2007年江苏省南通市中考数学试卷

2007年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（共11小题，满分35分）1．（3分）﹣6+9等于（）A．﹣15B．+15C．﹣3D．+32．（3分）（m2）3•m4等于（）A．m9B．m10C．m12D．m143．（3分）如图的三个图形是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．正方体B．圆柱体C．圆锥体D．球体4．（3分）已知两圆的半径分别是3cm和4cm，圆心距是7cm，则这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切5．（3分）某校初三（2）班的10名团员向“温暖工程”捐款，10个人的捐款情况如下（单位：元）：2，5，3，3，4，5，3，6，5，3，则上面这组数据的众数是（）A．3B．3.5C．4D．56．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7．（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A．B．C．D．8．（3分）设一元二次方程7x2x﹣5＝0的两个根分别是x1、x2，则下列等式正确的是（）A．x1+x2B．x1+x2C．x1+x2D．x1+x29．（4分）如图，把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（a，b），且2a+b ＝6，则直线AB的解析式是（）A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x﹣6C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x+6 10．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是（）A．cm B．cm C．cm D．cm11．（3分）函数y中自变量x的取值范围为（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）12．（3分）为了适应南通经济快速发展的形势以及铁路运输和客流量大幅上升的需要，南通火车站扩建工程共投资73 150 000元．将73 150 000用科学记数法表示为．13．（3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝cm．14．（3分）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于度．15．（3分）一元二次方程（2x﹣1）2＝（3﹣x）2的解是x1＝，x2＝．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（6，3）、B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则A′B′的长度等于．17．（3分）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，5，6且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是．18．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝．三、解答题（共10小题，满分94分）19．（12分）（1）计算：；（2）已知x＝2007，y＝2008，求的值．20．（7分）已知：2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．21．（6分）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形ABCD；（2）填空：菱形ABCD的面积等于．22．（9分）周华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：（1）填空：周华从体育场返回行走的行走速度时米/分；（2）刘明与周华同时出发，按相同的路线前往体育场，刘明离周华家的距离y（米）与时间x（分）的关系式为y＝kx+400，当周华回到家时，刘明刚好到达体育场．①直接在图中画出刘明离周华家的距离y（米）与时间x（分）的函数图象；②填空：周华与刘明在途中共相遇次；③求周华出发后经过多少分钟与刘明最后一次相遇．23．（6分）某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为30cm，高度（如BE）均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9度．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．25．（8分）某市图书馆的自然科学、文学艺术、生活百科和金融经济四类图书比较受读者的欢迎．为了更好地为读者服务，该市图书馆决定近期添置这四方面的图书，为此图书管理员对2007年5月份四类图书的借阅情况进行了统计，得到了四类图书借阅情况的频数表．请你根据表中提供的信息，解答以下问题： （1）填空：表中数据的极差是 ；（2）请在右边的圆中用扇形统计图表示四类图书的借阅情况；（3）如果该市图书馆要添置这四类图书10 000册，请你估算“文学艺术”类图书应添置多少册较合适？26．（9分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x （x 为正整数）元，每天可多售出3x 台．（注：利润＝销售价﹣进价）（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式； （2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？27．（12分）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，且DE ∥AB ，CD ．将△CDE 绕点C 顺时针旋转，得到△CD ′E ′（如图②，点D ′、E ′分别与点D 、E 对应），点E ′在AB 上，D ′E ′与AC 相交于点M ． （1）求∠ACE ′的度数；（2）求证：四边形ABCD ′是梯形； （3）求△AD′M 的面积．28．（15分）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A （0，1）、B （0，3），第三个顶点C 在x 轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A 、D （3，﹣2）、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式及点P的坐标；（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．2007年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，满分35分）1．（3分）﹣6+9等于（）A．﹣15B．+15C．﹣3D．+3【解答】解：因为﹣6，9异号，且|﹣6|＜|9|，所以﹣6+9＝|9﹣6|＝3．故选：D．2．（3分）（m2）3•m4等于（）A．m9B．m10C．m12D．m14【解答】解：（m2）3•m4＝m6•m4＝m10．故选：B．3．（3分）如图的三个图形是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．正方体B．圆柱体C．圆锥体D．球体【解答】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．故选：C．4．