视觉化手段，让学生能够直观地理解三边之间的关系。

3. 给学生充分练习机会。

通过各种不同难度的练习题，让学生掌握三角形三边之间的关系，提高他们的数学实际应用能力。

4. 帮助学生理解推导过程。

在教授各种三边关系公式时，可以通过推导的过程让学生更好地理解公式的来源和意义。

5. 掌握阶段测试。

每个阶段结束后应该进行测试，检查学生对这个概念的掌握情况，及时帮助学生补充不足，消除不明白的疑惑。

通过对教学过程的反思和总结，我将更注重培养学生的实际应用能力和概念运用能力。

同时，也要加强帮助学生发现问题、解决问题的能力，促进其自主学习和自我认知，提高学生学习效果。

关于小学四年级数学下册《三角形三边的关系》教学反思（精选7篇）

小学四年级数学下册《三角形三边的关系》教学反思关于小学四年级数学下册《三角形三边的关系》教学反思（精选7篇）身为一名刚到岗的教师，我们要有一流的课堂教学能力，对教学中的新发现可以写在教学反思中，那么优秀的教学反思是什么样的呢？下面是小编为大家整理的关于小学四年级数学下册《三角形三边的关系》教学反思（精选7篇），希望能够帮助到大家。

小学四年级数学下册《三角形三边的关系》教学反思1《三角形三边的关系》是四年级下册内容，是在学生已经初步认识三角形的基础上，使学生进一步深化理解三角形的组成特征，即三角形任意两边的和大于第三边，加深对三角形的认识。

在探索三角形边的关系过程中，让学生体验通过对实验数据收集、整理、分析，从中发现和归纳结论的方法。

学生都知道三角形是由三条线段围成，但是对于“任意的三条线段不一定都能围成三角形”这一知识却似懂非懂。

另外，“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，对于学生来说理解并不是非常困难，此内容的教学价值更多的在于过程和方法。

再次，学生的操作材料（吸管和小棒）都有一定的粗细，在实践操作时难免产生误差，此时，可恰当地运用多媒体动态演示，能有效地突破教学难点。

本节课的教学，我认为重点在于探究的过程与方法。

这样，学生能通过一个个问题的解决深化对知识的理解，完善结论，使学生的思维得到提升，认知产生飞跃。

认识三角形的三边关系学习三角形的三边关系和判定方法

认识三角形的三边关系学习三角形的三边关系和判定方法认识三角形的三边关系，学习三角形的三边关系和判定方法三角形是初中数学中重要的基础知识，掌握三角形的相关性质和关系对于解题和证明非常重要。

其中，三边关系是三角形的基本性质之一，能够帮助我们判定和描述三角形的形状和大小。

本文将介绍三角形的三边关系以及相应的判定方法。

一、三角形的三边关系三角形的三边关系主要包括三边长关系和三边之间的角关系。

1. 三边长关系在任意一个三角形ABC中，三边的关系可以通过三边的长短来描述。

设三角形的三边分别为a、b、c，其中a和b为两个较短的边，c为最长的边。

根据三边关系的定义，有以下结论：（1）任意两边之和大于第三边：a + b > c，a + c > b，b + c > a。

这是三角形存在的必要条件，通过这个条件可以帮助我们判定一组边长是否能够组成三角形。

（2）任意两边之差小于第三边：|a - b| < c，|a - c| < b，|b - c| < a。

这个条件通常用于判断一个三边长是否构成某种特殊的三角形，比如等边三角形、等腰三角形等。

2. 三边之间的角关系在一个三角形ABC中，三角形的三个内角之间也存在一定的关系。

（1）三角形内角和：在三角形ABC中，三个内角的和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

（2）三角形内角之间的大小关系：任意两个角之和大于第三个角，即∠A + ∠B > ∠C，∠A + ∠C > ∠B，∠B + ∠C > ∠A。

二、三边关系的判定方法通过三边关系可以帮助我们判定给定的边长是否构成三角形，并且可以判断三角形的特殊性质。

1. 判定三边是否能够构成三角形根据三边关系的第一个条件，可以得到以下判定方法：给定三个边长a、b、c，如果满足a + b > c，a + c > b，b + c > a，那么这三条边长可以构成一个三角形；否则，无法构成三角形。

人教版数学四年级下册《课时2三角形三边的关系》教案

人教版数学四年级下册《课时2三角形三边的关系》教案一. 教材分析人教版数学四年级下册《课时2三角形三边的关系》这一章节，是在学生已经掌握了三角形的基本概念和特性基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生通过观察、操作、交流等活动，探索三角形三边的关系，理解并掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

这一内容不仅是进一步学习四边形、多边形的基础，也是培养学生空间观念和逻辑思维能力的重要环节。

二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的观察、操作和交流能力，他们对三角形的基本概念和特性有一定的了解。

