数列的概念与简单表示法(一)

合集下载

2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

如：数列{n2}的第11项是__1_2_1___
②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，…
③不是每一个数列都能写出它的通项公式。如：1，24，8，3，19
例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2，4，6，8；变题：4，6，8，10
an=2n
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天第五个记忆周期是 2天第六个记忆周期是 4 天第七个记忆周期是 7天第八个记忆周期是15天这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
练习：试写出数列1，3，6，10，…的一个递推公式。
例5、已知a1
1, an
1
1 an1
(n
2), 写出这个
数列的前5项.
解：∵a1=1
1
1
a2
1
a1
1 1
2
1
13
a3 1 a 2 1 2 2
a4
1
1 a3
1
2 3
5 3
a5
1
1 a4
1
3 5
8 5
练习：写出下列数列{an}的前5项（1）a1=5，an=an-1+3 (n≥2)；（2）a1=2，an=2an-1 (n≥2)；
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆广度为7±2项内容。

第五章第一节数列的概念与简单表示法1

返回
奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 2＋－1n 所以an＝(－1) · n .
n
1 －n n为正奇数，也可写成an＝ 3 n为正偶数. n
返回
[冲关锦囊] 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．
返回
返回
2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9„的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
(
)
n C．an＝ 2n－3
n D．an＝ 2n＋3
答案： B
返回
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，则这个数列是 ( A．递增数列 C．常数列答案： A B．递减数列 D．摆动数列 )
式的求法以及数列的性质．
2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大.
返回
返回
一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中
的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为
这个数列的第1项(通常也叫做首项 )．
返回
二、数列的分类分类原则按项数分类类型有穷数列满足条件项数有限
返回
[精析考题] [例 2] (2011· 四川高考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1， ( )
an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6＝ A．3×44 C．45 B．3×44＋1 D．45＋1
返回
[自主解答]
a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48
无穷数列
递增数列递减数列常数列摆动数列

2.1数列的概念与简单表示法

第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法一、知识点（一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。

3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。

（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、项数有限的数列叫有穷数列 2、项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。

2、递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<），这样的数列叫做递减数列。

3、摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。

4、常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。

高中数学必修五2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)

2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，….师图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，….师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,…. 生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生均是一列数.生还有一定次序.师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n .［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),…. 师说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n . 师由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5.师好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，….师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象点的集合一些离散的点的集合师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象. 生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关. 师这两数列的图象有什么特点？生其特点为：它们都是一群孤立的点.生它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点. 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义1.数列例12.项3.一般形式例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----; (3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-. 分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+•+n n n ； (3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯- ↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n . 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕 (2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么( )A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.答案：C点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A .4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001cm 就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k ,….你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n，裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点理解递推公式与通项公式的关系.教具准备多媒体三维目标一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.师你能举例说明吗？生如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n -1(n ∈N *);1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n ≤3); 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n1 (n ∈N *). ［合作探究］数列的表示方法师通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？生图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.师说得很好，还有其他的方法吗？生 ……师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生模型一：自上而下第1层钢管数为4,即14＝1+3;第2层钢管数为5,即25＝2+3;第3层钢管数为6,即36＝3+3;第4层钢管数为7,即47＝4+3;第5层钢管数为8,即58＝5+3;第6层钢管数为9,即69＝6+3;第7层钢管数为10,即710＝7+3.若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)生模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2+1.依此类推：a n =a n -1+1(2≤n ≤7).师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?生若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n ≤8).2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法. ［例题剖析］【例1】设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项. 师分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢? 生这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.师请大家计算一下!生解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例2】已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a n .师由例1的经验我们先求前5项.生前5项分别为2，4，8，16，32.师对，下面来猜想第n 项.生由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n .师很好!生老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢?师不能.必须有求解的过程.生老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n .师太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n .师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢? 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，…观察可得：a n =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -1).生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n .我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,a n -a n -1=-4a n -1-a n -2=-4a n -2-a n -3=-4 …… )1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -1).师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4=15,….(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N ).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2.(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n . (3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a 4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种,则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4),则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8=81.课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题.预习内容：课本P41～P 44.数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例1通项公式与例2 递推公式区别。

数列的概念与简单表示法(1)

