【全国百强校】天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

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【全国百强校】天津市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(pdf版)

A．11 B．9 C．7 第Ⅱ卷 D．5
), x

为 f ( x) 的零点， x

4
为
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 sin cos
1 , 且 , 则 cos sin 的值为________． 8 4 2 12．已知函数 f ( x) a sin x b tan x 1(a, b R), 若 f (2) 2018 ，则

f ( ) f ( ) ，则 f ( x) 的单调递增区间是（） 2
A． [k

6
B． [k , k ](k Z ) , k ](k Z ) 3 6 2 2 C． [k , k ](k Z ) D． [k , k ](k Z ) 6 3 2 9．定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) f ( x 2), 当 x [1,3] 时, f ( x) 2 | x 2 |, 则( ) 2 2 A． f (sin ) f (sin ) B． f (sin ) f (cos ) 3 6 3 3 C． f (cos
f (2) ________。 13．在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 3 ，
sin B
11 b sin 2C , C ,若，则 b ________． 6 3 2 a b sin A sin 2C
14．将函数 f ( x) 2 sin( x
C．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
7．函数 y ( ) A．2
1 的图象与函数 y sin x(2 x 4) 的图象所有交点的横坐标之和等于 1 x

天津市2018-2019年高二上学期期末考试质量评估数学试题

高二年级上学期期末质量评估试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线化为，斜率设直线的倾斜角为，则，结合，可得，故选D.2. 已知圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆锥的母线长为，底面半径，则由圆锥的侧面积公式得，故选C.3. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，抛物线的准线方程为，故选D.4. 圆心为，半径长为的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，可化为，故选A.5. 已知球的表面积为，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为球的表面积是，所以球的半径为，所以球的体积为，故选D.6. 已知直线，，平面，若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“”不能推出“”，若“”，由线面垂直的定义可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程，化为表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选B.8. 如图，二面角的大小为，，为棱上相异的两点，射线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若线段，和的长分别为，和，则的长为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】与夹角的大小就是二面角，可得，故选A.9. 已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（）A. 若，则双曲线离心率的取值范围为B. 若，则双曲线离心率的取值范围为C. 若，则双曲线离心率的取值范围为D. 若，则双曲线离心率的取值范围为【答案】C【解析】若，，得，若，时，双曲线离心率范围，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于的不等式，最后解出的范围.10. 若正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹为（）A. 三段圆弧B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段【答案】A【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.填空题：本大题共6小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共20分。

天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为（A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3) （C）(，0)（D）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x e x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00x ex ≥（C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为（A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于（A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值（C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =-（C ）21nn a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-，(1,2,0)AC =-，(0,2,0)AD =-，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）(),0(1,)-∞+∞（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-与9(3,,)2b λ=平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）．（Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值；（Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．得分评卷人19．（本小题满分12分）已知椭圆C：221 2xy+=．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．51215．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分（Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分（Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分 ∴5(35)2nn T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-，(2,0,0)AB = ∵110440BC AC ⋅=+-=， 10000AB AC ⋅=++=，所以11BC AC ⊥,1AB A C ⊥. ∵1ABBC B =,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC 又∵AB AC ⊥，1ABAA A =,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-，11(0,2,3)AC =-, 设平面111A B C 的一个法向量为n (,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n (2,3,2)=， .……………………9分∴317cos ,17AC n AC n AC n⋅==.……………………11分显然二面角111B A BC --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =,∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480mm m =--=->.∴m << ① .……………………5分则1243mx x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=.∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x+≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞ 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mxx x -=-在(0,1)(1,)+∞内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞内是否有解.设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-=(0,1)(1,)x ∈+∞, 可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞上恒成立.∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。

