数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法

[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

【知识通关】

1．数列的有关概念

n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝⎩⎨⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

4．数列的分类

[

求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用⎩⎨⎧

a n ≥a n －1，

a n ≥a n ＋1.(n ≥2，

n ∈N *)或⎩⎨

⎧

a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1

(n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利

用数形结合思想求解．

【基础自测】

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1

n (n ＋1)

，…，下列各数中是此数列中的项的是( )

A .135

B .142

C .148

D .154 B

3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A

4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )

A .32

B .53

C .85

D .23 D

5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.

5n －4

【题型突破】

由a n 与S n 的关系求通项公式

1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋2

3n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝

________. ⎩⎪⎨⎪⎧

47

12，n ＝1

12n ＋512，n ≥2

]

2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3，则{a n }的通项公式a n ＝________.

(－2)n －1

3．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n . [解] 设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时， na n ＝T n －T n －1

＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5， 因此a n ＝

6n －5

n ，

显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2，n ＝1，6n －5

n ，n ≥2.]

[方法总结] 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.

(2)用n －1替换S n 中的n 得出S n －1，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.

(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式.

易错警示：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件，易忽视验证n ＝1致误.

由递推关系式求数列的通项公式

【例1】 分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝

n

n －1

a n －1(n ≥2，n ∈N *)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)． [解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n (3n ＋1)2

(n ≥2)．

当n ＝1时，a 1＝1

2×(3×1＋1)＝2符合公式，

∴a n ＝32n 2＋n 2.

(2)当n ≥2，n ∈N *时， a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n

a n －1

＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×n

n －1＝n ，

当n ＝1时，也符合上式， ∴该数列的通项公式为a n ＝n .

(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，

故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.

[方法总结] 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且

a n

a n －1

＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.

易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.