数列的表示方法
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，，an ，
a 简记为 an ,其中 n 叫做数列的第n 项。
第n项的n是该项的序号，也叫做该项的项数
例如，三角形数构成的数列{an} ：
1 , 3 , 6 , 10 , 15 ...
球队马刺雷霆快船火箭
胜场 62
59 57
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
实例分析
2010年到2014年我校高考升学人数构成一个数列： 1820 ，1960 ， 2100 ， 2330 ，2590
有穷数列
递增数列
正整数的倒数构成的数列 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
2345
递减数列
实例分析
高一年级6次数学测验中，某同学的数学成绩构成的数列： 112 ， 108 ， 110 ， 118 ， 99 ， 102
递
摆
常
增
减
动
数
数
数数
列
列
列
列
作业一：探究与思考 1、数列与集合有什么区别？ 2、数列与数集有什么区别？ 3、数列中的项与集合中的元素有什么区别？ 4、数列4,7,10,13与数列13，10,7,4是相同的数列吗？ 5、每一个数列都有通项公式吗? 6、同一个数列的通项公式的表达形式唯一吗？
作业二：课本 31页第4题
摆动数列我贷款买房子，月均等额还款数目构成数列： 2100 ， 2100 ， 2100 ， … ， 2100
常数列
我们可以按照数列的每一项随序号变化的情况对数列进行分类
⑴从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列；
⑵从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列叫做递减数列；

2.1数列的概念与简单表示法1

§2.1 数列的概与简单表示法(一)
稽山中学骆永明 1
知识点一数列及其有关概念古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三角形数：1，3，6，10，··· 类似地，1，4，9，16，25，···被称为正方形数。
稽山中学骆永明 2
▲ 坐在第一排同学的学号从左到右,依次排成一列. ▲ 坐在第一排同学的学号从右到左,依次排成一列. ▲ －1的1次幂, 2次幂, 3次幂, ……,依次排成一列. ▲无穷多个1排成一列. ▲函数f(x)=10-2x,自变量分别取1﹑2﹑3﹑….,函数值依次排成一列.
稽山中学骆永明 5
4. 从函数的观点来研究数列: (1)定义域: 正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}） (2)值域: 项的集合 (3)对应法则: 解析式(通项公式)﹑列表﹑图像
5. 数列的通项公式: 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式
来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
稽山中学骆永明 6
类型一由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－12，13，－14； (2)12，2，92，8，225； (3)9,99,999,9 999； (4)2,0,2,0.
稽山中学骆永明 7
类型二数列的通项公式的应用例2 已知数列{an}的通项公式an＝ 2n－－11nn2＋n＋11，n∈N*. (1)写出它的第10项； (2)判断323是不是该数列中的项．
引申探究对于例2中的{an}． (1)求an＋1；
(2)求a2n.
稽山中学骆永明 8
稽山中学骆永明 3
1. 数列的概念: 按照一定顺序排列着的一列数称为数列.

1_数列的概念与简单表示法(一)

2.1
数列的概念与简单表示法(一)
认识课标（2分钟）
• 1.了解数列的概念、表示、分类； • 2.理解数列的通项公式及其简单应用； • 3.能根据数列的前几项写出一个通项公式。
• 一．学习内容（6分钟）
• 阅读教材P28-29（含例1），梳理教材内容；然后阅读并填写《学与导》P8知识导读； 1．什么叫数列？以及数列的项和首项的含义？ 2．数列的一般形式是怎样的？ 3．数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为哪两类数列？ (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可以怎样分类？ 4．什么叫数列的通项公式？
2 3 4 • 4.写出数列 1, , , ,... 3 5 7 断它的增减性。
六．小结和作业（2分钟）本节课你有哪些收获？ • • • • • • • 1.作业本上的作业： P31练习2 2.《学与导》上的作业：必做题：课中例2（1）；课后1、2；选做题：课中例2（2）；课后3.
• 二．导读单
• • • • • •
• 三．生成问题（6分钟）
• 每个同学把生成的问题写在《学与导》P8，小组负责人组织交流、讨论问题；最后各小组负责人组织填写问生成反馈单。
• 四．师生互动解决问题（6分钟）
五．目标达成检测（15分钟）
• • • • • 1.完成教材P31练习4和P33习题A组3； 2.完成《学与导》P8导读题2、5； 3.已知数列 {an }的通项公式为 an 5n 3 （1）写出数列的第4项和第6项；（2）18是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？27是否是该数列的一项呢？的通项公式，并判

