专题21 解三角形(知识梳理)(文)(解析版).pdf

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专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系(解析版)

1专题21 三角形压轴题之线段数量与位置关系知识对接考点一、利用三角形全等判断线段的关系的方法两条线段的关系要从数量关系和位置关系两个方面考虑.1.数量关系一般是相等,可通过证明三角形全等得到;位置关系一般是平行或垂直,从图中可直接看出.2.证线段平行时,通常转化为证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,这些角的关系一般根据全等三角形的性质得到;证明线段垂直的方法通常是证明线段所在直线所夹的角是90°.专项训练一、单选题1．（2021·北京东城·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，点A （1，3与⊙O 的位置关系是（） A ．在⊙O 上 B ．在⊙O 内 C ．在⊙O 外 D ．不能确定【答案】A 【分析】根据点A 的坐标，求出OA =2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．【详解】解：⊙点A 的坐标为（13， ⊙由勾股定理可得：OA ()221+3，又⊙⊙O 的半径为2， ⊙点A 在⊙O 上．故选：A ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离d 和圆的半径r 间的大小关系确定的：（1）当d r 时，点在圆外；（2）当d r =时，点在圆上；（3）当d r <时，点在圆内．2．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4cos 5A =，以点B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与AC 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【答案】B 【分析】根据Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =，求出AC 的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出B 与AC 的位置关系．【详解】解：⊙Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =， ⊙cosA=45AC AB = ⊙5AB =， ⊙AC=43当3r =时，B 与AC 的位置关系是：相切故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC 是解题的关键．3．（2021·陕西西安·交大附中分校九年级）如图，点A 的坐标为（2，1），将线段OA 绕O 点顺时针旋转90°．得到线段OB ．若正比例函数y ＝kx 图象经过点B ，则k 的值为（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】D 【分析】如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，先证明AOC △⊙OBD ，得到OD3＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，则B 点坐标可求，最后将点B 的坐标代入函数y kx =，即可求解．【详解】解：如图，过A 点作AC ⊙x 轴于C ，过B 点作BD ⊙x 轴于D ，⊙点A 的坐标为（2，1）， ⊙OC ＝2，AC ＝1，⊙线段OA 绕O 点顺时针旋转90°得到线段OB ， ⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙BOD ＝90°， ⊙AC ⊙x 轴， BD ⊙x 轴， ⊙⊙ACO ＝⊙BDO ＝90°， ⊙⊙AOC +⊙OAC ＝90°， ⊙⊙BOD ＝⊙OAC ．在AOC △和OBD 中ACO BDO OAC BOD OA BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙AOC △⊙OBD （AAS ）， ⊙OD ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，又⊙点B 在第四象限， ⊙B 点坐标为（1，﹣2），将点B 的坐标代入函数y ＝kx ，得：﹣2＝k ，解得：k ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查的是旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明AOC △⊙OBD 是解答此题的关键．4．（2021·江门市第二中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且AM BN =，3AD AM =，E 为BC 边上一动点，连接DE ，将DCE∆沿DE 所在直线折叠得到⊙DC E '，当C '点恰好落在线段MN 上时，NE 的长为( )A ．B ．5C ．3D ．【答案】A 【分析】设CE =x ，则C ′E =x ，证明四边形MNCD 是矩形，由矩形的性质得出⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠的性质得出C ′D =CD =10，求出6MC '=，则4NC '=,在Rt NEC '中，由勾股定理得出222(8)4x x --=，解方程可得出答案．【详解】解：设CE =x ，则C ′E =x ， ⊙矩形ABCD 中，AB =10，⊙CD =AB =10，AD =BC =12，AD∥BC ，⊙点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM =AD ，BN =AM ， ⊙DM =CN =8，⊙四边形CDMN 为平行四边形， ⊙⊙NCD =90°，⊙四边形MNCD 是矩形，⊙⊙DMN =⊙MNC =90°，MN =CD =10，由折叠知，C ′D =CD ,10，⊙6MC '==， ⊙1064CN '=-=， ⊙EN =CN -CE =8-x ， ⊙C ′E 2-NE 2=C ′N 2， ⊙222(8)4x x --=，解得，5x =，即853NE CN CE =-=-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．55．（2021·江苏九年级）已知线段a ，b ，c ，求作：ABC ，使BC a =，AC b =，AB c =．下面的作图顺序正确的是（）⊙以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点； ⊙作线段AB 等于c ；⊙连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形． A ．⊙⊙⊙ B ．⊙⊙⊙ C ．⊙⊙⊙ D ．⊙⊙⊙【答案】C 【分析】先画AB c =，确定A 、B 点位置，然后通过画弧确定C 点位置，从而得到ABC ．【详解】⊙先作线段AB 等于c ，⊙再以点A 为圆心，以b 为半径画弧，以点B 为圆心，以a 为半径画弧，两弧交于C 点，⊙然后连接AC ，BC ，则ABC 就是所求作图形．故选：C ．【点睛】本题考查了作图，作一个三角形，使这个三角形的三边等于已知的三条线段，其实质是作一条线段等于已知线段，原理是全等三角形的边边边判定定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图问题分解成基本作图来解决． 6．（2021·河北九年级）在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()2,B m -，当线段AB 最短时，m 的值为（） A ．5 B ．3 C ．4 D ．0【答案】C 【分析】根据两点之间的距离公式即可求得m 的值．【详解】解：根据两点之间的距离公式得 222(32)(4)(4)25AB m m ++-=-+⊙当4m =时，AB 最小故答案为C ．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中动点问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 7．（2021·山东九年级模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：⊙作线段AB ，分别以A ，B 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧的交点为C ；⊙以C 为圆心，仍以AB 长为半径作弧交AC 的延长线于点D ；⊙连接BD ，BC ．下列结论不正确的是（）A ．30CBD ∠=︒B ．点C 是ABD △的外心C ．2ABDSAB =D ．22sin cos 1A D +=【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可．