排队论
交通流理论-排队论
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第四章 交通流理论
第二节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列 即排队的现象，以及合理协调需求与服务关系的一种数学理 论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随 机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工 程师爱尔朗首先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电 话机既能满足通话需求而又不致设线过多。第二次世界大战 以后，排队论在很多领域内被采用。在交通工程中，对于研 究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等 交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误 问题，1951年唐纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应 用排队模型估计收费亭的延误。同年在摩斯柯维茨的报告中， 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排 队系统可以写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写 成M/D/1。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先 服务，单个服务通道的等待制系统。
1
(1 ) 2
7)系统中的平均消耗时间 d
1
8)排队中的平均等待时间 d w
例2今有一停车场，到达率 为60辆 / h，服从泊松分布。停车 场的服务能力为
排队论
11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多实际(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
运筹学第五章排队论
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队论
f ( w n 1)
n！
e w
w0
f ( w ) Pn f ( w n 1) n0 ( w ) n w (1 ) n e ( )e ( ) w n0 n！
熊燕华
6.
忙期和闲期
系统忙的概率为ρ ，则闲的概率为1-ρ 。可以 认为在一段时间内，忙期和闲期的长度比为 ρ :(1-ρ ) 由于顾客到达间隔服从无记忆性的负指数分布， 且与服务时间无关。闲期I（系统从空闲开始到新 的顾客到达时刻）服从参数为λ 的负指数分布，则 E[I]=1/λ E[B]= ρ/(1-ρ) E[I]=1/(μ-λ )=Ws
熊燕华
L S n Pn
n0
1
Little公式
Ls=Lq+λ/μ Ws=Wq+1/μ
L q (n 1) Pn n 1
Ws=E(W)=1/(μ-λ) Wq=Ws－1/μ=ρ/(μ-λ)
Ws=Ls/λ
Wq=Lq/λ
熊燕华
定理： 对于存在平稳分布的任何排队系统，下列 关系成立：
熊燕华
七、随机过程知识准备
系统的状态
系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统 状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率 Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡 状态解。
注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程 的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时
第八章 排队论
基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析
熊燕华
排队论
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
排队论
退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页前一页后一页退出退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页退出前一页后一页退出前一页后一页随机服务系统理论与展望退出前一页后一页随机服务系统理论与展望随机服务系统理论与展望退出前一页后一页。
第一讲 排队论
此外还有：
L
nP
n 0
n
Lq
(n s) P
ns
n
nP
n 0
sm
只要知道Pn(n=0,1,2…)，则L或Lq就可由上式求得，从 而再由Little公式就能求得四项主要工作指标。
常见的服务排队模型
输入过程
定长输入：这是指顾客有规则地等距到达，每隔时 间到达一个顾客。此时相继顾客到达间隔的分布 函数F(t)为
基本概念与基本理论
基本概念与理论
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”, 而把提供服务的人或机构称为“服务台”或 “服务员”。不同的顾客与服务组成了各式各 样的服务系统。 顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加入等 待队伍，待获得服务后离开系统。
例如
到达的顾客
服务机构
工作强度
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
1
用于服务顾客的时间
服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲 的时间长度.
常用记号
N(t)：时刻t系统中的顾客数(又称为系统的状 态)，即队长； N q(t)：时刻t系统中排队的顾客数，即排队 长； w(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留 时间； w q(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等 待时间。
排队论
闵超
内容概要
背景 基本概念与理论 常见的服务排队模型（如M/M/1系统） 排队系统的最优化模型
背景
背景
排队论起源于 1909 年丹麦电话工程师 A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问 题进行了研究。 1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—―自 动电话交换中的概率理论的几个问题的解 决” 。 已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、 服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类 的排队系统的问题。
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
运筹学第十章 排队论
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
排队论
X/Y/Z/A/B/C
前三项意义不变，而 A——系统容量限制N； B——顾客源数m； C——服务规则：FCFS（先到先服务）；LCFC （后到先服务）。
约定： 如省略后三项，表示 M / M / 2 / ∞ / ∞ / FCFS
排队系统
湖北工业大学 理学院 ZNL
1、队长Ls： 指在系统中的顾客数。 2、排队长Lq： 指系统中排队等候服务的顾客数。
3、M/M/1参数计算
u M／M／1 模型
（1）系统中平均顾客数（Ls）
LS nPn (1 ) 2 2(1 ) 3 3(1 ) n0 (1 )( 2 2 3 3 )
记
S 2 2 3 3 S 2 2 3 3 4
(1
)S
2
3
1
Ls
1
-λP0+μP1=0
(3)
λPn-1+μPn+1-(λ+μ)Pn=0
(4)
由式(3)得
P1
P0
通过求解可得
Pn
（ ）n
P0
,
u M／M／1 模型 n 0，1，2，
Pn
n1
P0 ( 1 2
)
P0
1
1
1
1
P0 1 Pn n (1 ), n 1
参数意义：
λ —— 单位时间内到达的平均顾客数 μ —— 单位时间内服务的平均顾客数 ρ —— 服务强度
例 (1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为10的指数分 布等同于(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为 10的泊松分布
注：(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是0.1个单位 时间.
