高二双曲线练习题及答案(整理)

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双曲线专题 (优秀经典练习题及答案详解)

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线x a by ±=x b a y ±=顶点坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（）A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,01.解析：C2.设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）A ． ﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=12.解析A ：在椭圆C 1中，由，得椭圆C 1的焦点为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：﹣=1，故选A ．3.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.453.解析C ：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m .又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.4.已知双曲线的两个焦点为F 1（﹣，0）、F 2（，0），P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=2，则该双曲线的方程是（） A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y 2=1D.x 2﹣=14.解析C ：解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=（2）2=20．又∵|PF 1|•|PF 2|=2， ∴4a 2=20﹣2×2=16 ∴a 2=4，b 2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y 2=1．故选C ．5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 5.解析A ：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1. 6.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．86.解析C ：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C. 7.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7.解析：双曲线的右焦点(4,0)，点M (3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.8.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA + 的最小值为。

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ．二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0，即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)，将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==．在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =，由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=，即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅，化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确；在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确；若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误，将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±，故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ，因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，因为，所以的周长，因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为，当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ，所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____，双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝．其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2，焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

双曲线练习题及答案

运用双曲线的定义
例 1．若方程 x2 sin y 2 cos 1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则角所在象限是（）
A、第一象限
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
练习 1．设双曲线 x2 y 2 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15，则 P 点到 (5,0) 的距离是（） 16 9
双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式： 1：定义：双曲线上任意一点 P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
A．7
B.23
C.5 或 23
D.7 或 23奎奎奎奎奎奎奎
例 2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆 x 2 ＋ 5y2 =1 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个
10 32
焦点，则此双曲线的方程是（）。
（A） x 2 － y2 =1 （B） x 2 － y2 =1 （C） x 2 － y2 =1 （D） x 2 － y2 =1
课 1、[解析]设双曲线方程为 x2 4 y2 ，
当

0 时，化为
x2

y2
1， 2
5 10 20 ， 4
4
当

0
时，化为
y2

y2
1 ， 2
5 10 20 ， 4
4
综上，双曲线方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1
ππ 3 3
π

双曲线基础专项练习含解析

双曲线一、单选题（共29题；共58分）1.已知双曲线的焦距为，则的离心率为（）A. B. C. D.2.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2D.5.实轴长为的双曲线上恰有个不同的点满足，其中，分别是双曲线的左、右顶点.则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.6.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A. (－，0)B. (－，0)C. (－，0)D. (－，0)7.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A. B. 或C. D. 或9.双曲线的焦点坐标是( )A. B. C. D.10.已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. (1,2), C. D.11.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为时，的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. B. C. D.13.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.14.已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.15.双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. 或 C. D. 或16.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A. 2B.C.D.17.过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（）A. B. C. D.18.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.19.设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.20.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.21.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.22.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 323.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 或 D. 或24.若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A. B. C. D.25.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（）A. B. C. D.26.已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A. B. C. D.27.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.28.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）A. B. C. D.29.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（共12题；共13分）30.设为曲线上一点，，，若，则________．31.已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为________.32.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________33.双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为________.34.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．35.双曲线- =1的渐近线方程是________，实轴长为________．36.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．37.双曲线的一个焦点是，一条渐近线是，那么双曲线的方程是________38.已知双曲线（，）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为________.39.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为________．40.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.41.已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为________.三、解答题（共5题；共55分）42.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求的面积.43.已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．（1）求双曲线方程；（2）若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.44.已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.45.已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）求的面积．46.双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b= ，若l的斜率存在，M为AB的中点，且=0，求l的斜率．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知，所以，故，所以，故答案为：C.【分析】根据求得的值，进而求得双曲线离心率.2.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故答案为：C.【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．3.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】令，整理得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：D【分析】令双曲线的为，从而得到方程，化简后即得渐近线方程．4.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的，，，一个焦点设为，，一条渐近线设为，可得一个焦点到一条渐近线的距离为.故答案为：C.【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．5.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】依题意可得，，，设，则由，得，整理得.由，得，因为双曲线上恰有个不同的点满足，所以方程有两不等实根，所以只需，解得，则.故答案为：A【分析】先由题意，得到，，，设，根据，得，再与双曲线联立，消去，得到，根据双曲线上存在个不同的点满足，得到只需，求出，进而可求出离心率的范围.6.【答案】C【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由，可得，，由得，所以左焦点坐标为(－，0)故答案为：C【分析】将双曲线化成标准式，再结合双曲线的关系式求解7.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】【解答】由双曲线的离心率，且其右焦点为，可得，所以，所求双曲线的方程为，故答案为：B．【分析】由已知双曲线的离心率，右焦点为列式，得到，即可求出双曲线的标准方程.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所求双曲线的方程为: ;当双曲线的焦点在轴上时, ,又,即,所以,所以所求双曲线的方程为: .所以所求双曲线方程为: 或.故答案为：.【分析】根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论: 当双曲线的焦点在轴上时, ; 当双曲线的焦点在轴上时, ,结合可解得.9.【答案】D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由得,故,故焦点坐标为故答案为：D【分析】将化简成标准方程再进行焦点坐标运算即可.10.【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故答案为：．【分析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．11.【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线的两个焦点坐标为，设的坐标为，则△的面积为，，，代入双曲线方程解得，不妨取，，，故答案为：．【分析】求得双曲线的焦点坐标，利用△的面积为，确定的坐标，运用两点的距离公式，即可求得结论．12.【答案】B【考点】双曲线的应用【解析】【解答】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足，则，由，可知，则。

