导学案34必修4第三章3.1.2两角和差的正切、辅助角公式

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数学必修4人教A教案导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。

②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出t an(α-β)=?tan（α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T、T⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6+α).（两种方法）练习：化简下列各式：（1）3sinx+cosx;（2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。

人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===，所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-；（2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ；（3）1tan151tan15+-oo．分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ；（2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ．巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ；（4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。

人教版高中数学必修四导学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版

高一年级数学导学案3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.理解两角和与差的正弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导βα±S 中的作用2.能运用两角和与差的正弦公式进行化简与求值，并要注重公式的正用，逆用和变形用3.熟练掌握辅助角公式，并逐步体会在三角变换中的重要作用重点：公式βα±S 的推导与应用难点：公式的逆用活动一：知识梳理：.两角和与差的正弦 =+)s i n (βα βα+S=-)sin(βα βα-S活动二：合作探究1. 你能结合三角函数诱导公式，由公式βα+C 或βα-C 推导出公式βα-S 吗？2. 如何准确记住公式？3. 辅助角公式222222sin ,cos ),sin(cos sin b a b b a a x b a x b x a +=+=+⋅+=+ϕϕϕ其中活动三：要点导学要点一：求值例1：求 15sin ,75sin 的值要点二：公式的正用，逆用例2：求下列各式的值：（1） 14cos 44sin 14sin 44cos -（2）)36sin()54cos()36cos()54sin(x x x x +-++-（3）15cos 2315sin 21-要点三：给值求值例3：已知βαβα,,32cos ,31sin -==均在第二象限，求)sin()sin(βαβα-+和的值。

要点四：辅助角公式例4：求函数x b x a y cos sin +=的最大值、最小值和周期，其中b a ,是不同时为零的实数。

要点五：例5：已知向量P O =(3，4),逆时针旋转 45到/P O 的位置，求点),(y x P '''的坐标例6：已知点P(x,y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到),(y x P '''，求证： ⎩⎨⎧+='-='θθθθcos sin sin cos y x y y x x课堂小结作业：P139练习A,B。

苏教版必修4高中数学3.1.2两角和与差的正弦公式word导

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】一、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方式。

二、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 s in =co s α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】（一）预习指导：两角和与差的余弦公式：（二）大体概念：大体概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求的值例４：（１）已知sin(α-β)= ,si n(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知＜α＜，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ解：咱们取得一组有效的公式：（1）sin α±sin α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bco s α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)7.化解3cos χχsin -8.求证：co s χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 5354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4π9.求证：c os α+3sin α=2sin （）.10.已知，求函数у=cos （）-cos的值域.11.求的值.【课堂小结】απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2。

人教版高中数学必修四3.1.2 两角和差的正弦、余弦、正切公式【导学案】

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)．特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解．反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．题型四易错辨析【例4】已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-，所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。

