高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第3章 三角函数、解三角形 第5课时 Word版含解析

一、选择题 1．(2011·高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．(2012·高考山东卷)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3解析：选A.当0≤x ≤9，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.3．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.因为直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝π4.4．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是( )A ．－π2B ．0C.π2D ．π 解析：选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos2x ，此时函数是偶函数且在(0，π4)上是增函数．5．(2011·高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23 解析：选C.由解析式看出，图象过原点，所以T 4＝π3，T ＝4π3，2πω＝4π3，解得ω＝32.二、填空题6．函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：由y ＝12sin(π4－23x )，得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2k π≤23x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得 9π8＋3k π≤x ≤21π8＋3k π，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间为[9π8＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )．答案：[9π8＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8.(2011·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：如图可知T 2＝3π8－π8，即π2ω＝π4，所以ω＝2，再结合图象可得2×π8＋φ＝k π＋π2，k∈Z ，即|φ|＝⎪⎪⎪⎪k π＋π4＜π2，所以－34＜k ＜14，只有k ＝0，所以φ＝π4，又图象过点(0,1)，代入得A tan π4＝1，所以A ＝1，函数的解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 3 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.10．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.∴f (x )的值域为[－2，3]．当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．一、选择题1．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数y ＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍(纵坐标不变)得到的，而函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上单调递减，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) 解析：选D.由f (x )＝f (π－x )知：f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)．当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x 是增函数．又－π2<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)， 即f (3)<f (1)<f (2)． 二、填空题3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意的实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为________．解析：由条件f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，可知x ＝π3为函数图象的一条对称轴，所以该函数在x ＝π3处应取得最大值或最小值，故f ⎝⎛⎭⎫π3＝3或－3. 答案：3或－34．(2013·绍兴检测)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中准确命题的序号是________．(把你认为准确的命题序号都填上)解析：函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式 得f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，知②准确． 因为曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋π3＝4sin0＝0， 所以点⎝⎛⎭⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③准确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝⎛⎭⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，所以命题④不准确．答案：②③ 三、解答题5．(2013·上海静安质检)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.(1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32 ＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为π.令sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝0， 得2x －π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故所求对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 即f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.。