高二双曲线 - (答案)

第6讲双曲线随堂演练巩固1.已知双曲线2212yxa-=的一条渐近线为y=,则实数a的值为( )B.2D.4【答案】D【解析】由题意,=所以a=4.2.下列双曲线中,离心率为32的是( )A.2212x y-= B.2212yx-=C.22145yx-= D.22154yx-=【答案】C【解析】选项A1a b c,==,==所以e=ca==;选项B1a b c,=,===所以e=ca=选项C23a b c,=,===,所以32cea==;选项D23a b c,==,==,所以e=ca=.3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.22136yx-= B.22145yx-=C.22163yx-= D.22154yx-=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为22221(0yx aa b-=>,b>0),由题意知2239c a b=,+=,设1122()()A x yB x y,,,,则有:22112222222211x ya bx ya b⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=,⎪⎩两式作差得:22212122221212()124()155y y b x x b bx x a y y a a-+-===,-+-又直线AB的斜率是1501123--=,--所以将2245b a=代入229a b+=得2245a b=,=.所以双曲线的标准方程是22145y x -=. 4.(2011山东高考,文15)已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)和椭圆221169y x +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【答案】22143y x -= 【解析】由题意知22169a b +=-,即227a b +=, ①2=即22274a b a+=, ② 由①②得2243a b =,=.∴双曲线方程为22143y x -=.课后作业夯基基础巩固1.(2011安徽高考,文3)双曲线2228x y -=的实轴长是( )A.2B. C.4D.【答案】C【解析】双曲线方程2228x y -=化为标准形式为24x -218y =,∴24a =.∴a =2.∴实轴长2a =4.2.已知双曲线的方程为22221(0y x a a b-=>,b >0),点A,B 在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点2F ,|AB |1m F =,为左焦点,则△1ABF 的周长为( )A.2a +2mB.4a +2mC.a +mD.2a +4m【答案】B【解析】由双曲线的定义可知 |1AF |-|2AF |=2a ,|1BF |-|2BF |=2a , ∴|1AF |+|1BF |-(|2AF |+|2BF |)=4a . 又∵|2AF |+|2BF |=|AB |=m ,∴△1ABF 的周长为|1AF |+|1BF |+|AB |=4a +2m .3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m 等于( ) A.14-B.-4C.4D.14【答案】A【解析】∵221mx y +=可化为2211x y +=, 即2211x y -=,-∴2211a b m =,=-. 由题意22(2)b a ,=⋅,∴224b a =,即14m -=.∴14m =-.4.已知双曲线与椭圆221925y x +=的焦点相同,且它们的离心率之和等于145,则双曲线的方程为( )A.221124y x -= B.2214y x -= C.221412y x -= D.22112x y -= 【答案】C【解析】由于在椭圆221925y x +=中22259a b ,=,=,所以216c =,即c =4.又椭圆的焦点在y 轴上,所以其焦点坐标为(0,4)±,离心率45e =.根据题意知,双曲线的焦点也应在y 轴上,坐标为(04),±,且其离心率等于144255-=.故设双曲线的方程为22221(0y x a a b -=>,b >0),且c =4,所以a =12c =22222412a b c a ,=,=-=,于是双曲线的方程为221412y x -=.5.(2012山东临沂月考)若椭圆22221(y x a b a b +=>>0)的离心率为则双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为( ) A.12y x =±B.2y x =±C.4y x =±D.14y x =±【答案】A=所以224a b =. 故双曲线的方程可化为222214y x b b-=, 故其渐近线方程为12y x =±.6.若在双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.e >B.1e <<C.eD.1<e <2 【答案】C【解析】由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上,其方程为2c x =,依题意,直线2c x =与双曲线的右支有两个交点,故应满足2c a >,即2c a >,得e >2,选C.7.双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率是2,则213b a +的最小值等于( )D.【答案】A【解析】依题意2c a =,所以2224a b a+=,得223b a =,于是221311333b a a a a a ++==+≥=当且仅当13a a=,即a ,故213b a+ 8.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(2),+∞D.[2),+∞ 【答案】D 【解析】过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于直线l 的倾斜角,已知直线l 的倾斜角是60,从而b a ≥故2c a≥.9.已知过点P (-2,0)的双曲线C 与椭圆221259y x +=有相同的焦点,则双曲线C 的渐近线方程是 .【答案】y =【解析】由题意,双曲线C 的焦点在x 轴上且为12(40)(40)F F -,,,,∴c =4. 