数列的概念与简单表示法-1

§2.1数列的概念与简单表示法学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.4、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).知识点一数列的概念1.数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.3.数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.知识点二数列的分类1.按项的个数分类2.按项的变化趋势分类知识点三数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列.知识点四数列的表示方法1、如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.3.数列的通项公式与递推公式有什么区别？题型一数列的概念与分类规律方法处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性若满足a n ＜a n ＋1(n ∈N *)则是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1(n ∈N *)则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1(n ∈N *)则是常数列；若a n 与a n ＋1(n ∈N *)的大小不确定时，则是摆动数列.【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1，12，13，14，… B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C.－1，－12，－14，－18，… D.1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 (1)C (2)D【训练】下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ (1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4； (3)0，1，2，3，4，…；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…； (5)6，6，6，6，6.解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.题型二数列的通项公式规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式； (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.3.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.方向1 根据通项公式写数列的项【例2－1】根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1； (2)a n＝(－1)n n.方向2 观察法求数列的通项公式【例2－2】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－3，0，3，6，9，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)2，0，2，0，2，0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解(1) a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*).(2)a n＝2n＋1(n∈N*).(3)a n＝1＋(－1)n－1(n∈N*).(4)a n＝(－1)n 2n－32n(n∈N*).方向3 数列的通项公式的简单应用【例2－3】已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∴a3＋a4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n}中的项，则1n（n＋2）＝1120，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项.题型三数列的函数特性1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534， a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ，即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.题型四数列的递推数列规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n＋1＝a n＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如a n＋1＝f(n)a n的通项公式.将原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，an a n－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1).方向1 由递推公式写出数列的项1、已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式a n＋1＝2a nan＋2给出，试写出这个数列的前5项.解∵a1＝1，a n＋1＝2a nan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.方向2 由数列的递推公式求通项公式2、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.解∵a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，∴a2＝a1＋12×1＝1＋12＝32，a3＝a2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a3＋14×3＝53＋112＝74，a5＝a4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n＝2－1n.方向3 构造数列法求通项公式3、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n.练习1.下列叙述正确的是( D )A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n }C.数列0，1，0，1，…是常数列 D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列 2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( B )A.a n ＝nB.a n ＝n ＋1C.a n ＝n ＋2D.a n ＝2n 解析这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3.数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是(D )A.a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B.a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C.a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D.a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋14.已知数列{a n }的通项公式a n ＝（－1）n －1·n2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.a 1＝（－1）1－1×12×1－1＝1，a n＋1＝（－1）n＋1－1（n＋1）2（n＋1）－1＝（－1）n（n＋1）2n＋1.答案 1（－1）n（n＋1）2n＋15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0.解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍). ∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项.(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.6.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n＝n＋1n＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.7.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( c )A.a n＝a n－1＋2(n≥2)B.a n＝2a n－1(n≥2)C.a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D.a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.8.数列{x n}中，若x1＝1，x n＋1＝1xn＋1－1，则x2 017等于( D )A.－1B.－12C.12D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－12，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2 017＝x1＝1.9.已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________.由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝89，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝89＋19＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.10.求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.a n ＝－2n2＋29n＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n－2942＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.。

高中数学选择性必修二 4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)

课时同步练4.1 数列的概念与简单表示法（1）一、单选题1．已知数列{}n a 中，2n+5，则3a =（） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10【答案】C【解析】由已知得2×3+5=11．故选C ．2．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】对①，数列1,1,1,1,--其通项公式1(1)n n a +=-，也可以是3(1)n n a +=-，故①错误；对②，数列的项与n 具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确.故选B.3．已知数列-1，0，19，18，…，22n n -，…中，则572是其（） A ．第14项 B ．第12项 C ．第10项 D ．第8项【答案】B 【解析】令22n n-=572，化为：5n 2﹣72n +144=0，解得n =12，或n =125（舍去）．故选B ．4．数列{}n a 的通项公式()*2n a n n =∈N不满足下列递推公式的是（） A ．()122n n a a n -=+ B ．()1223n n n a a a n --=-C ．()()()11222n n n n a a a a n ---=-D ．()122n n a a n -= 【答案】D【解析】将2n a n =代入四个选项得：A. 22(1)2n n =-+ 成立；B. 222(1)2(2)n n n =⨯--- 成立；C. ()2222(1)2(1)][2n n n n -=--- 成立；D. 222n n =⨯ 不恒成立。