天津市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

天津一中2018-2019-2高二年级数学学科模块质量调查试卷一．选择题1.某学校高一、高二年级共有1800人，现按照分层抽样的方法，抽取90人作为样本进行某项调查.若样本中高一年级学生有42人，则该校高一年级学生共有（）A. 420人B. 480人C. 840人D. 960人【答案】C【解析】【分析】先由样本容量和总体容量确定抽样比，用高一年级抽取的人数除以抽样比即可求出结果.【详解】由题意需要从1800人中抽取90又样本中高一年级学生有42人，所以该校高一年级学生共有.故选C【点睛】本题主要考查分层抽样，先确定抽样比，即可确定每层的个体数，属于基础题型.2.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】A【解析】考点：函数导数与极值3.某研究机构在对具有线性相关得到如下数据，由表中数据求得y关于x）D. 0【答案】B【解析】【分析】先利用回归方程的性质求出a的值，再利用古典概型的概率公式求解.所以3=0.7×6+a,所以a=-1.2,四个点中有两个点（3,1）和（7,4）落在直线的下方，故选：B【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质，考查二元一次不等式的平面区域，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A. 频率分布直方图中a的值为 0.040B. 样本数据低于130分的频率为 0.3C. 总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D. 总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等【答案】C【解析】【分析】130的频率为1总体分布在的频数不一定与总体分【详解】由频率分布直方图得：A错误；样本数据低于130分的B错误；的频率为：1C正确；的频数一定与样本分布在的频数相等，D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.5.）【答案】D 【解析】【分析】A 、B 两位同学至少有一人站在两位同学至少有一人站在两端的概率．A 、B∴A、B故选：D ．【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A考点：函数的图像7.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A A队的得分高于B队的得分的概率为（）【答案】C【解析】【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A 第三局胜，另外三局两负一胜，由此能求出比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率．【详解】解：比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有3种；A全胜，A三胜一负，A第三局胜，另外三局两负一胜，∴比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为：故选：C．【点睛】本题主要考查互斥事件和独立事件的概率，独立重复性事件试验的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.，【答案】B【解析】【分析】利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．【详解】当x=111所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为（1，m）,当x=1时，g(1)=0,当x=22x=2与函数g(x)的图像的交点为（2，-2），当x=22x=2与函数h(x)的图像的交点为（2，ln2+m）,得【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二．填空题9.__________．【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查了双曲线的方程以及几何概型的概率公式，属于基础题．10.一批排球中正品有m个，次品有n 个，取一个，有放回地抽取10次，X p＝___________【解析】【分析】【详解】由题意知，随机变量，，则，故答案为：【点睛】本题主要考查二项分布方差的计算,考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.__________．【解析】.相切，则 (1)上，所以 (2)由（1）（2点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线在某点处的导数值即为该点处的切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切线在切线上，列出方程组求解，属于中档试题.12.某公司16个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为0.25，则这组数据的中位数为________【答案】27【解析】【分析】根据题意分析得到【详解】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为 0.25，故答案为：27．【点睛】本题主要考查茎叶图和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理的能力.13.________．【解析】【分析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求解指数不等式得答案．【详解】解：由由因为x∈R，故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.a的取值范围为________【解析】【分析】，时，令，递增，在故答案为：．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三．解答题15.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出．（1）求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）记X为选出的4名同学中女生的人数，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)56种 (2)见解析【解析】【分析】（1）利用间接法求出选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数；（2）由题得X 的可能取值为 0，1，2，3．再求出它们对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】解：（1其中有3所以选出的 4 名同学中至多有2（2）X 的可能取值为 0，1，2，3．，∴X 的分布列为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有3台机器．乙车间32万元，恰有一台机器发生故障仍可获利1万元，恰有两台机器发生故障的利润为0万元，三台机器发生故障要亏损3万元．（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依据，你认为哪个车间停产比较合理．【答案】(1) 见解析(2) 甲车间停产比较合理．