完整版完整版2018年第59届国际数学奥林匹克IMO竞赛试题及答案图片版
第59届imo预选题(二)
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=2
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中等数学
于 是 ，只 要 证 对 于 每 个 m = 2 ，3 ，… ，/i ，均存在 离 开 比 赛 地 ，则 他 住 在 酒 店 中 需 要 支 付 的 硬
m 元 子 集 I C S ,使得 < 中的元素之和为3'
币 为 e - 6 + 1.于 是 ，所有支付的硬币总数为
则 集 合 S 中 的 所 有 元 素 互 不 相 同 ，且最 后 两 个 元 素 均 不 能 被 3 整除.
又由于S 中所有元素之和为
卜 (甲
-1 卜 |)(1><34 + 2><3”
出 一 种 赛 程 ，使 得 为 所 有 住 在 酒 店 的 选 手 支 付的总额最少.试求这个最小值.
3" + 9
组 委 会 安 排 2/c 名 选 手 参 加 比 赛 ，使得每两名
选 手 比 赛 一 场 ，每天恰进行一场比赛.每名选 手到达比赛地的当天参加了他的第一场比 赛 ，他 离 开 比 赛 地 的 当 天 参 加 了 他 的 最 后 一 场比赛.每天组委会必须为参加锦标赛的每 名选手支付给酒店一枚硬币.组委会想设计
(2)若 黑 板 上 不 存 在 一 对 数 相 等 ，则在 黑 板 上 写 两 个 〇.
证 明 :无 论 怎 样 选 择 操 作 （1 ) ，操 作 （2)
3 . 已 知 《为 给 定 的 正 整 数 ，西 西 弗 斯 对 只出现有限次.
于 排 成 一 排 且 从 左 到 右 标 号 为 〇, 1 ，… ，^的
7.
考虑2 018个两两相交且任意三个无
n + 1 个 方 格 进 行 一 系 列 的 操 作 :开 始 时 ，在 公 共 点 的 圆 ，这 些 圆 将 平 面 分 成 由 以 圆 弧 为
imo数学竞赛试题及答案
imo数学竞赛试题及答案IMO数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：ABC3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 236B. 284C. 312D. 376答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
答案：95. 一个等差数列的前三项分别是2，4，6，那么它的第10项是_________。
答案：22三、解答题6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
解答：首先，我们可以将 \( n^5 - n \) 分解为 \( n(n^4 - 1) \)。
接下来，我们注意到 \( n^4 - 1 \) 可以表示为 \( (n^2 +1)(n^2 - 1) \)。
而 \( n^2 - 1 \) 可以进一步分解为 \( (n +1)(n - 1) \)。
因此，我们有：\( n^5 - n = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) \)。
由于 \( n \) 是正整数，\( n - 1 \) 和 \( n + 1 \) 也是整数。
这意味着 \( n^5 - n \) 中至少包含因子2和3（因为 \( n^2 + 1 \) 至少是奇数，从而至少包含一个2的因子）。
因此，\( n^5 - n \)可以被30整除。
7. 一个圆的半径是15厘米，求圆的面积。
解答：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 计算，其中\( A \) 是面积，\( r \) 是半径，\( \pi \) 是圆周率，约等于3.14159。
将给定的半径 \( r = 15 \) 厘米代入公式，我们得到：\( A = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 706.86 \)平方厘米。
最难imo数学竞赛题
最难imo数学竞赛题
正文:
被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”的这道难题，是一道来自 2018 年国际数学奥林匹克竞赛的题目。
这道题目的难度极高，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。
这道题要求学生们解决一个二次方程的问题，其中方程的根既不是正数也不是负数，而是介于正数和负数之间的一个数。
这道题让学生感到困惑和棘手，因为通常情况下，二次方程的根应该是正数或负数。
在解决这道题的过程中，学生们需要运用一些高超的数学技巧和方法，例如求导数、积分、极值分析等。
这些技巧和方法要求学生具备深厚的数学功底和熟练的运用能力，才能够成功地解决这道题。
最终，学生们需要在给出的有限时间内，将方程的根精确地求解出来。
这道题的难度和挑战性极高，因此被誉为“最难 IMO 数学竞赛题”。
拓展:
这道难题的解法并不简单，需要学生具备扎实的数学基础和高超的思维能力。
一些优秀的学生可能需要数小时甚至数天的时间来解决这个问题。
在解决这道题的过程中，学生需要充分理解数学概念和方法，并且能够熟练地运用它们。
此外，学生还需要具备严谨的数学思维和解题能力，才能够成功地解决这道题。
对于参加国际数学奥林匹克竞赛的学生来说，解决这道难题是一个重要的挑战和机遇。
通过解决这道题，学生可以更好地理解和掌握数学知识，提高自己的数学水平和思维能力。
国际数学奥林匹克 IMO 竞赛试题
国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第2届）
1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和．
2.寻找使下式成立的实数x：
3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n 等份（n为奇数），令为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：
tan = 4nh/(an2 - a).