人教A版高中数学必修四 3.1.1—2《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案

3.1.《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案【学习目标】1.掌握两角和与差公式的推导过程；2.培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质；4.引导学生建立两角差的余弦公式.通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础.【导入新课】创设情景，揭示课题以学校教学楼为背景素材（见课件）引入问题.并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题.教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C 点处往该点正对的地面上的A 点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)问题：（1）能不能不用计算器求值：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15？（2）0cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向.新授课阶段一、两角差的余弦公式的推导过程 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边？ ②怎样作出角αβ-的余弦线OM ？ ③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式？设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认识.（1）设角α终边与单位圆地交点为P 1，1,POP POx βαβ∠=∠=-则. （2）过点P 作PM ⊥X 轴于点M ，那么OM 就是 αβ-的余弦线.（3）过点P 作PA ⊥OP1于A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，过点P 作PC ⊥AB 于C那么OA 表示 cos β，AP 表示sin β，并且1.PACPOx α∠=∠= 于是OM=OB+BM=OB+CP=OA cos α+AP sin α=cos cos sin sin βαβα+最后要提醒注意，公式推导的前提条件：α、β、αβ-都是锐角，且αβ>. 2.向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果？③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论.设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性.如图,建立单位圆O()()cos ,sin ,cos ,sin OA OB ααββ==则由向量数量积的概念,有由向量数量积的坐标表示,有因为 α、β、都是任意角,所以αβ-也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)θπ∈，使得 cos cos()θαβ=-.于是对于任意角α、β都有， C αβ-（）简记例1 利用差角余弦公式求0cos15的值.（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）解：x4π52 sin α= α πcos β= - βcos 5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值.（让学生联系公式()C αβ-和本题的条件，考虑清楚要计算()cos αβ-，应作那些准备.）解：二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导与运用()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin .αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,().222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan .1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+注意：．例3 已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-．分析：解：例5 .x x解：思考：=余弦分别等于12和.课堂小结本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业见同步练习拓展提升一、选择题1. 0cos50cos 20sin50sin 20+的值为（）A.12 B. 13 2. 0cos(15)-的值为（）3.已知12cos ,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos()4πα-的值等于（）)(37sin 83sin 37cos 7sin 4的值为、︒︒-︒︒(A)23-(B)21- (C)21 (D)2321tan 755 ()tan 75-︒︒.的值为(A)32 (B)332()32 -C (D)332- 6.sin 2sin3cos 2cos3, ()x x x x x =若则的值是(A)10π(B)6π(C)5π (D)4π 二、填空题7.化简00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++=8.若()0000cos 60,sin 60,(cos15,sin15)a b == ，则a b ∙ =139 cos ,,2,sin ________.523ππθθπθ⎛⎫⎛⎫=∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若则10_________.=.()()11. cos cos sin sin _________.αββαββ+++=三、解答题12.已知233sin ,,cos ,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.参考答案例1. 解法1：0000000cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin304=-=+=…=解法2：0000000cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45=-=+=…=4例2 解：由4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得3cos 5α===-又由5cos 13β=-，β是第三象限角，得12sin 13β===-所以()3541233cos cos cos sin sin ()51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭让学生结合公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决.例3解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α==，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例4解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==；（2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--．例5解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？1cos 22x x x x ⎫=-⎪⎪⎭)()sin 30cos cos30sin 30.x x x =-=-思考：=，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12和2的. 拓展提升10362+-10.1 11.αcos12.解：由23sin ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，得cos α=；又由23sin ,,32πααπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，得sin β=；。

高中数学人教B版必修4导学案：3.1.2两角和与差的正弦

1、理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦的方法。

2、体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握公式的应用。

1、两角和的余弦公式:2、两角差的余弦公式:3、两角和的正弦公式:4、两角差的正弦公式: 你会证明正弦公式吗？证明：5、用上面的公式计算：sin15°=sin75°=sin105°=6、y=asinx+bcosx= (利用正弦值表示) 其中cos θ=，sin θ= ________________ tan θ= _______________7、y=asinx+bcosx= (利用余弦值表示) 其中cos θ=，sin θ= _________________________ tan θ=_______________所以函数y=asinx+bsinx 的最大值，最小值，1.已知三个电流瞬时值的函数式分别是00123,2sin(45),4sin(45)I t I t I t ωωω==-=+ 求他们合成的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相（精确到1分）2.求下列各式的最大值，最小值和周期sinx x+x x1.sin72°cos42°-cos72°sin42°的值为 ____________2.在△ABC中，312cos,sin513A B==，则sin(A+B)的值为_____________________3.已知3sin5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

4. 已知54cos(),cos,,135αββαβα+==均为锐角，求sin的值。

5.已知11tansin(),sin(),43tanααβαββ+=-=则等于________。

高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)导学案

高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）【学习目标】.领会两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并能灵活运用公式进行运算.2.会推导并会应用公式（其中，.【新知自学】知识回顾写出下列公式：对点练习：、2、3、4、【合作探究】典例精析：*例1、已知求的值．*变式练习：1、已知是第二象限角，又，则例2、计算的值.变式练习：2、化简.变式练习：3、化简得（）A.B.c.D.规律总结：怎样化简类型？【课堂小结】【当堂达标】.=（）A.B.c.D.2.可化为（）A.B.c.D.*3.若，则=【课时作业】.在△ABc中，，则△ABc为（）A．直角三角形B．钝角三角形c．锐角三角形D．等腰三角形2.△ABc中，若2cosBsinA=sinc 则△ABc的形状一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形c．等腰三角形D．等边三角形3.函数y=sinx+cosx+2的最小值是（）A．2-B．2+c．0D．14．如果cos=-，那么cos=________．*5.求函数y=cosx+cos的最大值*6.化简．*7.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．8、在三角形ABc中，求证：*9.已知函数的最大值是1，其图象经过点.（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值.【延伸探究】是否存在锐角和，使得（1）+2=；（2）同时成立，若存在，求出和的值，若不存在，请说明理由。