【解析】【分析】（1 0，1，2，3,再求对应的概率，写出乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）先分别计算出两个车间利润的期望再比较得解.【详解】解：（1 0，1，2，3；，∴乙车间每天机器发生故障的台数（2X；由（1【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.（1）求实数的值；（2.【答案】（1，（2）最大值为【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x【详解】（1，（2）由（1）得，函数，∴在在上单调递减，在上的最小值为在上的最大值为.在上的最大值为，最小值为【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.18.（1（2（3 b的取值范围【答案】（Ⅱ）见解析；【解析】【分析】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)b 的取值范围即可.【详解】(Ⅰ)，(Ⅱ)在,，在,.(Ⅲ)时,在上单调递减,在，，即因为当,即实数取值范围是所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，利用导数求解切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.两点，满足.（1.（2.【答案】（1（2【解析】【分析】（1A（2）设于是可得直线MP和NP的方程，进而得到点R和点Q的横坐标，【详解】（1解得，整理得，．（2）设则直线MPR同理可得直线NP的方程为Q，∴ ，【点睛】本题主要考查椭圆离心率和椭圆标准方程的求法，考查计算能力和转化能力．解题的关键是根据题意及椭圆中基本量的关系得到所求的结果．另外，由于椭圆中的计算比较复杂，所以在运算中要注意计算的技巧和运算的准确性．。

【精编】天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(精品解析)

天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可判断函数的极值情况。

天津市2018 2019高二数学上学期期末考试试题

学年度第一学期期末六校联考2018～2019 高二数学分）8小题，共40一、选择题（每小题5分，共i21??z i??z，则）（1．复数i1?0A1D． B．． C．??a a的值为（项和为2．已知等差数列，且，则的公差为2），前8n CB．15 ．14 D．13A．16．下列叙述中正确的是（）32R?a,b,c0?ax?bx?c?x?R,20b??4ac．若A”，则“”的充分条件是“c?aRc?a,b,22cbab?B”的充要条件是“，则“”．若220R,x??x?0??R,x?x”的否定是“C．命题“”00????aa1q?0?是等比数列，则是D．为单调递减数列的充分条件nn22yxF)0?a?b??1(0?y22x??42，且与椭圆已知直线经过椭圆的左焦点4．122ab yMN?MF F，则是椭圆的右焦点,在第二象限的交点为M，与，轴的交点为N且22椭圆的方程为（）222222yxyxxx22?y??11?y1??1?? D ．A．．C ．B910440555．如图所示，在长方体ABCD－ABCD中，AD＝AA＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点11111E到平面ACD的距离为（）12 B． A ．31． D ．C 23的（，），则6 是．已知 B．必要不充分条件 A．充分不必要条件．充要条件C ．既不充分也不必要条件Dxf'(x)?f(x)0x?，若．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，7，则不x?f(x)?0的解集为（等式）或B A．．或．或D或C ．22yx222ayx??1??延长的左焦点作圆过双曲线8交．，切点为的切线，22ba12FPFE?cxy?4，则双曲线的离心率是（，若）于点抛物线112 5535?1?31?．D． C． AB．2222二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）22yx??1__________.表示椭圆，则．已知方程的取值范围为92?k5?k4且，若为列的，前项和10．设公比比为的正项等数__________.，则uuruuur ABCP?是棱中，棱长为2，中点，则的值为__________.11．在正四面体且E BC?PE11b??14a?2b?的最小值等于，__________. ．已知，则12，且aba2p?0A,B l px?2yF过焦点的直线分别交抛物线于（，准线为.）13．设抛物线的焦点为AF?3BF D,BCA,CDFl的面若. 作两点，分别过，且三角形的垂线，垂足为p3的值为，则积为___________.x e x?3)xklnx?(1??f(x)?3k则实数唯一的极值点，若14．已知函数是函数的，3x__________. 取值范围为分）小题，共806三、解答题（共a?1(2n?1)a?(2n?3)S*N?n，其中13．15（分）数列. ，的前项和为已知n?11n S??n??是等比数列；（Ⅰ）证明：数列2n?1????S项和. （Ⅱ）求数列的前n20?x x)?x?)f(x?ln(x?a. 16．（13分）已知函数在处取得极值(1))f)(1,f(x（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；5x?)??bf(x上恰有两个不同的实数根，求实数的取的方程在区间（Ⅱ）若关于2. 值范围BC?ABCACABC??DBEA，，平面17．（13分）在如图所示的多面体中，，平面2AE??AC?BCBD?2ABM. ，且的中点是EMCM?（Ⅰ）求证：；BCDEMC与平面所成的二面角的正弦值；（Ⅱ）求平面MNNDC，使得直线（Ⅲ）在棱与上是否存在一点NEMC60?若存在，指出点的位置；平面. 所成的角是. 若不存在，请说明理由1???a?1a1a?*N?n 1318．（分）已知数列满足，，其中1?n1n4a n2?????b ab的通项公式；是等差数列，并求出，求证：数列（Ⅰ）设nnn12?a n4a1??mn?T cc T n?c的前项和为数列，，是否存在正整数，（Ⅱ）设使得n n2n?nn c?c n?11?mm m*Nn?的最小值，若不存在，请说明理由恒成立，若存在，求出对于.??4,0?A?e C0)b?a??1(?，，左顶点为：．（1914分）已知椭圆的离心率221yx??y0?kkOClEDA点为坐标原. 轴于点，交于点交椭圆的直线作斜率为过点．222ab.??0kk?EQ?QOP ADP，若（Ⅱ）已知为，对于任意的的中点，是点C的方程；（Ⅰ）求椭圆否存在定点都有Q的坐标；若不存在说明理由；存在，求出点OM COl M的最大值于点（Ⅲ）若过，求点作直线.的平行线交椭圆AE?AD2R?a ax?x)?ln?2xf(x. 分）已知函数，1420．（处取得极值，求（Ⅰ）若的值；在g(x)?f(x)?(a?4)xg(x)的单调性；（Ⅱ）设，试讨论函数f(x)?f(x)?3xx?x?x：证满正存，）（Ⅲ当时若在实数足求，2121121?x?x. 212．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A31e6?k??k?2且?5k?1?346? 12．．． 13 14． 10．9．2 11327215．，∴，（Ⅰ）证明：∵，∴，∴又，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.………………………… 6分）知，，（Ⅱ）由（1∴，∴，①. ②①-②得，. ………………………… 7∴分．16时，（Ⅰ）取得极值，故解得经检验.符合题意。

