高等代数【北大版】104
高等代数(北大第三版)习题答案完整
f ( x) = x 4 − 2 x 2 + 3 = ( x + 2) 4 − 8( x + 2)3 + 22( x + 2) 2 − 24( x + 2) + 11
3)
f ( x) = x 4 + 2ix 3 − (1 + i ) x 2 + 3 x + 7 + i
= ( x + i − i )4 + 2i ( x + i − i )3 − (1 + i )( x + i − i ) 2 − 3( x + i − i ) + 7 + i = ( x + i ) 4 − 2i( x + i)3 + (1 + i)( x + i ) 2 − 5( x + i ) + 7 + 5i
2
ε1 =
− 1 + 3i − 1 − 3i ,ε 2 = 2 2
证：设 ( f ( x ) h( x ), g ( x ) h( x )) = m( x ) 由
( f ( x ), g ( x)) h( x ) | f ( x) h( x) ∴ ( f ( x ), g ( x)) h( x ) | m( x )
设 d ( x ) = ( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
由 12 题 ( fg , f + g ) = 1 令 g = g1 g 2 … g n
∴ 每个i, ( fi , g ) = 1 ⇒ ( f1 f1 , g ) = 1, ⇒ ( f1 f 2 f3 , g ) = 1 , ⇒ ( f1 f 2
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
感谢您的耐心观看
高等代数北大版线性空间
引 入 我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ，令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应，就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设 ：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积 是 V到V 旳1－1相应. 任取 ， V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
高等代数北大第三版 在线阅读
3° p2+α
则 在有理数域上是不可约的 .
17
证： 若 在 上可约 ， 由定理11， f(x)可分解为两次数较低的整系数多项式积
f(x)=(bx+b1x1+…+b)(cmx"+cmx"-1+…+c)
b,cjez， , m < n ，I+m=n
又 不妨设
…p l 或 plc
判别法来判断是其是否可约 ，此时可考虑用适当的
代换
使
满足
Eisenstein判别法条件 ， 从而来判定原多项式
不可约 .
22
命题 有理系数多项式 f(x)在有理系数上不可约
多项式 g(x)= f(ax+b) 在有理数域上不可约 .
23
例5 证明：
在 上不可约 .
证： 作变换 x=y+1, 则
f(x)=y2+2y+ 2,
取 p= 2, 由Eisenstein判别法知， y2+ 2y+2 在Q上不可约，
所以 在Q上不可约 .
24
说明：
对于许多 上的多项式来说 ，作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法 ，但未必总是凑效的． 也就是说 ，存在 上的
多项式
无论作怎样的代换
都不能
使
f ( x ) = ( sx- r ) ( bjx" - 1 + … + bx+ b )
bez， i=0,1…n-1 比较两端系数 ，
得
an= sbn1， a0= -rbd. 所以 ，sla， r l a
高等代数北京大学第三版
高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。
北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。
本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。
内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。
全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。
主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。
特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。
每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。
2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。
通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。
这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。
3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。
条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。
4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。
习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。
习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。
5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。
无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。
总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。
教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。
这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
高等代数【北大版】10-4
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 命题 上 上双线性函数 是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意 的任意 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取 的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质 定理6 维线性空间V上反对称 定理 设 f (α , β ) 为 n 维线性空间 上反对称 双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基 则存在 的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数北大编 第1章习题参考答案
第一章 多项式一 、习题及参考解答1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
北大高等代数
北大高等代数
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
高等代数是一门研究代数结构的学科，它主要研究代数系统的性质和结构，包括群、环、域等代数结构的性质和结构。
北大高等代数课程的教学内容主要包括群论、环论、域论等内容。
群论是高等代数中的重要分支，它主要研究群的性质和结构，包括群的定义、子群、同态、正规子群、群的分类等内容。
环论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究环的性质和结构，包括环的定义、子环、同态、理想、商环等内容。
域论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究域的性质和结构，包括域的定义、子域、同态、理想、商域等内容。
北大高等代数课程的教学目标主要是培养学生的抽象思维能力和数学分析能力，使学生能够熟练掌握代数结构的基本概念和基本理论，能够运用代数结构的基本方法和技巧解决实际问题。
同时，北大高等代数课程还注重培养学生的创新能力和团队合作精神，使学生能够在团队中发挥自己的优势，共同完成学术研究和创新项目。
在北大高等代数课程的学习过程中，学生需要掌握一定的数学基础知识，包括微积分、线性代数、数学分析等内容。
同时，学生还需要具备一定的数学思维能力和数学分析能力，能够理解和运用代数结构的基本概念和基本理论，能够独立思考和解决实际问题。
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
通过学习北大高等代数课程，学生可以掌握代数结构的基本概念和基本理论，培养抽象思维能力和数学分析能力，提高创新能力和团队合作精神，为未来的学术研究和创新项目打下坚实的基础。
高等代数【北大版】
f(k1a1+k2a2β)=f1(k1a1+k2a2)f2(6)
例3.设 是数域 上的 维线性空间，
令
①
则
为 上的一个双线性函数.
若
则
②
事实上 ，①或②是数域 上任意上的 维线性
空间 上双线性函数
的一般形式.
设
为数域 上线性空间V的一组基，
第十章 双线性函数
§10. 1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
、 双线性函数 二 、度量矩阵 三 、非退化双线性函数
一 、双线性函数
定义 设 是数域 上的 维线性空间 ， 映射
为 上的二元函数. 即对
根据 唯一地对应于 中一个数
如果
具有性质 :
(2)f(k1α1+k2a2β)=k1f(a1β)+k2f(α2β)
其中
则
称为 上的一个双线性函数.
注
对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时 ，可以得出一 个双线性函数.
例1.线性空间 上的内积即为一个双线性函数.