又双曲线过点P (-2,0),∴a =2.∴b ==∴其渐近线方程为b y x a=±=.10.已知圆C:22x y +-6x -4y +8=0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【答案】221412y x -= 【解析】圆C:22648x y x y +--+=0与y 轴没有交点.由20680y x x =⇒-+=,得圆C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a 22412c b =,=,=,所以双曲线的标准方程为221412y x -=. 11.在直角坐标系xOy 中,过双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )交双曲线右支于点P ,若M 为FP 的中点,则|OM |-|MT |= .【答案】b -a【解析】设双曲线的右焦点为1F ,连接1PF ,在△1PFF 中,M 、O 分别是PF 、1FF 的中点,所以|OM |-|MT |=12|1PF |-1(2|PF |-|TF |1)(2=-|PF |-|1PF |)+|TF |=b -a .12.若双曲线的渐近线方程为34y x =±,求双曲线的离心率.【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a 、b 、c 、e .(1)若双曲线的焦点在x 轴上,则34b a =,b =34a ,c =54a ==.故5544ac e a a ===.(2)若双曲线的焦点在y 轴上,则34a b =,b =43a ,c =5a ==.故5353ac e a a ===.综上可知,双曲线的离心率为54或53.13.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上1F ,、2F 分别为其左、右焦点.双曲线的左支上有一点123P F PF π,∠=,且△12PF F 的面积为又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.【解】设此双曲线方程为22221(0yx a a b-=>,b >0),1200(0)(0)()F c F c P x y -,,,,,.在△12PF F 中,由余弦定理,得|12F F |2=|1PF |2+|2PF |22-|1PF |⋅|2PF |⋅c os 3π=(|1PF |-|2PF |2)+|1PF |⋅|2PF |, 即2244c a =+|1PF |⋅|2PF |.又∵12PF F S=∴1|1PF |⋅|2PF |⋅sin3π= ∴|1PF |⋅|2PF |=8.∴22448c a =+,即22b =. 又∵2c e a ==,∴223a =.∴双曲线的方程为223122y x -=. 14.已知双曲线C:221(01)1y x λλλ-=<<-的右焦点为B,过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,使0OM ON ⋅=,点O 为坐标原点. 【解】设1122()()M x y N x y ,,,.由已知易求B(1,0),①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x =1, 设000(1)(1)(0)M y N y y ,,,->, 由0OM ON ⋅=,得01y =, ∴M (1,1),N (1,-1).又M (1,1),N (1,-1)在双曲线上,∴2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-.∵01λ<<,∴λ=②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为y =k(x -1).由 2211(1)y x y k x λλ⎧-=,⎪-⎨⎪=-,⎩得2222[(1)]2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ--+---+=. 由题意知:2(1)0k λλ--≠,∴221212222(1)(1)()(1)(1)k k x x x x k k λλλλλλλ----++=,=----. 于是22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=,-- ∵0OM ON ⋅=,且M 、N 在双曲线右支上.∴ 12121212000x x y y x x x x +=⎧⎪+>⎨⎪>⎩ ⇒ 222(1)11k k λλλλλλ-⎧=⎪+-.⎨⎪>-⎩⇒ 22(1)1110λλλλλλλλ-⎧>⎪-+-⎨⎪+->⎩23λ⇒<<.由①②,23λ≤<.拓展延伸15.已知双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)的离心率e直线l 过A(a ,0)、B(0,-b )两点,原点O 到l.(1)求双曲线的方程;(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若OM ⋅ON =-23,求直线m 的方程.【解】(1)依题意,直线l 的方程为1yx ab+=,-即bx -ay -ab =0,由原点O 到直线lab ==.又c e ==∴1b a =,=故所求双曲线的方程为2213x y -=.(2)显然直线m 不与x 轴垂直,设m 的方程为y =k x -1,则点M 、N 的坐标11()x y ,、22()x y ,是方程组22113y kx x y =-,⎧⎪⎨-=⎪⎩ 的解.消去y ,得22(13)660k x kx -+-=, ① 依题设2130k ,-≠,由根与系数的关系,知12x x +1222663131k x x k k =,=,--112212()()OM ON x y x y x x ⋅=,⋅,=+12y y =12x x +21212(1)(1)(1)kx kx k x x --=+-12()k x x ++1=22226(1)63131k k k k +-+--1=2631k +- 1. ∵23OM ON ⋅=-,∴2612331k +=-,-即12k =±. 当12k =±时,方程①有两个不等的实数根,故直线m 的方程为112y x =-或y =112x --.。