【详解】解：由作图可知：AC AB BC ==， ⊙ABC 是等边三角形，60A ABC ∠=∠=︒，由作图可知：CB CA CD ==，⊙点C 是ABD △的外心，90ABD ∠=︒，BD =，⊙30D CBD ∠=∠=︒，2ABD S AB =△，⊙AC CD =，⊙2BDC S AB =△，⊙22223sin cos 2A D +=+=⎝⎭⎝⎭，故A 、B 、C 正确，不符合题意；D 不正确，符合题意，故选：D ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角函数，三角形面积的求法等，根据作图找到相应的边角条件是解题的关键．8．（2021·山东九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，AB ，⊙B 是锐角，AE ⊙BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接DF ，EF ．若⊙EFD ＝90°，则线段AE 的长为（）7A ．2B ．1C 3D 5【答案】D 【分析】延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，首先证明2DQ DE x ==+，利用勾股定理构建方程即可求解．【详解】解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE x =，四边形ABCD 是平行四边形， //DQ BC ∴，Q BEF ∴∠=∠,,AF EB AFQ BFE =∠=∠， ()QFA EFB AAS ∴≌， ,AQ BE x QF EF ∴===， 90,EFD DF QE ∠=︒∴⊥， 2DQ DE x ∴==+， ,//AE BC BC AD ⊥，,90AE AD AEB EAD ∴⊥∠=∠=︒，22222AE DE AD AB BE =-=-， 22(2)46x x ∴+-=-，解得：121,3x x ==-（舍去）1BE ∴=，22615AE AB BE ∴--=故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题．9．（2021·浙江九年级期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，按以下步骤作图：⊙以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，交AB，BD于E，F两点；⊙分别以点E和点F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点P；⊙作射线BP，交线段AD于点M．此时点M恰好是线段AD的中点，则CM的长为（）A B C．D．3【答案】B【分析】根据作图证明⊙ABD为等腰三角形，根据菱形的性质证明⊙ABD为等边三角形，再证明MBC∆是直角三角形,根据勾股定理求解即可．【详解】解：由作图步骤⊙⊙⊙步可得：BP为⊙ABD的平分线，又⊙M为AD的中点，⊙⊙ABD为等腰三角形，AB=BD⊙四边形ABCD是菱形，且边长为2⊙AB=BC=CD=DA=2⊙⊙ABD为等边三角形，⊙⊙ABD=⊙BAD=60°⊙⊙ABM=⊙DBM=30°，⊙DBC=60°⊙⊙MBC=⊙MBD+⊙DBC=30°+60°=90°又⊙AD=2，M为AD的中点，⊙ABD为等边三角形⊙AM=11 2AD=⊙BM在Rt⊙MBC中，CM==故选：B．【点睛】9此题主要考查了菱形的性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明⊙ABD 为等边三角形是解答此题的关键．10．（2021·广东广州·执信中学九年级模拟预测）如图，一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30交x 轴于点C ，则线段AC 长为（）A 62B ．32C ．23D 32【答案】A 【分析】根据一次函数表达式求出点A 和点B 坐标，得到⊙OAB 为等腰直角三角形和AB 的长，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ，证明⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD ，得到关于x 的方程，解之即可．【详解】解：⊙一次函数2y x =的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，令x =0，则y 2y =0，则x =2 则A （2-，0），B （02，则⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙ABO =45°， ⊙AB ()()2222+，过点C 作CD ⊙AB ，垂足为D ， ⊙⊙CAD =⊙OAB =45°，⊙⊙ACD 为等腰直角三角形，设CD =AD =x ， ⊙AC 22AD CD +2， ⊙旋转， ⊙⊙ABC =30°， ⊙BC =2CD =2x ，⊙BD 22BC CD -3，又BD =AB +AD =2+x ， ⊙2+x 3，解得：x 3，x）⊙AC故选A．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．二、填空题11．（2021·江苏省天一中学九年级）如图，直线y＝x+b（b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，⊙OPB=45o，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．【答案】BP2+2OP2=AP2【分析】以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明⊙AOP⊙⊙BOQ，得到AP=BQ，证明⊙BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．【详解】解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，则OP=OQ，⊙POQ=90°，⊙OPQ=⊙OQP=45°=PQ，⊙直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，即A（-b，0），B（0，b），即OA=OB=b，⊙⊙OAB是等腰直角三角形，⊙OAB=⊙OBA=45°，⊙⊙AOB+⊙POB=⊙POQ+⊙POB，即⊙AOP=⊙BOQ，OA=OB，OP=OQ，11⊙⊙AOP ⊙⊙BOQ （SAS ）， ⊙AP =BQ ， ⊙⊙OPB =45°，⊙⊙BPQ =⊙OPB +⊙OPQ =90°， ⊙在⊙BPQ 中，BP 2+PQ 2=BQ 2， ⊙BP 2+2OP 2=AP 2，故答案为：BP 2+2OP 2=AP 2．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形． 12．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）如图，点D 是锐角AOB ∠内一点，DE OA ⊥于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG 的周长最小时，FDG ∠与AOB ∠的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB ∠+∠=︒ 【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时⊙DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出⊙GOD ⊙⊙GOD ″，⊙FOD ⊙⊙FOD ′，即可得出⊙BOD =⊙BOD ′，⊙ODG =⊙OD ″G ，⊙DOA =⊙AOD ′，⊙ODF =⊙ODF ′，由⊙D ′OD ″=2⊙AOB ，⊙GDF =⊙ODF ′+⊙ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2⊙AOB +⊙GDF =180°．【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时⊙DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，由轴对称的性质可知，⊙GOD⊙⊙GOD″，⊙FOD⊙⊙FOD′，⊙⊙BOD=⊙BOD″，⊙ODG=⊙OD″G，⊙DOA=⊙AOD′，⊙ODF=⊙OD′F，⊙⊙D′OD″=2⊙AOB，⊙GDF=⊙OD′F+⊙OD″G，⊙⊙D′OD″+⊙OD′F+⊙OD″G=180°，⊙2⊙AOB+⊙GDF=180°，故答案为2⊙AOB+⊙GDF=180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．13．（2021·石家庄市第二十八中学九年级）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将PCQ△，ADQ△分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）AD与BC所在直线的位置关系______；（2）PAQ的大小为______°；（3）当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．