2016年北师大版八年级上册第四章一次函数4.2 一次函数与正比例函数

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北师大版八年级数学上册第四章一次函数知识点总结及练习

四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a≠0）•的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值 y=0 时，•求相应的自变量 x 的值，从图象上看，这相当于已知直线 y=ax+b，确定它与 x•轴交点的横坐标的值．
7.解析式与图像上点相互求解的题型 ○1 求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作 x、y 值代入解析式组成含有 k、 b 两个未知数的方程组，求出 k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。 ○2 求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。
2.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx 平移│b│ 个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）．
3.系数 k 的意义：k 表征直线的倾斜程度，k 值相同的直线相互平行，k 不同的直线相交。系数 b 的意义：b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
k>0，撇 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方一二三象限从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
k>0，撇 b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方一三四象限从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
K<0，捺 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方一二四象限从左到右下降 Y 随 x 的增大而减小
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，y 的值称为函数值． 4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法． a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。 b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。 c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。 5.求函数的自变量取值范围的方法．（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；

北师大版八年级数学上册第4章一次函数一次函数的图象和性质

①列表 ②描点 ③连线那么你能用同样的方法画出一
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的交点坐标是什么？
b k

北师大版八年级上册《一次函数与正比例函数》说课稿

《一次函数与正比例函数》说课稿尊敬的各位专家评委大家上午好！我今天说课的内容是北师大版八年级上册第四章第二节《一次函数与正比例函数》，下面我从学情分析、教材分析、教法与学法、教学过程设计、教学设计思路等几个方面向大家汇报我的说课。

一、学情分析在七年级下期学生已经探索了变量之间的关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。

本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成1,1+=-=-等，培养学生良好的书写习惯.x y x y二、教材分析：（一）教材的地位和作用本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.与传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历从一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.从数学自身的发展过程看，变量和函数的引入标志着数学从初等数学向变量数学的迈进。

而一次函数是初中阶段研究的第一个函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面的反比例函数、二次函数的学习都奠定了基础。

同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中。

三者相互依存，紧密联系，也为方程、不等式、函数解法的补充提供了新的途径。

（二）教学目标：教学目标是教学活动的起点和归宿，教学目标设计的科学性和合理性直接影响教学过程的实施和教学效果的评价。

基于本班学生的知识、能力、情感态度以及对新的学习所具备的相关知识掌握程度，考虑到本班学生已有的认知结构、心理特征，及本节课在教材中的地位和作用，本着以教材为基础、以课标为准绳，我确立如下三维目标：1.知识目标(1)理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

北师大版八年级上册数学第四章4.2一次函数与正比例函数同步习题

4.2 一次函数与正比例函数同步习题一、选择题1.已知函数y=（k -1）2k x 为正比例函数，则（）A.k≠±1B.k=±1C.k=-1D.k=12、下列说法正确的是（）．A ．一次函数是正比例函数B ．正比例函数不是一次函数C ．不是正比例函数就不是一次函数D ．正比例函数是一次函数 3、若函数是一次函数，则m 的值为( ) A ． B ．-1 C ．1 D ．24、已知正比例函数y=kx （k ＜0）的图象上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且 x 1＜x 2，则下列不等式中恒成立的是（）A ．y 1+y 2＞0B ．y 1+y 2＜0C ．y 1﹣y 2＞0D ．y 1﹣y 2＜05、下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（）A.2x y -=B.x y 1-=C.12--=x yD.12+=x y6、若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点（）A.（1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-1）D.（1，-2） 7、已知点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在直线y=﹣3x+2上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 2＞y 38、若函数x m x m y )21()23(2-+-=(m 为常数)是正比例函数，则m 的值为（）A ．32＞mB ．21＜mC ．32=m D ．21=m 9、已知函数y =（m +1）x m2−3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A.2B.-2C.±2D.-12 10、对于函数y=-k 2x(k 是常数，k≠0)的图象，下列说法不正确的是（）A.是一条直线B.过点（1,k k-）C.经过一、三象限或二、四象限D.y 随着x 增大而减小二、填空题11、若点M （m ，1）在一次函数y=x ﹣2的图象上，则m=__． 12．函数y=kx 的图象经过点P （1，﹣3），则k 的值为_____． 13．函数y =（k +2）x + k 2-4中，当k ＝______时，它是一个正比例函数．14、写出下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数?（1）汽车以60千米/时的速度行使，行使路程y （千米）与行使时间x （时）之间的关系；（2）圆的面积y （cm 2）与它的半径x （cm ）之间的关系；三、解答题15、已知一次函数y=（2m+4）x+（3-n）（1）求m，n为何值时，函数是正比例函数？（2）求m，n是什么数时，y随x的增大而减小？（3）若图象经过第一，二，三象限，求m，n的取值范围．16、已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？。

