2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案
2016年福建龙岩高三3月质检理科数学试题及答案
2016年福建龙岩高三3月质检理科数学试题及答案龙岩市2016年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．32 14．20 15． 16．102m m <=或 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） ()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+， ………………1分 ∴cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x R ∈都成立，且0ω>， ∴cos 0ϕ=，又0ϕπ<<， ∴2πϕ=……………………2分又PQ =P 的纵坐标为12，由勾股定理可知142T =，2T =， ……………………3分ωπ=， (4)分 ∴11()sin()cos 222f x x x πππ=+= ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()cos 2f x x π=，∴1()cos 24A f A π==，cos 2A =， 又(0,)A π∈，∴6A π=， (6)分1,a b ==由正弦定理可知，1sin sin6Bπ=， ……………………7分∴sin 2B =，又(0,)B π∈， 4B π∴=或34B π=， ……………………9分当4B π=时，76412C A B πππππ=--=--=， ……………………10分当34B π=时，36412C A B πππππ=--=--=， ……………………11分∴角C 的大小为12π或712π. ……………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：众数为85； ……………………2分24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ……………………4分 ＝1(5526547568510958)30⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝81∴该班学生英语成绩的平均数为81. (5)分（Ⅱ）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为 12， (6)分∴ξ可取的值为 2，3，4 (7)分222121(2)66C P C ξ===， ………………………8分1121021220(3)66C C P C ξ===， ……………………9分21021245(4)66C P C ξ===， ……………………10分∴ξ的分布列为： (11)分∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯= …………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ， ………………1分证法如下：连结AC ,BD ，设AC BD O = ， ∵四边形ABCD 为矩形∴O 为AC 的中点 ……………2分 又∵N 为FC 的中点∴ON 为ACF ∆的中位线 ……………3分 ∴//AF ON∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ……4分∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN . ………5分（Ⅱ）过O 作//PQ AB 分别与,AD BC 交于,P Q ，因为O 为AC 的中点，所以,P Q 分别为,AD BC 的中点 ∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =∴ADE ∆≌BCF ∆，连结,EP FQ ，则得EP FQ = ………………6分 ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB = ∴//EF PQ 12EF PQ =∴四边形EPQF 为等腰梯形.取EF 的中点M ，连结MO ，则MO PQ ⊥， 又∵,,AD EP AD PQ EP PQ P ⊥⊥= ∴AD ⊥平面EPQF ………………7分 过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ∴,OG OM OG OQ ⊥⊥分别以,,OG OQ OM的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：13(0,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(1,2,0),(,,222O A B F D N ---- (8)分设(,,)n x y z =是平面ABF 的法向量，则00n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即4030y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩所以可取n = (9)分ABCDE F（第19题图-1）N O（第19题图-2）由31(,,222BN =-- ，可得|||cos ,|||||BN n BN n BN n <>==………………11分∴直线BN 与平面ABF所成角的正弦值为3. ………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵22:2C y px =的焦点F 的坐标为(,0)2p由点F 到直线10x y -+=|1|p += ∵0p > 解得2p = ………………1分又(1)F ，0为椭圆的一个焦点 ∴221a b -= ① ………………2分 ∵1C 与2C的公共弦长为1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2………3分∴229614a b+= ② 联立①②解得229,8a b ==， (4)分∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0) ………………5分 （Ⅱ）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =代入221:198x y C +=求得83y =± ∴16||3AB =把1x =代入22:4C y x =求得2y =±∴||4CD = 此时11317||||16416AB CD +=+= ………………6分当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，此时设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-= (7)分可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>∴||AB =2248(1)89k k+=+ …………………8分把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k++=，2216(1)0k ∆=+> ∴223422244(1)||22k k CD x x k k++=++=+= ………………9分 ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ………………10分∵20k > ∴211k +>∴2131304848(1)k -<-<+ ∴11||||AB CD +17(,)616∈ ………………11分 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. (12)分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'2(1)()(1)x xx x a e axe f x be e -+-=-+， ………………1分 依题意'1(0)1,(0)2f f ==-，解得1a b ==； (3)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1x x x f x e e -=++，代入()1xxx f x ke e ->+-得11x xx x x x e ke e e --+>++-即21x x x k e e -->-， (4)分因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x x e e --<，所以20x xxe e ->-，所以10k ->即(1)2()01x x x xk xe e e e k----->--， ………………5分 令21t k=-，设()x x g x e e tx -=--则0t >， 又'()x x g x e e t -=+-. (6)分（1）当02t <≤即0k ≤时，'()20x x g x e e t t -=+-≥-≥恒成立，所以()x x g x e e tx -=--在R 上单调递增，所以①当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1x xxf x ke e ->+-成立， ………8分②当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e --<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1xxx f x ke e ->+-成立， 因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-成立，符合题意；…9分（2）当2t >即01k <<时，由'()0x x g x e e t -=+-=得12ln ln 22t t x x ==，因为2t >，所以2120,0x x x >=-<，当2(0,)x x ∈时'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以(1)2()01x x xxk x e e e e k-----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x xf x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意； (11)分综上可知：k 的取值范围是0k ≤. ………………12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠= 故△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC= ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）AB ADAE AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅．11 又1sin 2S AB AC BAC =⋅∠，且12S AD AE =⋅， 故11sin 22S AB AC BAC AD AE =⋅∠=⋅． 则sin 1BAC ∠=，又BAC ∠为三角形内角，所以90BAC ∠=o ．…………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………4分 所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线．……………………5分（Ⅱ）将32x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩…………………………6分代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- …………………8分AB =2128t t ==-= …………………………10分 解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………8分AB =8== ……………10分24．选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩……2分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==．……………………………4分 （Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+， 令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m ≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ………………………………7分 ∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =，当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ．……………………………10分。
2016年福建普通高中毕业班质量检查
2016年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分． 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知复数3i1iz +=-，则z = （A ）1 （B ）2 （C（D ）5 (2)集合{{}2|,20A y y B x x x ===--≤,则A B =（A ）[)2,+∞ （B ）[]0,1 （C ）[]1,2 （D ）[]0,2 (3)已知1cos ,23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则cos2α的值等于（A ）97 （B ）97- （C ）89 （D ）89-(4) 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 的值为4，则输出的S 的值为（A ）15 （B ）6 （C ）10- （D ）21-(5) 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如右表：由表中数据，得线性回归方程:l ˆˆˆybx a =+（121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑），则下列结论错误的是 （A ）ˆ0b> （B ）ˆ0a > （C ）直线l 过点(4,8) （D ）直线l 过点(2,5)输出 输入 为奇数？(6)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱 （7）在ABC △中，3B π=，2AB =,D 为AB 中点,△BCD，则AC 等于（A ）2 （B（C（D(8)函数()e e ()ln 2x x x f x --=，则()f x 是（A ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递减 （B ）奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 （C ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递减（D ）偶函数，且在(0,)+∞上单调递增(9)在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,2A ，()0,2,0B ， ()2,2,2C ，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（A ）3π （B） （C ）12π （D ）48π(10)若,x y 满足约束条件20,20,20,x y y x y -+⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≥≥则22(2)(3)x y +++的最小值为（A ）1 （B ）92（C ）5 （D ）9 (11)已知过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点的直线l 与C 交于,A B 两点，且使4AB a =的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的渐近线方程为(12) 已知函数()f x kx =，2()2ln 2e(e )eg x x x =+≤≤，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是（A ）24,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）224,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ （C ）24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年福建泉州高三3月质检理科数学试题及答案