天津市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(PDF)

天津一中2018-2019-2高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I 卷(试题)、第II 卷(答题)两部分,共100分,考试用时90分钟。

考生务必将答案涂写答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利! 一、选择题:(每小题3分,共24分） 1. 在复平面上,复数2ii+对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U=R,集合A={x|x 2-2x≥0},B={x|y=log 2(x 2-1)}, 则B∩∁U A =A. [1,2)B. (1,2)C. (1,2]D. (-∞,-1)∪[0,2] 3. 设函数f(x)=23x xe -(e 为自然底数),则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是A. 0<x<1B .0<x<4C. 0<x<3D. 3<x<44. 设x ∈R,则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-2≤x ≤3”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知a=0.36,b=log 36,c=log 510,则 A. c>a>bB. a>c>bC. b>c>aD. a>b>c6. 已知函数f(x)=ln(|x|+1)-(x 2+1)-1,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 解集为A. (13,1)B. (-∞,13)∪(1,+∞)C. (-13,13)D. (-∞,-13)∪(13,+∞)7. 已知函数f(x)=2,11,1x ax x ax x ⎧-+≤⎨->⎩,若∃x 1、x 2∈R,x 1≠x 2,使得f(x 1)=f(x 2)成立,则a 的取值范围是.A. a>2B. a<2C. -2<a<2D. a<-2或a>28. 已知函数f(x)=x 2+mx+2,x ∈R,若方程f(x)+|x 2-1|=2在(0,2)上有两个不等实根,则实数m 的取值范围是 A. (-52,-1) B. (-72,-1] C. (-72,-1) D. (-52,-1] 二、填空题:(每小题4分,共24分)9. 已知a 为实数,若复数a+103+i是纯虚数,则a= .10. 设全集U=R,集合P={x ∈P|1≤x ≤3},Q={x ∈R|x 2≥4},则P ∪∁U Q= . 11. “∀x ∈R,x 2+2x+1>0”的否定是 .12. 函数f(x)=22,1log ,1x x x x ⎧<⎨-≥⎩的值域为 .13. 已知函数f(x)=21,0lg(1),0x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,若f(2-a 2)>f(a),则实数a 的取值范围是 .14.已知函数f(x)=3-x +a 的图像经过第二、三、四象限,g(a)=f(a)-f(a+1),则g(a)的取值范围是 .三、解答题:(共5题,52分)15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中男生的人数. (1)请列出X 的分布列;(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率.16. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;(2)记实验次数为X ,求X 的分布列及数学期望.17. 已知函数f(x)=ln(x+a)-x 2-x 在x=0处取得极值. (1)求实数a 的值; (2)若关于x 的方程f(x)= 52x b -+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围.18. 已知椭圆:22221x y a b+=(a>b>0)的焦距为其上下顶点分别为C 1、C 2,点A(1,0),B(3,2),AC 1⊥AC 2. (1)求椭圆的方程;(2)点P 的坐标为(m,n)(m≠3),过点A 任意作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点,设直线MB 、BP 、NB 的斜率依次成等差数列,探究m 、n 之间是否满足某种数量关系,若是,请给出m 、n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由．19. 已知函数f(x)=ln()x a x-, (1)若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x ﹣y=0平行,求a 的值； (3)若x>0,证明: ln(1)1x x xx e +>-(其中e=2.71828…是自然对数的底数).参考答案一、选择题:(每小题3分,共24分） 1. D 2. B 3. A 4. D 5. C6. A7. B8. C二、填空题:(每小题4分,共24分) 9. -310. (-2，3]11. ∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+1≤0 12. (-∞，2) 13. (-2，1) 14. (2，+∞)三、解答题:(共5题,52分) 15. 解：（1）设x 的取值分别为0，1，2，3，4（超几何分布）4644()(0,1,2,3,4)k kC C P x k k C -=== ()01234.2103572114105E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）设选出4人中至少有3名男生事件为A8119()(3)(4).211442P A P x P x ==+==+= 16. 解：（1）设第一次实验恰好摸到一个红球和一个白球事件为A1126283()=.7C C P A C =（2）设x 的取值分别为1，2，3，42112262821126242228622211642222228642222642222286413(1)=28()9(2)=28(+)5(3)=281(4)=28C C C P x C C C C C P x C C C C C C C P x C C C C C C C P x C C C +==+======()1234.2828282814E x =⨯+⨯+⨯+⨯=17. 解：（1）1'()21f x x x a=--+由'(0)0f = 即1101a a-=∴=2(23)()ln(1)'()1x x f x x x xf x x -+=+--=+经检验1a =符合题意.（2）由5()+2f x x b =-可知， 23=ln(1)2b x x x +-+设23()ln(1)+([0,2])2g x x x x x =+-∈ 13(1)(45)'()2x x g x x --+=-+=1(1)ln2+2g =(2)ln31g =-证明可知b 的值范围是：1ln31ln 2.2b -≤<+ 18. 解：（1）1212(0,),(0,).(1,),(1,)C b C b AC b AC b -=-=--由12AC AC C ⎧⋅⎪⎨=⎪⎩ 即21b C ⎧=⎪⎨=⎪⎩a =椭圆方程：2213x y +=（2）当直线MN 为x轴时，0),(0)M N =2,3MB BP NB n K K K m -===-由2+BP MB NB K K K =即2(2)3n m -=-1m n ∴-=当直线MN 方程：1122221(,),(,)230x ty M x y N x y x y =+⎧⎨+-=⎩22(3)220t y ty +++=12122121222222,,3333223MB BP NB BP MB NB t y n y y y K K K t x m x y y K K K t ----⎧+====⎪+---⎪⎨-⎪==+⎪+⎩由 1212121221212122(2)2222()2()82(2),3332()43n y y ty y y y t y y n m x x t y y t y y m ----+-++-=+=----++- 2(2)=23n m--1m n ∴-= 综上 1.m n -=19. 解：（1）当1a =-时，ln(1)()x f x x+=的定义域(1,0)(0,)-⋃+∞ 22ln(1)(1)ln(1)1'()(1)xx x x x x f x x x x -+-+++==+设()(1)ln(1)(0)g x x x x x =-++>'()1ln(1)1ln(1)0g x x x =-+-=-+< ()g x ∴在(0,)+∞上递减 ()(0)0g x g <= '()0f x ∴<()f x ∴在(0,)+∞上减函数（2）22ln()()ln()'()=()xx a x x a x a x a f x x x x a ------=- 由'(1)=1f 可知1ln(1)11a a--=- ln(1)1aa a =-- =0a ∴（3）由ln(11)1x x xx e e e-+=- 需证明ln(1)1x x xx e +>- 只需证明ln(1)ln(11)1x x x e x e +-+>- 由（1）可知()f x 在(0,)+∞是减函数故只需证明1xx e <-对0x ∀>成立设()1xh x e x =--'()10x h x e =->()h x ∴在(0,)+∞上递增 ()(0)0h x h >=故1xx e <- 故ln(1)1x x x x e +>-成立。

2018-2019学年天津市高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年天津市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P 的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【解答】解：+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M （1，2，1），N（2，1，0），…（3分）（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…（4分）∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…（3分）所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（4分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）。