4.2 一次函数与正比例函数北师大版八年级数学上册同步练习1及答案

新版北师大版八年级数学上册第4章《一次函数》同步练习及答案—4.2一次函数与正比例函数（1）
专题一次函数探究题
1.用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______________.
2. 将长为38cm、宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽
为2cm．
（1）求5张白纸黏合的长度；
（2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式（标明自变量x的取值范围）；
（3）用这些白纸黏合的总长能否为362cm？并说明理由．
参考答案：
1．y=x-【解析】由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，
∴m=4+3（x-1）=1+3x;由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，
∴m=7+5(y-1)=2+5y，所以1+3x=2+5y,即y=x-．
2．解：（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=8cm．所以总长为38×5-8=182（cm）.（2）x张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm，所以总长y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x为整数）.
（3）能.当y=362时，得到36x+2=362，解得x=10,即10张白纸黏合的总长为362cm．3．解：（1）由图可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长，∴l=3n+2.
（2）n=11时，图形周长为3×11+2=35．。

4.2 一次函数与正比例函数北师大版数学八年级上册知识考点梳理课件

重
难
题
型
突
破
思路点拨
返回目录
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
解题通法根据正比例函数的定义确定字母的值时，
重
难
题需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
清
单
解入 28 元，如果超额生产一个零件，增加收入 1.5元．写
读出该工人在超额完成的情况下一天的收入 y（元）与他生产
的零件个数 x（个）的函数关系式：______________．
［答案］ y=1.5x-2
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
重 ■题型应用函数的定义确定字母的值
难
−
4.2 一次函数与正比例函数
● 考点清单解读
● 重难题型突破
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
返回目录
■考点一一次函数与正比例函数的定义
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成
定义
y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的形式，则称 y
是 x 的一次函数.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
下列函数：①y = -2x + 1，②y= ，③y=

单
解（x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。

但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。

2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。

2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。

3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。

北师大版八年级数学上册第四章一次函数知识点总结

第四章一次函数学问点总结4.1.1 变量和函数1、变量：在一个改变过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个改变过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。

例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

对于不同的自变量x的取值，y的值可以一样，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之有意义4.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，运用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

公式法：即函数解析式，简洁明了，可以精确地反映整个改变过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般状况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

4、函数的图像一般来说，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（根据横坐标由小到大的依次把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