【答案】//AD BC30° 【分析】13（1）根据折叠性质和平角定义证得180D C ∠+∠=︒，再根据平行线的判定可得AD 与BC 所在直线的位置关系；（2）根据折叠性质和平角定义证得90B AQP ∠=∠=︒，再根据平行线的性质证得90B DAB ∠=∠=︒，进而由DAQ QAP PAB ∠=∠=∠求解即可；（3）根据折叠性质和平行四边形的性质证得AR PR =，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得12QR AP =，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求得2AP PB =， PB QR =，223AB AP PB PB -，进而求解即可．【详解】解：（1）由折叠的性质可得：B AQP ∠=∠，DAQ QAP PAB ∠=∠=∠，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠，D ARQ ∠=∠，C QRP ∠=∠，⊙180QRA QRP ∠+∠=︒， ⊙180D C ∠+∠=︒， ⊙//AD BC ，故答案是：AD ⊙BC ；（2）⊙180DQR CQR ∠+∠=︒，DQA AQR ∠=∠，CQP PQR ∠=∠， ⊙90DQA CQP ∠+∠=︒， ⊙90AQP ∠=︒， ⊙90B AQP ∠=∠=︒，由（1）结论知180B DAB ∠+∠=︒， ⊙90DAB ∠=︒，⊙30DAQ QAP PAB ∠=∠=∠=︒，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD AR =，CP PR =， ⊙四边形APCD 是平行四边形， ⊙AD PC =， ⊙AR PR =，又⊙90AQP ∠=︒，⊙12QR AP =， ⊙30PAB ∠=︒，90B ∠=︒， ⊙2AP PB =， ⊙PB QR =，⊙AB =，⊙AB ABQR PB==【点睛】本题考查折叠性质、平行线的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、平角定义，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系是解答的关键．14．（2021·连云港市新海实验中学九年级）如图，正方形ABCD 中，AB =O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =4，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ，则线段OF 长的最小值为_____【答案】4．【分析】连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明⊙EDO ⊙⊙FDM ，可得FM ＝OE ＝4，由条件可得OM ＝OF +MF ≥OM ，即可得出OF 的最小值．【详解】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM ，连接OF ，FM ，OM ， ⊙⊙EDF ＝⊙ODM ＝90°， ⊙⊙EDO ＝⊙FDM ， ⊙DE ＝DF ，DO ＝DM ， ⊙⊙EDO ⊙⊙FDM （SAS ）， ⊙FM ＝OE ＝4，⊙正方形ABCD 中，AB ＝O 是BC 边的中点，⊙OC ＝15⊙OD 22(45)(25)+10， ⊙OM 221010+102 ⊙OF +MF ≥OM ， ⊙OF ≥24，⊙线段OF 长的最小值为1024．故答案为：1024．【点睛】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练掌握并准确应用是解题的关键．15．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级）已知．在ABC 中，42AB =45ABC ∠=︒，5AC =，则线段BC 的长为___________．【答案】7或1 【分析】作AD ⊙BC 于点D ，分类讨论点C 在BD 延长线上或BD 上，通过勾股定理进行求解即可．【详解】解：作AD ⊙BC 于点D ，⊙当点C 在BD 延长线上时， ⊙45ABC ∠=︒，90ADB ∠=︒， ⊙ABD △为等腰直角三角形，⊙222AD BD AB +=，即(22242AD =， ⊙4=AD ，在Rt ACD △中，由勾股定理得：2222543CD AC AD -=-，⊙7BC BD CD =+=；⊙当点C '在BD 上时，同⊙可得：4AD BD ==，3C D '=， ⊙1BC BD C D ''=-=．故答案为：7或1．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，无图形时注意考虑是否需要分类讨论．三、解答题16．（2021·江苏南通市·）（1）甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）如图，点C ，D 在线段AB 上，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，AC =BD ，AE =BF ，点G 为AB ，EF 的交点，求证CD 与EF 互相平分．【答案】（1）甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）见解析【分析】（1）利用甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1．5倍设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据等量关系是乙工作量除以以的工作效率-甲工作量除以甲工作效率=4天列方程解之即可；（2）连结ED ，CF ，CE ⊙AB ，DF ⊙AB ，可得⊙ECA =⊙FDB ，可证⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）可得CE =DF ,且CE∥DF ,可证四边形CFDE 为平行四边形，可得CD 与EF 互相平分．【详解】（1）解：设乙厂每天加工x 套防护服，则甲厂每天加工1.5x 套防护服，根据题意，得60060041.5x x-=，解得x ＝50，经检验：x ＝50是所列方程的解，则1.5x ＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．17（2）证明：连结ED ，CF ， ⊙CE ⊙AB ，DF ⊙AB ， ⊙⊙ECA =⊙FDB =90°，在Rt ⊙ACE 与Rt ⊙BDF 中，AC BDAE BF =⎧⎨=⎩， ⊙⊙ACE ⊙⊙BDF （HL ）， ⊙CE =DF ，又⊙⊙ECD =⊙FDC =90°， ⊙CE∥DF ，⊙四边形CFDE 为平行四边形， ⊙CD 与EF 互相平分．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质，掌握列分式方程解应用题，与三角形全等判定与性质，平行四边形判定与性质是解题关键． 17．（2021·河南郑州外国语中学九年级）在ABC 中，3AC BC ==120ACB ∠=︒，在ADE 中，90DAE ∠=︒，30AED ∠=︒，1AD =，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）如图1，当顶点D 在边AB 上时，线段BE 与线段CF 的数量关系是______，线段BE 与线段CF 的位置关系是；（2）将ADE 绕点A 旋转，转到图2的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（3）在ADE 绕点A 旋转的过程中，线段AF 的最大值为______；当//DE CF 时，线段CF 的长为______．【答案】（1）BE =，BE CF ⊥；（2）仍然成立，见解析；（3）12,2或1【分析】（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，连接GD 并延长交BE 于点H ，证明ADG⊙AEB ，得BE ABGD AG=AGD ABE ∠=∠，再证明CF 为BGD 的中位线即可证明结论；（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；（3）延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，通过SAS 证明AFD ⊙KFB ，得1BK AD ==，在ABK 中，利用第三边小于两边之和，得AK AB BK <+，求出AK 最大为4，则AF 最大为2即可，当//DE CF 时，由（1）中证明可知//DG CF ，则G ，D ，E 三点共线，分点E 在D 下方，或点E 在点D 上方两种情形，分别画图进行计算即可．