2016年福建普通高中毕业班质量检查

2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知复数3i1iz +=-，则z = （A ）1 （B ）2 （C（D ）5 (2)集合{{}2|,20A y y B x x x ===--≤,则A B =（A ）[)2,+∞ （B ）[]0,1 （C ）[]1,2 （D ）[]0,2 (3)已知1cos ,23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则cos2α的值等于（A ）97 （B ）97- （C ）89 （D ）89-(4) 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为4，则输出的S 的值为（A ）15 （B ）6 （C ）10- （D ）21-(5) 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如右表：由表中数据，得线性回归方程:l ˆˆˆybx a =+（121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑），则下列结论错误的是 （A ）ˆ0b> （B ）ˆ0a > （C ）直线l 过点(4,8) （D ）直线l 过点(2,5)输出　输入　为奇数？(6)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱 （7）在ABC △中，3B π=，2AB =,D 为AB 中点,△BCD，则AC 等于（A ）2 （B（C（D(8)函数()e e ()ln 2x x x f x --=，则()f x 是（A ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递减 （B ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 （C ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递减（D ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递增(9)在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,2A ，()0,2,0B ， ()2,2,2C ，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（A ）3π （B） （C ）12π （D ）48π(10)若,x y 满足约束条件20,20,20,x y y x y -+⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≥≥则22(2)(3)x y +++的最小值为（A ）1 （B ）92（C ）5 （D ）9 (11)已知过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点的直线l 与C 交于,A B 两点，且使4AB a =的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的渐近线方程为(12) 已知函数()f x kx =，2()2ln 2e(e )eg x x x =+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是（A ）24,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）224,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13) 已知函数232,0,(),0.x x f x x x +⎧<⎪=⎨⎪⎩≥则[](1)f f -= ．(14) 已知向量,a b 的夹角为32π，1=a ，3=b ，则=a +b ． (15) 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:4E y x =的焦点F 重合，点P 是椭圆C 和抛物线E 的一个公共点，点Q ()0,1满足QF QP ⊥，则C 的离心率为 ．(16) 已知A 是函数()()sin (0,02)f x x ωϕωϕ=+><<π图象上的一个最高点，B ，C 是()f x 图象相邻的两个对称中心，且ABC ∆的面积为12，若存在常数(0)M M >，使得()()f x M Mf x +=-，则该函数的解析式是()f x = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220a a -=，37S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．(18)(本小题满分12分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷．现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下． （Ⅰ）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数及平均数；（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（ⅰ）能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？ （ⅱ）如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．(19)(本小题满分12分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，EFAC ，2AD =，EA ED EF ===（Ⅰ）求证：AD BE ⊥； （Ⅱ）若BE =求三棱锥F BCD -的体积．(20)(本小题满分12分)已知点()4,0A -，直线:1l x =-与x 轴交于点B ，点M 到,A B 两点的距离之比为2. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设C 与x 轴交于,E F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线,PE PF 分别与C 交于另一点,S T ，证明：,,A S T 三点共线．)使用A 款订餐软件的“平均送达时间”的频率分布直方图使用B 款订餐软件的“平均送达时间”的频率分布直方图)(21)(本小题满分12分)已知函数()e ln x f x x a x =-，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线平行于x 轴． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当e b ≤时，()()222f x b x x -+≥．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且,,,D C E G 四点共圆． (Ⅰ)求证：BAD ACG ∠=∠； (Ⅱ)若1GC =，求AB ．（23）（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为s i n 4ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭.(Ⅰ)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(Ⅱ)设点()0,2P ，l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +．（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()1f x x =+.(Ⅰ)求不等式()211f x x <+-的解集M ； (Ⅱ)设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--．2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题答案及评分参考GEDCBA评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）C （2）D （3）A （4）C （5）D （6）A （7）B （8）D （9）C （10）B （11）A （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）8 （14（151 （16）sin x -π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查等比数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，依题意，得211211120,7,a q a q a a q a q ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ ················································································ 3分 解得11,2,a q =⎧⎨=⎩·················································································································· 5分所以12n n a -=． ············································································································ 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12n n n n a -=，所以21231222n n nT -=++++，① ····················· 7分 所以21112122222n n nn nT --=++++，② ······································································ 8分 ①－②得，211111122222n n nnT -=++++-···························································· 10分 1121212n n n -=-- 222nn +=-． ····················································································· 11分 所以1242n n n T -+=-． ·································································································· 12分 18．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、众数、古典概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的众数为55（分钟）． ················································································································· 2分 使用A 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）． ····································································································································· 6分（Ⅱ）（ⅰ）使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04+0.20+0.56=0.80=80%>75%. ······································································ 8分故可认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%. ································································································································· 9分（ⅱ）使用B 款订餐软件的50个商家的 “平均送达时间”的平均数： 150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<，所以选B 款订餐软件． ····················································································· 12分注：本小题答案开放，只要能够按照统计知识合理作答，即给满分。