数学人教A版必修4课堂导学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式三含解析精品

课堂导学三点剖析1.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简，求值和证明【例1】求值：（tan10°-3）·︒︒50sin 10cos 解法1：（tan10°-3）︒︒50sin 10cos =(tan10°-tan60°)︒︒50sin 10cos =（︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin ）︒︒50sin 10cos =︒︒∙︒∙︒︒-50sin 10cos 60cos 10cos )50sin( =.260cos 1-=︒- 解法2：（tan10°-3)︒︒50sin 10cos =(tan10°-tan60°)︒︒50sin 10cos =tan(10°-60°)(1+tan10°tan60°)︒︒50sin 10cos =-tan50°(1+tan10°·tan60°）︒︒50sin 10cos =-tan50°（1+sin10°·︒︒∙︒︒60cos 60sin 10cos 60sin ）︒︒50sin 10cos =.250sin 10cos 60cos 10cos 50cos 50cos 50sin -=︒︒∙︒∙︒︒∙︒︒- 温馨提示（1）在给角问题中，既有弦函数又有切函数的往往将切函数化为弦函数；（2）在给角求值问题中应首先观察角之间的关系，要根据减元的思想即尽量减少一般角的个数.2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用【例2】化简：3sin （x+20°）-5sin （x+80°）+32cos （x+20°）思路分析：注意到式子中涉及的两角x+80°与x+20°之差为60°，是特殊角，进行变换化简. 解：原式=3sin （x+20°）-5sin ［（x+20°）+60°］+32cos （x+20°）=3sin （x+20°）-5sin （x+20°）cos60°-5cos （x+20°）sin60°+23cos （x+20°）=21sin （x+20°）-23cos （x+20°） =sin （x+20°）cos60°-cos （x+20°）sin60°=sin （x+20°-60°）=sin （x-40°）温馨提示对公式的灵活运用，主要从整体结构入手.还要特别注意角的联系及三角函数的名称.3.注意角与角之间的联系，从整体入手解决问题【例3】化简：sin （α+β）cosα-21［sin （2α+β）-sinβ］. 思路分析：本题中出现α+β，α，2α+β，β四个角，为尽量减少角的个数，可以将2α+β，表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α，然后再利用两角差和的正余弦公式便可获解. 解：sin （α+β）cosα-21［sin （2α+β）-sinβ］ =sin （α+β）cosα-21［sin （α+β+α）-sin （α+β-α）］ =sin （α+β）cosα-21［sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα-sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα］ =sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα=sin （α+β-α）=sinβ.温馨提示本题仍是抓住题目中角之间的联系，利用角的变换将2α+β表示成（α+β）+α，将β表示成（α+β）-α.不要盲目的展成单角α与β的三角函数，那将会使题目变得相当复杂. 各个击破类题演练1 求值：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2. 解：︒︒-︒-︒=︒︒-︒20cos 20sin )2030cos(220cos 20sin 10cos 2 =.320cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2=︒︒-︒+︒=︒︒-︒︒+︒︒ 变式提升1化简：sin50°(1+3·tan10°).解：原式=sin50°(1+︒︒10cos 10sin 3) =sin50°·︒︒+︒10cos 10sin 310cos =sin50°·︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(2 =sin50°·︒︒∙︒+︒∙︒∙10cos )10sin 30cos 10cos 30(sin 2 =sin50°·︒︒10cos 40sin 2=︒︒∙︒10cos 40cos 40cos 2 =.110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 40cos 40sin =︒︒=︒︒=︒︒∙︒+︒∙︒ 类题演练2tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA=___________.解析：tan3A-tan2A-tanA-tan3A·tan2A·tanA=tanA （1+tan3A·tan2A ）-tanA-tan3A·tan2A·tanA=tanA·tan2A·tan3A-tan3A·tan2A·tanA=0.答案：0变式提升2(2004重庆)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（） A.-21 B.21 C.-23 D.23 解析：原式=sin （180°-17°）·sin （180°+43°）+sin （180°+73°）·sin （360-47°） =sin17°·（-sin43°）+（-sin73°）·（-sin47°）=-sin17°·sin43°+cos17°·cos43°=cos （43°+17°）=cos60°=21. 答案：B类题演练3 求证：αβαsin )2sin(+-2cos （α+β）=αβsin sin . 证明：左边=ααβααβαsin sin )cos(2])sin[(+-++ =ααβααβααβαsin sin )cos(2sin )cos(cos )sin(+-+++ =ααβααβαsin sin )cos(cos )sin +-+( =ααβαsin ])sin[(-+ =αβsin sin =右边. ∴原式得证.变式提升3已知3sinβ=sin （2α+β），求证：tan （α+β）=2tanα.证明：∵3sinβ=sin （2α+β），∴3sin ［（α+β）-α］=sin ［（α+β）+α］，3sin （α+β）cosα-3cos （α+β）sinα=sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα.∴2sin （α+β）cosα=4cos （α+β）sinα.∴tan （α+β）=2tanα.。