【详解】解：（1）过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，AC BC =，120ACB ∠=︒， 30CAB CBA ∴∠=∠=︒，60GAC AGC ∴∠=∠=︒， AC CG BC ∴==，∴点C 为BG 的中点，AG AD AB AE == 且DAG EAB ∠=∠，ADG ∴⊙AEB ，BE ABGD AG∴==AGD ABE ∠=∠，193BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又ADG BDH ∠=∠，90BHD GAD ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：23BE CF =，CF BE ⊥，（2）（1）中结论仍然成立，过点A 作AG AB ⊥，交BC 延长线与点G ，，连接GD 并延长交BE 于点H ，设GD 交AB 于点O ，由（1）同理可证ADG ⊙AEB ， 3BE ABGD AG∴∴==AGD ABE ∠=∠， 3BE DG ∴=，点C ，F 分别是BG ，BD 的中点，CF ∴为BGD 的中位线，//CF GD ∴，12CF GD =，3BE CF ∴=，又AOG BOH ∠=∠，90BHD GAO ∴∠=∠=︒， GH BE ∴⊥， //CF GD ， CF BE ∴⊥，故答案为：BE =，CF BE ⊥，（3）如图，延长AF 到点K ，使FK AF =，连接BK ，DF BF =，AF FK =，AFD BFK ∠=∠， AFD ∴⊙KFB ， 1BK AD ∴==，在ABK 中， AK AB BK <+，4AK ∴<，∴当4AK =时，AF 最大为2，当//DE CF 时，由（2）中证明可知//DG CF ，G ∴，D ，E 三点共线，如图，当点E 在点D 下方时，AG AE ==30E ∠=︒，3GE ∴=，211GD ∴=，1122CF DG ∴==，当点E 与G 重合时，此时//DE CF ，112CF DE ∴==，综上：1CF =或12，故答案为：2，1或12．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了含30角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识，是作辅助线，构造三角形相似或者全等是解题的关键，综合性较强，难度较大．18．（2021·长沙市北雅中学）（1）如图1，正方形ABCD 和正方形DEFG （其中AB DE >），连接CE ，AG 交于点H ，请直接写出线段AG 与CE 的数量关系________，位置关系________；（2）如图2，矩形ABCD 和矩形DEFG ，2AD DG =，2AB DE =，AD DE =，连接AG ，CE 交于点H ，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG ，CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD 和矩形DEFC ，26AD DG ==，28AB DE ==，直线AG ，CE 交于点H ，当点E 与点H 重合时，请直接写出线段AE 的长．【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由见解析；（3）16 5【分析】（1）根据正方形的性质，证明⊙GDA⊙⊙EDC即可得到打啊；（2）证明⊙GDA⊙⊙EDC，即可求解；（3）分⊙当点E在线段AG上时；⊙当G在线段AE上时；两种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，⊙ADC=⊙EDG=90°，⊙⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙CDE，⊙DG=DE，DA=DC，⊙⊙GDA⊙⊙EDC（SAS），⊙AG=CE，⊙GAD=⊙ECD，⊙⊙COD=⊙AOH，⊙⊙AHO=⊙CDO=90°，⊙AG⊙CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE=2AG，AG⊙CE，理由如下：设AD与CE交于M，由（1）知⊙ADE+⊙EDG=⊙ADC+⊙ADE，即⊙ADG=⊙EDC，⊙AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，又⊙四边形ABCD是矩形，⊙AB=CD，⊙12 DG DE DEAD AB CD===，⊙⊙GDA⊙⊙EDC，23⊙12AD AG CD CE ==，⊙ECD =⊙GAD ， ⊙CE =2AG ， ⊙⊙CMD =⊙AMH ， ⊙⊙AHM =⊙CDM =90°， ⊙AG ⊙CE ；（3）⊙当点E 在线段AG 上时，如图所示， ⊙AD =2DG =6，AB =2DE =8， ⊙DG =3，ED =4， ⊙四边形DEFG 是矩形， ⊙⊙EDG =90°，⊙225EG DG DE +=，过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ， ⊙⊙DGP ⊙⊙EGD ， ⊙DG PG PDEG DG DE==即3534PG PD ==，⊙95PG =，125PD =，⊙22621AP AD PD =-=⊙62116AE AG GE AP GP GE -=-=+-=⊙当G 在线段AE 上时，如图所示，过点D 作DP ⊙AG 于P ，⊙DPG =⊙EDG =90°，⊙DGP =⊙EGD ，同理得125PD =，AP =由勾股定理得165PE ==⊙AE AP PE =+=综上所述：AE =【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图1，在⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）当BD ＝1时，AN ＝，NM 与AB 的位置关系是；（2）当2＜BD ＜4时，⊙依题意补全图2；⊙判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．25【答案】（110（2）⊙画图见分析；⊙不会发生变化，证明见分析；（3）BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．【分析】（1）根据已知条件得到1CD =，根据勾股定理得到22125AD +到ADE 是等腰直角三角形，求得10DE =根据直角三角形的性质得到1102AN DE ==122AM AB ==ACD AMN ∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）⊙根据题意补全图形即可；⊙根据等腰直角三角形的性质得到45CAB B ∠=∠=︒，求得45CAN NAM ∠+∠=︒，根据旋转的性质得到AD AE =，90DAE ∠=︒，推出ACD AMN ∽，由相似三角形的性质得到AMN ACD ∠=∠，即可得到结论；（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，得到AKB △是等腰直角三角形，推出ADK ABE △≌△，根据全等三角形的性质得到45ABE K ∠=∠=︒，证得BMG △是等腰直角三角形，求出2BC =，22AB =2MB ，由ME MG ≥，于是得到当ME MG =时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论．【详解】解：（1）⊙90ACB ∠=︒，2AC BC ==，1BD =， ⊙2CD =，⊙225AD AC CD +⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙ADE 是等腰直角三角形， ⊙210DE AD == ⊙N 为ED 的中点， ⊙1102AN DE ==⊙M 为AB 的中点，⊙12AM AB ==⊙AN AD ==，AM AC = ⊙AN AMAD AC=， ⊙45CAB DAN ∠=∠=︒， ⊙CAD BAN ∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙90AMN C ∠=∠=︒， ⊙MN AB ⊥．（2）⊙补全图形如下图所示；⊙（1）中NM 与AB 的位置关系不会发生变化．理由如下：⊙90ACB ∠=︒，AC BC =， ⊙45CAB B ∠=∠=︒， ⊙45CAN NAM ∠+∠=︒，⊙将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ， ⊙AD AE =，90DAE ∠=︒， ⊙N 为ED 的中点，⊙1452DAN DAE ∠=∠=︒，AN DE ⊥，⊙45CAN DAC ∠+∠=︒ ⊙NAM DAC ∠=∠，在Rt AND △中，452AN cos DAN cos AD =∠=︒=，同理45AC cos AB =︒，27⊙AC ANAB AD=， ⊙45DAC CAN MAN ∠=︒-∠=∠， ⊙ACD AMN ∽， ⊙AMN ACD ∠=∠， ⊙D 在BC 的延长线上， ⊙18090ACD ACB ∠=︒-∠=︒， ⊙90AMN∠=︒，⊙MN AB ⊥．（3）连接ME ，EB ，过M 作MG EB ⊥于G ，过A 作AK AB ⊥交BD 的延长线于K ，则AKB △是等腰直角三角形，在ADK △与ABE △中，AK ABKAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ADK ABE △≌△， ⊙45ABE K ∠=∠=︒， ⊙BMG △是等腰直角三角形， ⊙2BC =，⊙22AB =2MB ⊙451MG cos MB =︒=， ⊙90G ∠=︒， ⊙ME MG ≥，⊙当ME MG =时，ME 的值最小， ⊙1ME BE ==， ⊙1DK BE ==， ⊙2CK BC ==， ⊙1CD =， ⊙3BD =，⊙BD 的长为3时，ME 的长最小，最小值为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 20．