4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC．
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）．X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点．
a.求XY中点的轨迹；
b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹．
6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上．令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积．
(a) 求证：V1不等于V2；
(b) 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般．
7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD．令AB=a，CD=c，梯形的高为h．X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角．试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在．。
国际数学奥林匹克竞赛真题集
国际数学奥林匹克竞赛真题集国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最大规模、最高水平的青少年数学竞赛。
每年，来自世界各国的优秀中学生齐聚一堂，通过数学思维和解题能力的比拼，展示自己在数学领域的才华。
本文将介绍一些历年IMO竞赛的真题，以展示这一赛事的难度和魅力。
1. 第42届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：给定正整数n，证明存在正整数a，b，和不全为0的非负整数c1，c2，...，cm，使得:(sqrt(2)+sqrt(3))^n = a + b*sqrt(2)+ c1*sqrt(5)+...+cm*(2^(m/2) + 3^(m/2))问题2：设a，b，c为实数，满足a+b+c=3，证明：(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ a^2+b^2+c^2-1这些问题要求参赛选手在限定的时间内解决，对于数学知识的掌握和思维能力的发挥都提出了极为严格的要求。
解决这些问题需要结合数学定理和巧妙的思路，考验了选手的数学素养和逻辑推理能力。
2. 第56届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设ABC为等边三角形，D为BC的中点，点E在BC上，使得BE=2CD。
若角BAD的度数为x，求角EAC的度数。
问题2：已知n为正整数，证明存在正整数a，b，c，使得:a^2 + b^2 + c^2 = 1981n这些问题涉及到了平面几何和代数方程的求解，在解题过程中要运用到各种几何定理和代数技巧。
选手需要具备较强的图形分析和代数运算能力，同时发挥创造性思维，寻找解决问题的新思路。
3. 第58届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设a，b，c为正整数，满足a^2 + b^2 + 2014 = c^2，求a的最小值。
问题2：给定一个100×100的方格纸，问最多能用多少条线将方格纸划分成互不相交的部分。
这些问题融合了数论和组合数学的思想，要求选手在解题过程中综合运用多个数学知识点，寻找问题的规律和特殊性质。
历届奥赛试题及答案
历届奥赛试题及答案近几十年来，奥林匹克数学竞赛一直被视为考察学生数学能力的高水平竞赛。
各国学生通过参与奥数竞赛，不仅能够提高自身的数学素养，还有机会代表自己的国家参加国际奥林匹克数学竞赛（IMO）。
在这篇文章中，我们将回顾历届奥赛试题以及相应的答案，旨在帮助读者更好地了解奥林匹克数学竞赛的难度和内容。
第一届国际奥林匹克数学竞赛于1959年在罗马尼亚首都布加勒斯特举行。
当时仅有7个国家参赛，共计10位学生参加比赛。
随着时间的推移，奥林匹克数学竞赛逐渐发展成一项全球性的比赛，吸引了越来越多的国家和地区的学生参与。
历年来的奥赛试题涵盖了多个数学领域，包括代数、几何、数论和组合数学等。
这些试题往往不仅要求学生灵活运用已学的数学知识，还需要他们具备一定的数学思维能力和解决问题的能力。
下面我们将回顾几届奥赛试题及其答案，以帮助读者更好地了解奥数竞赛的难度和内容。
1965年第六届国际奥林匹克数学竞赛试题一：证明不等式$(n+3)^n <n^{n+1}$，其中$n$为正整数。