（3分）已知两圆的半径分别是3cm和4cm，圆心距是7cm，则这两圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：根据题意，得：R+r＝7cm，即R+r＝d，∴两圆外切．故选C．5．（3分）某校初三（2）班的10名团员向“温暖工程”捐款，10个人的捐款情况如下（单位：元）：2，5，3，3，4，5，3，6，5，3，则上面这组数据的众数是（）A．3B．3.5C．4D．5【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3．故选：A．6．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠BEA∴BE＝AB＝3∵BC＝AD＝5∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2故选：B．7．（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（）A．B．C．D．【解答】解：第一块试验田的亩数为：；第二块试验田的亩数为：．那么所列方程为：．故选：C．8．（3分）设一元二次方程7x2x﹣5＝0的两个根分别是x1、x2，则下列等式正确的是（）A．x1+x2B．x1+x2C．x1+x2D．x1+x2【解答】解：根据根与系数的关系可得x1+x2．故选A．9．（4分）如图，把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（a，b），且2a+b＝6，则直线AB的解析式是（）A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x﹣6C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x+6【解答】解：∵直线AB经过点（a，b），且2a+b＝6．∴直线AB经过点（a，6﹣2a）．∵直线AB与直线y＝﹣2x平行，∴设直线AB的解析式是：y＝﹣2x+b1，把（a，6﹣2a）代入函数解析式得：6﹣2a＝﹣2a+b1，则b1＝6，∴直线AB的解析式是y＝﹣2x+6．故选：D．10．（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA＝OD，△AOD是等腰直角三角形．易证△ABO≌△OCD，则OB＝CD＝4cm．在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2＝20；在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．则OP＝OA•sin45°cm．故选：B．11．（3分）函数y中自变量x的取值范围为（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）12．（3分）为了适应南通经济快速发展的形势以及铁路运输和客流量大幅上升的需要，南通火车站扩建工程共投资73 150 000元．将73 150 000用科学记数法表示为7.315×107．【解答】解：将73 150 000用科学记数法表示为7.315×107．13．（3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝6 cm．【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是三角形的中位线，∵DE＝3cm，∴BC＝2DE＝6cm．故答案为：6．14．（3分）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于1800度．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，正多边形的内角和：（12﹣2）•180°＝1800°．15．（3分）一元二次方程（2x﹣1）2＝（3﹣x）2的解是x1＝，x2＝﹣2．【解答】解：开方得2x﹣1＝±（3﹣x）即：当2x﹣1＝3﹣x时，x1；当2x﹣1＝﹣（3﹣x）时，x2＝﹣2．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（6，3）、B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则A′B′的长度等于1．【解答】解：∵A（6，3）、B（6，0），∴AB＝3，又∵相似比为，∴A′B′：AB＝1：3，∴A′B′＝1．17．（3分）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，5，6且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是．【解答】解：列表得：∴两张卡片上的数字之和等于7的概率是．18．（3分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝12．【解答】解：由题意，设点D的坐标为（x D，y D），则点B的坐标为（x D，y D），矩形OABC的面积＝|x D y D|，∵图象在第一象限，∴k＝x D•y D＝12．故答案为：12．三、解答题（共10小题，满分94分）19．（12分）（1）计算：；（2）已知x＝2007，y＝2008，求的值．【解答】解：（1）原式＝4﹣1+2＝5；（2）原式（4分）＝x+1．（6分）∴当x＝2007，y＝2008时，原式＝2007+1＝2008．（7分）20．（7分）已知：2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．【解答】解：由2a﹣3x+1＝0，3b﹣2x﹣16＝0，可得a，b，（2分）∵a≤4＜b，∴，（3分）＞由（1），得x≤3．（4分）由（2），得x＞﹣2．（5分）∴x的取值范围是﹣2＜x≤3．（7分）21．（6分）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形ABCD；（2）填空：菱形ABCD的面积等于15．【解答】解：（1）如图，菱形ABCD正确；（2）菱形ABCD的面积＝5×5﹣44×1﹣2×12＝25﹣8﹣2＝15．22．（9分）周华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：（1）填空：周华从体育场返回行走的行走速度时160米/分；（2）刘明与周华同时出发，按相同的路线前往体育场，刘明离周华家的距离y（米）与时间x（分）的关系式为y＝kx+400，当周华回到家时，刘明刚好到达体育场．①直接在图中画出刘明离周华家的距离y（米）与时间x（分）的函数图象；②填空：周华与刘明在途中共相遇2次；③求周华出发后经过多少分钟与刘明最后一次相遇．【解答】解：（1）2400÷（40﹣25）＝160；（2分）（2）①根据题意图象经过（0，400）（40，2400）（4分）②2（5分）③根据题意得40k+400＝2400解得k＝50∴y＝50x+400．由函数的图象可知，在出发后25分钟到40分钟之间最后一次相遇．设周华的图象解析式为y＝kx+b根据图象有解得∴当25≤x≤40时，周华从体育场到家的函数关系式是y＝﹣160x+6400．（7分）由解得（8分）所以，周华出发后经过分钟与刘明最后一次相遇．（9分）23．（6分）某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为30cm，高度（如BE）均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9度．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）【解答】解：过C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由条件，得CF＝80cm，BF＝90cm．