高二双曲线练习题及答案(整理)汇编

高二数学双曲线同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2+y 2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是（） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④2.若直线过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（）A .1条B .2条C .3条D .4条3.方程221()23x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（）A.2k >或3k <-B.3k <-C.2k >D.32k -<<4．方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k5．双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（）A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关7．双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（） A ．23 B ．3C ．34D ． 3 8．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x7． 9．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（）A ．28B ．22C ．14D ．12 10．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为y=x 34，则离心率为_______ 12.双曲线的一个焦点为F ，虚轴一个端点为B ，若直线FB 与该双曲线一渐近线垂直，求离心率为____________13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________． 14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 15.动点P 与点1(0,5)F -与点2(0,5)F 满足126PF PF -=,则点P 的轨迹方程为。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同（），那么可知，则可知双曲线的渐近线方程是，故选C.【考点】双曲线的性质，抛物线点评：解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示，属于基础题。

2.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A．1B．2C．D．3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评：本题涉及到的性质：3.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】画图。

抛物线的焦点，准线。

连接和EO，则，即有，所以点P到准线的距离等于2a，所以点P的横坐标为，由点P在抛物线上，得点。

又OP=OF=c，所以，解得。

故选D。

【考点】抛物线的性质；两点距离公式；双曲线的性质。

点评：本题几何问题，画图是关键。

一向以来，圆锥曲线是个难点，这需要我们平时多做一些题目提高认识、掌握知识。

4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设该双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），可得它的渐近线方程为y=±x，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点∴直线FB的斜率为k=FB∵直线FB与直线y=x互相垂直，∴-×=-1，得b2=ac∵b2=c2-a2，∴c2-a2=ac，两边都除以a2，整理得e2-e-1=0解此方程，得e=，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=，故选D。

【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质等知识。

点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．5.函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定双曲线的渐近线方程，求出倾斜角，即可得到结论．双曲线的渐近线方程为y=±x，其倾斜角为30°或150°。

