第五章循环码资料
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
05讲——循环码
• 根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式 d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x) mod xn-1，当g(x)可以 整除xn-1时，构成循环码。
• 系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编 码。上述方法形成的循环码不是系统码。
• 系统循环码的生成：C(x) = d(x)xn-k + r(x) 0 mod g(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次 的校验多项式r(x)，其中的r(x)= -d(x)xn-k mod g(x)。
05讲——循环码
7
子码
• 对于循环码C1和C2，如果有C1C2，则称 C1为C2的子码
• 若g1(x)生成码C1，g2(x)生成码C2，而 g2(x)|g1(x)，即g1(x)可以被g2(x)整除，或 g2(x)是g1(x)的一个因子，则C1C2，即C1 为C2的子码
05讲——循环码
8
系统循环码
• （回顾）以xn-1为模的剩余类代数中，循环子 空间与理想等价。其生成元中次数最低的首一 多项式为生成多项式
• 循环码的生成多项式必为xn-1的因子，同一个 循环子空间可以有多个生成元，而所有这些生 成元都应与xn-1有公因式，此公因式化为首一 多项式即为其生成多项式。
• 反之，若g(x)|(xn-1)，则g(x)可以生成一个循环 码，且当g(x)为n-k次多项式时，可生成(n,k)码
05讲——循环码
9
用生成多项式的根定义循环码
• 研究表明，生成多项式有重根的码一般 都要比无重根的码差，因此只考虑无重 根的码，或构造无重根的多项式。
• GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n 与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件 即为n为奇数。
循环码
7
循 环 码
三、循环码的生成多项式和生成矩阵
⒈ 定理一
(n, k)循环码C(x)中存在一个非零的、首一的、次数最低 且次数为r(r<n)的码式g(x)，满足
1) g(x)是唯一的
2) g(x)的零次项g0 ≠ 0 3) c(x)是码式当且仅当c(x)是g(x)的倍式 4) r = n-k 记：g(x) = xr + gr-1xr-1 + … + g1x + g0
循环码的生成矩阵
码式g(x),g(x)∙x,…, g(x)∙xk-1是线性无关的，所以(n , k)循环 码的生成矩阵在g(x)确定后可以表示为G，
15
循 环 码
四、循环码的校验多项式和校验矩阵
由于g(x)是xn-1的因式，因此定义(n , k)循环码的一致检验多 项式为h(x)，
h(x) = (xn-1)/g(x)
也必是码式，所以g(x)的倍式a(x)∙g(x)若次数小于n则必是 码式。
充分性：如果f(x)是码式，则必有 f(x) = a(x)∙g(x)+r(x)，0 ≤ r(x)的次数 < g(x)的次数， 若r(x) ≠ 0，则r(x)一定是码式，且次数小于r，这与假设矛 盾。因此必有r(x) = 0，所以码式f(x)一定是g(x)的倍式。
C(x)=(Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)
对于二进制码，码多项式的每个系数不是0就是1。
x仅是码元位置的标记。我们并不关心x的取值。 码多项式 i 次循环移位的表示方法，码矢C1左移一位 得码矢C2，各自用多项式形式表示如下：
4
循 环 码
C1(x) Cn1xn1 Cn2 xn2 C1x C0
常用循环码简介
常用循环码简介3.1 循环码循环码是在严密的代数学理论基础上建立起来的，是线性分组码的一种。
这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且纠错的能力较强。
顾名思义，循环码除具有线性码的一般性质之外，还具有循环性，即任一码组循环移位以后，仍为该码中的一个码组。
在代数编码理论中，为了便于计算，经常将循环码表示成码多项式的形式，设码组为),,,,(0121a a a a a n n --=，则码多项式定义如下：0121)(a x a x a x a X T n n ++++=--在循环码除全“0”码组外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只有)1(-k 位。
否则，在经过若干次循环移位后将得到一个k 位信息位全为“0”，但监督位不全为“0”的一个码组。
因此，)(x g 必须是一个常数项不为“0”的)(k n -次多项式，而且这个)(x g 还是这种码中次数为)(k n -的唯一一个多项式，称这唯一的)(k n -次多项式)(x g 为码的生成多项式。