第一节数列的概念及简单表示法

an1
≥2)时,用累乘法求解.
栏目索引
变式3-1
若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=
n
n
1
an”,如何
求解?
解析
∵an+1=
n
n
1
an,
∴ an1 = n ,
an n 1
∴an= an ·an1 ·an2 ·…·a3 ·a2 ·a1
an1 an2 an3
a2 a1
= n 1·n 2 ·n 3 ·…·1 ·2=2 .
栏目索引
1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=
0, n为奇数, 1, n为偶数,
②an=1
(1)n 2
,③an=
1 cos n ,④an= sin n .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的
2
2
是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
答案 A 检验知①②③都可以是所给数列的通项公式.
∴ 1 = 1 + 1 ,即 1 - 1 = 1 ,
an1 an 2 an1 an 2
又a1=2,则 1 = 1 ,
a1 2
∴
1 an
是以
1 2
为首项,
1 2
为公差的等差数列.
∴ 1 = 1 +(n-1)× 1 = n ,
an a1
22
∴an= 2 .
n
栏目索引
变式3-4 若将本例中的条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解? 解析 ∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2. 故an+2-an=2, 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.

第1讲数列的概念及简单表示法

第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的有关概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2．数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．32B ．53C ．85D ．23解析：选D ．a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N *或其子集{1，2，…，n }；(2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第________项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2考点一由数列的前几项求通项公式(基础型)复习指导| 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法和通项公式法)．核心素养：逻辑推理1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－(n －1) B ．a n ＝n 2－1 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n －1)2解析：选C ．观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以a n ＝n (n ＋1)2.2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋13．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是________．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －14．已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n ·2n －32n .答案：a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n 或(－1)n ＋1来调节正负项． (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意] 根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！考点二由a n 与S n 的关系求a n (基础型)复习指导| 由S n 与a n 的关系求a n .利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出当n ≥2时a n 的表达式．(1)(2020·湖南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A ．12B ．14C ．18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝________，{a n }的通项公式为________．【解析】 (1)因为S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A ．(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立．所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n求a n的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1；②用n－1替换S n中的n得到一个新的关系式，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解；②利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则a n＝________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －1考点三由递推关系求通项公式(基础型)复习指导| 由数列的递推关系求通项公式常利用构造法、累加法、累乘法等．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2，故a n ＝2n (n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝2n (n －1)2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝________．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝________．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34×23×1＝2n ＋1，(*)又a 1也满足(*)式，所以a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋1考点四数列的函数特征(综合型)复习指导| 通过实例，了解数列是一种特殊函数．核心素养：逻辑推理角度一数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D ．【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二数列的周期性设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n1－a n，a 2 020＝3，那么a 1＝( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3【解析】设a 1＝x ，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝1＋x1－x，a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1，所以数列{a n }是周期为4的周期数列．所以a 2 020＝a 505×4＝a 4＝x －1x ＋1＝3.解得x ＝－2.【答案】 A解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．1．等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析：选C．由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a 1＞a 2＞…＞a 5＞a 6＝0＞a 7＞a 8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C ． 2．(2020·辽宁重点中学协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 18＝( )A ．0B ．18C ．10D ．9解析：选C ．因为a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，所以a n ＋1＝a n ＋sin (n ＋1)π2.因为a 1＝1，所以a 2＝a 1＋sin π＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin 4π2＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，a 6＝a 5＋sin6π2＝1，a 7＝a 6＋sin 7π2＝0， a 8＝a 7＋sin 8π2＝0，…，故数列{a n }为周期数列，周期为4.所以S 18＝4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝10.故选C ．3．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析：因为数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1＞a n ，所以(n ＋1－λ)2n ＋1＞(n －λ)2n ，化为λ＜n ＋2，对∀n ∈N *都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)[基础题组练]1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项解析：选C ．数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A ．132B ．116C ．14D ．12解析：选A ．因为数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，所以a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18.那么a 5＝a 3·a 2＝132.故选A ．3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．“|a n ＋1|＞a n ”⇔a n ＋1＞a n 或－a n ＋1＞a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1＞a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B ．4．(多选)已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝32D ．S 2 019＝2 0192解析：选ACD ．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 3＝32，S 2 019＝2 0192.5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A ．9998B ．2C ．9950D ．99100解析：选C ．由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100]＝2×⎝⎛⎭⎫1－1100＝9950.故选C ． 6．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n (n ＋1)，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*7．(2020·黑龙江大庆一中模拟)数列{a n }的前n 项和S n 满足a 2＝2，S n ＝12n 2＋An ，则A＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________．解析：因为a 2＝S 2－S 1＝(2＋2A )－⎝⎛⎭⎫12＋A ＝2，所以A ＝12. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤12(n －1)2＋12(n －1)＝n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以a n ＝n .所以1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：：12 nn ＋18．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝________．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，则a nn的最小值为( )A ．4 5B ．45－1C ．8D ．9解析：选C ．由a n ＋1－a n ＝2n 知a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n 2－n ，n ≥2，所以a n ＝n 2－n ＋20，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝20符合上式，所以a n n ＝n ＋20n－1，n ∈N *，所以n ≤4时a n n 单调递减，n ≥5时a nn 单调递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8，故选C ．2．(多选)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }中的最大项可以是( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项D ．第9项解析：选AB ．假设a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n≥n ·⎝⎛⎭⎫78n －1，所以⎩⎨⎧n ＋1≥78(n ＋2)，78(n ＋1)≥n ，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项或第7项．3．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝________．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n4．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝________．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－15．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1，a ≠3.所以，所求的a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。