《双曲线》练习题经典(含答案)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A )2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ B ）A ．x 2﹣y 2=1B ．x 2﹣y 2=2C ．x 2﹣y 2=D ．x 2﹣y 2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ）A ．B ．C ．或D ．4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线22ax －22b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A ．22B ．21C ．66 D ．365．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，）C ．（0，3）D ．（0，）6．设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ）A ．2B ．C ．D ．7．已知双曲线22219y x a-=的两条渐近线与以椭圆221259y x +=的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A ．54B ．53C ．43D ．658．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B )9．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点13，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 －y 27＝1 －y 23＝111．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ）A ．B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9<k ，259<<k ，25<k ，分别进行讨论．解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．典型例题二例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 说明：（1）注意到了与双曲线141622=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为141622=+--λλy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ 9021=∠PF F说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．典型例题四例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ 9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF ∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．典型例题五例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．说明：（1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．典型例题六例6 在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹．分析：要求点A 的轨迹，需借助其轨迹方程，这就要涉及建立坐标系问题，如何建系呢？解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()01，-B ，()01，C ．设()y x A ，，由A B C sin 21sin sin =-及正弦定理可得：121==-BC AC AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∵2=BC∴点A 在以B 、C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：()0012222>>=-b a by a x ， ∴12=a ，22=c ∴21=a ，1=c ∴43222=-=a c b ∴所求双曲线方程为134422=-y x ∵01>=-AC AB ∴21>x ∴点A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分典型例题七例7 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C 、⊙2C 的半径为1r 、2r 且21r r >，则当它们外切时，2121r r O O +=；当它们内切时，2121r r O O -=．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，112=-MC MC∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≥=-43134422y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：()215422≥=-x y x 说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一决问题是我们无休止的追求目标．典型例题八例8 在周长为48的直角三角形MPN 中，︒=∠90MPN ，43tan =∠PMN ，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．分析：首先应建立适当的坐标系．由于M 、N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知a PN PM 2=-，c MN 2=，所以利用条件确定MPN ∆的边长是关键．解：∵MPN ∆的周长为48，且43tan =∠PMN ， ∴设k PN 3=，k PM 4=，则k MN 5=．由48543=++k k k ，得4=k ． ∴12=PN ，16=PM ，20=MN ．以MN 所在直线为x 轴，以∴MN 的中点为原点建立直角坐标系，设所求双曲线方程为12222=+by a x )0,0(>>b a ．由4=-PN PM ，得42=a ，2=a ，42=a ．由20=MN ，得202=c ，10=c ．由96222=-=a c b ，得所求双曲线方程为196422=-y x ．说明：坐标系的选取不同，则又曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．典型例题九每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一例9 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ．由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ．说明：本题容易忽视a c PF -≥2这一条件，而得出错误的结论12=PF 或332=PF ．典型例题十例10 若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线122=-ty s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是( ) ．A ．s m -B ．)(21s m - C ．22s m - D ．s m -分析：椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到1PF 和2PF的关系式，再变形得结果．解：因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+．又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-．两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21．选(A)．说明：(1)本题的方法是根据定义找1PF 与2PF的关系．(2)注意方程的形式，m ，s 是2a ，n ，t 是2b ．典型例题十一每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一例11 若一个动点),(y x P 到两个定点)0,1(-A 、)0,1(1A 的距离之差的绝对值为定值a )0(≥a ，讨论点P 的轨迹．分析：本题的关键在于讨论a ．因21=AA ，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：0=a ，)2,0(∈a ，2=a ，2>a ．解：21=AA ．(1)当0=a 时，轨迹是线段1AA 的垂直平分线，即y 轴，方程为0=x ．(2)当20<<a 时，轨迹是以A 、1A 为焦点的双曲线，其方程为14142222=--ay a x ． (3)当2=a 时，轨迹是两条射线)1(0≥=x y 或)1(0-≤=x y ． (4)当2>a 时无轨迹．说明：(1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．典型例题十二例12 如图，圆422=+y x 与y 轴的两个交点分别为A 、B ，以A 、B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左方的交点分别为C 、D ，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．分析：求双曲线的方程，即需确定a 、b 的值，而42=c ，又222b a c +=，所每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一以只需确定其中的一个量．由双曲线定义a BC AC 2=-，又BCA ∆为直角三角形，故只需在梯形ABCD 的周长最大时，确定BC 的值即可．解：设双曲线的方程为12222=-bx a y (0,0>>b a )，),(00y x C (00<x ，00>y )，t BC =(220<<t )．连结AC ，则︒=∠90ACB ．作AB CE ⊥于E ，则有AB BE BC ⋅=2．∴4)2(02⨯-=y t ，即4220t y -=．∴梯形ABCD 的周长0224y t l ++=即10)2(21822122+--=++-=t t t l ．当2=t 时，l 最大．此时，2=BC ，32=AC ．又C 在双曲线的上支上，且B 、A 分别为上、下两焦点， ∴a BC AC 2=-，即2322-=a ． ∴13-=a ，即3242-=a ． ∴32222=-=a c b ．∴所求双曲线方程为13232422=--x y ．说明：解答本题易忽视BC 的取值范围，应引起注意．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。

《双曲线》练习试题经典(含答案解析)