必修4第三章两角和差的正弦、余弦、正切、二倍角公式学案

3.1.1两角差的余弦公式一、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。

通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。

2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。

3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。

重点两角差余弦公式的探索和简单应用。

难点探索过程的组织和引导。

教学过程（一）创设情景，揭示课题问题：（1）能不能不用计算器求值：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？（二）、研探新知向量法：问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。

③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。

设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。

()()cos ,sin ,cos ,sin OA OB ααββ==则由向量数量积的概念,有 OA OB ∙=由向量数量积的坐标表示,有OA OB ∙=因为 α、β、都是任意角,所以αβ-也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个[0,2)θπ∈，使得cos cos()θαβ=-。

于是对于任意角α、β都有x如图,建立单位圆Oco Cαβ-（）简记例1. 利用差角余弦公式求0cos15的值变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin)2cos(=-；（2）cos(2)cosπαα-=4π52.sinα=απcosβ= - βcos5213αβ∈-例已知，（，），，第三象限角，求（）的值变式训练：15sin cos173πθθθ=-已知，是第二象限角，求（）的值三、反思总结：本节主要考察如何用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，回顾公式Cαβ-（）的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角α，β的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 四、当堂检测1.利用两角和（差）的余弦公式，求00cos75,cos1052.求值0000cos75cos30sin75sin30+ 3．化简cos()cos sin()sinαββαββ+++14.cos sin7αβααββ=+=已知，为锐角，，（），求cos五、课后练习与提高1. 0000cos50cos20sin50sin20+的值为（）A. 12 B. 13 C. D. 2. 0cos(15)-的值为（）A. B. C. D 3.已知12cos,0,132παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则c o s()4πα-的值等于（）A. B. C. D. 134.化简00cos(30)cos sin(30)sinαααα+++= 5.若()0000cos60,sin60,(cos15,sin15)a b==，则a b∙= 6.已知233sin,,cos,0,3242ππααπβα⎛⎫⎛⎫=-∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos()αβ-的值.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）教学目的：能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并进而推得两角和差的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式教学难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos αβ+= ；二、讲解新课： ()c o s αβ-= ．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？请同学们动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos 2παβαβ⎡⎤+=-+=⎢⎥⎣⎦()()sin sin αβαβ-=+-=⎡⎤⎣⎦．三、讲解范例：例1不查表，求下列各式的值：（熟悉公式结构）1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒例2 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α) （构造辅助角方法）例3 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52 求βαtan tan 的值（整体计算思想）四、当堂检测)(37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒(A)23-(B)21- (C)21(D)232、x x sin cos 3-=_____________.)(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x =(A)10π(B)6π(C)5π (D)4π.________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、()()._________sin sin cos cos 6=+++ββαββα、五、小结两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”如：asin α+bcos α=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 等，有时能收到事半功倍之效.六、课后作业：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）教学目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学重点：根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式教学难点：公式T α+β ,T α-β及运用教学过程：一、复习引入：1．两角和与差的正、余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=-二、讲解新课：请同学们结合教材完成下列探究观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.∵cos (α+β)≠0()()()sin tan cos αβαβαβ++==+ ．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()tan tan αβαβ-=+-=⎡⎤⎣⎦注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．三、讲解范例：例1求tan15︒，tan75︒的值：（熟悉公式结构）例2 已知tan α=31，tan β=-2 求cot(α-β)，并求α+β的值，其中0︒<α<90︒, 90︒<β<180︒例3 求下列各式的值：1︒75tan 175tan 1-+（对1的灵活处理） 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒（整体计算思想）(四)当堂检测 1. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（）)(75tan 75tan 1 22的值为、︒︒-(A)32(B)332()32-C (D)332-3. 若.)tan(,21cos cos ,21sin sin ,=-=--=-βαβαβαβα则均为锐角，且4、α为第二象限角，）的值。

