四川省资阳市2017届高三第二次高考模拟试题(数学理)(含答案)word版

资阳市2016—2017学年度高中三年级第二次高考模拟考试数 学（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U=R ，集合1{|}2A x x =≥，集合{|1}B x x =≤，那么U ()A B = ð（A ）1{|1}2x x x ≤≥或 （B ）1{|1}2x x x <>或（C ）1{|1}2x x << （D ）1{|1}2x x ≤≤2．已知i 是虚数单位，且,a b ∈R ，若2ii 1ia b -+=+，则a +b =（A ）0 （B ）12- （C ）1- （D ）2-3．设函数lg(),0,(),0,x x f x x x -<⎧=⎨>⎩则下列结论不正确的是（A ）10lim ()1x f x →-=（B ）1lim ()1x f x -→= （C ）2lim ()2x f x +→=（D ）0lim ()0x f x →= 4．“2a =”是“直线1l ：410ax y +-=与直线2l ：30x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数图象（A ）关于直线4x π=对称（B ）关于直线3x π=对称（C ）关于点(,0)4π对称（D ）关于点(,0)3π对称6．已知向量(2,1)=--a ，10⋅=a b ，||-=a b ||=b（A ） （B ） （C ）20 （D ）407．过抛物线2x y =焦点的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且||4AB =，则线段AB 中点到x 轴的距离是（A ）1 （B ）32 （C ）74（D ）28．三棱锥S －ABC 三条侧棱两两垂直，且2SA SB ==，SC =顶点都在球O 的表面上，则B 、C 间的球面距离是（A ）23π （B ）43π （C ）2π （D ）π9．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若32AF FB =，则椭圆的离心率等于（A ）25（B （C ）12（D ）2310．若函数()f x ,a b ∈R ）定义域为R ，则3a b +的取值范围是（A ）[2,)-+∞（B ）[6,)-+∞（C ）[6,)+∞（D ）[0,)+∞11．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（A ）90个（B ）120个（C ）160个（D ）180个12．已知数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈N ，现将该数列{}n a 的各项排列成如图的三角数阵：记(,)M s t 表示该数阵中第s 行的第t 个数，则数阵中的偶数2010对应于（A ）(46,16)M （B ）(46,25)M （C ）(45,15)M（D ）(45,25)M第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．13．若2822100110(1)(1)x x a a x ax a x ++=++++ ，则1210a a a +++ 的值为_______．14．若正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于______． 15．已知圆22:890C x x y -+-=，过点(1,3)M 作直线交圆C 于,A B 两点，ABC ∆面积的最大值为_____________.16．对于函数()f x ，若存在区间[,]M a b =（其中a b <），使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①2()34f x x x =-+；②()|21|x f x =-；③()cos2f x x π=；④()x f x e =．其中存在“稳定区间”的函数有__________ (填出所有满足条件的函数序号) ．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(,)b c a =+m ，(,)a b c =-n ，若//m n ，求： （Ⅰ）角B 的大小；（Ⅱ）cos(10)[120)]B B +︒⋅-︒的值． 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，M 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1C ∥面AB 1M ；（Ⅱ）在棱CC1上找一点N ，使MN ⊥AB 1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角M －AB 1－N 的大小． 19．（本小题满分12分） 在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示．（Ⅰ）求E ξ；（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率． 20．（本小题满分12分） 等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知数列123,,,,,n k k k k a a a a 成等比数列，其中11k =，22k =，35k =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n k 的通项公式； （Ⅱ）令21nn n a b k =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．若存在一个最小正整数M ，使得当n M>时，4n n S T >（*n ∈N ）恒成立，试求出这个最小正整数M 的值．21．（本小题满分12分） 已知一动圆P 与圆1M ：22(4)25x y ++=和圆2M ：22(4)1x y -+=均外切（其中1M 、2M 分别为圆1M 和圆2M 的圆心）． （Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若过点2M 的直线l 与曲线E 有两个交点A 、B ，求11||||AM BM ⋅的取值范围． 22．（本小题满分14分） 已知函数()1ln f x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）比较111(1)(1)(1)2!3!!n ++⋅⋅+ 与e 的大小（*,2n n ∈>N ，e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）对于函数()h x 和()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，b ，使得不等式()h x kx b ≥+和()g x kx b ≤+都成立，则称直线y kx b =+是函数()h x 和()g x 的“分界线”．设函数21()2h x x =，()[1()]g x e x f x =--，试问函数()h x 和()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出常数k ，b 的值．若不存在，说明理由．资阳市2016—2017学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1－5. BCDAD ；6－10. ACBAB ；11－12. DC.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．13．511； 14； 15．252； 16．②③． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．17．解：（Ⅰ）∵//m n ，∴()()()b c b c a a +-=， ············ 2分即222b c a -=，∴222cos 2a c b B ac +-==，∴30B =︒． ······ 6分（Ⅱ）cos(10)[120)]B B +︒⋅-︒cos40(1)=︒⋅︒cos 40=︒ ······················ 8分2sin 40cos40cos10︒=︒⋅︒ (10)分sin801cos10︒==︒．···························· 12分18．