2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案

2016年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学试题答案及评分参考

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试

题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题

的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

（13）0.3 （14）3- （15）5- （16）

26

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1

sin 2

BC BD B ⋅⋅= ······ 2分 又因为3

B π

=

,1BD =，所以4BC = ． ··············· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2

2

2

2cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··· 5分

即2

1

161241132

CD =+-⨯⨯⨯

=，解得CD = ········· 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，

又AC =sin 2sin AC CD

θθ

=

， ············ 7分

所以2cos CD θ

=

． ························ 8分

在△BDC 中, 22,23

BDC BCD θθπ

∠=∠=

-，

由正弦定理得，sin sin CD BD

B BCD =

∠

，即12cos 2sin sin(2)33

θθ=ππ-， ····10分 化简得2cos sin(2)3

θθπ

=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ

-=-． ··················11分

因为02θπ<<，所以220,222333

θθπππππ

<-<-<-<

， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,

解得==618θθππ或，故=618

DCA DCA ππ

∠∠=或． ··········12分

解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，

所以DE AC ⊥． ························· 7分 设DCA A θ∠=∠=，

因为AC =

EA EC == 在Rt △CDE

中，cos CE CD DCA =

=∠． ··········· 8分

以下同解法一．

（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，

由余弦定理得，222

11112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，

∴1AB ，…………………………………………1分

∴222

11BB AB AB =+，

∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥，

1

B

又∵1AC

AB A =，

∴AB ⊥平面1AB C ． ······················· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，

∴AB ⊥1B C ． ·························· 5分

（Ⅱ）∵11

1,2AB AB AC BC ====， ∴222

11B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ··············· 6分

如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，

································· 7分

则(

)(()()1000,0,100010A B B C ，

，0，，，，，， ∴()

()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ················ 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，

由10,0,BB BC ⎧⋅=

⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-+=⎪⎨

-+=⎪

⎩令1z =，得

x y ==

∴平面1BCB 的一个法向量为)

=

n ． ……………………9分

∵()((1

1

1

0,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，

……………………………………………………………………………10分

∴111cos ,||||AC AC AC ⋅<>=

==n n n ，….……………11分

∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35

． ············12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，

则1AC H ∠

为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·············· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =，1AB AC ==，12B C =，

∴222

11AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，

又∵AB

AC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ·············· 7分

1