《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是(A)A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（B）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（B）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞01有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（A）A．2 B．C．D．7的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为(B)A.3B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x ym nm n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的，则m等于( D )A ．9B ．4C ．2D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( A )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．83C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C ) A ．28 B ．14－82 C ．14＋8 2D ．8 213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ．C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学双曲线试题一：选择题1．双曲线()2210x y mn m n -=≠的离心率为2，有一个焦点与椭圆2211625x y +=的焦点重合，则m 的值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A2．以112422-=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 【答案】A3．设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且123||4||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于（）（A ）45（B ）315（C ）53（D ）210【答案】B4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F 1（﹣，0），F 2（，0），点P 是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（） A ．B ．C ．D ．解：设双曲线的方程为：﹣=1， ∵两焦点F 1（﹣，0），F 2（，0），且•=0，∴⊥，∴△F 1PF 2为直角三角形，∠P 为直角； ∴+===28；①又点P 是此双曲线上的一点， ∴||PF 1|﹣|PF 2||=2a ，∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，∴+﹣8=4a2，②由①②得：a2=5，又c2==7，∴b2=c2﹣a2=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，故选C．5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k FN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣y2=1解：设双曲线的方程为，渐近线方程为∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，∴，=1∴b=1，a=∴双曲线的方程为﹣y2=1故选A．8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得y=±．双曲线的一条渐近线方程是，∴则不妨设A （﹣2，），F （2，0）∵△FAB 是等腰直角三角形， ∴=4，解得：a=，b=4∴c 2=a 2+b 2=2+16=20， ∴双曲线的标准方程是故选C9..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心学率为3.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y += 【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为23，所以23==a c e ，2243a c =，222243b a ac -==，所以2241a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422±==，2254b y =，b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，所以52=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 10.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（） A ．B ．C ．D ．解：设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中2a=|AF 1|﹣|AF 2|=2，，∴离心率，故选B ．11.设双曲线的﹣个焦点为F ；虚轴的﹣个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值围是( C )A.33(,)33- B.(3,3)- C.33[,]33- D.[3,3]-13.如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.33 B 。

双曲线练习题(含答案)