（2021·湖北十堰市·九年级）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．【答案】（1）12AP BE =，AP BE ⊥；（2）12AP BE =，AP BE ⊥仍成立，理由见解析；（3）AP ≤ 【分析】（1）证明⊙BAE ⊙⊙CAD ，继而结合直角三角形中斜边中线的性质即可得答案；（2）延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，用三角形全等推出12AP BE =，再得到//AD CM ，用平行线的性质和判定就可以证明AP BE ⊥．（3）利用三角形三边关系求出AM 的范围即可确定线段AP 长的取值范围．【详解】（1）12AP BE =，AP BE ⊥；理由如下： ⊙AB =AC ，⊙BAE =⊙CAD =90°，AD =AE ， ⊙⊙BAE ⊙⊙CAD ， ⊙BE =CD ，⊙ABE =⊙ACD ，又⊙P 为CD 中点， ⊙AP =CP =12CD ，29⊙12AP BE =，⊙ACD =⊙CAP ， ⊙⊙ABE +⊙AEB =90°， ⊙⊙CAP +⊙AEB =90°， ⊙⊙ANE =90°， ⊙AP BE ⊥（2）成立．12AP BE =，AP BE ⊥．理由如下：延长PA 交BE 于N ，延长AP 到M 使PM AP =，连接CM ，DPA CPM ∠=∠，⊙点P 为DC 的中点，⊙DP PC = 则ADP MCP ≅△△，⊙AD CM AE ==，DAP M ∠=∠， ⊙//AD CM ，⊙M DAP ∠=∠，180DAC ACM ∠+∠=︒．又⊙90BAC DAE ∠=∠=︒， ⊙180DAC BAE ∠+∠=︒， ⊙ACM BAE ∠=∠，又⊙AB AC =， ⊙BAE ACM ≅△△，⊙M AEB DAP ∠=∠=∠，BE AM =， ⊙12AP AM =， ⊙12AP BE =．又⊙90EAN DAP ∠+∠=︒， ⊙90EAN AEB ∠+∠=︒， ⊙90ENA ∠=︒，即AP BE ⊥．（3）⊙⊙AED ，⊙ABC 都是等腰直角三角形，6DE =，10BC =，⊙AD =AE ，AC =AB ，又由（2）知，CM =AD ⊙AM ≤⊙AM ≤ ⊙12AP AM =，AP ≤ 【点睛】此题考查的是三角形的旋转和相似三角形的综合题，熟悉掌握三角形旋转和相识三角形的性质和灵活的作品辅助线是解题的关键．21．（2021·北京市三帆中学）已知点P 为线段AB 上一点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转α，得到线段AC ；再将线段BP 终点B 逆时针旋转180α︒-，得到线段BD ；连接AD ，取AD 中点M ，连接BM ，CM ．（1）当60a =︒．⊙如图1，点P 为AB 中点时，补全图形，直接写出线段BM 与CM 的位置关系______．数量关系______．⊙如图2，当点P 不为AB 中点时，写出线段BM 与CM 的数量关系与位置关系，并证明．（2）如图3，当45α=︒，点P 为AB 中点时，直接写出线段AP ，BP ，BC 的数量关系______．【答案】（1）⊙BM ⊙CM ；；⊙BM ⊙CM ；，见解析；（2）22222BC BC AP BP ==+【分析】（1）⊙延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，通过证明⊙CAE⊙⊙CPB，证明⊙CEB是等边三角形，利用等腰三角形三线合一思想计算即可；⊙的结论不变，证明方法与⊙类似；（2）延长BM到点G，使得BM=MG，连接AG，CG，DG，证明三角形ACG是等腰直角三角形即可【详解】（1）⊙如图1, 延长BM到点E，使得BM=ME，连接AE，CE，DE，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=ME，⊙四边形AEDB是平行四边形，⊙AE=BD，AE∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AE，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAE=60°，⊙⊙CAE=120°，⊙⊙CAE=⊙CPB，⊙⊙CAE⊙⊙CPB，⊙CE=CB，⊙ACE=⊙PCB，⊙⊙ACE+⊙PCE=⊙PCB+⊙PCE，⊙⊙ACP=⊙BCE=60°，⊙⊙CEB是等边三角形，⊙BM=ME，31⊙BM⊙CM，⊙tan60°=CM BM，⊙CM；故答案为：BM⊙CM；CM；⊙关系为：BM⊙CM；CM；理由如下：如图2, 延长BM到点F，使得BM=MF，连接AF，CF，DF，⊙M是AD的中点，⊙AM=MD，⊙BM=MF，⊙四边形AFDB是平行四边形，⊙AF=BD，AF∥BD，⊙PB=BD，⊙PB=AF，⊙⊙CAP=60°，AC=AP，⊙⊙APC是等边三角形，⊙AC=PC，⊙ACP=⊙APC=60°，⊙⊙CPB=120°，⊙⊙CAP=60°，⊙⊙PBD=120°，⊙⊙BAF=60°，⊙⊙CAF=120°，⊙⊙CAF=⊙CPB，⊙⊙CAF⊙⊙CPB，⊙CF=CB，⊙ACF=⊙PCB，⊙⊙ACF+⊙PCF=⊙PCB+⊙PCF，⊙⊙ACP=⊙BCF=60°，⊙⊙CFB是等边三角形，33⊙BM =MF ，⊙BM ⊙CM ， ⊙tan 60°=CMBM， ⊙CM 3；（2）如图3, 延长BM 到点G ，使得BM =MG ，连接AG ，CG ，DG ， ⊙M 是AD 的中点， ⊙AM =MD ， ⊙BM =MG ，⊙四边形AGDB 是平行四边形， ⊙AG =BD ，AG∥BD ， ⊙PB =BD ， ⊙PB =AG ， ⊙AP =PB =AC⊙AP =PB =AG =AC =BD ， ⊙⊙CAP =45°， ⊙⊙PBD =135°， ⊙⊙BAG =45°， ⊙⊙CAG =90°，⊙⊙CAN =⊙GAN ，⊙ANC =90°，⊙AN =NC =NG ， ⊙在直角三角形BCN 中， 222CN BN BC +=，⊙222))PB PB BC ++=，⊙22222BC BC AP BP ==【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练运用上面的知识，准确推理是解题的关键．22．（2021·河南信阳·）在ABC ∆中，BD AC ⊥于点D ，点Р为射线BD 上任一点（点B 除外）连接AP ，将线段PA 绕点Р顺时针方向旋转α︒，ABC α=∠，得到PE ，连接CE ．（1）（观察发现）如图1，当BA BC =，且60ABC ∠=︒时，BP 与CE 的数量关系是___________，BC 与CE 的位置关系是___________．（2）（猜想证明）如图2，当BA BC =，且90ABC ∠=︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）（拓展探究）在（2）的条件下，若8AB =，AP =CE 的长．【答案】（1）BP CE =，BC CE ⊥；（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =，见解析；（3）2或14 【分析】（1）连接AE ，证明⊙ABC 、⊙APE 为等边三角形，再证明ABP ACE ∆∆≌，根据全等三角形的性质可得BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，再求得30ABP ACE ∠=∠=︒，即可得90ACE ACB ∠+∠=︒，所有BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为CE =．选图2证明：连接AE ，易证BAP CAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得CE CABP BA==ACE ABP ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质可得45ABD CBD ACB ACE ∠==︒∠∠==∠，由此可得3590BCE BCA ACE ∠=∠+∠=︒，结论可证；选图3证明，类比图2的证明方法即可；（3）分图2和图3两种情况求CE 的长即可．【详解】（1）如图，连接AE ，⊙BA BC =，且60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABC 为等边三角形，⊙60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=︒，AB =AC ， ⊙PE PA =，且60APE α∠==︒， ⊙⊙APE 为等边三角形， ⊙60PAE ∠=︒，AP =AE ，⊙BAC PAC PAE PAC ∠-∠=∠-∠， ⊙BAP CAE ∠=∠；在⊙BAP 和⊙CAE 中， AB AC BAP CAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙ABP ACE ∆∆≌，⊙BP=CE ，ABP ACE ∠=∠，⊙BD AC ⊥，BA BC =， 60ABC ∠=︒， ⊙⊙ABP =30°，⊙30ABP ACE ∠=∠=︒， ⊙90ACE ACB ∠+∠=︒， ⊙BC CE ⊥．故答案为：BP CE =，BC CE ⊥．（2）BC CE ⊥成立，BP CE =不成立，BP 与CE 的关系为2CE BP =．理由如下：选图2证明：连接AE ，。