高中数学必修四导学案-两角和与差的正弦、余弦、正切公式

疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos ［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β. 在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角. 误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β，即得用tan α和tan β表示的公式： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式： tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决. 学法一得两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题•热题知识点一所求角可表示成两个特殊角的和、差例1 求sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒，或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值. 思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin ︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222 ︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 223215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=. 巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin( ︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin ︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值. 解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限. 当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯; 同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-. 方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o s βα+的值. 思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22. ∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<. ∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cos βαβαβα---=+ =cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=. 例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解：∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312. ∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54. 从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=651613125313554=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=，同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.知识点三已知三角函数值求角例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值. 解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β.∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105*********=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α，sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α.∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α.∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33， ∴tan12°+tan18°=33 (1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2. 于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2. 又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2；当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x b a b x b a a b a -+++, 令cos φ=22b a a +,sin φ=22b a b +，则原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab ). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。

人教版高中数学全套教案导学案3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?结论1、C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出ta n(α-β)=?tan （α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T 、T⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α).（两种方法）练习：化简下列各式：（1）3sinx+cosx;（2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。

高中数学必修4 同步导学案：第3章 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案

3.1.3 两角和与差的正切1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)[基础·初探]教材整理两角和与差的正切公式阅读教材P140内容，完成下列问题.名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα＋βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα、β、α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且tan α·tanβ≠1两角差的正切Tα－βtan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα、β、α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α·tanβ≠－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.( )(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立.( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β).( )【解析】(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tanπ3，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z).(3)√.当α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子.【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型]化简求值求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.【精彩点拨】解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.【自主解答】(1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.[再练一题]1.求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.【解】(1)原式＝1－tan 75°1＋ta n 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.条件求值(角)问题如图α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.图311(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.【导学号：72010081】【精彩点拨】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值.【自主解答】由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tanα＋β＋tan β1－tanα＋β·tan β＝－3＋121－－3×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.3.给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.[再练一题]2.(2016·北京高一检测)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)如图312所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小.图312【解】 (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.(2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.[探究共研型]三角形中的三角函数探究1 【提示】根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.探究2 在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？【提示】根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B ＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状.【精彩点拨】化简条件→求出tan A，tan C→求出角A，C→判断形状.【自主解答】由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan Btan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用.[再练一题]3.已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tanC.【证明】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝－tan C，∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C，即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.[构建·体系]1.tan 105°－1tan 105°＋1的值等于( )A.33B. 3C.－ 3D.－33【解析】tan 105°－1tan 105°＋1＝tan 105°－tan 45°1＋tan 45°tan 105°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3. 【答案】 B2.(2015·无锡高一检测)已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.2＋ 3 B.1 C.2－ 3D. 3【解析】 ∵1－tan α1＋tan α＝2＋3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 【答案】 C3.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( ) A.2 B.1 C.12D.4【解析】 ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，∴tan αtan β＝12.【答案】 C 4.计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.【解析】3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.【答案】 15.已知tan(α＋β)＝25，tan⎝⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5的值.【导学号：72010082】【解】∵α＋π5＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π5＝tanα＋β－tan⎝⎛⎭⎪⎫β－π51＋tanα＋βtan⎝⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(二十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知1＋tan A1－tan A＝55，则cot⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A＝( )A.－ 5B. 5C.55D.－55【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55，∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B2.已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 B3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tanα＝( )【导学号：72010083】A.23 B.4211 C.3211D.324【解析】因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.【答案】 B4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3【解析】由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3.【答案】 A5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tanα＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3 B.π4 C.π6D.π8【解析】由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.【答案】 B 二、填空题6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________. 【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，∴tan β－tanπ41＋tan βtanπ4＝tan β－11＋tan β＝14，∴tan β＝53，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan α＋β＋tan β1－tan α＋βtan β＝25＋531－25×53＝315. 【答案】3157.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________.【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】π48.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则B ＝________.【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.【答案】π3三、解答题 9.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值. 【解】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·ta n ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.10.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值.【解】由题意，有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.[能力提升]1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A.－ 3B. 3C.－33D.33【解析】 ∵α为第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33. tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋β·tan α＝－3＋331＋－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33. 【答案】 C2.(2016·潍坊高一检测)设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1tan α＋β的值为( )A.b ＋ca B.b －ca C.c －abD.a －cb 【解析】由题意得tan α＋tan β＝－b a，tan α·tan β＝c a，所以1tan α＋β＝1－tan α·tan βtan α＋tan β＝1－ca －b a＝c －a b .【答案】 C 3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】原式＝tan 45°－tan 15°31＋tan 45°·tan 15°＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】 134.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.【解】由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根.解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在.故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立.。