双曲线练习题（含答案）双曲线及其标准方程习题、单选题(每道小题4分共56分)1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差丨|PA| |PB| | =2a(a 0);命题乙; P点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 A.充分非必要条件 C.充要条件 2. I若双曲线2kx 2B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件A .-132 ky 2= 1的一个焦点是B 亠8(0, 4)，则k 等于C .A323.点P 到点(6 , 0)与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于的轨迹方程是2x 252x252y- = i ii2y-=i 62x 612x112y-=i 252y-=i 254.2k v 5是方程—k10, [2+ -!= 1表示双曲线的5 6kA .既非充分又非必要条件 C .必要而非充分条件D . 5.如果方程x 2sin y 2cos =1表示焦点在 ]C •第二象限[ B.第三象限充要条件充分而非必要条件 y 轴上的双曲线，那么角的终边在A.第四象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线 x 2 A . - 92C . 「 9 若a • 双曲线且焦点在x 轴上双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴 D.第一象限4x2L=1162 X =116 5y + 25 = 0上的是2 2_ x y + — = 1 162X=1 16B .- 25 2D . — + 257. A . C . 8.b 0,则ax 2 ay 2=b所表示的曲线是 x []B.双曲线且焦点在y 轴上上D.椭圆2 2以椭圆 L + Z = i 的焦点为焦点，且过p(3, 5)点的双曲线方程为9 256 9y 2 25 2 y-=i 10 2 X =1 3 2 2y x =1 6 B • 1011y 2D. - 50 2 X =1 2 9. 到椭圆 25 2 + y = 1的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨 9 迹方程是 2 X25 2X 92 「=1 9 2 「= 1 7[]2 2B • X y =116 92 2 D • X y =17 910. 直线2X 5y + 20 = 0与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点 2 22 X yX A • -1 B • 84 16 16 2 22C • X —-1D • X 100 8416 为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是2 L=1 84 2y = 1或 842 84 11. A • 2 X 2 y -1或 2 y 2 XB5 20 5 202 2 2 2C • X y ，: -1或 y X -1D 5 20 10 15以坐标轴为对称轴，过 A(3 , 4)点且与双曲线距的双曲线方程是2 X 2 y --1有相等焦 5 20 []2 2 2 2 X y -1或yX -1 10 15 10 15 2 2 2 2 X y -1 或 X -1 20 5 15 10 12. 与双曲线2 X 5 2X9 13. 已知 x 215 2 L=1 20 2 「= 1 16 2丄 =1共焦点且过点 10(3 , 4)的双曲线方程是 2 X B • 2016 2 「= 1 5 2 「= 1 9 ab 0,方程y= 2x b 和bx 2 ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 []14.3已知△ ABC 一边的两个端点是A(7, 0)、B( 7,0)，另两边斜率的积是一,5[ ]双曲线的标准方程及其简单的几何性质1. 平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等 |EF|的点的轨迹是(A .双曲线C .一条线段D .两条射线值范围是(或 k< — 1那么顶点C 的轨迹方程是 2 2A . x + y = 49 2 2 5y x “ C . = 1147 49二、填空题(每道小题1.5y 2B . + 147 2D .—分共8分)x 2=149曲=1已知双曲线2y=1的焦距是 58，贝U k 的值等于2.设双曲线 2x~22y〒=1(a> 0, b> 0) , a 与b 恰是直线3x + 5y 0)， 15 = 0在x 轴与y 轴上的截距，那么双曲线的焦距等于一条直线2 •已知方程抚£ = 1表示双曲线,则k 的取A .— 1<k<1B .k>0 C . k > 0 k>13•动圆与圆x2+ y2= 1 和x2+y2—8x + 12= 0 都相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A・双曲线的一支B.圆C.抛物线D曲线2 24 •以椭圆；+:=1的焦点为顶点，以这个椭圆长轴的端点为焦点的双曲线方程是（A.,y2= 1 B . y2— f= 1 ex?—y2= 1C.3 4 =15 •“ ab<0”是“曲线ax2+ by2= 1为双曲线”）A •充分不必要条件B.必要不充分条件C・充要条件D.既不充分也不必要条件6•已知双曲线的两个焦点为Fi（—“5, 0）、F2O/5, 0），P是此双曲线上的一点，且PF i丄PF2,|PF 1||PF 2| — 2,则该双曲线的方程是( )翳一 £-1 B 学字 1C ； f -1D• x2- y4- 17•已知点F 1(-4,0)和F 2(4,0),曲线上的动点P 到 F 1、F 2距离之差为6,则曲线方程为(x 2y 2x 2y !A.- 一 y 一 1B.g 一 7 一 1(y>0)或 7 - y一 1 D.鲁—y一 1(x>0)F 1、F 2,在左支上过F 1的弦AB的长为5,若2a — 8,那么△ ABF 2 的周长是( ))x 2y C — 一丄8已知双曲线的左、右焦点分别为B . 18C .2 29•已知双曲线与椭圆+ 25=121共焦点，它们的离心率之和为曽，双曲线的方程是(2 2A —— 1A12 42 2C •-12+1 一 1512.中心在坐标原点，离心率为3的双曲线的焦点在上，则它的渐近线方程为（）D -疋+忙=1 D • 4 +1210•焦点为（0, 站）且与双曲线x2 —y 2= 1有相同渐近线的双曲线方程是 A x 2-亡=1A12 24()Y 2x 2BT2— 24 = 1C -24x 212占八.24— 12= 1x 211 •若 0<k<a ,则双曲线 a 2— k 2— b ?+A •相同的实轴B .相同的虚轴C •相同的D •相同的渐近线-b 2勺焦D . y =该双曲线的离心率为()：、填空题2, — 1),则双曲线标准方程是16.过双曲线,名长度为x 2 y 2 x 2 y 217•如果椭圆7+a 2=1与双曲线7-2 =相同，那么a= _________ .18•双曲线中+ yb = 1的离心率e € (1,2),则b 的取13.双曲线b 2—牛1的两条渐近线互相垂直，那么 A . 2 B. 3C. 2D ・32 214•双曲线£ —匕= 1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(A. 3B . 3C . 4D . 215.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点M(3,2)、N(—1的焦点且与x 轴垂直的弦的1的焦点值范围是19•椭圆乡+ 1与双曲线%—y2= 14 a a20•双曲线以椭圆鲁+25= 1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的的方程为___________ .焦点相同, 2倍，求该双曲线双曲线及其标准方程习题答案、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D2'34、填空题1. 10 2.双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、［答案］D2、［答案］A ［解析］由题意得（1 + k）（1 —k）＞0,・・・(k —1)(k + 1)<0,・・・一1<k<1.3、［答案］A ［解析］设动圆半径为r，圆心为O,x2+ y2= 1 的圆心为O1,圆x2+ y2—8x + 12= 0 的圆心为02,由题意得|001|= r + 1, |002|= r + 2, /.|002|—|00i| =r + 2—r —1 = 1<|01。

双曲线基础练习题(后附答案)

双曲线基础练习题（后附答案）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是（） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是（） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________.14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________. 16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题 1. 求以椭圆18522=+y x 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。