2016年福建泉州高三3月质检理科数学试题及答案泉州市2016届普通中学高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C7．D 8．B 9．A 10．Ｄ 11．Ｄ 12．B 详细分析：第1题 1i 2z =-，1i 2z =+，则20162016()(2i)z z -=-20162=,选A. 第2题 1()1{|0}2x A x x x ⎧⎫=≤=≥⎨⎬⎩⎭，{}2680{|24}B x x x x x =-+≤=≤≤，则()A B =R ð{02x x ≤<或}4x >,选C.第3题 问题模型为一等差数列{}n a ，首项5，末项1，项数30，其和为30(51)902+=，选B.第4题 由4PF =，点P 到y 轴的距离等于3 ，根据定义得，12p =，则点F 的坐标为(1,0).选B.第5题 循环1，10lglg 3,33S k =+=-=；循环2，130lg lg lg 5,535S k =++=-=；循环3，1350lg lg lg lg 7,7357S k =+++=-=；循环4，13570lg lg lg lg lg 9,3579S =++++=- 9k =；循环5，135790lg lg lg lg lg lg111,11357911S k =+++++=-≤-=. 选C .第6题 依题意，第4人抽到的是最后一张中奖票，21332355310C C A p A ==，选C . 第7题 受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横躺的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的左侧挖去18部分，余下的部分. 所以该几何体的体积为27(2)4148ππ⨯⋅⨯=.选Ｄ. 第8题2666(2)(2)(1)x x x x --=-+06152420122666666(222...)(...)C C x C x C C x C x =-+-+++所以展开式中2x 的系数为06215124066666622248C C C C C C -+=.选B. 第9题 在分析可行域时，注意到10ax y +-=是斜率为a -，过定点(0,1)的直线；2210z x x y =-+的最小值为12-，即22(5)13x y -+=，所以可行域的动点到定点(5,0)M因为点(5,0)M 到直线3220x y --=的距M 在直线3220x y --=上的投影必在可行域内，再考虑到可行域含边界的特征，故直线10ax y +-=的斜率a -必大于或等于某个正数，结合选择项可判断应选A.第10题 ABC ∆中用余弦定理求得AC ，据勾股定理得BAC ∠为直角，故BC 中点1O 即ABC ∆所在小圆的圆心；1OO ⊥面ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为1OAO ∠=30 ，故可在直角三角形1OO AO 的表面积为163π.选D. 第11题 当1x >时，0x e e ->，2()00f x x ax b ≤⇔-++≤；当01x <<时，0x e e -<，2()00f x x ax b ≤⇔-++≥；当1x =时，0x e e -=，不论2x ax b -++取何值都有()0f x ≤成立.考察二次函数2()g x x ax b =-++，可得(1)10,(0)0,g a bg b=-++=⎧⎨=≥⎩所以1a≤.选D.第12题依题意，得221222222121,2,n n nn n nS S SS S S-++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩因为0nS>，所以222nS+，即*)=∈N，故数列等差数列；又由16S=，24S=，可得3412,9S S==.所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以1n=+即22(1)nS n=+，故212(1)(2)nS n n-==++，故220161009S=，201510091010S=⨯，故2016201620151009a S S=-=-，答案为B.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
02.参考答案与评分标准.2016届福建省高中毕业班质量检查理科综合测试(终稿)
2016 届福建省高中毕业班质量检查理科综合测试物理部分试题参考答案和评分标准二、选择题:本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．B 15．A 16．C 17．C 18．A 19．ACD 20．AD 21．BCD22. （6分） 12.987 ± 0.002（3分）22()()2A Bd d gh t t -=∆∆ （3分）23. （9分） （1）B （2分） D （2分） （2）40 （2分） （3）偏大（3分）24.（12分）解：（1）带电小颗粒从O 到P ，由动能定理有0OP P qU E E =-①（3分）由①式得 300V OP U =- ②（2分）（2）带电小颗粒从O 到Q ，由动能定理有0OQ Q Q qU mgy E E -=- ③（3分）由③式得0OQ U =，O 点与Q 点电势相等 （1分） 如图，由几何关系得P 点到OQ 连线的距离d =0.4 m④（1分）根据匀强电场中场强与电势差关系得750V/m POU E d== ⑤（1分）电场方向与OQ 连线垂直，沿左上方。
（1分）25．（20分）解：（1）B 和A 一起沿斜面向下运动，由机械能守恒定律有212sin (2)2mgL m v θ= ①（4分）由①式得m/s v =②（2分）（2）第一次碰后，对B 有s i n =c o s m g m g θμθ 故B 匀速下滑 ③（2分） 对A 有1sin cos mg mg ma θμθ+= ④（1分）得A 的加速度 2110m /s a =，方向始终沿斜面向下， A 将做类竖直上抛运动 ⑤（1分）设A 第1次反弹的速度大小为v 1，由动能定理有2211122mv mv E -=∆⑥（1分） 112vt a ∆= ⑦（1分）由⑥⑦式得s 5t ∆=⑧（1分） （3）设A 第2次反弹的速度大小为v 2，由动能定理有22211222mv mv E -=∆ ⑨（1分）得02=v⑩（1分）即A 与挡板第2次碰后停在底端，B 继续匀速下滑，与挡板碰后B 反弹的速度为v '，加速度大小为a′，由动能定理有E v m mv ∆='-222121 ○11（1分） a m mg mg '=+θμθcos sin ○12（1分） 由○11○12式得 B 沿A 向上做匀减速运动的时间2s 5v t a '=='○13（1分） 当B 速度为0时，因m f mg mg ≤=θμθcos sin ， B 将静止在A 上。
三月福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年三月福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ．2B ．22C ．5D ．32．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10xx e x ∃∈--≥R B ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10x x e x ∀∈-->RD ． ,10xx e x ∀∈--≥R3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,8]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[0,2)B ．[2,7]C ．[2,4]D ． [0,7]4．若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos 2α的值为（ ）A ．78-B ．158-C ．1D ．1585．若实数,x y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是（ ） A ． ﹣2 B ．2 C ．1D ．66．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ． 321++B ．322++C ．323++D ． 324++7．64(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数是（ ） A ． 4-B ．3- C ．3D ．48．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = ( ) A ．223B ．13C ．23D ．239．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若函数()()g x f x k =-有两个零点，则两零点所在的区间为( )．A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．()1,2D ．(1,)+∞10.已知三棱锥O ABC -底面ABC 的顶点在半径为4的球O 表面上，且6,23,43AB BC AC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ． 4 3B ．123C ．183D ．36311．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P →→→+⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．212+ B ．21+C ．312+D ．31+12．已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( ) A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{}n a 中，378a a =，466a a +=，则28a a +=14．已知在ABC ∆中，4AB = ,6AC =，7BC =其外接圆的圆心为O ， 则AO BC ⋅=________． 15． 以下命题正确的是： ．①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(3)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，且3a =，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（I ）试估计该校高三学生视力在5．0以上的人数；（II ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2 4.4 和5.0 5.2的学生中抽取9 人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2 4.4的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)已知：矩形11ABB A ，且12AB A A = ，C C ,1分别是11B A 、B A 的中点，D 为C C 1中点，将矩形11ABB A 沿着直线C C 1折成一个60o的二面角，如图所示.DC BB 1C 1A 1A（Ⅰ）求证： 1AB ⊥1A D ；（Ⅱ）求1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知以A 为圆心的圆64)2(22=+-y x 上有一个动点M ，)0,2(-B ，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）过A 点作两条相互垂直的直线21,l l 分别交曲线E 于G F E D ,,,四个点，求FG DE +的取值范围．C 1CB 1BA 1A21．(本小题满分12分)已知函数()ln af x x x=+，a R ∈,且函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=．（Ⅰ）实数a 的值；（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围.本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；（Ⅱ）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(理科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．9 14．10 15.①③④ 16.934三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)解:（I ）∵*31()22n n S a n N =-∈， ① 当11311,22n S a ==-，∴11a =，………………………………2分当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ②①-②：13322n n n a a a -=-，即：13(2)n n a a n -=≥ ………………………………4分又∵11a =，23a = ， ∴13n na a +=对*n N ∈都成立，所以{}n a 是等比数列， ∴1*3()n n a n N -=∈ .………………………………6分（II ）∵23nn n a b n n=+，∴23n b n n=+，……………………………9分 ∴111113(1)2231n T n n =-+-++--，∴133(1)311n T n n =-=-++，即31n n T n =- .……………………………12分18．(本小题满分12分)解：（I ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，23.0,26.0,27.0,07.0,03.054321=====f f f f f ，所以视力在0.5以上的频率为14.0)23.026.027.007.003.0(1=++++-，估计该校高三学生视力在5．0以上的人数约为14014.01000=⨯人． ……………………………4分 （II ）依题意9人中视力在4.2 4.4 和5.0 5.2的学生分别有3人和6人， X 可取0、1、2、3363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C ===．……………………………10分 X 的分布列为 X0 1 2 3P2084 4584 1884 184X 的数学期望2045181()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ．…………………12分 19．(本小题满分12分)（Ⅰ）解法一：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. ∴四边形11A ABB 为正方形∴B A AB 11⊥，…………………………………2分 取BC 中点O ，连结AO ，则BC AO ⊥.∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC , ∴AO ⊥平面11B BCC ,∵⊂BD 平面11B BCC ,∴AO ⊥BD在正方形11B BCC 中，∴BD O B ⊥1…………………………………3分 ∵O O B AO =⋂1,∴BD ⊥面O AB 1，∴BD ⊥1AB . ∴1AB ⊥平面D AB 1．∴ 1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅰ）解法二：连结AB 、11A B ，∵ C C ,1分别是矩形11ABB A 边11B A 、B A 的中点， ∴1AC CC ⊥，1BC CC ⊥ ，AC BC C ⋂= ∴1CC ⊥面ABC∴ACB ∠为二面角A CC A ''-- 的平面角，则60OACB ∠= ∴ABC ∆为正三角形，即几何体111C B A ABC -是正三棱柱. 取BC 中点O ，连结AO 则BC AO ⊥，∵正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ， ∴AO ⊥平面11B BCC …………………………1分取11C B 中点1O ，以O 为原点，OA OO OB ，，1的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设12AA =，则)0,0,1(B ，)0,1,1(-D ,)3,0,0(A ,)3,2,0(1A ,)0,2,1(1B则1(1,23)AB =- ，1(1,1,3)A D =---，……………………………4分 ∴11(1,1,3)(1,23)1230AB A D ⋅=---⋅-=--+=，∴11AB A D ⊥∴1AB ⊥1A D ．…………………………………6分 （Ⅱ）解： 设平面D A B 11的法向量为),,(z y x n =∵)3,0,1(11-=B A ，)3,1,1(1---=D A ∵11B A n ⊥,D A n 1⊥∴⎪⎩⎪⎨⎧==0.0.111D A n B A n ……………………………………………8分 ∵30,30,x z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩ ∴23,3y z x z⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 令1z = 得(3,23,1)n =-为平面D A B 11的一个法向量.………………………10分 由（I ）得1(1,2,3)AB =-1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值11·|n|AB |n AB ==3433432 2.482--==64.1AB 与平面11A B D 所成角的正弦值为64．…………………………………………12分 21.(本小题满分12分)解（Ⅰ）连接PB ，依题意得PM PB =，所以8==+PM PA PB 所以点P 的轨迹E 是以B A ,为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以4=a ，2=c ，32=b所以E 的轨迹方程式1121622=+y x ． …………………………4分 (Ⅱ) 当直线21,l l 中有一条直线的斜率不存在时，1486=+=+FG DE当直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程)2(-=x k y ，设D ),(11y x ，),(22y x E联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=11216)2(22y x x k y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=…………6分 21221634k x x k +=+，2221434816k k x x +-=所以=DE 2212(1)()k x x +-2122124)(1x x x x k -+⋅+=2243)1(24k k ++=…………8分设直线2l 的方程为)2(1--=x ky ， 所以2234)1(24kk FG ++= 所以)43)(34()1(1682222k k k FG DE +++=+…………9分 设12+=k t ，所以1>t ，所以2112168tt FG DE -+=+ 因为1>t ，所以41102≤-<tt ，所以FG DE +的取值范围是96[,14)7．