例2. 上两个线性函数 定义
证明 : f是V上的一个双线性函数.
同构.
则
是V上的一个双线性函数.
为满射.
若双线性函数
但
则设
为单射.
令
易证
仍为V上双线性函数.
并且
f+g→A+B=(f(6))+(s6))
命题2 维线性空间V上同一双线性函数，
在V 的不同基下的矩阵是合同的.
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数北大版课后答案完整版
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数北京大学第三版北京大学精品课程之欧阳与创编
第一学期第一次课第一章 代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。
如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。
于是K aa K a a ∈=∈-=10，。
进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。
最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nm n m ∈-=-0。
这就证明了Q ⊆K 。
证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。
定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。
如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f下的原像。
A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。
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i 1 n
有 f ( , ) X ' AX aij xi x j .
（1）
i , j1
式中 xi x j的系数为 aij a ji .
§10.4 对称双线性函数
② 不同双线性函数可能导出同一个二次函数.
V L(1 ) L( 2 ', 3 ',L , n ')
§10.4 对称双线性函数
把 f ( , ) 看成 L( 2 ', 3 ',L , n ') 上的双线性函数，
仍是对称的.
由归纳假设，L( 2 ', 3 ',L , n ') 有一组基 2 ,L , n 满足 f (i , j ) 0 i, j 2,3,L , n i j. 由于 V L(1) L( 2 ', 3 ',L , n '). 故 1, 2 ,L , n是V的一组基，且满足
1）若 , f ( , ) 0, 则 f (i , j ) 0.
2）若 f ( , ) 不全为0，先证必有 f (1,1) 0.
§10.4 对称双线性函数
否则，若 V , f ( , ) 0, 则对 , V 有 f ( , ) 1 [ f ( , ) f ( , ) f ( , )]
2 1 [0 0 0] 0.
2
所以这样的 1 是存在的. 对 dimV n 用归纳法.
① n 1 时成立. ② 假设 n 1 维数上述结论也成立.
将 1 扩充为V的一组基 1, 2 ,L , n .
§10.4 对称双线性函数
令
i ' i
f f
(1 (1
,i ,1
) )
1
,
i 1,2,L ,n.
A' A
§10.4 对称双线性函数
例. f :V V P, ( , ) a f ( , ) ( , ) f ( , ) (, ) ( , ) f ( , ) f (i , j ) (i , j ).
f ( , ) 在 1, 2 ,L , n下的矩阵为 (1,1 ) L (1, n )
§10.4 对称双线性函数
f ( , ) f ( , ) X ' AY Y ' AX
(Y ' AX )' X ' A'Y
f (i , j ) f ( j ,i ) aij a ji
A A'.
同样 f ( , ) f ( , ) f (i , j ) f ( j ,i ) X ' AY Y ' AX X ' A'Y
A L L L .
( n ,1 ) L ( n , n )
A' A 且 A为正定矩阵.
§10.4 对称双线性函数
定理5 设V是数域P上n 维线性空间. f ( , )
是V上对称双线性函数，则存在一组基
1, 2 ,L , n ，使 f ( , ) 在这组基下的度量
矩阵为对角形.
证：只需证能找到一组基1, 2 ,L , n ，使 f (i , j ) 0, i j
则
f (i ,i ')
f (i ,i
f f
( (
1 1
,i ,1
) )
1
)
0.
易证 1,2 ',L ,n ' 仍是V的一组基.
考察由 2 ', 3 ',L , n ' 生成的线性子空间
L( 2 ', 3 ',L , n ') L( 2 ', 3 ',L , n '), 有 f (1, ) 0 且
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
一、对称双线性函数 二、反对称双线性函数 三、正交基 四、双线性度量空间
§10.4 对称双线性函数
一、 对称双线性函数
1. 定义
设 f ( , )为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 , 均有
r 秩 f (i , j ) 0 r n
§10.4 对称双线性函数
推论2 设V是实数域上 n 维线性空间. f ( , ) 为V 上对称双线性函数.则存在V的一组基 1, 2 ,L , n , 对 x11 x2 2 L xn n ,
y11 y2 2 L yn n V f ( , ) x1 y1 x2 y2 L x p y p x p1 y p1 L xr yr .
r 秩 f (i , j )
p 为正惯性指数.
§10.4 对称双线性函数
3. 二次齐次函数
定义 线性空间V上双线性函数 f ( , ), 当
时，V上函数 f ( , ) 称为与 f ( , )对应的二次
齐次函数.
① 给定V的一组基 1, 2 ,L , n .
n
设 f ( , )的度量矩阵为 A (aij )nn , xi i V ,
Hale Waihona Puke §10.4 对称双线性函数
推论1 设V是复数域上 n 维线性空间. f ( , ) 为 V上对称双线性函数.则存在V的一组基1, 2 ,L , n , 对 x11 x2 2 L xn n ,
y11 y2 2 L yn n V f ( , ) x1 y1 x2 y2 L xr yr .
f ( , ) f ( , ) 则称 f ( , )为对称双线性函数.
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数
是对称的（反对称的） f ( , ) 在V的任意
一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.
证：任取V的一组基 1, 2 ,L , n , (1, 2 ,L , n ) X , (1, 2,L , n )Y . f ( i , j ) aij , A (aij ) 则 f ( , ) X ' AY .
f (i , j ) 0 i, j 2,3,L , n i j.
§10.4 对称双线性函数
注
若
f
( , ) 在基
1, 2 ,L
,
下的度量矩阵为对角矩阵
n
则对
d1
O
dn
(1, 2 ,L , n )X xi i ,
(1, 2 ,L , n )Y yi i V
f ( , ) X ' DY d1 x1 y1 d2 x2 y2 L dn xn yn .