高二数学双曲线测试及答案

（10）双曲线一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分） 1．θ是第三象限角；方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是（） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切；则动圆心的轨迹为（）A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．双曲线虚半轴长为5；焦距为6；则双曲线离心率是（）A ．35 B ．53 C ．23 D ．32 5．过点P （2；-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A ．14222=-x yB ．12422=-y x C ．12422=-x yD ．14222=-y x 6．双曲线191622=-y x 右支上一点P 到右准线距离为18；则点P 到右焦点距离为（）A ．245 B ．558 C ．229 D ．532 7．过双曲线x 2-22y=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点；若|AB|=4；这样的直线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 8．双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是（）A ．y =±3xB ．y =±31x C ．y =±3xD ．y =±33x9．双曲线虚轴的一个端点为M ；两个焦点为F 1、F 2；∠F 1MF 2=120°；则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26C ．36 D ．33 10．设双曲线12222=-by a x （0<a <b ）的半焦距为c ；直线l 过（a ；0）；（0；b ）两点；已知原点到直线l 的距离为43c ；则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．332 二、填空题（本大题共4小题；每小题6分；共24分）11．11422=-+-t y t x 表示双曲线；则实数t 的取值范围是． 12．双曲线191622-=-y x 的准线方程是． 13．焦点为F 1（-4；0）和F 2（4；0）；离心率为2的双曲线的方程是．14．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点；圆心在此双曲线上；则圆心到双曲线中心的距离是．三、解答题（本大题共6小题；共76分）15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点；且以x y 34±=为渐近线；求双曲线方程．(12分)16．双曲线的中心在原点；焦点在x 轴上；两准线间距离为29；并且与直线)4(31-=x y 相交所得弦的中点的横坐标是32-；求这个双曲线方程．(12分)17．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面；其中A 、A ′是双曲线的顶点；C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点；B 、B ′是下底直径的两个端点；已知AA ′=14m ；CC ′=18m ；BB ′=22m ；塔高20m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．(12分)18．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点；M 是双曲线上一点；且3221=⋅MF MF ；求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）19．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸；在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒；已知A 在B 的正东方、相距6千米； P 为爆炸地点；（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．(14分)20．如图；已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|；点E 分有向线段−→−AC 所成的比为118；双曲线过C 、D 、E 三点；且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．(14分)A A'BB'C'C 20m14m18m 22mABE D C参考答案一．选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DACCAACCBA二．填空题（本大题共4小题；每小题6分；共24分） 11．t>4或t<1 12．y =59± 13．112422=-y x 14．316三、解答题（本大题共6题；共76分）15．(12分) [解析]：由椭圆1244922=+y x 5=⇒c ．设双曲线方程为12222=-b y a x ；则⎪⎩⎪⎨⎧=+±=253422b a a b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒16922b a 故所求双曲线方程为116922=-y x16．(12分) [解析]：设双曲线方程为12222=-by a x （a >0；b>0）；∵两准线间距离为29；∴c a 22⋅=29；得=2a 49c ；c c b 4922-= ①∵双曲线与直线相交；由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-)4(3112222x y b y a x 得0)916(98)9(222222=+-+-a b x a x a b ；由题意可知0922≠-a b ；且32)9(298222221-=--=+a b a x x 2297b a =⇒ ②A A'BB'C'COxy联立①②解得：92=a ；72=b 所以双曲线方程为17922=-y x ． 17．(12分) [解析]：（I ）如图建立直角坐标系xOy ；AA ′在x 轴上；AA ′的中点为坐标原点O ；CC ′与BB ′平行于x 轴．设双曲线方程为),0,0(12222>>=-b a b ya x 则.721='=A A a 又设B （11；y 1）；C （9；y 2）；因为点B 、C 在双曲线上；所以有,171122122=-by ① ,17922222=-by ② 由题意知.2012=-y y ③ 由①、②、③得.27,8,1221==-=b y y 故双曲线方程为.1984922=-y x 18．（12分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0；-5）、F 2（0；5）；由双曲线定义得：621=-MF MF ；联立3221=⋅MF MF 得 21MF +22MF =100=221F F ；所以△F 1MF 2是直角三角形；从而其面积为S =162121=⋅MF MF 19．(14分) [解析]：以直线AB 为x 轴；线段AB 的垂直平分线为y 轴；建立直角坐标系；则A （3；0）、B （－3；0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点∵P 在A 的东偏北60°方向；∴360tan == AP k ．∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-0)3(315422y x x y y x ⎩⎨⎧==358y x 得；即P 点的坐标为（8；35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）．20．(14分) [解析]：如图；以AB 的垂直平分线为y 轴；直线AB 为x 轴；建立直角坐标系；则CD ⊥Oy ．由题意可设A （-c ；0）；C （2c ；h ）；B （c ；0）；其中c 为双曲线的半焦距；AB c 21=；h 是梯形的高．由定比分点公式；得点E 的坐标为 c c c x E 19711812118-=+⨯+-=；h h y E 19811811180=+⨯+=．设双曲线的方程为12222=-b y a x ；由离心率a c e =．由点C 、E 在双曲线上；得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h a c b h a c 由①得1412222-⋅=a c b h ；代入②得922=a c 所以离心率322==a c e OxyA B PO x yA B E D C ① ②。