………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分 ∵21()af x x x '=-，函数()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y -=． ∴(1)12f a '=-=∴1a =-…………………………………………4分解：（Ⅱ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0001()x mf x x +<成立， 构造函数11()()ln mh x x mf x x m x x x x=+-=+-+在[]1,e 上的最小值小于零. 2222211(1)(1)()1m m x mx m x x m h x x x x x x---+--'=---==………6分 ①当e m ≥+1时，即1m e ≥-时，)(x h 在[]1,e 上单调递减，…………………8分所以()h x 的最小值为(e)h ，由01)(<-++=m e m e e h 可得112-+>e e m ， 因为1112->-+e e e ，所以112-+>e e m ； ………………10分 ②当11≤+m ，即0≤m 时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由011)1(<++=m h 可得2-<m ； ……11分 ③当e m <+<11，即10-<<e m 时， 可得()h x 最小值为)1(m h +， 因为0ln(1)1m <+<，所以，0ln(1)m m m <+<2)1ln(2)1(>+-+=+m m m m h此时，0)1(<+m h 不成立.综上所述:可得所求m 的范围是：112-+>e e m 或2-<m . ……………12分 本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(I) AB 为圆O 的一条直径,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅， 解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFBADH ∆∆， 则DH AD BF AF=，得2DH =，……………………………………7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ …………………………7分 当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分 x y +取到最大值为6. …………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++ 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m …………………………7分∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。
2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查(评分细节说明)
2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学评分细节说明1. 第（17）（Ⅰ）没有验证1n =的情况只扣1分，并不影响（17）（II ）的得分。
2. 第（19）（II ）直接由法向量运算得到二面角11C AB A --的余弦值为5-，没有说明“二面角11C AB A --的平面角为钝角”不扣分。
3. （20）（Ⅰ）只要能正确得到“椭圆的方程为2213x y +=”，即给4分，不考虑“过程分”；（20）（II ）没有给出“()()2222222361213112(13)24k m k m k m k ∆=-+-=+-=，由0∆>，得0k ≠”，不扣分。
4. （23）（Ⅰ）只要能正确得到“曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=”， 即给3分；只要能正确得到“曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=”， 即给2分；不考虑“过程分”。
5. 严格执行《理科数学试题答案及评分参考》中“评分说明”的第2条，即“2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
”2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查文科数学评分细节说明1. 17（Ⅰ）考生求得“1cos 2A =”后，没有说明“0A <<π”，直接给出“3A π=”，不扣分。
2. 18（II ）没有验证1n =的情况只扣1分，并不影响后续部分的得分。
3. 20（II ）解得76k =-，但没有进一步明确说明“满足0∆>”，不扣分。
4. （23）（Ⅰ）只要能正确得到“曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=”， 即给3分；只要能正确得到“曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=”， 即给2分；不考虑“过程分”。
5. 严格执行《文科数学试题答案及评分参考》中“评分说明”的第2条，即“2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参考答案
2016 年福建省一般高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参照评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准拟订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考察基础知识和基本运算．每题 5 分，满分60 分．（1）B（2）C（3）D（4）A（5）B（6） C（7）B（8）C（9）D（10）D（11）A（12）B二、填空题：本大题考察基础知识和基本运算．每题 5 分，满分20 分．（ 13）0.3 （14）3 （15）5 2 626 （ 16）3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 17）本小题主要考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察化归与转变思想、函数与方程思想等．满分12 分．解法一：（Ⅰ）因为S BCD = 3,即1 BC BD sin B3，············2 分△ 2又因为 B,BD 1，因此 BC 4 ．·························3 分3在△ BDC 中,由余弦定理得，CD2 BC2 BD 2 2BC BD cos B ,····5分即CD2 16 1 2 4 1 1 13 ，解得 CD 13 ．··············6 分2（Ⅱ）在△ ACD 中， DA DC ，可设 A DCA ，则 ADC ，又 AC 3 ，由正弦定理，有AC CD，················7 分sin 2 sin因此 CD3．···································8 分2cos在△ BDC 中, BDC 2 , BCD 22 ，33CD BD 2cos 1sin Bsin BCDsin2sin(2 )33 (10)cossin(22 )3sin() sin(22 ) (11)23,2 222232332222 = ,2 3 +23= 或 = DCA=或 DCA (12)618 618BDADCDADCAACEDEC E ADEAC (7)DCAAAC3EAEC 3 2Rt CDE CDCE3 (8)2coscos DCA1812AB 1ABB 1 AB 1,BB 1 2, ABB 1 60AB 1 2 AB 2 BB 12 2AB BB 1 cos ABB 13A 1AB3 1B 1C 11BB 1 2AB 2 AB 12AB 1AB 2△ABCAB ACACABABC福建省一般高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参照答案AC AB1 AAB AB1C (4)B1C AB1CAB B1C (5)AB1 3, AB AC 1, BC1 2B1C2 AB12 AC 2AB1 AC (6)A AB, AC, AB1x y z (7)A 0，0，0 , B1 0，0，3 ,B 1，0，0 ，C 0，1，0BB1 1,0, 3 , BC 1,1,0 (8)BCB1n x, y, zA1z BB1 n 0,x 3z 0, z 1x y 3 B 1 C1 BC n 0, x y 0,BCB1 n 3, 3,1 9AC1 AC CC1 AC BB1 0,1,0 1,0, 3 1,1, 310 A CBxyAC1 n 3 105.11cos AC1, n5 7 35| AC1 ||n |AC1BCB1 10535 (12)A AH BCB1H HC1AC1H AC1BCB1 (6)AB1AB AB1 3 AB AC 1B1C 2 AB12AC 2B1C 2AB1ACAB AC A AB1ABC (7)∴ V B ABC1S △ABC AB 11 1 AB AC AB 13． ············8 分133 26取 BC 中点 P ，连接 PB 1 ，∵ BB 1B 1C 2 ，∴ PB 1BC ．A 1B 1C 1又在 Rt △ABC 中， ABAC 1，∴ BC2 ，∴ BP2，2H∴ PB 1B 1B 2BP 24 1 14 ，A2 2B PC∴S △B BC1 BC B 1 P7 ． ····························9 分122∵VA BCBVB ABC，11∴ 1S △BCB 1 AH3，即1 7 AH3 ，∴ AH 21 ． ······10 分363 267∵ AB 1 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，∴ AB 1BC ，三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中， BC / / B 1C 1 ， B 1C 1 BC 2 ，∴ AB 1B 1C 1 ，∴ AC 1AB 12 B 1C 125 ． ················11 分AH 21 105在Rt △ AHC 1 中， sin AC 1H7AC 1535，因此 AC 1 与平面 BCB 1 所成的角的正弦值为10535．···············12 分（ 19）本小题主要考察古典概型、随机变量的散布列及数学希望等基础知识，考察运算求解能力、数据办理能力、 应意图识， 考察分类与整合思想、 必定与或然思想、 化归与转变思想． 满分12分．解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M ， 则P(M)C 202 19 ． ·································4 分C 1002495（Ⅱ）（ⅰ）设乙企业送餐员送餐单数为 a，则当 a 38时， X 38 4 152 ； 当 a 39时， X 39 4 156； 当 a40时， X 40 4 160；当 a 41时， X 40 4 1 6 166 ；当 a 42时， X 40 426172．因此 X 的全部可能取值为152,156,160,166,172 ．·················6 分故 X 的散布列为：152 156 160 166 172 ··················································8 分因此 E(X ) 1521 1 1 21721156 160 166 162 ．··9分10 5 5 5 10（ⅱ）依题意，甲企业送餐员日均匀送餐单数为38 0.2 39 0.4 40 0.2 41 0.1 42 0.1 39.5 ．·······10分因此甲企业送餐员日均匀薪资为70 2 39.5 149 元．·············11 分由（ⅰ）得乙企业送餐员日均匀薪资为162 元．因为 149 162 ，故介绍小明去乙企业应聘．···················12 分（20）本小题考察圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的地点关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，考察数形联合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分．解法一： ( Ⅰ)将x p代入y2 2 px，得y p ，因此 ST 2 p ，·········1分2又因为SPT 90 ，因此△SPT是等腰直角三角形，因此 SF PF ，即p 3 p ，2解得 p 2 ，ySO F P x T因此抛物线 E : y 2 4x ， 3 分此时圆 P 的半径为 2 p 2 2 ，因此圆 P 的方程为x2y2 8 ．····························4 分3(Ⅱ )设M x0, y0 , A x1, y1 , B x2 , y2，依题意 x02y02 8，即y02 x02 6x0 1 ．····················5分3（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，M 3 2 2,0 ，①当 x 3 2 2 时，由 y2 4x ，得 y 2 2 2 ．A3 2 2,2 2 2,B3 2 2, 22 2k AF1,k BF 1,k AF k BF1,AF BFx3 2 2AFBF. 6llEA, ByAMOFPxl x 0 1 y 0lMF k l k MF11 x 0Bk l7 ..y 0l : y1 x 0 x x 0 y 0y 0y 2 4x,4 y 04x 02 4y 02 4x 01 x 0x xy 0 y 2y 0 (8)y1 x 0 1 x 0y 0y24 yy20x 0 4 0y 1y 24 y 0 , y 1 y 2 20x 0 4 (9)1 x 01 x 01 x 01 x 0FA FBx 11 x2 1 y 1 y 2y 12 y 22 1y 1 y 2 (10)41424x 0 4x 02 4 4y 024 x 02 y 026 x 0 11 x 0 212x 0AFBF (12)( )( ) Mx 0 , y 0 x 0 2y 02 8 y 02 x 026x 01*3 ··5Ay 12 , y 1 , B y 22 , y 2y 1y 2 FMx 01,y 0 , ABy 22 y 12 , y 2y 1444MAy 12 x 0 , y 1y 0 , MBy 22x 0 , y 2y 0 (6)44FM ABMA / /MBy 22 y 121 y 0 y2 y 10,4x 0因此y 22················7 分y 12x 0 y 2 y 0x 0 y 1 y 0 0.4 4注意到 y 1y 2 ，y 1 y 2x 0 1 4y 00,1y 1 y 2y 0 y 1 y 2 4x 00.············8 分2由（ 1）知，若 x 0 1 ，则 y 0 0 ，此时不知足（ * ），故 x 0 1 0 ，进而（ 1），（2）可化为 y 1 y 24y 0 , y 1 y 2 20 x 0 4． ·············9 分1 x 01 x 0以下同解法一 .（ 21）本小题主要考察导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考察函数与方程思想、化归与转变思想、分类与整合思想、数形联合思想等．满分 12 分．解法一：（Ⅰ）因为f xa1 x1 ， g x e x1， ··············2 分x 1依题意， f 0 g 0 ，解得 a 1 ， ····························3 分 因此 f x11x ，当 1 x 0 时， f x0 ；当 x 0 时， f x 0 ．1xx1故 f x 的单一递减区间为1,0 ， 单一递加区间为 0,． ···········5 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x 0 时， f x 获得最小值 0．因此 f x ≥0 ，即 x ≥ ln x1 ，进而 xe ≥x 1 ．设 F x g x kf xe x k ln x 1k 1 x 1,则 F xe xx k k 1≥x 1x k 1k 1 ，·················6 分1（ⅰ）当 k1时，因为 x ≥0，因此 F x ≥x 112≥0 （当且仅当 x 0 时等号建立），x 1此时 F x 在 0,上单一递加，进而 F x ≥F 0 0 ，即 g x ≥kf x ． ··7分（ⅱ）当 k 1 时，因为 f x ≥0 ，因此 f x ≥kf x． ················8 分由（ⅰ）知 g xf x ≥ 0 ，因此g x ≥ f x ≥kf x，故 F x ≥0 ，即 g x ≥kf x ．··················································9 分 （ⅲ）当 k 1时， 令 h xe xkk 1 ，则 h xe xk 2，x 1x 1明显 h x 在 0,上单一递加，又 h 01 k 0,h k 1 k 11 0 ，e因此 h x 在 0, k 1 上存在独一零点 x 0 ， ·······················10 分 当 x0, x 0 时， hx0, 因此 h x 在 0, x 0 上单一递减，进而 h x h 00，即 Fx 0, 因此 F x 在 0, x 0 上单一递减，进而当 x0, x 0 时， F x F0 0 ，即 g x kfx ，不合题意． ····11 分综上， 实数 k 的取值范围为,1 ． ···························12 分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x 0 时， f x 获得最小值 0．因此 f x ≥0 ，即 ≥1x．x ln x ，进而 e ≥x 1设 F x g xkf x e x k ln x 1k 1 x 1,则 F xe xx k k 1≥x1x k k 1 x x 1 k ， ········6 分11 x 1（ⅰ）当 k ≤1 时， F x ≥0 在 0,恒建立，因此 F x 在 0,单一递加．