天津市部分区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷

天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上3．.考试结束后保留试卷方便讲解，只交答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案填在下表中.1．双曲线2212x y -=的焦点坐标为（A ）(3,0)-，(3,0)（B ）(0,3)-，(0,3)（C ）(，（D ）(0,，2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x <”的否定是（A ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x > （B ）0(0,)x ∃∈+∞，使得00xe x ≥ （C ）(0,)x ∀∈+∞，均有xe x > （D ）(0,)x ∀∈+∞，均有x e x ≥ 3．复数1ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为（A ）1i -- （B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +4．已知a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．设公比为2-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5112S =，则4a 等于（A ）8 （B ）4（C ）4-（D ）8-6．已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x （A ）有极小值，无极大值（B ）无极小值，有极大值（C ）既有极小值，又有极大值（D ）既无极小值，又无极大值7．在数列{}n a 中，13a =，121n n a a +=-()n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（A ）21n a n =+（B ）41n a n =- （C ）21n n a =+（D ）122n n a -=+8．在空间四边形ABCD 中，向量(0,2,1)AB =-u u u r，(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,2,0)AD =-u u u r ，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（A ）13 （B ）3（C ）13-（D ）3-9．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线28y x =的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN ∆为正三角形，则双曲线的方程为（A ）221824x y -= （B ）2211648x y -= （C ）2212472x y -=（D ）22164192x y -= 10．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，且满足()()0f x f x '+<，设()()xg x e f x =⋅，若不等式2(1)()g t g mt +<对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）(),0(1,)-∞+∞U（B ）()0,1 （C ）(),2(2,)-∞-+∞U（D ）()2,2-第Ⅱ卷（共80分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为__________________． 12．已知向量(2,1,3)a =-r 与9(3,,)2b λ=r 平行，则实数λ的值为_____________．13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a b +的最小值为__________． 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，986S a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项的和为_____________．15．已知离心率为322221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=uuu r uuu r，且12PF F ∆的面积为4，则椭圆的方程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知复数22(2)(23)z m m m m i =++--，m ∈R （i 为虚数单位）．（Ⅰ）当1m =时，求复数1zi+的值；（Ⅱ）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n n nS -=()n ∈*N ，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，已知多面体111ABCA B C 中，1AA ，1BB ，1CC 均垂直于平面ABC ，AB AC ⊥，14AA =，11CC =，12AB AC BB ===．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求二面角111B A B C --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2212x y +=．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y x m =+（m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB ⋅=uu r uu u r ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．（本小题满分12分）已知函数3222()32a f x x x x +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0m <时，试判断函数2()(2)1()ln 1f x a x mxg x x x x '++-=--（其中()f x '是()f x 的导函数）是否存在零点，并说明理由．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．20x y -+= 12．32- 13． 14．512 15．221124x y += 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（Ⅰ）当1m =时，34z i =-,∴34171122z i i i i -==--++. ………….……………6分（Ⅱ）∵复数z 在复平面内对应的点位于第二象限,∴2220230m m m m ⎧+<⎨-->⎩…………………………………………9分解得21m -<<-，所以m 的取值范围是(2,1)--. …………………………………12分17．（12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时1n n n a S S -=-，2233(1)(1)22n n n n ----=-32n =-， …….…………………………3分当1n =时，111a S ==也适合上式,∴32n a n =-. …….…………………………4分 ∴11b =，516b =.设数列{}n b 的公比为q ，则416q =.∵0q >，∴2q =，∴12n n b -= …………………………………………7分（Ⅱ）由（1）可知，1(32)2n n c n -=-⋅，∴12n n T c c c =+++L 22114272(35)2(32)2n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ①，21212422(35)2(32)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ②， ……9分由①－②得，2113(222)(32)2n n n T n --=+⨯+++--⋅L122213(32)212n n n --⨯=+⨯--⋅- ………………………11分∴5(35)2n n T n =+-⋅. ………………………………12分18．（12分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，()0,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,2B ，()10,2,1C . ………………1分（Ⅰ）证明：1(2,2,1)BC =-，1(0,2,4)AC =-uuu r ，(2,0,0)AB =u u u r∵110440BC AC ⋅=+-=uuu r uuur ， 10000AB AC ⋅=++=uu u r uuur ，所以11BC AC ⊥,1AB AC ⊥.∵1AB BC B =I ,∴1AC ⊥平面1ABC ..…………………5分（Ⅱ）由题意可知，1AA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥AC又∵A B A C ⊥，1AB AA A =I ,∴AC ⊥平面ABC .∴平面1ABB 的一个法向量为(0,2,0)AC =u u u r. .……………………7分∵11(2,0,2)A B =-uuu u r ，11(0,2,3)AC =-uuu u r , 设平面111A B C 的一个法向量为n r(,,)x y z =，则1111220230A B n x z AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩uuu u r r uuu u r r ，取2x =, 所以平面111A B C 的一个法向量为n r(2,3,2)=， .……………………9分∴cos ,AC n AC n AC n⋅==uuu r ruuu r r uuu r r .……………………11分显然二面角111B A B C --为锐二面角, ∴二面角111B A B C --. …………………………12分 19．解：（12分）（Ⅰ）由题意可知：22a =，21b =, ∴2221c a b =-=,∴2c e a ==. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y 22(,)B x y ，由2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 得2234220x mx m ++-=，()2221612222480m m m =--=->V .∴m << ① .……………………5分则1243m x x +=-，212223m x x -=,()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++223m -=. .…………………………7分又∵23OA OB ⋅=uu r uu u r .∴2121243y y x x m +=-, 即：24233m -=. ……………………9分∴m =满足①式,∴AB == 43=. ∴线段AB 的长为43. …………………………………12分 20．（12分）解：（Ⅰ）当1a =时，3223()32f x x x x =-+, 2()231f x x x '=-+,令()0f x '=得12x =或1x =. ……………………1分当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表:∴min 19()(1)6f x f =-=-,max 15()()224f x f ==. ……………………4分（Ⅱ）2()2(2)1f x x a x '=-++ ∵()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数, ∴2()2(2)10f x x a x '=-++≥在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立. ………5分即：min 12(2)a x x+≤+.∵1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当且仅当2x =时，12x x +≥.∴2a ≤ . ……………………7分（Ⅲ）由题意可知，22()ln 1x mx g x x x =-- (0,1)(1,)x ∈+∞U 2()ln 1mx x x x =--. ……………………8分要判断()g x 是否存在零点，只需判断方程20ln 1mx x x -=-在(0,1)(1,)+∞U 内是否有解，即要判断方程2(1)ln 0x m x x --=在(0,1)(1,)+∞U 内是否有解. 设2(1)()ln x h x m x x-=-, ………………10分2222()m mx h x x x x -'=-= (0,1)(1,)x ∈+∞U ,可见，当0m <时，()0h x '<在(0,1)(1,)+∞U 上恒成立. ∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减.∵(1)0h =,∴()h x 在(0,1)和(1,)+∞内均无零点. …………………12分。