但是，对于三角形三边关系的理解还需要通过具体的操作和实践来加深。

此外，学生的数学思维能力和空间观念各有差异，需要在教学中给予不同的引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解并掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生理解并掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质。

2.教学难点：学生对三角形三边关系的理解和运用。

五. 教学方法采用情境教学法、操作教学法和小组合作学习法。

通过设置情境，引导学生观察、操作和实践，激发学生的学习兴趣和探究欲望；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：课时2三角形三边的关系PPT。

2.教学素材：三角形模型、直尺、剪刀等。

3.学生分组：将学生分成若干小组，每组3-4人。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过课件展示一些生活中的三角形图片，如自行车三角架、三角尺等，引导学生回顾三角形的基本概念和特性。

然后提问：“你们认为三角形的三边之间有什么关系呢？”呈现（10分钟）教师呈现三角形三边关系的教学素材，让学生观察并尝试找出三角形三边之间的关系。

三角形三边关系教案范文（通用7篇）

三角形三边关系教案三角形三边关系教案范文（通用7篇）作为一位无私奉献的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以让教学工作更科学化。

那么什么样的教案才是好的呢？下面是小编帮大家整理的三角形三边关系教案范文（通用7篇），仅供参考，大家一起来看看吧。

三角形三边关系教案1课件简介：第二课时三角形的三边关系教学目标1、经历动手操作、探索发现、猜想验证，发现揭示并初步应用三角形三边关系即“三角形的任何两边之和大于第三边”的活动过程，发展空间观念，培养初步的逻辑思维能力、动手操作能力，体验“做数学”“用数学”的乐趣。

2、经历探索、发现、应用三角形的三边关系的过程，增强勇于探索的精神，体会数学的实用价值，感受数学的严谨和探究数学成功的喜悦，增强数学应用意识和交流合作精神，提高学生的数学素养。

创设情境，激发兴趣姚明是同学们熟悉而喜爱的篮球明星，他高大而帅气，有人说：“姚明特厉害，他一步就能迈3米”，对于这个说法，你信不信呢？（背景资料：姚明身高2、26米，体重140、6kg，腿长约1、30米）实验探究1、分组实验：每组准备四根木条或硬纸条，分别长为4cm、6cm、7cm、11cm尝试实验从其中任取三根首尾顺次相接来摆三角形，试试是否成功？做好实验记录、2、交流发现：问题1：是不是任意三条线段都能组成三角形呢？说说哪次试验是失败的，为什么？问题2：从实验中你能发现什么呢？三角形三边关系教案2教学内容：四年级下册第62面教学目标：1、学生能够理解两点之间线段最短及两点间距离的含义，并在操作、观察、归纳等活动中发现、理解三角形中任意两边之和大于第三边的特性。

2、培养学生动手实践和观察、归纳的能力。

3、能够运用知识解决实际问题。

教学过程：一、创设情境，理解两点间的距离。

1、出示三角形ABC：从上一节课的学习中我们知道三角形有哪些特性？2、三角形里藏着的知识还多着呢，今天这节课我们继续研究三角形。

3、从A点到C点，可以怎么走？相同速度时走哪条路更快到达C 点？4、如果增加一条从A点到C点的线，还是AC最短吗？5、你怎么证明？（可以测量）6、从比较中你能得出什么结论？（即两点间线段的长度最短，线段的长度就是两点间的距离。

三角形三个边长之间的关系

三角形三个边长之间的关系
《三角形三个边长之间的关系》
嘿，你们知道吗？我觉得三角形可神奇啦！三角形有三条边呢。

那三角形的三个边长有啥关系呀？听我慢慢说哦。

比如说呀，有一个三角形，它的三条边分别是小短边、中长边和最长边。

如果两条短边加起来比最长边还长，那就能围成一个三角形哦。

就像我们玩拼图的时候，三块拼图要能拼在一起才行呢。

要是两条短边加起来还没有最长边长，那可就围不成三角形啦。

我还知道一个好玩的例子呢。

有三根小木棒，一根长 5 厘米，一根长 3 厘米，还有一根长 4 厘米。

我们来看看它们能不能围成三角形。

先把 3 厘米和 4 厘米的小木棒放在一起，加起来是7 厘米，比 5 厘米的那根长，所以它们能围成一个三角形。

要是有一根木棒长8 厘米，另外两根还是 3 厘米和 4 厘米，那 3 厘米加 4 厘米等于7 厘米，比8 厘米短，这样就围不成三角形啦。

三角形的三个边长就是这样有趣呢，一定要记住两条短边的长度加起来要比最长边长，才能围成三角形哦。

你们记住了吗？。

三角形三边关系、

三角形三边关系、嘿，朋友！咱今天来聊聊三角形三边关系这事儿。

你想想，三角形是不是在我们的生活中到处都有啊？像那房子的屋脊，像那自行车的车架。

可你有没有仔细琢磨过三角形三边之间的关系呢？这三边的关系啊，就好比三个人手拉手站成一排。

如果其中两个人靠得太近，另一个人就得使劲伸长胳膊才能拉住他们，这样就很别扭，不像是个稳固的三角形啦。

咱们来具体说说这关系。

三角形的任意两边之和一定要大于第三边。

这就好像是三个人一起跑步，两边的人跑的路程加起来得比中间那个人跑的多，要不然怎么能一起跑到终点呢？比如说，有三条边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米。