因此 F x ≥F 0 0 ，即 g x ≥kf x ． ···························9 分（ⅱ）当 k 1 时，由（Ⅰ）知，当 x1 时， e x ≥ x 1（当且仅当 x 0 时等号建立），因此当 0x 1时， e xx 1， e x1 ．1 x因此 F ( x) ex1 k (11) e x 1 kx 1x 1 xk 1) 1kxxkxk 1 x( x1k 1 ．········10 分1 xx 1 1 x x 11 x 2于是当 0x k 1 时， F ( x) 0, 因此 F ( x) 在 0, k1 上单一递减 .k 1 k 1故当 0x k 1时， F ( x) F (0)0 ，即 g xkf x，不合题意． ···11 分k 1综上， 实数 k 的取值范围为 ,1 ． ···························12 分解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当 k ≤0 时，由（Ⅰ）知，当x 0 时， f x 获得最小值 0．因此 f x ≥0 ，即 x ≥ln x 1 ，进而 e x ≥ x 1 ，即 g x ≥ 0 ．因此 kf x ≤0 ， g x ≥0 ， g x ≥kf x ． ·························6 分（ⅱ）当 k 0 时，福建省一般高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参照答案设 F x g x kf x e x k ln x 1 k 1 x 1,则 F x e x k k 1 ，x 1 令 h x F x ，则 h x = e x k 2．x 1明显 h x 在 0, 上单一递加．····························7 分①当 0 k≤1 时，h x≥h ' 0 1 k 0 ，因此 h x 在 0, 上单一递加， h x ≥h 0 0 ；故 F x ≥0 ，因此 F x 在 0, 上单一递加， F x ≥F 0 0 ，即 g x ≥kf x ．··················································9 分②当 k 1时，因为h ' 0 1 k 0, h ' k 1 e k 1 1 0 ，因此 h x 在 0, k 1 上存在独一零点x0，·······················10 分当 x 0, x0 时， h x 0, h x 单一递减，进而 h x h 0 0，即 F x 0, F x 在 0, x0上单一递减，进而当 x 0, x0 时， F x F 0 0 ，即 g x kf x ，不合题意．····11 分综上，实数 k 的取值范围为,1 ．···························12 分请考生在第（22），（ 23），（ 24）题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（ 22）选修4 1：几何证明选讲本小题主要考察圆周角定理、相像三角形的判断与性质、切割线定理等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力等，考察化归与转变思想等．满分10 分．解法一：（Ⅰ）连接 DE ，因为D, C , E, G四点共圆，则ADEACG ．····2 分又因为 AD, BE 为△ABC的两条中线，因此点 D, E 分别是 BC , AC 的中点，故 DE AB ．·····················3 分AE FG因此BAD ADE ，········································4分进而BAD ACG ．········································5分B D C （Ⅱ）因为 G 为 AD 与 BE 的交点，故 G 为△ ABC的重心，延伸CG 交 AB于 F ，则 F 为 AB 的中点，且 CG2GF ．·······························6分在△ AFC 与△ GFA 中，因为FAG FCA ，AFG CFA ，因此△ AFG ∽△ CFA ，·································7分因此FA FG ，即FA2FG FC． 9分FC FA福建省一般高中毕业班单科质量检查理科数学试题及参照答案因为 FA 1AB， FG1GC ， FC3GC ，2 2 2因此1AB23 G C 2，即 AB 3GC ，4 4又 GC 1，因此AB 3 ．···································10 分解法二：（Ⅰ）同解法一．···································5 分(Ⅱ) 由(Ⅰ ) 知，BAD ACG ，因为 D,C, E,G 四点共圆，因此ADB CEG ，··················6分因此△ABD ∽△CGE ，因此AB AD， 7 分CG CE由割线定理，AG AD AE AC ，·······························9分又因为 AD, BE 是△ABC的中线，因此G是△ABC的重心，因此 AG 2AD ,又AC=2 AE=2EC，3因此2AD 2 =2 EC2，因此AD3 ，3 CE因此AB3 ，因为CG 1，因此AB 3 ．·················10分CG（23）选修4 4；坐标系与参数方程本小题考察直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考察运算求解能力，考察数形联合思想、化归与转变思想等．满分 10 分．x 3cos ,，得x 2y2 1，解法一：（Ⅰ）由sin 消去参数y 9即 C 的一般方程为x2 y2 1．······························2 分9由 sin42 ，得sin cos 2 ，（＊）··········3 分x cos ,x 2 ，··················4 分将代入（＊），化简得 yy sin因此直线 l 的倾斜角为．·································5 分4x t cos ,（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P 0,2 在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 4 （ t 为y 2 t sin4参数），x 2 t,即2 （ t 为参数），·····························7分2 ty 22x2y 2 2 18 2t 27 0．·················8分代入1并化简，得 5t918 2 24 5 27 108 0 ．设 A, B 两点对应的参数分别为t1 ,t2，则 t1 t2 18 2 0, t1t2 27 0 ，因此t1 0, t2 0, ··············9分5 5因此 PA PB t1 t 2 t1 t2 182 ．·················10分5解法二：（Ⅰ）同解法一. ·····································5分（Ⅱ）直线 l 的一般方程为y x 2 .y x 2,消去 y 得10x2 36x 27 0 ，·················7分由9 y2 9x2于是362 4 10 27 216 0 .设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 180, x1 x2270, x2 0 ，50 ，因此 x110··················································8 分故PA PB 1 12 | x1 0 | 1 12 | x2 0 | 2 | x1 x2 | 18 2 . ···10 分5（24）选修4 5：不等式选讲本小题考察绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力，考察分类与整合思想、化归与转变思想等．满分 10 分．解法一：（Ⅰ）（ⅰ）当 x≤ 1 时，原不等式可化为x 1 2x 2 ，解得 x 1 ，此时原不等式的解是x 1；································2分（ⅱ）当 1 x 1x 1 2x 2 ，解得 x 1，时，原不等式可化为2此时原不等式无解；···································3 分（ⅲ）当1时，原不等式可化为 x 1 2x ，解得 x 1 ，x≥2x 1 ；·································4分此时原不等式的解是综上，M x x 1或x 1 ． (5)分（Ⅱ）因为f abab 1ab b 1 b ·················6 分 ≥ab b1 b ··················7 分b a 1 1 b ． ·················8 分因为 a, b M ，因此 b 1 a 1 0， ························9 分，因此 f aba 1 1b ，即 f abf af b ． ············10 分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为 f a f b a 1 b 1 ≤ a 1 b 1 a b ， ···7 分 因此，要证f abf afb ，只要证 ab 1 ab ，22即证 ab1 ab ， ··································8 分即证 a 2b 22ab1 a2 2ab b 2 ，即证 a 2b 2 a 2 b 2 1 0 ，即证 a 2 1b 2 1 0 ． ··············9 分因为 a,bM ，因此 a 21,b 2 1 ，因此 a 2 1 b 21 0建立，因此原不等式建立． ···································10 分。
福建省泉州市2016届高三数学毕业班3月质量检查试题理(含解析)
泉州市2016届普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数，则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-（2）已知全集为R ，集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x，则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x （3）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺（4）已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为A.(-1，0)B.(1，0)C.(2，0)D.(-2，0) （5）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13（6）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 A.101 B.51 C.103 D.52（7）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是 A.π6 B.π7 C.π12 D.π14 （8）()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432（9）设x ，y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12，则实数a 的取值范围是 A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a（10）已知A,B,C 在球O 的球面上，AB=1,BC=2， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 （11）已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a 的取值范围为A.0>aB.10≤<aC.1≥aD.1≤a（12）已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年福建高考理科数学试题及答案(Word版)
2016年福建高考理科数学试题及答案（满分150分，时间120分）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）98 （B ）99 （C ）100 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(–1,3) （C ）(–1,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）20π （B ）18π（C ）17π （D ）28π（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）log log b a a c b c < （B ）c c ab ba <（C ）c ca b <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）4y x =（B ）3y x =（C ）2y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=5C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为(A) 33 (B )22 (C) 32 (D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13) 设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=______. (14) 5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是__________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为___________。
福建省福州市高三数学下学期第二次综合质量检测试题
福建省福州市2016届高三数学下学期第二次综合质量检测试题理（扫描版）2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）（16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······· 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ·························· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ···················· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2232c b bc ++=，① ······················· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，，即2bc a =，②···················· 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ··············· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A == ··············· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：分 假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．························ 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ······························ 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ································ 12分 （19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··················· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ······················· 3分 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ···················· 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ················ 6分 （Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ··················· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-= 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ． ············· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)2E ，优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50所以(1,0,PD =-u u u r，(1,2,PC =-u u u r，3(,0,2EC =-u u u r ， ······ 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(=n ， ···················· 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin |cos ,|2EC α=<>==n u u u r ， ················ 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ·············· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则 直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ··················· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ·················· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ············ 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=．