试题二：给定一无穷数列$a_0, a_1, a_2, \dots$，且满足$a_0=1,a_n=2a_{n-1}+1$，求$a_n$与$a_{n-1}$的最大公约数。
试题三：在一个圆周上分布着100个实数$a_1,a_2,\dots,a_{100}$，满足条件：任意10个连续实数的和是整数。
试证明：对所有的$i$，$a_i$都是整数。
这是1965年奥赛的三道试题，难度较为适中。
对于第一题，利用不等式性质及数学归纳法可以证明。
第二题则需要运用递推关系和最大公约数的性质进行推导。
对于第三题，我们可以运用数论的知识来证明。
1988年第二十九届国际奥林匹克数学竞赛试题一：给定非负实数$a,b,c,d$满足$a+b+c+d=4$，证明不等式$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d} \geq abcd+8$。
试题二：定义一个数列为$a_1=5, a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{2}$，求证：对于任意的正整数$n$，$a_n$均为整数。
imo数学奥林匹克历届试题
imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。
自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。
这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。
1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。
解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。
当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。
我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。
虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。
2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。
解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。
首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。
假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。
通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
而e约等于2.71828，小于3。
因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。
根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。
3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。
国际奥林匹克竞赛数学
国际奥林匹克竞赛数学国际奥林匹克竞赛数学，简称IMO，是全球最高水平的数学竞赛之一，也是国际奥林匹克竞赛的五个竞赛项目之一。
IMO的参加规定是：在6月份举行的各国国家队选拔或单项竞赛中取得优异成绩的高中生可以代表自己的国家参加该赛事。
IMO自1959年开始举办，最初是由罗马尼亚、保加利亚、捷克斯洛伐克、东德、波兰和匈牙利六个国家发起。
随着时间的推移，越来越多的国家加入了这一竞赛，并且在其竞赛规模、竞赛难度和竞赛水平上，不断地挑战着数学界的极限和领域内的传统观念。
IMO的竞赛形式以纸笔试题及解答为主，试题由6道数学难题组成。
竞赛持续两天，每天各3个半小时。
每道题的分值为7分，总分为42分。
竞赛分为两个等级的组别，分别是初赛和决赛，每个组别各有4道不同题目，随着年份的变化会有不同的难度级别。
在IMO上，我们可以看到许多数学天才的优异表现，他们的解题思路和方法不仅有着独特性和创造性，同时也往往具有视野开阔和各具特色。
在这里，我们具体介绍一下IMO 的试题难度和解题思路。
IMO的难度可以由以下因素来判断：题目的长度和难度，题目的可解性以及题目的可适用性。
题目的长度和难度是IMO中的一项最基础的考察，通常难题的长度往往较长，需要较长时间的推理。
此外，难题中也会涉及到多个数学领域的知识，要求竞赛选手有一定的综合素质。
题目的可解性也是衡量难度的一个重要因素。
在IMO试题中，会涉及到一些新颖的数学知识或者未解决的数学难题，因此有些问题的解法并不是唯一的，竞赛选手需要具备较高的数学思维能力和创新能力。