（1分）在Rt△CAF中，tan A．（2分）∴AF500．（4分）∴AB＝AF﹣BF＝500﹣90＝410（cm）．（5分）答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离为410cm．（6分）24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．25．（8分）某市图书馆的自然科学、文学艺术、生活百科和金融经济四类图书比较受读者的欢迎．为了更好地为读者服务，该市图书馆决定近期添置这四方面的图书，为此图书管理员对2007年5月份四类图书的借阅情况进行了统计，得到了四类图书借阅情况的频数表．请你根据表中提供的信息，解答以下问题：（1）填空：表中数据的极差是800；（2）请在右边的圆中用扇形统计图表示四类图书的借阅情况；（3）如果该市图书馆要添置这四类图书10 000册，请你估算“文学艺术”类图书应添置多少册较合适？【解答】解：（1）分析数据：最大值为2400，最小值为1600，故极差为2400﹣1600＝800；（2）总数是8000，所以借阅自然科学类图书的频率是2000÷8000＝0.25，在扇形统计图中对应的圆心角是0.25×360＝90°；同理可得：借阅文学艺术类图书的频率是0.30，在扇形统计图中对应的圆心角是108°；借阅生活百科类图书的频率是0.20，在扇形统计图中对应的圆心角是72°；借阅金融经济类图书的频率是0.25，在扇形统计图中对应的圆心角是90度．（扇形图如图）（3）因为10000×0.30＝3000，所以如果该市图书馆添置这四类图书10000册，则“文学艺术”类图书应添置3000册较合适．26．（9分）某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x（x为正整数）元，每天可多售出3x台．（注：利润＝销售价﹣进价）（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？【解答】解：（1）由题意：每台彩电的利润是（3900﹣100x﹣3000）元，每天销售（6+3x）台，（1分）则y＝（3900﹣100x﹣3000）（6+3x）＝﹣300x2+2100x+5400．（4分）（2）y＝﹣300x2+2100x+5400＝﹣300（x﹣3.5）2+9075．当x＝3或4时，y最大值＝9000．（6分）当x＝3时，彩电单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15＝54000元，当x＝4时，彩电单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18＝63000元，所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元，此时每台彩电的销售价是3500元时，能保证彩电的销售量和营业额较高．（9分）27．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD．将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′（如图②，点D′、E′分别与点D、E对应），点E′在AB上，D′E′与AC相交于点M．（1）求∠ACE′的度数；（2）求证：四边形ABCD′是梯形；（3）求△AD′M的面积．【解答】（1）解：如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，∴DE＝CD＝2，∴CE＝CE′＝4．（1分）如图2，在Rt△ACE′中，∠E′AC＝90°，AC＝2，CE′＝4，∴cos∠ACE′∴∠ACE′＝30°．（3分）（2）证明：如图2，∠D′CE′＝∠ACB＝45°，∠ACE′＝30°，∴∠D′CA＝∠E′CB＝15°，又，∴△D′CA∽△E′CB．（5分）∴∠D′AC＝∠B＝45°，∴∠ACB＝∠D′AC，∴AD′∥BC．（7分）∵∠B＝45°，∠D′CB＝60°，∴∠ABC与∠D′CB不互补，∴AB与D′C不平行．∴四边形ABCD′是梯形．（8分）（3）解：在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F．∵AD′∥BC，∴CF⊥BC．∴∠FCD′＝∠ACF﹣∠ACD′＝30°．在Rt△ACF中，AF＝CF，∴S△ACF＝3，在Rt△D′CF中，CD′＝2，∠FCD′＝30°，∴D′F，∴S△D′CF．同理，S Rt△AE′C＝2，S Rt△D′E′C＝4．（10分）∵∠AME′＝∠D′MC，∠E′AM＝∠CD′M，∴△AME′∽△D′MC．．（11分）①∴S△AE′M S△CD′M．②∵S△EMC+S△AE′M＝S△AE′C＝2，③S△E′MC+S△CD′M＝S△D′EC＝4．由③﹣②，得S△C′DM﹣S△AE′M＝4﹣2，由①，得S△CD′M＝8﹣4，∴S△AD′M＝S△ACF﹣S△DCF﹣S△CD′M＝35．∴△AD′M的面积是5．（12分）28．（15分）已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C 在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2+bx+c经过A、D（3，﹣2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式及点P的坐标；（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．【解答】解：（1）∵A（0，1），B（0，3），∴AB＝2，∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，∴AC＝AB＝2，∴OC．∴C（，0）．（2分）设直线BC的解析式为y＝kx+3，∴k+3＝0，∴k．∴直线BC的解析式为y x+3．（4分）（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c关于y轴对称，∴b＝0．（5分）又抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，1），D（3，﹣2）两点．∴解得∴抛物线的解析式是y x2+1．（7分）在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝2，易得∠ACO＝30°．在Rt△BOC中，OB＝3，OC，易得∠BCO＝60°．∴CA是∠BCO的角平分线．∴直线BC与x轴关于直线AC对称．点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y x2+1的交点．（8分）∵点P在直线BC：y x+3上，故设点P的坐标是（x，x+3）．又∵点P（x，x+3）在抛物线y x2+1上，∴x+3x2+1．解得x1，x2＝2．故所求的点P的坐标是P1（，0），P2（2，﹣3）．（10分）（3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+C′M的最小值．（I）当点P的坐标是OC时，点P与点C重合，故PM+CM＝2CM．显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为，∵点M是y轴上的动点，∴PM+CM无最大值，∴PM+CM≥2．（13分）（II）当点P的坐标是（2，﹣3）时，由点C关于y轴的对称点C′（，0），故只要求PM+MC'的最小值，显然线段PC'最短．易求得PC'＝6．∴PM+CM的最小值是6．同理PM+CM没有最大值，∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6．综上所述，当点P的坐标是（，0）时，PM+CM≥2，当点P的坐标是（2，﹣3）时，PM+CM≥6．（15分）。