··············· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； · 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ·· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ···· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ·················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ························ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=．··············· 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； · 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ·· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ···· 8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ···· 11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ················· 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················ 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩····························· 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ········ 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············· 6分（ⅰ）若12m „，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ·········· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ················· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ········ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ············ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-．因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ··················· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ·························· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ··········· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ···················· 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ······················· 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ······················· 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩„或3,321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ····················· 2分 解得2x >．依题意2m =． ····························· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭„时取等号， ···················· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+„． ····························· 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=，····························· 9分 所以1t =或1t =-． ·························· 10分。
福建省2016届高三高中毕业班4月质量检查理科数学试卷
2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a +与2i b -互为共轭复数，则2(i)a b += （A ）34i - （B ）34i + （C ）54i - （D ）54i +（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的y 的值等于3，则输入的x 的值可以是（A ）1 （B ）2 （C ）8 （D ）9（3）已知3cos 25απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22αππ-<<，则sin 2α的值等于（A ）1225 （B ）1225- （C ）2425 （D ）2425-（4）已知0,0a b >>，则“1ab >”是“2a b +>”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）若,x y 满足约束条件20,20,20,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩则11y x +-的取值范围为（A ）11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（B ）1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（D ）[)1,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦（6）已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且243a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（A ）25 （B ）8 （C ）45 （D ）82 （8）在ABC ∆中，3A π=，2AB =，3AC =，2CM MB =u u u u r u u u r ，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r （A ）113-（B ）43- （C ）43 （D ）113（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A ）512- （B ）33 （C ）22 （D ）63（10）在三棱锥P ABC -中，23PA =，2PC =，7AB =，3BC =，2ABC π∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 （A ）4π （B ）163π （C ）323π （D ）16π （11）已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，若点P 是以12F F 为直径的圆与C 右支的一个交点， 1PF 交C 于另一点Q ，且12PQ QF =，则C 的渐近线方程为（A ）2y x =± （B ）12y x =± （C ）2y x =± （D ）22y x =±（12）已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数()f x '满足()()1f x x f x +<'，则下列结论正确的是（A ）对于任意R ∈x ， )(x f <0 （B ）对于任意R ∈x ， )(x f >0 （C ）当且仅当()1,∞-∈x ，)(x f <0 （D ）当且仅当()+∞∈,1x ，)(x f >0第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学
2016年福州市普通高中毕业班综合测试理科数学D（1）（2） {}12x x - （3） 复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （4） 函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数 （B ）π()3f x +是偶函数 （C ）π()3f x -是奇函数 （D ）π()3f x -是偶函数 （5） 在ABC ∆中，5AB AC ⋅=,4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （6） 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.5 （7） 若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最降水量X100X < 100200X < 200300X < 300X 工期延误天数0 5 15 30 0.40.20.10.3小值等于 （A ）2- （B ）32- （C ）12- （D ）12（8） 执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为 （A ）8 （B ）21 （C ）34 （D ）55 （9）512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60 （C ）90 （D ）120 （10）正项等比数列{}na 满足11a =,2635a a a a+=128，则下列结论正确的是 （A ）n ∀∈*N ，12n n n a aa ++ （B ）n ∃∈*N ，212nn n aa a +++= （C ）n ∀∈*N ，1nn Sa +< （D ）n ∃∈*N ，312nn n n aa a a ++++=+（11）双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E 左支上一点，112PFF F =，直线2PF 与圆222xy a +=相切，则E 的离心率为（A ）54（B 3（C ）53 （D 23（12） 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A ）2 （B 42 （C 43（D ）3 （13）设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x 成立，则m =（A ）15 （B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．（14） 已知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ． （15） 所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ． （16） 抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ． （17） 数列{}na 的前n 项和为nS ．已知12a =,1(1)2nn nS S n ++-=，俯视图2122则100S=________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（18）（本小题满分12分）ABC∆的内角A,B,C所对的边分别为,,a b c，已知tan21tanA cB b+=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若BC边上的中线22AM=，高线3AH=，求ABC∆的面积．（19）（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；附：优分非优分总计男))()()((2d b c a d c b a K ++++=（20） （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． （21） （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ． （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值． （22） （本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． （23） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是BAC 的中点，∠BAC 的平()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001 kOFECB AE DCBA P分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线； （Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值． （24） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系． （Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． （25） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C（7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）1（14）8π（15）32（16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， 2分 即sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠， 所以1cos 2A =， ······························· 4分 又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ··············· 5分 （Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+， 即2221(2)4AMAB AC AB AC =++⋅，所以2232c b bc ++=，① ······················· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅， 33a =，即2bc a =，② ·················· 9分又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ · 10分联立①②③，得2()3222bc bc =-， 解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A == ······· 12分 （18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：·············································· 2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121)3.125n ad bc k -⨯-⨯===，优分 非优分 总计男因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关． ······ 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． ················································ 7分设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ，9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ············································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··············· 1分 因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A =， 所以DF ⊥平面PAB ． ······················· 3分 因为点E 是PB 中点， 所以//EF AB ，且2AB EF =． ·················· 4分 又因为//AB CD ，且2AB CD =， 所以//EF CD ，且EF CD =，所以四边形EFDC 为平行四边形， 所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ········ 6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ··············· 7分 因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =， 所以222222232,AP AF AD DF ==-=-= 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =，所以PO ⊥平面ABCD ． · 8分 故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)2E ， 所以(1,0,3)PD =--，(1,2,3)PC =--，33(,0,)2EC =--，9分 设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ····················· 10分 设EC 与平面PDC 所成的角为α， 则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n ， ················· 11分 因为π[0,]2α∈，所以π6α=， 所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6．