(2)指一个单位时间内平均到达10个顾客
排队论讲解
排队论是一种研究排队系统的数学理论，它主要用于研究系统在不同的服务策略下的性能指标，如平均等待时间、平均服务时间、系统吞吐量等。
排队系统是指由顾客和服务台组成的系统，顾客按照先来先服务的原则依次到达服务台，并在服务台得到服务。
排队论的基本模型包括M/M/s、M/M/c、M/G/s、M/G/c等模型，其中M表示顾客到达的随机变量是泊松分布，G表示服务时间的随机变量是几何分布，c表示服务台的容量限制，s表示系统的服务速度。
M/M/s模型是指服务台的服务速度s是固定的，即服务台的服务速度不受顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的平均等待时间和平均服务时间。
M/M/c模型是指服务台的容量限制c是固定的，即服务台的服务速度受到顾客到达的影响，这种模型主要用于研究系统的排队长度和服务率。
排队论的应用非常广泛，包括电话系统、银行系统、航空系统、医疗系统等。
在实际应用中，排队论可以帮助企业优化服务流程，提高服务质量，减少顾客等待时间，提高顾客满意度，从而提高企业的竞争力和经济效益。
排队论的应用还在不断地拓展和深化，例如近年来出现的排队论模型包括多服务台排队模型、排队网络模型、排队论与动态优化模型等。
这些模型可以更好地模拟实际系统中的复杂排队情况，提高系统的服务质量和效率。
(完整版)排队论模型
排队论模型排队论也称随机服务系统理论。
它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。
现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。
排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：➢有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。
➢有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。
由顾客和服务员就组成服务系统。
➢顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。
排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。
一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：➢输入过程即顾客来到服务台的概率分布。
排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。
我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。
所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。
➢排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。
所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。
➢服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。
若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。
排队论方法讲解
排队论方法讲解
排队论是一种运用概率统计方法来分析和解决队列问题的学科。
队列问题是指在等待某个服务或进入某个系统时，人们形成的一种有序排列状态。
排队论主要关注等待时间、排队长度、服务效率等问题。
以下是排队论的一些常见方法：
1. 假设法：假设不同的排队系统具有不同的概率分布，分析不同系统中的各种运行参数，如平均等待时间、服务时间等。
2. 累积等待时间法：计算各客户平均等待时间的总和，再除以系统中客户的总数，用以评价该排队系统是否合理。
3. 平衡方程法：通过统计每个元素在系统中的进入量、离开量、排队量等，建立系统的平衡方程式来求解系统的各项参数。
4. 级数求和法：将排队论中的一些重要参数（如平均等待时间、利用率等）表示成一个级数之和的形式，从而求出这些参数的近似值。
5. Monte Carlo模拟方法：采用随机数模拟的方法，模拟排队系统的服务过程，从而得出系统的性能指标。
以上是排队论的一些常见方法，具体应用时需要考虑具体情况和问题，选择合适的方法进行分析。
排队论
实用排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。
它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。
现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。
一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。
包括①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。
②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。
③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k 阶Erlang 分布。
（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。
常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。
当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。
在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。
当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。
顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。
当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。
如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。
(3)服务机构服务机构主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布。
常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。
二、排队系统的数量指标(1)队长与等待队长队长（通常记为s L ）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。
等待队长（通常记为q L ）指系统中处于等待的顾客的数量。
显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。
(2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为s W ）和平均等待时间（通常记为q W ）。
顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。
顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。
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2 Ls 1
关于顾客在系统中的逗留时间W（随机变量）在M/M/1 情形下服从参数为μ-λ的负指数分布，即 分布函数 概率密度
F ( ) 1 e
( ) ( )
f ( ) ( )e
6、几种典型的排队模型
（1） M/M/1/ //FCFS 单台服务排队模型 ①模型特点 a、输入过程:顾客源无限，顾客单独到来，相互独立，一 定时间的到达人数服从参数为 泊松分布； b、排队规则：单队，队长无限制，先到先服务； c、服务机构：单台服务，个顾客服务时间相互独立，且 服从相同的参数为 负指数分布。
i 0
(m i )!