2018-2019学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2=0，则x，y都不为02．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B．C．D．5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=18已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A． B．C．D．9.已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10.已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=11.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=012.已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．14如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为．15设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．16已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．18．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．21．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．2018-2019学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2=0，则x，y都不为0【分析】直接利用四种命题的逆否关系写出命题的否命题即可．【解答】解：否命题是把原命题的条件否定做条件，原命题的结论否定做结论，∴命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：若x2+y2≠0，则x，y 中至少有一个不为0．故选：B．【点评】本题考查命题的否命题的写法，基本知识的考查．2在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z）；④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据空间坐标的对称性进行判断即可．【解答】解：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y，z），正确；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（﹣x，y，z）；则②错误③点P关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y，﹣z）；则③错误④点P关于原点的对称点的坐标是（﹣x，﹣y，﹣z）．正确，故正切函数的是①④，故选：B．【点评】本题主要考查空间点的坐标的对称，根据点关于谁对称，谁不变的原则是解决本题的关键．3．准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）A．x2=16y B．x2=8y C．x2=﹣16y D．x2=﹣8y【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得其焦点在x轴负半轴上，且p=8，由抛物线的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的准线方程为y=4，即其焦点在x轴负半轴上，且p=8，故其标准方程为：x2=﹣16y；故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线的标准方程的形式．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（）A．B．C．D．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论．【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（+）+=+=．故选：D．【点评】本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题目．5．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意，，即可求出a的值．【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．6．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】由a＞2且b＞2⇒a+b＞4．反之不成立，例如a=1，b=6．即可判断出结论．【解答】解：由a＞2且b＞2⇒a+b＞4．反之不成立，例如a=1，b=6．∴“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF 1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A． B．C．D．【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．【解答】解：由题意画图如下可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为（x＞1）．故选B．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程．9已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，故c=，b=，a==；故e===；故该椭圆的离心率为：；故选D．【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．10已知向量=（2，4，5），=（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=15 C．x=，y=D．x=6，y=【分析】由l1∥l2，可得存在实数使得=k，【解答】解：∵l1∥l2，∴存在实数使得=k，∴，解得x=6，y=．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得：9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．12已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A． B．C．D．【分析】设H（x0，y0），则=．可得k MH k NH==∈，即可得出．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=．【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得k l=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l 的方程为：x=﹣1．∵直线EF的倾斜角为150°，∴k l=tan150°=．∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．∴E．∵PE⊥l于E，∴y P=，代入抛物线的方程可得，解得x P=．∴|PF|=|PE|=x P+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．14如图所示，已知空间四边形OABC中，OB=OC，且∠AOB=∠AOC=，则cos＜，＞的值为0．【分析】利用向量三角形法则、数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵，OB=OC，∴===﹣=0，故答案为：0．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．15设椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于．【分析】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，利用向量的数量积求解cos∠F1PF2．【解答】解：由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），解方程组，得取P点坐标为（，），=（﹣2﹣，﹣），=（2﹣，﹣）cos∠F1PF2==．故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．16已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，∴（1﹣+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，则e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△OAB的面积．【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3由抛物线定义得，∴p=2故抛物线的方程为y2=4x；（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8又O到直线y=x﹣1的距离，∴△ABO的面积．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．20．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．【分析】（Ⅰ）连接BC1，AC1，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）连接A1M，CM，运用面面垂直的判定定理，证得MN⊥平面A1B1C，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC1，AC1，在△ABC1中，由AM=MB，AN=NC1，可得MN∥BC1，MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=BC=BB1=2，可得四边形BCC1B1为正方形，即有BC1⊥B1C，MN⊥B1C，连接A1M，CM，由AM=BM，AA1=BC，∠A1AM=∠MBC=90°，可得△AMA1≌△BMC，可得A1M=CM，又N是A1C的中点，则MN⊥A1C，B1C∩A1C=C，MN⊥平面A1B1C，MN⊂平面AMN，则平面AMN⊥平面A1B1C．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．21．已知椭圆E：（a＞b＞0 ）的离心率为，C为椭圆E 上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求椭圆E的标准方程；（2）设A为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且=，求直线AB 的斜率．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法一：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，+=1，②解得：a2=9，b2=5，∴椭圆E的标准方程为+=1；（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：x2=，y2=则直线直线AB的斜率k==；直线AB的斜率=【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．22．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC=∠DAB=90°，SD=AD=AB=2，DC=1（1）求二面角S﹣BC﹣A的余弦值；（2）设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）∴，，设面SBC的法向量为由可取∵SD⊥面ABC，∴取面ABC的法向量为|cos|=，∵二面角S﹣BC﹣A为锐角．二面角S﹣BC﹣A的余弦值为（2）由（1）知E（1，0，1），则，，设，（0≤λ≤1）．则，易知CD⊥面SAD，∴面SAD的法向量可取|cos|=，解得λ=或λ=（舍去）．此时，∴||=，∴线段CP的长为【点评】本题考查了空间向量求解面面角，线面角，解题时要仔细运算，合理转化，属于中档题．。

2018-2019学年上学期天津市部分区高二数学期末试题及答案解析

a2
−
by22＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y
=±
b a
x
=±
3x，
又抛物线 y2＝8x 的准线方程为：x =− 2，
7
2018-2019 学年上学期天津市部分区高二数学期末试题及答案解析
由y =± x =−
3x得：y = 2
2
x =−
3或y 2
=− 2 x =−
2
3，所以
M−
2,2
3,N− 2, − 2
A. （﹣∞，0）∪（4，+∞）
二、填空题．
B. （0，1） C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D. （﹣2，2）
11.曲线
f（x）＝2x+1在点（1，3）处的切线方程为____．
x
12.已知向量a＝（2，﹣1，3）与b＝（3，λ，92）平行，则实数λ的值为____． 13.已知 a，b 均为正数，4 是 2a 和 b 的等比中项，则 a+b 的最小值为_____． 14.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝2，S9＝6a8，则数列{an∙a1n+1}的前 10 项的和为_____．
19.已知椭圆 C：x2+y2＝1．
2
（Ⅰ）求 C 的离心率；
（Ⅱ）若直线
l：y＝x+m（m
为常数）与
C
交于不同的两点
A
和
B，且OA
∙
OB
=
2，其中
3
O
为坐标原点，求线段
AB 的长．
20.已知函数
f（x）＝2x3﹣a+2x2+x，a∈R．
3
2
（Ⅰ）当 a＝1 时，求 f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；