12分 （20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2APyk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BPykx =-（2x ≠）． ················· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ················· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）．4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()0,P x y （02x ≠±），则2214x y +=． ········ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062My yx =+； ····················································· 6分 直线BP 的方程为()022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022Ny yx =-；····················································· 7分 设在点P 处的切线方程为()0y y k x x -=-， 由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 8分 由0∆=，得()()()222264161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦， 整理得2222214y kx y k x k -+=+．将()22220001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，····················································· 9分 所以切线方程为()04x y y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Qx x x y x x x yy y y y y ---+-=-===．···················································· 10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Qy y y y -=-λ，所以000162122x y y x y x x y⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ····················· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将2214x y =-代入上式，02+(2+)22x x -=-λ，解得1=λ，即1MQ NQ=． ···························· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设()0,P x y （02x ≠±），则22014x y+=． ········ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062My yx =+； ····················································· 6分 直线BP 的方程为()022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022Ny yx =-；····················································· 7分 设在点P 处的切线方程为()0y y k x x -=-， 由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． 8分 由0∆=，得()()()222264161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦， 整理得2222214y kx y k x k -+=+．将()22220001,414x y x y =-=-代入上式并整理得2202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，····················································· 9分 所以切线方程为()04x y y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Qx x x y x x x yy y y y y ---+-=-===．···················································· 10分所以()()00228181621222244MNQx y x y yy xy y y x x x y y---+=+====+---，11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ········· 12分 （21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）()1e xf x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ······ 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩····································· 3分 所以()1e 1xf x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ······················································ 5分 （Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x --'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ············ 6分（ⅰ）若12m，因为当1x >时，1e1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>， 所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立．9分 （ⅱ）若12m >， 可得1211()e()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立． 纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ···· 12分 请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． （22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ，则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， 2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线．5分 （Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ······················· 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-， 所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····················· 10分 （23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C xy x +-=， ··································· 2分G O'ECODBA将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ····· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ··············· 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=， 所以3C 的方程为221x y +=． ························ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =． 又π||4cos 23OA ==， 所以||||||1AB OA OB =-=． ······························ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩或3,321,x x x >-⎧⎨+<+⎩····························· 2分 解得2x >．依题意2m =． ······································ 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭时取等号， ··············· 7分 因为关于x 的方程1||||2x t x t -++=（0t ≠）有实数根， 所以12t t+． ······································ 8分另一方面，12t t+，所以12t t +=， ······································ 9分 所以1t =或1t =-． ·································· 10分。
【单科质检试卷】福建省2016年高三数学毕业班单科质量检查试题(理)及答案
2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。
3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，第小题5分 1、已知复数z 满足()23z i i i -⋅=+，则||z =A．． C ．10 D ．18 2、已知集合2{|230}A x x x =--≤，2{|,}B y y x x R ==∈，则A B = A ．φ B ．[0,1] C ．[0,3] D ．[1,)-+∞ 3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差2d =-，321S =，则当n S 取最大值时，n 的值为A ．10B ．9C ． 6D ．5 4、已知1sin()33x π+=，则cos cos()3x x π+-的值为A．．13- D ．135、在如图所示的程序框图中，若函数12,0()log ,0x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则输出的结果是A ．2-B ．0.0625C ．0.25D ．46、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．223π- B ．423π- C ．53πD ．22π- 7、已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过其焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，若||:||3:1AF BF =，则直线l 的斜率等于A ．3±．1± C ．．8、四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是A ． 72B ． 96C ．144D ．2409、已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数。
福建省龙岩市2016年高三数学毕业班3月教学质量检查试题 理
ABDCE（第7题图）龙岩市2016年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题 2016.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设命题p ：(0,)x ∃∈+∞2log x ≥，则p ⌝为 A ．(0,)x ∀∈+∞2log x ≥ B ．(0,)x ∀∈+∞2log x < C ．(0,)x ∃∈+∞2log x = D ．(0,)x ∃∈+∞2log x <2．复数2(1)i i -（i 为虚数单位）的共轭复数为A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 3．若函数1.ln ,(0),()2,(0)x x x f x e x +>⎧=⎨-≤⎩，则1((f f e =A ．1-B ．0C ．1D ．34．已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和．若2614,,a a a 成等比数列，则5S =A ．352B ．35C ．252D ．255．若2sin 23θ=，则1tan tan θθ+= A B C ．2D ．36．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．如图，正三棱锥A BCD -的底面与正四面体E BCD -的侧面BCD 重合，连接AE ，则异面直线AE 与CD 所成角的大小为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 8．若,,A B C 为圆:O 221x y +=上的三点，且1AB =,C 2B =，则BO AC =（第6题图）A ． 0B ．12CD ．329．安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为 A ．72 B ．96 C ．120 D ．15610．设实数x ,y 满足1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则41z x y =-+的最大值和最小值之和是A ．2B ．3C ．9D ．1111．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n n S a a n N =+∈，设21(1)2nn n na c S +=-，则数列{}n c 的前2016项的和为A ．20152016-B ．20162015-C ．20172016-D ．20162017- 12．已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设,PA PB 的斜率分别12,k k ，则12k k +的取值范围是A ．2(,)b a +∞B ．(,)b a +∞C ．[,)b a +∞D ．2[,)b b a a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．倾斜角为45︒的直线l 经过抛物线28y x =的焦点F ，且l 与抛物线交于,A B 两点，则FA FB的值为 .14．8()()x y x y +-的展开式中，27x y 的系数为 . 15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为. 16．若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数1()sin()(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<为偶函数，点,P Q 分别为函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，且PQ （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知1a =，b =()4A f π=.求角C的大小．18．