人教版高中数学必修五《数列》2.1数列的概念及简单表示法(1)

2012年3月28日星期三
请观察：
思考：这个数列的第n项与这一项的序号n之间有什么样的关系？可不可以有一个式子来表示？结论：
数列的通项公式
2012年3月28日星期三
定义：如果数列的第n项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意： ⑴并不是所有数列都能写出其通项公式
例如：数列1，1.4，1.41，1.414，…
⑵数列的通项公式有时是不唯一的
n +1 1+ (−1)n+1 π| . 是 an = ，也可以是 an =| cos 2 2
2012年3月28日星期三
如：数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以
数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项.
课本习题2.1A组的第1题
2012年3月28日星期三
§2.1 数列的概念及简单表示法第一课时ຫໍສະໝຸດ 2012年3月28日星期三
观察这些例子，看它们有何共同特点？
结论：共同点
2012年3月28日星期三
均是一列数是一列数有一定次序一定次序
数列
1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列。注意： ⑴有序性
数列的数是按一定次序排列的。两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。例如：数列1，2，3与数列3，2，1是两个不同的数列。
⑵可重复性
同一个数在一个数列中可以重复出现. 例如：数列1，1，2，2，3，3仍是一个数列，这个数列中有六个数。
2012年3月28日星期三
2、数列的项的概念数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 排在第一位的数就叫做这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数就叫做这个数列的第2项，…，排在第n位的数就叫做这个数列的第n 项，…. 3、数列的一般形式

数列的概念及简单表示方法

= ()
+1

在数列中,
=

且1
+2
= 2, 求数列的通项公式
3、构造法：
形如+1 = +
在数列中, 1 = 1, +1 =
2

3
+ 1,求数列的通项公式
, +
若数列的前项和为：
1 , = 1
则 = ቊ
− −1 , ≥ 2
习题练习
求数列的通项公式
一、观察法：写出下面各数列的一个通项公式
（1）1，-3，5，-7，9,… = (−1)−1 × （2 − 1)
（2）9， 9，999，9999，… = 10 − 1
摆动数列
数列的函数特性
1、数列与函数的关系
数列可以看成一类特殊的函数 = (),定义域
为正整数集（或正整数集的有限子集），所以它的图
像是一系列鼓励的点，而不是连续不断的曲线。
2、数列的性质：单调性、周期性。
数列的前n项和和通项的关系
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
（或某一项）开始的任一项与它的前一项n−1 （或前
几项）（ ≥ 2)的关系可以用一个公式表示，那么这个公
式就叫做该数列的递推公式。
例如：+1 = + 2, 1 = 1
递推公式包括两部分：开头，递推关系；
通项公式可以直接求出数列的任意一项，递推公式不可以
直接求出；
递推公式、通项公式共同点：都可以确定一个数列，求出
子 =(）， ∈ + 表达，这个式子叫做数列的通项
公式。

高中二年级数学第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。

§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)

2013-8-14 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
——数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) 数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性.
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
15
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
如何用数学式子表示递增数列、递减数列和常数列？
递增数列： an > an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 递减数列： an < an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 常数列： an = c (n = 1, 2, 3, L )
22 1 32 1 42 1 52 1 （2） , , , ; 2 3 4 5 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
an
n 1
1 nn 2 n 1 n 1
2
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 20
每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的 2倍且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18,446,744,073,709,551,615
2
1
2
3
2 63 ?
2013-8-14
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
一斤小麦约1万粒。
项
2
1