天津市南开区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学(解析版)

2018-2019学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“，”的否定是“，“，故选：C．根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题2. 设a，，若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，当，时，，排除A；，排除B；，排除D故选：C．取，代入计算可排除A，B，D本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3. 不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故选：D．把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4. 命题：：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：要使成立，则且，解得或．是q的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．5. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为A. 65辆B. 76辆C. 88 辆D. 95辆【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图得，时速超过的频率是，所求的汽车数量为辆．故选：B．根据频率分布直方图求出时速超过的频率，再计算频数即可．本题考查了频率分布直方图与频率、频数的计算问题，是基础题目．6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，则对应概率，故选：B．根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．7. 已知等差数列中，，则该数列前9项和等于A. 4B. 8C. 36D. 72【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可得：，则该数列前9项和．故选：C．利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：．众数是45，极差为：．故选：A．直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到渐近线距离：，双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，可得：，可得，可得，，则C的渐近线方程为：故选：C．利用双曲线的焦点到渐近线的距离是顶点到渐近线距离的3倍，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 设，，若，则的最小值为A. 4B. 8C. 1D.【答案】A【解析】解：，，，，当且仅当时取等号．故选：A．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是______．【答案】【解析】解：先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率为，故至少出现一次正面的概率是，故答案为．先求出先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．12. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体600名学生中抽50名学生做生涯规划调查，现将600名学生从1到600进行编号，已知从～这12个数中取得数是31，则在第1小组～中随机抽到的数是______．【答案】7【解析】解：样本间隔为，从～这12个数中取得数是31，从～这12个数中取得数是第7个数，第1小组～中随机抽到的数是7，故答案为：7．根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13. 对于回归直线方程，当时，y的估计值为______．【答案】390【解析】解：回归方程．当时，y的估计值是故答案为：390根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是理解用线性回归方程得到的y的值是一个预报值而不是准确值．14. 在数列中，，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，，，当时，有，当时，有，当时，有，当时，有，则数列是周期为4的数列，则；故答案为：．根据题意，将变形可得，求出该数列的前5项，分析可得数列是周期为4的数列，则，即可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列的变化规律，属于基础题．15. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为______．【答案】．【解析】解：设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则，又，得，，有，设，则，而，，由直线AB：，代入抛物线的方程可得，，即有，，得．故答案为：．根据过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据，且，和抛物线的定义，可得，设，，，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在等差数列中，已知求数列的通项公式；设，求数列的前10项和．【答案】解：等差数列的公差设为d，，可得，解得，则；，则前10项和．【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．Ⅰ求双曲线方程；Ⅱ求的值；Ⅲ求的面积．【答案】解：Ⅰ，可设双曲线方程为．过点，，即，双曲线方程为；Ⅱ证明：，，，，，点在双曲线上，，即，；Ⅲ的底，由知．的高，．【解析】Ⅰ双曲线方程为，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程；Ⅱ先求出的解析式，把点M的坐标代入双曲线，可得出；Ⅲ求出三角形的高，即的值，可得其面积．本题考查双曲线的标准方程和向量的数量积的坐标表示、双曲线的性质，属于中档题．18. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ设PD的中点为M，求证：平面PBC；Ⅱ求PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ求二面角的正弦值．【答案】Ⅰ证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则0，，，2，，0，，0，．，，设平面PBC的一个法向量为y，，则，令，得1，，而0，，，即，又平面PBC，故A平面PBC；Ⅱ解：0，，设PA与平面PBC所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有；Ⅲ解：平面PBC的一个法向量为1，，由题意可知，平面PCD的一个法向量为，．可得二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，设，结合已知求出平面PBC的一个法向量，再求出，由即可证明平面PBC；Ⅱ求出，利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ由Ⅰ中求得的平面PBC的一个法向量，再由平面PDC的法向量为0，，利用向量夹角公式，即可求二面角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】解：为公差为d的等差数列，是首项为2，公比为q的等比数列，，，，可得，，，解得，，即有；；，前n项和为．【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；求得，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20. 椭圆C：经过点，且A到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点，且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、均异于点，设直线AP与AQ的斜率分别为，，证明：．【答案】解：Ⅰ椭圆C：经过点，到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率，即．椭圆C的方程为：；Ⅱ证明：Ⅱ由题设可设直线PQ的方程为，，化简，得，代入，得，由已知，设，，，则，，分从而直线AP，AQ的斜率之和，【解析】Ⅰ可得，，即即可得椭圆C的方程Ⅱ设直线PQ的方程为，，代入椭圆C的方程，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用属于中档题．。