（本小题满分12分）某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行（第15题图）A BCDE （第22题图）了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求出该班学生英语成绩的众数和平均数；（Ⅱ）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[)50,60的记1绩点分，在[)60,80的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，,ADE BCF ∆∆均为等边三角形，//1,2EF AB EF AD AB ==． （Ⅰ）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得AF //平面BDN， 试确定点N 的位置，并予以证明； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线BN 与平面ABF 所成角的正 弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=1C 与2C 的公共弦长为（Ⅰ）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()1xxax f x be e -=++，点(0,1)M 在曲线()y f x =上，且曲线在点M 处的切线与直线20x y -=垂直.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答. 注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框内涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E ．（Ⅰ）证明：AB ADAE AC=； （Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =g ，求BAC ∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线CABC DE F（第19题图）的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l的参数方程为32x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈． （Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围．龙岩市2016年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案13．32 14．20 15． 16．102m m <=或 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） ()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+， ………………1分 ∴cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x R ∈都成立，且0ω>， ∴cos 0ϕ=，又0ϕπ<<， ∴2πϕ=……………………2分又PQ =P 的纵坐标为12，由勾股定理可知 142T =，2T =， ……………………3分ωπ=， ……………………4分∴11()sin()cos 222f x x x πππ=+= ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1()cos 2f x x π=，∴1()cos 24A f A π==，cos 2A =， 又(0,)A π∈，∴6A π=， …………………………6分1,a b ==由正弦定理可知，1sin6π=， ……………………7分∴sin B =(0,)B π∈， 4B π∴=或34B π=， ……………………9分当4B π=时，76412C A B πππππ=--=--=， ……………………10分当34B π=时，36412C A B πππππ=--=--=， ……………………11分 ∴角C 的大小为12π或712π. ……………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：众数为85； ……………………2分24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ……………………4分 ＝1(5526547568510958)30⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝81∴该班学生英语成绩的平均数为81. ……………………5分 （Ⅱ）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为 12， ……………………6分 ∴ξ可取的值为 2，3，4 ……………………7分222121(2)66C P C ξ===， ………………………8分 1121021220(3)66C C P C ξ===， ……………………9分 21021245(4)66C P C ξ===， ……………………10分 ∴ξ的分布列为：…………11分∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯= …………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当N 为线段FC 的中点时，使得//AF 平面BDN ， ………………1分证法如下：连结AC ,BD ，设AC BD O = ，∵四边形ABCD 为矩形∴O 为AC 的中点 ……………2分 又∵N 为FC 的中点∴ON 为ACF ∆的中位线 ……………3分 ∴//AF ON∵AF ⊄平面BDN ，ON ⊂平面BDN ……4分 ∴//AF 平面BDN ，故N 为FC 的中点时，使得//AF 平面BDN . ………5分 （Ⅱ）过O 作//PQ AB 分别与,AD BC 交于,P Q ，因为O 为AC 的中点，所以,P Q 分别为,AD BC 的中点∵ADE ∆与BCF ∆均为等边三角形，且AD BC =∴ADE ∆≌BCF ∆，连结,EP FQ ，则得EP FQ = ………………6分 ∵//EF AB ，//AB PQ ，12EF AB = ∴//EF PQ 12EF PQ =∴四边形EPQF 为等腰梯形.取EF 的中点M ，连结MO ，则MO PQ ⊥， 又∵,,AD EP AD PQ EP PQ P ⊥⊥= ∴AD ⊥平面EPQF ………………7分 过O 点作OG AB ⊥于G ，则//OG AD ∴,OG OM OG OQ ⊥⊥ 分别以,,OG OQ OM的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设4AB =，则由条件可得：13(0,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(1,2,0),(,,)222O A B F D N ----……8分设(,,)n x yz =是平面ABF 的法向量，则00n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即4030y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 所以可取n =………………9分 由31(,222BN =-- ，可得A B C D E F （第19题图-1）N O A（第19题图-2）|||cos ,|||||BN n BN n BN n <>==………………11分 ∴直线BN 与平面ABF所成角的正弦值为3. ………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵22:2C y px =的焦点F 的坐标为(,0)2p由点F 到直线10x y -+=|1|p += ∵0p > 解得2p = ………………1分又(1)F ，0为椭圆的一个焦点 ∴221a b -= ① ………………2分 ∵1C 与2C的公共弦长为，1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2………3分∴229614a b += ② 联立①②解得229,8a b ==， ………………4分∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0) ………………5分 （Ⅱ）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =代入221:198x y C +=求得83y =± ∴16||3AB =把1x =代入22:4C y x =求得2y =± ∴||4CD =此时11317||||16416AB CD +=+= ………………6分 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 此时设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-= ………………7分可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>∴||AB =2248(1)89k k+==+ …………………8分把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k++=，2216(1)0k ∆=+> ∴223422244(1)||22k k CD x x k k ++=++=+= ………………9分 ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ………………10分 ∵20k > ∴211k +>∴2131304848(1)k -<-<+∴11||||AB CD +17(,)616∈ ………………11分 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. ………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'2(1)()(1)x xx x a e axe f x be e -+-=-+， ………………1分 依题意'1(0)1,(0)2f f ==-，解得1a b ==； ………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1x xx f x e e -=++，代入()1x x xf x ke e ->+-得 11x xx x x x e ke e e --+>++-即21x x x k e e -->-， ………………4分因为当0x >时，0x x e e -->，0x <时，0x xe e --<，所以20xxx e e ->-， 所以10k ->即(1)2()01x x xxk xe e e e k----->--， ………………5分 令21t k=-，设()x x g x e e tx -=--则0t >， 又'()x xg x e e t -=+-. ………………6分（1）当02t <≤即0k ≤时，'()20x xg x e e t t -=+-≥-≥恒成立，所以()x xg x e e tx -=--在R 上单调递增，所以①当0x >时，()(0)0g x g >=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1xxx f x ke e ->+-成立， ………8分 ②当0x <时，()(0)0g x g <=，又因为此时0x xe e --<，10k ->，所以(1)2()01x x x x k x e e e e k----->--，即()1xxx f x ke e ->+-成立，因此当0k ≤时，当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-成立，符合题意；…9分 （2）当2t >即01k <<时，由'()0x x g x e e t -=+-=得12x x ==，因为2t >，所以2120,0x x x >=-<， 当2(0,)x x ∈时'()0g x <，所以()g x 在2(0,)x 上递减，所以()(0)0g x g <=，又因为此时0x x e e -->，10k ->，所以(1)2()01x xxx k x e e e e k-----<--，即 ()1x x x f x ke e -<+-与()1x x xf x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意；………11分综上可知：k 的取值范围是0k ≤. ………………12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（Ⅰ）由已知条件，可得BAE CAD ∠=∠因为AEB ACB ∠∠与是同弧上的圆周角，所以AEB ACD ∠∠= 故△ABE ∽△ADC ，所以AB ADAE AC= ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）AB ADAE AC =，即AB AC AD AE ⋅=⋅． 又1sin 2S AB AC BAC =⋅∠，且12S AD AE =⋅，故11sin 22S AB AC BAC AD AE =⋅∠=⋅．则sin 1BAC ∠=，又BAC ∠为三角形内角，所以90BAC ∠=o．…………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………4分 所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线．……………………5分（Ⅱ）将32x ty ⎧=+⎪⎨⎪=⎩…………………………6分 代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- …………………8分AB =2128t t ==-= …………………………10分解法二：代入26y x =得2230t t --=， 12122,3t t t t +==- ……………8分AB =8==……………10分24．选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩……2分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数， 所以max ()(3)2f x f ==．……………………………4分 （Ⅱ）01()4f x m≥-，即0001234x x x m m -+--+≥+，令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ………………………………7分 ∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =，当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ．……………………………10分。
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2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）0.3 （14）3- （15）5- （16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ······ 2分 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ··············· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··· 5分即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD = ········· 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CDθθ=， ············ 7分所以2cos CD θ=． ························ 8分在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-，由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， ····10分 化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ··················11分因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ··········12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，所以DE AC ⊥． ························· 7分 设DCA A θ∠=∠=，因为AC =EA EC == 在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠． ··········· 8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB ，…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+，∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥，1B又∵1ACAB A =，∴AB ⊥平面1AB C ． ······················· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，∴AB ⊥1B C ． ·························· 5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====， ∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ··············· 6分如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，································· 7分则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，， ∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ················ 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n ． ……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，……………………………………………………………………………10分∴111cos ,||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，….