那 3 + 4 就大于5 ，3 + 5 大于 4 ，4 + 5 也大于 3 ，这就能组成一个稳稳当当的三角形。

可要是三条边是 1 厘米、2 厘米和 4 厘米，1 + 2 小于 4 ，这就不行啦，组不成三角形，就像三条腿长短不一的凳子，能坐稳才怪呢！那这三边关系有啥用呢？用处可大了去啦！建筑工人盖房子的时候，得保证大梁的形状是稳固的三角形，就得用这三边关系来计算材料的长度。

设计师设计桥梁的时候，也得考虑这关系，不然桥说不定哪天就塌了，那多吓人！咱们自己在解题的时候，也经常会用到。

比如说给了两条边的长度，让咱判断第三条边可能的长度范围，这时候不就得靠三角形三边关系嘛。

你说要是不掌握这三边关系，是不是就像在黑暗中摸索，啥都搞不清楚？所以啊，咱们可得把这关系弄明白，这对咱们理解数学世界，解决实际问题，那可太重要啦！总之，三角形三边关系是数学里很关键的一部分，掌握了它，咱们就能在数学的海洋里畅游得更顺畅！。

三角形90度60度30度三边的关系

三角形90度60度30度三边的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!在数学中，三角形是一个常见的形状，它由三条边和三个角组成。

角形三边关系归纳

三角形三边关系的考点问题三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c 满足|a－b|＜c＜a＋b.例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析设第三条绳子的长为x m，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m。

二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例2 （1）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A，5cm、7cm、10cm B，7cm、10cm、13cmC，5cm、7cm、13cm D，5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A，1cm,2cm,4cm B，8cm,6cm,4cm C，12cm,5cm,6cm D，2cm,3cm,6cm简析由三角形的三边关系可知：(1)5+7＜13，故应选C；(2)6+4＞8，故应选B.例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0).简析（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形.（2）因为(a＋6)－a =6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a ＋4，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.简析如图1，设腰AB=x cm，底BC=y cm，D为AC边的中点.根据题意，得x+12x＝12，且y+12x＝21；或x+12x＝21，且y+12x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.例5 一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______.简析设第三边长为x厘米，因为9-2<x<9+2，即7<x<11，而x是奇数，所以x=9.故应填上9厘米.四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例6 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_______.简析已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6，并没有指明是腰还是底，故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当5是腰时，则底是6，即周长等于16；当6是腰时，则底是5，即周长等于17.故这个等腰三角形的周长是16或17.五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例7 已知a 、b 、c 是三角形的三边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0.试判断三角形的形状.简析因为a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca =0，则有2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0.于是有（a－b ）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a ）2＝0.此时有非负数的性质知（a －b ）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a ）2＝0，即a －b =0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a =0.故a =b =c .所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号. 例8 已知三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值. 简析因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0.所以|a ＋b －c|＋|a －b－c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10.故b =5.七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重. 例9 现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）B.2简析由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形.即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C .例10 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个简析设较大边长为a ，另两边长为b 、c .因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c ).又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c .所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c ).所B C图2 图1 D CB A以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c ).31×24＜a ＜21×24.所以8＜a ＜12.即a 应为9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a 由此知符合条件的三角形一共有7个. 八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例11 已知P 是△ABC 内任意一点，试说明AB ＋BC ＋CA ＞PA ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )的理由.简析如图2，延长BP 交AC 于D 点.在△ABD 中，可证明AB ＋AD ＞BP ＋PD .在△PDC中，可证明PD ＋DC ＞PC .两式相加，可得AB ＋AC ＞BP ＋PC ，同理可得AB ＋BC ＞PA ＋PC ，BC ＋CA ＞PA ＋PB .把三式相加后除以2，得AB ＋BC ＋CA ＞PA ＋PB ＋PC .在△PAB 中，PA ＋PB ＞AB ；在△PBC 中，PB ＋PC ＞BC ；在△PAC 中，PA ＋PC ＞CA .上面三式相加后除以2，得PA ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA )，综上所述：AB ＋BC ＋CA ＞PA ＋PB ＋PC ＞21(AB ＋BC ＋CA ).课堂练习1. 若三角形的两边长分别为6、7，则第三边长a 的取值范围是__________。