解三角形知识点总结

解三角形知识点总结1. 三角形的定义和分类三角形是由三条边和三个内角组成的多边形，其中每个内角都小于180度。

根据边长和角度大小的不同，三角形可以分为以下几种类型：•等边三角形：三条边的长度都相等，每个内角都是60度。

•等腰三角形：两条边的长度相等，两个对角也相等。

•直角三角形：其中一个内角是90度。

•钝角三角形：其中一个内角大于90度。

•锐角三角形：所有内角都小于90度。

2. 角的性质和关系在解三角形的问题中，我们需要掌握一些关于角度和边长的性质和关系。

2.1 角度的性质•两个补角的和是180度。

•两个余角的和是90度。

•同位角（相邻角）互补，即两个内角和一个外角的和是180度。

2.2 边长的关系•相等边对应的角度相等。

–如等腰三角形的两个底角是相等的。

•边长之和大于第三边的条件，即：a + b > c，a + c > b，b + c > a。

–反过来，如果三条边长满足上述条件，就能构成一个三角形。

3. 解三角形的方法当给定一个三角形的一些边长或角度时，我们可以使用以下方法来求解未知的边长或角度。

3.1 根据边长关系求角度•使用余弦定理：–余弦定理指出，对于一个三角形，已知三边的长度a、b、c 和夹角C，可以通过以下公式计算第三个角度A和B：•cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)•cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)–根据以上公式，可以计算出A和B的具体数值。

3.2 根据角度关系求边长•使用正弦定理：–正弦定理指出，对于一个三角形，已知两边的长度a和b和夹角A，可以通过以下公式计算第三边c：•sin(A) = (a / c)• c = (a / sin(A))–根据以上公式，可以计算出c的具体数值。

3.3 使用角度的和求边长•使用角度的和可以求解未知边长。

–例如，如果一个三角形已知两个角度分别是60度和30度，那么可以计算出第三个角度是90度，即得知该三角形是直角三角形。

解三角形知识点归纳总结归纳

解三角形知识点归纳总结归纳三角形是平面几何中的基本图形之一，是由三条边和三个顶点组成的多边形。

学习三角形的知识点对于解题和理解几何性质非常重要。

下面是关于三角形的知识点的归纳总结，包括定义、分类、性质和求解方法等内容。

一、三角形的定义和分类：1.定义：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形。

三角形的边可以是直线段，但必须满足三边相交于一点的条件。

2.分类：根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：-按边长分类：-等边三角形：三条边相等的三角形。