高级中学人教B版高一数学必修四导学案3.1.2两角和与差的正弦

两角和与差的正弦【学习目标】掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法；通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力；并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习过程】（一）、复习引入：余弦的和差角公式：；。

化简(°－α)(α＋°)－(°－α)(α＋°)(-α)(-α)（二）基本概念：两角和的正弦公式的推导(αβ)[-(αβ)]?、正弦的和差角公式。

简记为：。

简记为：即时训练:化简下列各式:（），（）︒︒︒︒。

（）。

（三）典型例题分析：例、已知，，求与的值。

即时练习、已知，求和的值。

变式：已知，求。

例３、已知(αβ) (αβ)求的值.巩固训练、计算：。

、化简：（）。

（）。

、在△中，若，则、求证：()、已知，求的值。

课后作业：． ° °＋° °的值是()．－．－．若锐角α、β满足α＝，(α＋β)＝，则β的值是()．已知αβ－αβ＝，那么αβ＋αβ的值为()．－．．．±．在三角形中，三内角分别是、、，若＝，则一定是() ．直角三角形．正三角形．等腰三角形．等腰直角三角形．化简＋的结果是．．已知(α＋β)＝，(α－β)＝，则α β)的值是．．在△中，＝，＝，则等于( )．－．－．式子°－ ° ° °＋ ° °)的值是．．已知<β<α<，(α－β)＝，(α＋β)＝－，求α的值．。

高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数

第三章 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

【学习重点】掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能运用上述公式进行恒等变换。

【基础知识】问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？问题2：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？探究1、两角和与差的正弦公式的推导.探究2、两角和与差正弦公式的特征？推导两角和的正切公式？探究3、推导两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？注意：（1）,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈（ 2）、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

【例题讲解】例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．例3x x思考：怎样求ααcos sin b a +类型？总结：ααcos sin b a +=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 。

变式：（1）：;__________cos sin =+αα （2）： .___________cos sin =-αα （3）x x sin cos 3-=____________【达标检测】)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒A.23-B.21-C.21 D.23 )( 75tan 75tan 1 22的值为、︒︒- A.32 B.332 C.32 - D.332- )(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x = A.10π B. 6π C.5π D.4π .________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、 ._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、 6. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7.已知α为第二象限角，53sin =α，β为第一象限角，135cos =β，求)2tan(βα- 的值。

苏教版必修4高中数学3.1.3两角和与差的正切公式word导

3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方式。

2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习重点难点】能按照两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习进程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必需在概念域范围内利用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能利用那个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。

（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1）（2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 必然是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求的值.【课堂小结】︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+。

人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)教案新人教A版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式： cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β). sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于 A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠CAB=α，则sin α=6730，在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB ≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-=asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+- 知能训练课本本节练习1—4. 1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴si n(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2.纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cos αcos βαsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-. 例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ.∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴si nx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k∈Z ).∴θ=k π-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力. 变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边.点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a+,sin φ=22ba b +,从而得到tan φ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x). 例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴ta n(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31, ∴sin αcos β+cos αsin β=21,①sin αcos β-cos αcos β=31.②①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能训练课本本节练习5—7.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1. （2）原式=cos60°=21. （3）原式=tan45°=1. （4）原式=-sin60°=23-. （5）原式=-cos60°=21-. （6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70° =-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1. 6.（1）原式=sin6πcosx-cos 6πsinx=sin(6π-x). （2）原式=2(23sinx+21cosx)=2sin(x+6π). （3）原式=2(22sinx-22cosx)=2sin(x-4π).（4）原式=22(21cosx-23sinx)=22sin(6π-x). 点评：将asinx+bcosx 转化为Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式，关键在于“凑”和（或差）角公式.7.解：由sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=53,可得 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α)=-sin β=53, ∴sin β=53-.又β是第三象限角， ∴cos β=54-.∴sin(β+45π)=sin βcos 45π+cos βsin 45π=1027.作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值. 解：由韦达定理得：tan α+tan β=ab -,tan αtan β=a c ,∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.设计感想 1.本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法.2.对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.。