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0 )
b、系统中排队等待服务的的平均顾客数（排 队长期望值）
Lq m ( )(1 P0 )
Ls (1 P0 )
c、系统中顾客停留时间的期望值 d、队列中顾客等待时间的期望值
时间一般不要超过10分钟，早高峰一般不要超过
5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要
低于50%. 试根据这些材料和要求，为该线路设计一个 便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案 包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少 辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和 公交公司双方的利益；等等.
生活中处处可见的排队现象
m 1 Ws (1 P0 )
Wq Ws
1
（4）M / M / c / / / FCFS(或M / M / c / m / m / FCFS)多台服 务排队模型 ①模型特点 输入过程：顾客源无限，顾客单个到达，相互独 立，一定时间到达舒服才能够泊松分布 排队规则：单队，且对长无限制，先到先服务。 服务机构：多服务台并列，各客户服务时间相互 独立，且服从相同的负指数分布 1 n ②系统的稳态概率 Pn ； ( ) P 0, n c
排队论
（Queueing Theory）
大连大学 数学建模工作室
问题引入与分析
1. 2001年全国数学竞赛的B题“公交车调度” 是这样的： 某条公交线路上行方向共14站，下行方向共 13站.公交公司配给该线路同一型号的大客车，每 辆标准载客100人，据统计客车在该线路上运行的 平均速度为20公里/小时.运营调度要求，乘客候车
商店、超市等收款处排队付款
车站、民航、港口等售票处依次购买车船票
各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
1、排队过程的一般模型
P
n 0
n
1
1 1 将 Pn 的关系带入， P0 P0 n 0 1
n
得
P0 1 n P ( 1 ) ,n 1 n
1
(4)
③系统运行指标 a、系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls n Pn n(1 ) n
1 k 1 1 c 1 P0 [ ( ) ( )] c! 1 k 0 k!
c 1
n! P n 1 ( )n P , n c 0 nc c ! c
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值） Ls Lq
典型分布
泊松分布 适用条件：顾客流密度不大，其他外界干扰因素基本上不 存在，即顾客流是随机的 。 基本公式: k
P( k )
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 顾客的概率; λ —平均到顾客率(辆/s),及平均到达率 ；
( t ) t e k!
t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
示例：
登机问题 （2007MCM PROBLEM B: The Airplane Seating Problem） 怎么样安排登机顺序，可以使得登机时间最 少？
《Boarding at the Speed of Flight》
大连大学数学建模工作室 2010年9月
b、系统中排队等待服务的的平均顾客数（排 队长期望值） Lq Ls (1 P 0)
c、系统中顾客停留时间的期望值 1 d、队列中顾客等待时间的期望值 Wq Ws
Ls Ws (1 P0 )
M / M / 1 / / m / FCFS(或M / M / 1 / m / m / FCFS) 单台 （3） 服务排队模型 ①模型特点 顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。 ②系统的稳态概率 Pn ； 1 m! P0 m Pn ( )n P0 ,1 n m m! i (m n)! ( )
（4）利用 Pn 求系统运行指标 ①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记 为 Wq ⑤忙期：从顾客到达服务机构起到服务台再变为空闲为止 ⑥顾客损失率：由于服务能力不足而造成顾客损失的比率 ⑦服务强度（服务机构利用率）：服务设备工作时间占总 时间的比例。
状态转移图及模型分析
稳定状态下,系统各状态的转入率与转出率相
等
0(p0)
1(p1)
n(pn)
n-1(pn-1)
n+1(pn+1)
P0 P1 0 Pn 1 Pn 1 ( ) Pn 0
n 1
(3)
n P ( / ) P 由上式可得 n （否则队列将 0 令 / 1 排至无限远），由概率性质知
刻以顾客到达时,如系统中已有N个顾客,那么这个
顾客就被拒绝进入系统.