题目的可适用性以及更深层的难度判断，需要更深入了解这个数学领域的知识。
在解题思路中，首先是要具备良好的数学基础。
一些基础理论，如数论、代数、几何等，都是IMO解题的必备知识。
同时，在竞赛中，为了更好地解决难题，还需要具备较高的计算技巧、逻辑思维能力、快速反应能力等，最终才能快速高效地解决难题。
总而言之，国际奥林匹克竞赛数学旨在发掘、培养和推广全球优秀的数学人才，挑战着数学界的极限和领域内的传统观念。
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界范围内最高水平的数学竞赛之一。
每年有来自各个国家和地区的优秀学生参加，他们在这场激烈的竞赛中展示他们的数学才能。
以下将介绍一些历年IMO试题，并为您提供解答。
2008年IMO试题：1. 证明方程 x^2 + y^2 + z^2 = 2008x + 2009y + 2010z 只有有限多个整数解。
解答：我们可以将方程改写为 (x-1004)^2 + (y-1004.5)^2 + (z-1005)^2 = 2.5^2 + 3.5^2 + 5^2。
因此，方程的解可看作是(1004, 1004.5, 1005)平移后和(2.5, 3.5, 5)放缩后的结果。
由于放缩的倍数是有限的，因此方程只有有限多个整数解。
2012年IMO试题：2. 设 a_1, a_2, ..., a_n 是 n 个正整数的序列，并且满足 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i} 对于所有的1 ≤ i ≤ n-1。
证明：n 是一个完全平方数。
解答：考虑给定的方程 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i}，将其展开后整理得到a_i * (a_{i+1} - a_{n-i}) = a_n - a_{n-i}。
根据方程左右两边为整数，我们可以得到 a_{i+1} - a_{n-i} 是 a_i 的一个因子。
由于 a_1, a_2, ..., a_n 都是正整数，所以 a_{i+1} - a_{n-i} 的取值范围有限。
当 i = 1 时，我们可以推导出 a_2 - a_{n-1} 是 a_1 的因子。
同理，对于 i = 2, ..., n-1，我们可以推导出 a_{i+1} - a_{n-i} 也是a_1 的因子。
因此，a_1 的所有因子均出现在 a_2 - a_{n-1} 中。
imo试题答案
imo试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是IMO历史上最年轻的金牌获得者？A. 彼得·舒尔茨B. 陶哲轩C. 陈景润D. 约翰·纳什答案：B. 陶哲轩2. IMO竞赛中，每天的试题解答时间是多少小时？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时答案：C. 5小时3. IMO试题通常由哪个组织提供？A. 各国数学奥林匹克委员会B. 国际数学联合会C. 主办国的数学学会D. 国际奥林匹克委员会答案：C. 主办国的数学学会4. 在IMO竞赛中，参赛者需要解决多少个问题？A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：B. 4个5. IMO试题的答案需要满足什么条件？A. 必须是唯一的B. 必须是普遍接受的C. 必须是简洁的D. 必须是证明过程完整的答案：D. 必须是证明过程完整的二、填空题1. IMO竞赛始于______年，首届比赛在______举行。
答案：1959年，罗马尼亚2. 每位参赛者在IMO竞赛中每天需要解答______个问题，共计______分。
答案：3个，45分3. IMO试题的难度通常分为三个等级，分别是______、______和______。
答案：简单、中等、困难4. 参赛者在IMO竞赛中获得的最高分是______分。
答案：42分5. 根据IMO规则，每个国家可以派出最多______名参赛者。
答案：6名三、解答题1. 请简述IMO竞赛的评分标准。
答：IMO竞赛的评分标准非常严格。
每个问题的满分为7分，参赛者需要提供完整且正确的解答过程才能获得满分。
评委会根据解答的正确性、完整性和逻辑性来评分。
如果解答过程中有错误或者不完整，将会扣除相应的分数。
每个参赛者需要在两天内解答四个问题，每天三个问题，总分42分。
2. 描述IMO竞赛的选拔过程。
答：各国选拔参加IMO竞赛的选手通常通过国内数学奥林匹克竞赛进行选拔。
选拔过程包括初赛、复赛和最终的国家集训队选拔。
在国家集训队中，选手们会接受高强度的培训和模拟比赛，最终选拔出最优秀的选手代表国家参加国际数学奥林匹克竞赛。