天津市部分区六校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题

2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分） 1．复数121iz i i-=++，则z =（） A ．0B ．C ．1D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，前项和为，且，则8a 的值为（）A ．16B ．15C ．14D ．133．下列叙述中正确的是（）A ．若,,a b c R ∈，则“2,0x R ax bx c ∀∈++≥”的充分条件是“240b ac -≤” B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“2,0x R x ∀∈≥”的否定是“200,0x R x ∃∈<”D ．{}n a 是等比数列，则01q <<是{}n a 为单调递减数列的充分条件4．已知直线02422=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F ，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，2F 是椭圆的右焦点,且2MF MN =，则椭圆的方程为（）A ．144022=+y xB ．2215x y +=C ．22110x y +=D ．22195x y +=5．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，点E 是棱AB 的中点，则点E到平面ACD 1的距离为（） A ． B ．23C ．13D6．已知，，则是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'()()xf x f x >，若，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（） A ．或 B ．或C ．或D ．或8．过双曲线12222=-by a x 的左焦点作圆222x y a +=的切线，切点为，延长交抛物线24y cx =于点，若1112F E F P =，则双曲线的离心率是（）A ．12+ B ．12C ．32+ D ．2二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9．已知方程221542x y k k+=+-表示椭圆，则的取值范围为__________.10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.11．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱中点，则PE BC ⋅uur uu u r的值为__________.12．已知，，且111a b +=，则42ba b a++的最小值等于__________. 13．设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D . 若3AF BF =，且三角形CDF 的面积p 的值为___________.14．已知函数3()3ln (1)xe f x k x k x x=++-，若3x =是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）数列的前项和为，已知11a =，1(21)(23)n n n a n S +-=+. 其中*n N ∈（Ⅰ）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n S 的前项和.16．（13分）已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若关于的方程5()2f x x b =-+在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.17．（13分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且22AC BC BD AE ====，M 是AB 的中点. （Ⅰ）求证：CM EM ⊥；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角是60︒. 若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由.18．（13分）已知数列{}n a 满足11a =，1114n na a +=-，其中*n N ∈ （Ⅰ）设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41nn a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<⋅对于*n N ∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.19．（14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，左顶点为()4,0A -，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . O 点为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OM AD AE+的最大值.20．（14分）已知函数2()ln 2f x x x ax =+-，a R ∈. （Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设()()(4)g x f x a x =+-，试讨论函数()g x 的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数满足121212()()3f x f x x x x x ++=+，求证：1212x x +>.天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A9．1523k k -<<≠-且 10．2 11．1- 12．6+ 1314．327e k <15．（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分（Ⅱ）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴. …………… …………… 7分16．（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。

2018-2019学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学试题解析版

绝密★启用前天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A．B．4 C．D．【答案】D【解析】【分析】设椭圆短轴的一个端点为根据椭圆方程求得c，进而判断出，即得或令，进而可得点P到x轴的距离．【详解】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于，，；，只能或．令，得，故选：D．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题．2．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a，b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线的一条渐近线过点，可得渐近线的斜率为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，可得，即，解得，，则双曲线的方程为：．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．3．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2"=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用。

点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案。

天津第一中学滨海学校2018-2019学年高二数学文上学期期末试卷含解析

天津第一中学滨海学校2018-2019学年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16，b2=5﹣k，c2=21﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=16﹣k，b2=5，c2=21﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：D．2. 已知函数有两个极值点，且，则的取值范围是( )A.[－1.5,3]B. [1.5,6]C. [1.5,12]D. [3,12]参考答案：D【分析】先求得函数的导数，然后利用二次函数的性质列不等式组，然后利用线性规划的知识，求得的取值范围.【详解】，导函数为二次函数，开口向上，故，即，，画出不等式组表示的可行域如下图所示，由图可知，分别在处取得最小值和最大值，即最小值为，最大值为，故的取值范围是，故选D.【点睛】本小题主要考查导数与极值点，考查二次函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查线性规划求取值范围，综合性较强，属于难题.3. 下列求导数运算正确的是（）A． B．C．D．参考答案：C4. 某事件发生的概率为，则事件在一次试验中发生的次数的方差的最大值为（）A． B． C．D．参考答案：C根据题意，由于事件发生的概率为，事件在一次试验中发生的次数的期望值为p,方差为p(1-p)=p-p ,结合二次函数的性质可知函数的最大值为，故可知答案为C.5. 某校有150位教职员工，其每周用于锻炼身体所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，锻炼时间在[8，10）小时内的人数为（）A．30 B．120 C．57 D．93参考答案：C【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；数形结合；定义法；概率与统计．【分析】先求出锻炼时间在[8，10）小时内的频率，由此能求出锻炼时间在[8，10）小时内的人数．【解答】解：锻炼时间在[8，10）小时内的频率为：1﹣（0.02+0.05+0.09+0.15）×2=1﹣0.62=0.38，∴锻炼时间在[8，10）小时内的人数为：0.38×150=57．故选：C．【点评】本题考查锻炼时间在[8，10）小时内的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．6. 已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＜b成立的必要而不充分的条件是（）A．|a|＜|b| B．2a＜2b C．a＜b﹣1 D．a＜b+1参考答案：D略7. 设D是不等式表示的平面区域，则D中的点P到直线距离的最大值是A．B．C．D ．参考答案：C8. 如表是一位母亲给儿子作的成长记录：根据以上样本数据，她建立了身高y（cm）与年龄x（周岁）的线性回归方程为=7.19x+73.93，给出下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本的中心点（42，117.1）；③儿子10岁时的身高是145.83cm；④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据回归方程的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：由线性回归方程为=7.19x+73.93可得直线的斜率k=7.19＞0，则y与x具有正的线性相关关系，故①正确，∵=（3+4+5+6+7+8+9）=6，=（94.8+104.2+108.7+117.8+124.3+130.8+139.1）=117.1，即样本中心为（6，117.1），故②错误；当x=10时，=7.19×10+73.93=145.83cm，即儿子10岁时的身高大约是145.83cm，不一定一定是145.83cm，故③错误，儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19cm，故④正确，故正确的是①④，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及线性回归方程的性质，难度不大．9. 当输入的值为，的值为时，右边程序运行的结果是参考答案：B程序运行的结果是输入两数的和，，故选.10. 数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是( )A．a n=2n﹣1 B．a n=2n﹣1 C．a n=2n D．a n=2n+1参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列的一个通项公式．【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，…的第一项是1，且是公比为2的等比数列，故通项公式是 a n=1×q n﹣1=2n﹣1，故此数列的一个通项公式a n=2n﹣1，故选B．【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式，求出公比q=2是解题的关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学在证明命题“”时作了如下分析，请你补充完整.要证明，只需证明________________,只需证明_____ ______,展开得，即, 只需证明,________________, 所以原不等式:成立.参考答案：, ，因为成立。

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