北师版初中数学八年级上册精品教学课件第4章 2一次函数与正比例函数

解 (1)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1是一次函数,所以m2-24=1,且m-5≠0.
由m2-24=1,解得m=±5.
由m-5≠0,得m≠5.所以m=-5.
(2)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1 是正比例函数,
所以m2-24=1,n+1=0,且m-5≠0.
由m2-24=1,且m-5≠0,得m=-5.
(2)因为小颖家四月份的水费不超过34.5元,五月份的水费超过34.5元,
所以当y=27.6时,3.45x=27.6,解得x=8;
当y=58.65时,4.83x-13.8=58.65,解得x=15.
15-8=7(吨).
所以,小颖家五月份比四月份节约用水7吨.
本
课
结
束
由n+1=0,解得n=-பைடு நூலகம்.
【误区警示】
判断一个函数是一次函数或正比例函数,不仅要考虑自变量的次数等于1,
还不能忽视自变量的系数不能等于0这一条件.
知识点二
列关系式表示一次函数关系
【例2】为了鼓励居民节约用水,某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每
户家庭的水费:每月用水量不超过10吨时,按每吨3.45元计费;每月用水量超
一次函数
2
一次函数与正比例函数
核心·重难探究
知识点一
一次函数的概念
2 -24
+n+1 .
【例1】已知函数 y=(m-5)
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m,n的值.
思路分析 (1)一次函数中自变量x的次数等于几?x的系数有什么限制条件?

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。

本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。

在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。

教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。

二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。

但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。

2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。

2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。

3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。

4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。

八年级数学北师大版上册第4章《4.2 一次函数与正比例函数》教学设计教案

八年级的学生好奇、好动、好表现，应尽量让学生发表自己的想法。

因此本节课既要考虑学生的认知思维特点，也要积极关注学生的已有知识储备。

就现阶段的学生而言，已经掌握了两个变量的关系，能列出变量间的关系表达式，但是借助生活情境，正确将实际问题抽象为函数模型是有一定困难的，因此需要积极引导学生学习好的数学方法，进一步体会变量和函数之间的关系更多说课稿因此在教学过程中教师要充分借助具体情境来激发学生学习兴趣的同时设置问题来引发学生思考，类比观察、探究规律，巧妙地建立概念。

四、教学过程一、情境导入复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识。

二、探索过程（一）活动一某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为；kx b (,k b 为常数,当0b 时,则汽车油箱中的余油量从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.效果：从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障总结出一次函数的定义，3x ,(2)5x ,(3)4x ,(4)223x x , 2x (6)12y x 中是一次函数的是_____,是正比例函数的是意图：对本节知识进行巩固练习。

效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果。

北师大版八年级上册数学《一次函数与正比例函数》说课稿

06
说教学过程
导入环节
教师可以通过一组数据，引导学生思考两个量之间的关系，比如：如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，那么行驶1小时可以行驶60公里，行驶2小时可以行驶120公里，行驶3小时可以行驶 180公里，行驶4小时可以行驶240公里。请问，这两个量之间是否有一定的关系呢？通过这个问题，教师可以引出正比例函数的概念。
巩固练习
巩固练习 1.已知y与x成正比例关系，且当x=5时，y=15。求当 x=8时，y的值为多少？ 2.小明每小时可以做20道数学题，他做了1小时，他做了多少道数学题？
课堂总结
课堂总结教师可以对本节课的重点进行总结，并强调学生需要掌握的知识点，以及需要在课后进行的巩固练习。
07
板书设计
数的理解和掌握。
04
说教学重难点
说教学重难点
教学重点：正比例函数的概念和性质，正比例函数的图像和特征。教学难点：通过实例应用正比例函数，深化对一次函数的理解和掌握。
05
说教法与学法
说教法与学法
本节课采用“启发式教学法”和“案例教学法” 相结合的教学方法。启发式教学法可以激发学生的兴趣和积极性，提高学生的学习效果；案例教学法可以让学生通过具体实例来理解和掌握知识点，加深对知识点的记忆。学生应该采取“主动学习法”，在课堂上认真听讲、积极思考，课后要做好课后习题，巩固所学知识。
一次函数与正比例函数
1.正比例函数的定义； 2.正比例函数的图像和特征； 3.一次函数和正比例函数的异同。
09
说教学反思
说教学反思
本节课的教学目标达到了预期效果，学生对正比例函数的概念和性质有了初步的了解，能够应用正比例函数解决实际问题，同时也深化了对一次函数的理解和掌握。但是，教学中也存在一些不足，比如教学内容的组织不够紧凑，板书设计不够清晰等，需要在今后的教学中加以改进。