-等腰三角形：两条边相等的三角形。

-普通三角形：没有边相等的三角形。

-按角度分类：-直角三角形：有一个角度为直角（90度）的三角形。

-钝角三角形：有一个角度大于直角（90度）的三角形。

-锐角三角形：三个角度都小于直角（90度）的三角形。

-按边长和角度分类：-等腰直角三角形：既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。

二、三角形的性质：1.内角和性质：三角形的三个内角之和等于180度。

2.外角性质：三角形的一个内角的补角等于与其不相邻的两个外角的和。

3.边长性质：-任意两边之和大于第三边。

-任意两边之差小于第三边。

4.等腰三角形性质：等腰三角形的两底边相等，两底角相等。

5.等边三角形性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60度。

6.直角三角形性质：直角三角形的一条边是其他两边的平方和的开方。

7.勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

8.三角形的中线性质：三角形三条中线的交点是三角形的重心，重心将中线按1:2的比例分成两段。

9.三角形的高线性质：三角形的高是从一个顶点向对边作垂线所得的线段，三角形三条高的交点是三角形的垂心。

三、三角形的求解方法：1.应用勾股定理求解直角三角形的边长。

2.应用正弦定理求解三角形的边长和角度。

3.应用余弦定理求解三角形的边长和角度。

4.应用海伦公式求解已知三边求三角形的面积。

5.利用相似三角形的性质解题。

6.利用三角形的中线、高线和角平分线的性质解题。

解三角形知识点总结

解三角形知识点总结解三角形是数学中非常重要的一个知识点，涉及到计算角度和边长的方法。

在解三角形的过程中，我们需要运用多种方法和公式，通过观察和计算来确定三角形的未知量。

本文将对解三角形的一些基本概念、方法和公式进行总结和归纳。

一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个角所组成的一个几何图形。

根据三角形的边长和角度的不同，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

二、解三角形的基本方法1.已知两边和夹角如果我们已知两条边和它们之间的夹角，可以根据余弦定理来计算第三边的长度。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a和b分别表示已知的两条边的长度，C表示夹角的大小，c 表示未知边长。

2.已知两边和非夹角当我们已知两边和一个非夹角时，可以利用正弦定理来计算其他两个角的大小。

正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形对应的角度。

3.已知边长和高当我们已知一个边和它对应的高时，可以通过面积公式来计算另外两个未知量。

三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底 * 高其中，底表示三角形的底边长度，高表示从底边到对应顶点的垂直距离。

三、特殊的三角形1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个角都是60度。

2.等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（基角）是相等的。

3.直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，可以利用勾股定理来计算未知边长。

四、解三角形的实际应用解三角形的知识在实际应用中有很多重要的用途。

在地理学中，我们可以通过测量地球上两个点的经纬度来计算它们之间的距离和方位角。

在建筑学中，解三角形的方法可以用于测量高楼大厦的高度。

解三角形的知识也广泛应用于导航、航空和测量等领域中。

解三角形知识点总结高二

解三角形知识点总结高二解三角形知识点总结三角形是数学中常见的几何形状，具有广泛的应用。

在高二阶段，学生们开始接触和学习解三角形的知识。

本文将对解三角形的相关知识点进行总结，包括三角形的角度关系、边长关系以及解三角形常用的方法和定理。

一、三角形的角度关系1. 三角形内角和定理：任意三角形的内角和等于180度。

即三个内角之和为180度。

2. 三角形的对内角相等定理：如果两个角相等，则它们的对边也相等；如果两个角不等，则它们的对边也不等。

3. 三角形的外角定理：一个三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。

即一个内角和其相邻的外角相等。

二、三角形的边长关系1. 三角形边长关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，并且任意两边之差小于第三边。

2. 等腰三角形边长关系：在一个等腰三角形中，两条等长边的夹角相等。

3. 三角形中位线的关系：三角形中位线是连接两个顶点与中点的线段，中位线的长度等于边长的一半。

三、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：对于任意三角形ABC，其三个内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，则有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c这个定理可用于解决已知三个边长或两边一角的情况下，求解其余边长和角度的问题。

2. 余弦定理：对于任意三角形ABC，其三个内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，则有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个定理可用于解决已知三个边长或两边一角的情况下，求解其余边长和角度的问题。

3. 正切定理：对于任意三角形ABC，其两个内角A、B所对应的边长分别为a、b，则有以下关系成立：tanA = (2R)/(b - a)其中，R为三角形外接圆的半径。

4. 海伦公式：对于已知三角形的三边长分别为a、b、c的情况下，可以通过以下公式求解三角形的面积S：S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中s为半周长，即s = (a + b + c)/2。

专题21 直角三角形篇(解析版)

专题21 直角三角形考点一：直角三角形1. 直角三角形的概念：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。

2. 直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（）A．34°B．44°C．124°D．134°【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故选：A．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED ，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，∠DCE ＝40°，则∠CED ＝90°﹣40°＝50°，∵l ∥AB ，∴∠1＝∠CED ＝50°，故选：C ．3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°CBF 的度数，再根据∠ABC ＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC ∥EF ，∠C ＝30°，∴∠C ＝∠CBF ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC ﹣∠CBF ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C ．4．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．5．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．3B．23C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．6．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（）A．5B．4C．6D．8【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20．∵CD为中线，∴CD＝AB＝10．∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝5．故选：A．7．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝．【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分别为AC、BC的中点，∴FG是△ACB的中位线，∴FG＝AB＝1，故答案为：1．8．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝．【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案为：1．9．（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 m．【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD 的长，进一步即可求出CD+DE的长．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝3m，∴DE＝1.5m，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB，∵AB＝5m，∴CD＝2.5m，∴CD+DE＝2.5+1.5＝4（m），故答案为：4．10．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为．【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，AB ＝20，∴CD ＝AB ＝10，故答案为：10．考点二：勾股定理1. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

解三角形方法与技巧例题和知识点总结

解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。

解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。

三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。

解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。

二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。

正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。

首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。

然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。

同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。

例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。

由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==，解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是千米。

解三角形(总结+题+解析)

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

解三角形(讲义及答案)