②系统的稳态概率 Pn ；
1 P0 , 1 N 1 1
1 N Pn , ,n N N 1 1
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
( N 1) N 1 Ls 1 1 N 1
n 0 n 1
( 2 2 3 3 ) ( 2 2 3 3 4 ) 或
1
,0 1 Ls
b、系统中排队等待服务的的平均顾客数（排队长期望 值）
Lq (n 1) Pn nP n P n
c、系统中顾客停留时间的期望值
1 Ws E[W ]
d、队列中顾客等待时间的期望值
Wq Ws 1
little公式
Ws W
q
L
s
L
q
M/M/1/ N//FCFS 单台服务排队模型 （ 2）
①模型特点
系统最大容量N,排队等候的顾客最多为N-1,自谋时
（2）排队规则： ①即时制（损失制） ②等待制 服务次序规则： 先到先服务（FCFS）;后到先服务（LCFS）; 随机服务(SIRO)； 有优先权服务(PR). ③混合制 即时制与等待制结合
（3）服务机构： ①服务台数量：单台/多台（并列、串列、混合） ②服务方式：单个服务/成批服务 ③服务时间分布： a、定长分布（常数时间）：每个顾客接受服 务的时间是一个确定的常数 b、负指数分布（Markovian）：每个顾客接 受服务的时间相互独立，具有相同的指数分 布 c、爱尔朗（Erlang）分布：每个顾客接受服 务的时间服从k阶Erlang分布（指数分布的
负指数分布
t e 概率密度函数 f (t ) 0
分布函数 P(T t ) 1 e t 期望 1 E (T ) 1 对于服从参数为 的负指数分布, 代表平均服务时 间 代表单位时间平均服务的人数,及平均服务率
服 务 机 服务规则 构
离去 （输出）
顾客源
（输入）
排队结构 排队规则
2、排队系统的组成和特征
一般的排队系统有三个基本组成部分： （1）输入过程（顾客按怎样的规律到达）： ①顾客的总体（顾客源）：有限/无限 ②顾客到来的方式：单个到达/成批到达 ③顾客相继到达的时间间隔： a、经验分布；b、泊松分布；c、负指数布； d、爱尔朗（Erlang）分布等
(5)一些符号
平均到达率：单位时间内到大顾客的平均数 平均服务率：单位时间内被服务顾客的平均
数
若λ ≥ μ时,即ρ ≥1,即平均到达率超过平均服务 率,上述结果不再适用,在这种情况下,排队对长 会增加至无限。 若λ < μ 时,即此时顾客在系统中的逗留时间服 从参数为的μ指数分布。
服务强度(假设)： /
3、排队模型的分类
（1）分类依据： 顾客相继到达的时间间隔分布、服务时间分布服 务台个数、系统容量、排队规则等 （2）分类方法（Kendall记号） 顾客相继到达的时间间隔分布/服务时间分布/服 务台个数/系统最大顾客容量/顾客总体数量/排队 规则，记作： M/M/1///FCFS
D/M/1//m/LCFS
b、系统中排队等待服务的的平均顾客数（排 队长期望值）
(c )c Lq (n 1) P0 P 2 0 c! (1 ) n c 1
c、系统中顾客停留时间的期望值 d、队列中顾客等待时间的期望值
Ws
Ls
Wq
Lq
7、排队论应用领域
解决排队系统中的一些主要指标发生的概率 分布情况（主要是平稳状态下的概率分布） 推断排队系统是否达到平稳状态 系统优化问题的解决（1、费用最少；2、服 务率。顾客满意问题）