北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)

另外，教学过程中，我对学生们的鼓励和表扬还不够，导致部分学生在面对困难时显得不够自信。在以后的教学中，我要更加关注学生们的情感需求，多给予鼓励和支持，帮助他们建立自信心。
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。

这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。

但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。

六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。

2.教学案例和实际问题。

3.绘图工具，如直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。

2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。

引导学生积极参与，提出问题和困惑。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。

可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。

4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。

可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。

北师大版初中八年级数学上册第四章一次函数2一次函数与正比例函数课件

第四章一次函数
2 一次函数与正比例函数
基础过关全练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念 1.(2024福建三明期末)在下列函数中,是正比例函数的是 ( C) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1 解析根据正比例函数的定义知选C.
2.(2023江苏徐州月考)已知函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, 则m,n满足 ( A ) A.m≠2,n=-4 B.m=2,n=4 C.m=2,n=-4 D.m≠2,n=4 解析 ∵函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, ∴m-2≠0且-n-4=0,解得m≠2,n=-4,故选A.
费恰好为10 000元.请问:该商店继续购进了多少件航天模型玩具? 解析 (1)依题意得y=1 000(x-50)=1 000x-50 000. (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有(m+ 1 000)件航天模型玩具. 依题意得(m+1 000)(60-50)×20%=10 000, 解得m=4 000. 答:该商店继续购进了4 000件航天模型玩具.
解析 (1)由题意可得, 方案一中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间的函数关系式是y=4x. 方案二中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间的函数关系式是y=5×3+5×0.7(x-3)=3.5x+4.5. (2)王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适. 理由:当x=20时, 方案一的花费为4×20=80(元),方案二的花费为3.5×20+4.5 =74.5(元),
.
(2)在(1)的条件下,设某户月用水量为x m3,应交水费为y(元),
写出y与x之间的关系式.

北师大版八年级数学第四章第二节 4.2一次函数与正比例函数

点拨：
正比例函数是一次函数的特殊情况（即当常数b=0时）。所以正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数
例2、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断： y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 1、汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系式为 y=60x ；
一般地，如果两个变量x,y 间的函数关系式，可以表示成 y=kx+b（ k,b为常数，且 k≠0 ）的形式，那么称 y是x 的一次函数。（x是自变量, y是因变量）特别地，当b=0 时，称 y是x 正比例函数。记为：y=kx
注意
1.自变量x的次数为1； 2.自变量x的系数k≠0；
说出以上几个一次函数的系数和常数
y是x的一次函数，也是x的正比例函数
2、一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y（cm），则y与x的关系式为 y=50+2x ；
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
3、某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50km 耗油9升。则油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程 x（km)之间的函数关系式为 y=100-0.18x ；
解：当月收入大于3500元而小于5000时， y=0.03×(x-3500). y=0.03x-105
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？解：当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
(3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
五、课堂练习
1、写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为的正比例函数？（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y，底边长为 x。答： y 9 1 。 x

北师大版八年级数学上册第四章一次函数一次函数与正比例函数

课堂检测
基础巩固题
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值．
解：(1)设y＝k(x－3)，把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，解得 k＝3，所以y＝3(x－3)，所以y＝3x－9， y是x的一次函数． (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
一次函数的简单应用
课后作业
作业内容
教材作业从课后习题中选取
自主安排配套练习册练习
吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，
所以BD= 1.x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
2
B
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x,
4
2
即 h 3 x.
2
所以h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
DC
课堂检测
拓广探索题
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0）
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是正比例函数
关系式为：y=kx (k为常数，k≠0）
探究新知
思考一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征：（1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
巩固练习
变式训练
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

2016年北师大版八年级上册第四章 一次函数4.2 一次函数与正比例函数

北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 知识点总结及练习

北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质