……………11分∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35． ············12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·············· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =，1AB AC ==，12B C =，∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ·············· 7分1∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ······· 8分 取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C ==，∴1PB BC ⊥． 又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC =2BP =，∴12PB ===∴11122B BC S BC B P =⨯=△． ··················· 9分 ∵11A BCB B ABC V V --=，∴1136BCB S AH ⋅=△，即1326AH ⨯=，∴7AH =． ····10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥，∴1AC == ············11分在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===， 所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35． ··········12分 （19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则220210019()495C P M C ==． ······················ 4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=； 当40a =时，404160X =⨯=；1当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ··········· 6分 故X 的分布列为：································· 8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． · 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ····10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ········11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ·············12分 （20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2p x =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ····· 1分 又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形， 所以SF PF =，即32p p =-， 解得2p =，所以抛物线2:4E y x =，…………………………………………3分 此时圆P =所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ··················· 4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ············· 5分（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， ①当3x=+24y x =，得()2y =±．不妨设()()32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥．②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点， 所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，所以01l x k y -=，…………………………………………………..7分直线()00001:x l y x x y y -=-+． 由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ···· 8分 即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ··· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭·······10分 ()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，所以AF BF ⊥． ···························12分 解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） · 5分设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ············ 6分由于FM AB ⊥，//MA MB ，所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ·········· 7分 注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ······· 8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ······· 9分 以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1x g x '=-， ········ 2分 依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ················· 3分 所以()111f x x '=-+1xx =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ······ 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥， ··········· 6分 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）， 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． · 7分（ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ·········· 8分 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ································· 9分 （ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x kh x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+， 显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->，所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ··············10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ···11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·················12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11xx k x =+-+， ···· 6分 （ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ················ 9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e1xx +≥（当且仅当0x =时等号成立），所以当01x <<时，e1xx ->-+，1e 1x x<-． 所以1()e 1(1)e 111xx kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kxx x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ·····10分于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减. 故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ··11分综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·················12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ··············· 6分 （ⅱ）当0k >时，设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x kF x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x kh x x '-+．显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·················· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥；故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ································· 9分 ②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ··············10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ···11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ·················12分 请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． （22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ·· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DEAB ． ·············· 3分所以BAD ADE ∠=∠， ·························· 4分FABCDEG从而BAD ACG ∠=∠． ·························· 5分 （Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ···················· 6分 在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，所以△AFG ∽△CFA ， ······················ 7分 所以FA FGFC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =， 所以221344AB GC =，即AB ， 又1GC =，所以AB ·······················10分解法二：（Ⅰ）同解法一． ······················· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ············· 6分所以ABD △∽CGE △，所以AB ADCG CE=， ……………………………………………7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ··················· 9分又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ，所以222=23AD EC ，所以AD CE =所以AB CG=，因为1CG =，所以AB = ············10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）由3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=． ···················· 2分由sin 4ρθ⎛π⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，………（＊） ······ 3分将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入（＊），化简得2y x =+， ············· 4分所以直线l 的倾斜角为4π． ······················ 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点()0,2P 在直线l 上， 可设直线l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩（t 为参数），即,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， ··················· 7分 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=． ·········· 8分(245271080∆=-⨯⨯=>．设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1212270,05t t t t +=<=>，所以120,0,t t << ········ 9分 所以()1212PA PB t t t t +=+=-+= ············10分解法二：（Ⅰ）同解法一. ························ 5分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为2y x =+.由222,99y x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得21036270x x ++=， ············ 7分 于是236410272160∆=-⨯⨯=>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12180,5x x +=-<1227010x x =>，所以120,0x x <<， ································ 8分故12120|0||PA PB x x x x +=--=+=··10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当1x -≤时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，此时原不等式的解是1x <-； ···················· 2分 （ⅱ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-， 此时原不等式无解； ························ 3分（ⅲ）当12x -≥时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >， 此时原不等式的解是1x >； ···················· 4分综上，{}11M x x x =<->或． ·················· 5分 （Ⅱ）因为()1f ab ab =+()()1ab b b =++- ············ 6分1ab b b +--≥············· 7分11b a b =+--． ············ 8分因为,a b M ∈，所以1b >，10a +>， ··············· 9分 所以()11f ab a b >+--，即()()()f ab f a f b >--． ·······10分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， · 7分 所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+，即证221ab a b +>+， ······················ 8分 即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->． ········· 9分 因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立． ························10分。