数列的概念与简单表示法(含 解析)

第一节数列的概念与简单表示法知识要点1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1列的递推公式．3.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．4．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．题型一：由数列的前几项求数列的通项公式[例1]　下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝[自主解答]　由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]　C变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________．答案：a n＝由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．1．写出下面数列的一个通项公式．(1)，，，，，…； (2)－1，，－，，－，，….解：(1)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n＝.(2)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n＝(－1)n·，也可写为a n＝题型二：由a n与S n的关系求通项a n[例2]　已知数列{a n}的前n项和S n，根据下列条件分别求它们的通项a n.(1)S n＝2n2＋3n；(2)S n＝3n＋1.[自主解答]　(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故a n＝4n＋1.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，故a n＝由题悟法已知数列{a n}的前n项和S n，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，则＝( )A. B. C. D．30解析：选D　当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝，则a5＝＝.题型三：数列的性质（数列的函数思想）命题点1　数列的单调性与最值[例3]　已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？(1)因为a n＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，a n有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n项和最小，则有a n≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{a n}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．变式：在本例条件下，设b n＝，则n为何值时，b n取得最小值？并求出最小值．解：b n＝＝＝n＋－21，令f(x)＝x＋－21(x>0)，则f′(x)＝1－，由f ′(x)＝0解得x＝2或x＝－2(舍)．而4<2<5，故当n≤4时，数列{b n}单调递减；当n≥5时，数列{b n}单调递增．而b4＝4＋－21＝－12，b5＝5＋－21＝－12，所以当n＝4或n＝5时，b n取得最小值，最小值为－12.由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和S n，根据S n的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m≥0，且a m＋1<0，则S m最大；若a m≤0，且a m＋1>0，则S m最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.命题点2　数列的周期性例4　数列{a n}满足a n＋1＝，a8＝2，则a1＝____________________________.解析　∵a n＋1＝，∴a n＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－a n－2)＝a n－2，n≥3，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．以题试法2016·哈尔滨模拟)数列{a n}满足a n＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________．解析　由已知可得，a2＝2×－1＝，a3＝2×＝，a4＝2×＝，a5＝2×－1＝，∴{a n}为周期数列且T＝4，∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝.基础训练1．(教材习题改编)数列1，，，，…的一个通项公式是　( )A．a n＝ B．a n＝C．a n＝ D．a n＝答案：B2．设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为( )A．15 B．16 C．49 D．64解析：选A　a8＝S8－S7＝64－49＝15.3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝，则这个数列是( )A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列解析：选A　a n＋1－a n＝－＝＝>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝则a4·a3＝________.解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：545．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn＋，且a2＝，a4＝，则a8＝________.解析：由已知得解得则a n＝n＋，故a8＝. 答案：6．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式．解：∵当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{a n}的通项公式是a n＝4n(n∈N*)．∵T n＝2－b n，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，b n＝T n－T n－1＝(2－b n)－(2－b n－1)，∴2b n＝b n－1.∴数列{b n}是公比为，首项为1的等比数列．∴b n＝n－1.能力提升1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2(a n－1)，则a2等于( ) A．4 B．2 C．1 D．－2解析：选A　由题可知S n＝2(a n－1)，所以S1＝a1＝2(a1－1)，解得a1＝2.又S2＝a1＋a2＝2(a2－1)，解得a2＝a1＋2＝4.2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a n＝( )A．2n－1 B．n2 C. D.解析：选D　设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n ＝＝.3．(2016·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝( )A．2 022×2 016 B．2 022×2 015C．1 011×2016 D．1 011×2 015选D　因为a n－a n－1＝n＋2(n≥2)，所以a n＝5＋，所以a2 017－5＝1 011×2 015.4．已知数列{a n}满足a st＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.　解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：85．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＝(n≥3)，则a2 012＝________.解析：将a1＝1，a2＝2代入a n＝得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，故数列{a n}是周期数列，周期为6，故a2 012＝a335×6＋5＝a7＝.答案：6．已知{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1，则a n＝________.解析：由已知条件可得S n＋1＝2n＋1. 则S n＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合a n，故a n＝7．列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．(1)求c的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)由题知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.(2)当n≥2时，由a n＋1＝a n＋cn得a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…a n－a n＝(n－1)c，－1以上各式相加，得a n－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c，又a1＝2，c＝2，故a n＝n2－n＋2(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n＋2(n∈N*)．。