（Ⅰ）证明：连结A 1B ，交AB 1于P ，则PM //A 1C ，又PM ⊂面AB 1M ，A 1C ⊄面AB 1M ， ∴A 1C ∥面AB 1M ． ··························· 4分（Ⅱ）解：取B1C 1中点H ，连接MH ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，MB、MA 、MH 两两垂直，故分别以MB 、MA 、MH为x 、y 、z 轴，建立如图空间坐标系．设CN a =(02a <<)，则0)A ，1(1,0,2)B ，(0,0,0)M ，(1,0,)N a -，∴1(1,AB = ，(1,0,)MN a =-．由1(1,(1,0,)0AB MN a ⋅=⋅-= ，有120a -+=，解得12a =，故在棱CC 1上的点N 满足12CN =，使MN ⊥AB 1． ················ 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），(0,3,0)MA =，1(1,0,)2MN =- ，则0MA MN ⋅= ，MN MA ⊥ ，又1MN AB ⊥ ，则面AB 1M 一个法向量11(1,0,)2n MN ==- ．设面AB 1N 的一个法向量2(,,)n x y z =，1(1,AB =，1(1,)2AN =- ，由1220,0,AB n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,10,2x z x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取2912()55n =- ， ········· 10分则12121296cos ,||||n n n n n n +⋅<>===⋅， 故二面角M －AB 1－N的大小为 ················ 12分19．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以12的概率落入铁钉左边的空隙，同样以12的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则1(4,)2B η ．(6)(0,4)(0)(4)P P P P ξηηηη======+=或0044404411111C ()()+C ()()22228==， ·· 2分 (4)(1,3)(1)(3)P P P P ξηηηη======+=或1133314411111C ()()+C ()()22222==， ··· 4分 (2)(2)P P ξη===22241163C ()()22168===． ··············· 6分 则113642 3.5828E ξ=⨯+⨯+⨯=．···················· 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率12P =，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验， ······················ 10分则至少3次获得4分的概率33144441115C ()()+C ()22216P ==． ········· 12分20．解：（Ⅰ）由2215a a a =⋅，得2(1)1(14)d d +=⋅+，解得2d =，21n a n ∴=-， · 2分21n k n a k =-，又在等比数列中，公比213aq a ==，∴13n n k a -=，1213n n k -∴-=，1312n n k -+∴=． ···················· 6分（Ⅱ）121213n n n n a n b k --==-，则0121135213333n n n T --=++++ ，123111352321333333nn n n n T ---=+++++ ，两式相减得： 123122222211333333n n n n T --=+++++- 112122*********n n n n n --+=+⨯-=-，∴1133n n n T -+=-． ··········· 8分 ∵1121213(3)0333n n n n n n n n T T +-+++-=---=>，∴n T 单调递增，∴13n T ≤<．又2n S n =在*n ∈N 时单调递增． ······· 10分且11S =，144T =；24S =，248T =；39S =，39249T =；41612S =>，4412T <；…． 故当3n >时，4n n S T >恒成立，则所求最小正整数M 的值为3． ······ 12分21．解：（Ⅰ）动圆P 的半径为r ，则1||5P M r =+，2||1PM r =+，1212||||4||PM PM M M -=<，故点P 的轨迹E 是以1M 、2M 为焦点的双曲线的右支． ············ 2分设方程为22221()x y x a a b-=≥，知24a =，28c =，所以2a =，4c =，22212b c a =-=，故轨迹E 的方程为221(2)412x y x -=≥． ··················· 4分（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(4)y k x =-，联立方程组22(4),1,412y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ，得2222(3)816120k x k x k -+--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中12x ≥，22x ≥，且24222122212230,644(3)(1612)0,80,316120,3k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆=+-+>⎪⎪⎨+=->-⎪⎪--⎪=>-⎩解得23k >． ············ 6分双曲线左准线方程为1x =-．离心率2e =，根据双曲线第二定义，有1112||||211AM BM x x ==++， ∴11121212||||2(1)2(1)4(1)AM BM x x x x x x ⋅=+⨯+=+++ ·········· 8分2222161284(1)33k k k k --=-+--2225943k k +=⨯-2844(25)1003k =+>-， ······ 10分当直线l 的斜率不存在时，易求得11||||100AM BM ⋅=， ·········· 11分故11||||[100,)AM BM ⋅∈+∞． ······················ 12分22．解：（Ⅰ） ()1ln f x x x =--，1()1f x x'∴=-．∴当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数． 2分∴()f x 在(0,)+∞上的极小值也为最小值，且最小值为(1)0f =． ······ 4分 （Ⅱ）据（Ⅰ）知()1ln 0f x x x =--≥，知当0x >时， ln 1x x ≤-， ···· 6分 故当2n >时，111ln[(1)(1)(1)]2!3!!n ++⋅⋅+111ln(1)ln(1)ln(1)2!3!!n =++++++ 111(11)(11)(11)2!3!!n ≤+-++-+++-1112!3!!n =+++ 1111122334(1)n n ≤++++⨯⨯⨯-⨯ 111111(1)()()112231n n n =-+-++-=-<- ．故111(1)(1)(1)e 2!3!!n ++⋅⋅+< ． ···················· 8分（Ⅲ）令21()()()ln 2F x h x g x x e x =-=-（0x >），则()e F x x x '=-=（0x >），∴当x ∈时，()0F x '<， ()F x 是减函数；当)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 是增函数．∴()F x 的最小值0F =，则()h x 与()g x 的图象在x =)2e． (10)分设函数()h x 和()g x 存在“分界线”，方程为(2e y k x -=，有()2eh x kx ≥+-x ∈R 时恒成立，即2220x kx e --+在x ∈R 时恒成立，由2244(2)4(0k e k ∆=-=≤，得k 2ey =-． (12)分记()ln 2eG x e x =+（0x >），则()e G x x '=（0x >），当x ∈时，()0G x '>， 函数()G x 是增函数；当)x ∈+∞时，()0G x '<，函数()G x 是减函数．∴当x =()G x 取得最大值0，即()2eg x -在0x >时恒成立．综上所述，函数()h x 和()g x 存在“分界线”，其中k 2eb =-． (14)分。