2
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精讲精练
1. 已知在△ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，请根据以下条件，解三角形．（1）已知 A 45，C 30，c 10 ，求 B，b，a；（2）已知 B 30，b 4 ，c 4 3 ，求 C，A，a．
2. （1）在△ABC 中， A : B : C 4 :1:1 ，则 a : b : c （）
解三角形（讲义）
知识点睛
在本讲中，如没有特别说明，所有△ABC 中角 A，B，C 所对的边均为 a，b，c，如图．
一、正弦定理、余弦定理
1. 正弦定理
（1）正弦定理推导
设△ABC 的外接圆是⊙O，半径为 R．我们仅先分析 A 的情
况．
过点 B 作直径 BD，可知 BD=2R．
①如图（1），当 A 为锐角时，连接 CD，则∠BCD=90°， ∴ a 2R sin D ，
（1） S 1 ah (h 为 BC 边上的高)；
2 （2） S 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A ；
2
2
2
（3） S 2R2 sin Asin B sin C (R 为△ABC 外接圆的半径)；
（4） S abc ；
4R （5） S p( p a)( p b)( p c)，其中 p 1 (a b c) ．
∴ | c |2 c c (a b) (a b) a a + b b 2a b
a2 b2 2ab cosC，
∴ c2 a2 b2 2ab cos C ．
同理可证：
（2）余弦定理在△ABC 中，任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
在△ABC 中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s i n s i n B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

解三角形知识点整理

解三角形知识点整理一、正弦定理正弦定理是解三角形中非常重要的一个定理，它表明在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于该三角形外接圆的直径。

正弦定理的表达式为：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C} ＝ 2R$（其中$R$为三角形外接圆的半径）。

这个定理的应用非常广泛，主要有以下几个方面：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。

例如，已知三角形的两角$A$、＄B$和一边$a$，可以通过正弦定理求出另外两边$b$和$c$。

2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。

但需要注意的是，在这种情况下可能会出现一解、两解或无解的情况，需要进行判断。

二、余弦定理余弦定理也是解三角形的重要工具，它描述了三角形中三边长度与一个角的余弦值之间的关系。

余弦定理的表达式有：1、＄a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$2、＄b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$3、＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$余弦定理的应用包括：1、已知三边，求三个角。

将三边的长度代入相应的公式，就可以求出三个角的余弦值，进而得出角的大小。

2、已知两边和它们的夹角，求第三边。

三、三角形面积公式三角形的面积可以用多种方式来表示，常见的有：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ah$（其中$a$为底边长，＄h$为这条底边对应的高）2、正弦形式：＄S ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sinB ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$四、解三角形的常见类型1、已知三边求角这种情况下，直接使用余弦定理求出三个角的余弦值，然后得出角的大小。

2、已知两边及其夹角求第三边和其他两角先用余弦定理求出第三边，然后再用正弦定理求出其他两角。

3、已知两角和一边先用三角形内角和求出第三个角，然后使用正弦定理求出其他两边。

解三角形知识点归纳

专业资料解三角形知识点归纳一正弦定理（一）知识与工具：ab c正弦定理：在△ ABC 中，2R。

sin A sin Bsin C在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为 180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式： S= 1 2 absinC= a bc 4R =2R 2sinAsinBsinC 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。

sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin A B 2=cos C 2，cos A B2=sinC 2（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形题型 2 利用正弦定理公式的变形 (边角互化 )解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

题型 3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

二余弦定理（一）知识与工具： a 2=b 2+c 2﹣2bccosA cosA= 2=b 2+c 2﹣2bccosA cosA=2 b2c2bca2 2 2 2﹣2accosB cosB=b =a +c2a2c 2ac2 b2 2 2﹣2abcosCcosC=c =a +b2 a 2 b 2ab2 c 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为 180° ；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(3)面积公式：S= 12absinC=a bc4R=2R2sinAsinBsinC2sinAsinBsinC(4)三角函数的恒等变形。

(2021年整理)解三角形知识点总结

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必修5第一章解三角形章末总结一、正弦定理1、正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC==k （1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数k ，即sin a k A =， sin b k B = ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B = ，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC ．变形：sin sin a A b B =， sin sin b B c C = ， sin sin a Ac C=（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =;sin sin c Bb C=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =；sin sin bB C c=（4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形．二、余弦定理2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

解三角形的实际应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数的概念及运算一、知识梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin ∠ABC，又∵∠ABC＝30°，∴AB＝AC sin∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m).答案A3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.解析由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝32a.答案3 2a4.(2018·济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°解析由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 答案 D5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解析如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S 6＝6×12×12×sin 60°＝332.答案 3326.(2019·天津和平区调研)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________.解析因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理，得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝（32）2＋32－2×32×3×223＝ 3.答案3考点一求距离、高度问题角度1测量高度问题【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝3002(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m).答案1006【训练1】如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A.5 6B.15 3C.5 2D.156解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin 30°＝30sin 135°，所以BC＝15 2.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝BC tan ∠ACB＝152×3＝15 6.答案D角度2测量距离问题【例1－2】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)解在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得ABsin ∠ADB＝ADsin ∠ABD，解得AD＝ 3 km，在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32CD，即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32km，BC＝BD＋CD＝33－12km，两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.【训练2】海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°. 由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时. 答案 23考点二测量角度问题【例2】已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°＝3314解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD＝2010 m，AC＝30 5 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案B考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB ︵上的一动点(不与点A ，B 重合).(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC ︵的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值.解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC ︵的长为π6·42＝223π.(2)设∠AOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×42×42sin θ＋12×42×42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝24sinθ＋83cos θ＝163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值16 3.【训练4】 (2019·临沂检测)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长.解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE＝CEsin B ，因为B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，所以sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)因为∠CED ＝B ＝2π3，所以∠DEA ＝∠BCE ，所以cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.因为A ＝π2，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5，所以ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.所以CD ＝7.三、课后练习1.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH＝ACsin∠AHC. 可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米). 答案B2.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.解析依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CEsin∠EAC＝ACsin∠CEA，∴AC＝CEsin∠EAC·sin∠CEA＝20 3 m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s.答案0.63.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.解析如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，由AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA，得AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC ＝32－62，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2). 答案6－344.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k (k >0).又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin∠DBC＝277，∴BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。