一旦确定了)(x g ，则整个),(k n 循环码就被确定了。
由此，可以写出循环码的生成矩阵G. 通常这时得到的循环码的生成矩阵不是典型矩阵，可通过线性变换转为典型矩阵，则循环码组可写成：[])()(21X G a a a X T k n n n ---=[])()()1(21x g a x a x a x a X G k n n n +++=----所有的码组多项式)(x T 都可被)(x g 整除，而且任意一个次数不大于)1(-k 的多项式乘)(x g 都是码多项式，该条性质用于编码，还可用于验证接收码组是否出错。
由于任一循环码多项式)(x T 都是)(x g 的倍式，故可写成)()()(x g x h X T =，而)(x g 本身也是一个码组，即有)()(x g X T ='。
由于)(X T '是一个)(k n -次多项式，故)(X T x k '是一个n 次多项式，在模1+n x 运算下，也是该编码中的一个许用码组。
循环码
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ； 码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。 码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。 码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110） 。
（2） 已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码 对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入 （0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)
循 环 码
（2） 求 R(x) ： R(x)是 xr m(x)除以 g(x) 得到的余项。
xr g
mx x
Qx
Rx gx
（3）将R(x) 加在信息位之后作为监督码，组成多项式A(x)。
Ax xr mx Rx
则码编码电路
表 10.6 (7,3)循环码的编码过程
现代通信原理
循环码
1.1 循环码的基本概念
循环码是一种具有循环性的线性码(具有封闭性) 。 一个(n, k) 线性分组码, 如果每个码组任意循环移位
后仍然是一个线性分组码 , 则称此码组为循环码。
例（7，3）循环码：g(x)= x4 + x3 + x2+ 1
表 10.5 (7,3)循环码
为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多
2. 译码过程
循环码的译码可以分三步进行：
（1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项 式S(x)； （2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)； （3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。
检错： 设接收码组为B(x), 作B(x) / g(x), 若能除尽（余
式为0），则B(x)为码多项式，表示传输无错码；若余 式不为0，则有错码。
纠错: 建立 B(x) / g(x) 的余式与错误图样的一一对应关
系。根 据余式得到错误图样E(x) , 则A(x)＝ B(x) －E(x)
或通过计算校正子S， 利用类似 表10－4的关系，确定错 码的位置。
由上述分析可知，只要找到循环码的生成多项式g(x)， 就决定了编码、译码、纠错能力。
但在实际的系统设计中，往往要按给定的纠正随机错 误的个数来寻找 g(x)。
＋
D0
循环码的基本概念
循环码的基本概念
循环码是一种特殊的线性块码，具有循环移位不变性的特点。
循环码的基本概念包括以下几个方面：
1. 线性块码：循环码是一种线性块码，即码字是由编码器对信息位进行线性变换得到的。
线性块码的特点是可以通过线性运算进行编码和解码操作。
2. 循环移位不变性：循环码的一个重要特点是具有循环移位不变性，即对于循环码的任意码字，将其循环右移若干位后得到的码字仍然属于该循环码。
这个特性使得循环码在传输过程中具有较好的容错性能。
3. 生成多项式：循环码的编码过程可以通过一个生成多项式来实现。
生成多项式是一个二进制多项式，通过将信息位与生成多项式进行模2除法运算，得到编码后的码字。
4. 校验多项式：循环码的解码过程可以通过一个校验多项式来实现。
校验多项式是一个二进制多项式，通过将接收到的码字与校验多项式进行模2除法运算，得到校验结果。
如果校验结果为0，则认为接收到的码字没有错误；如果校验结果不为0，则认为接收到的码字存在错误。
5. 循环码的编码和解码：循环码的编码过程是将信息位与生成多项式进行模2除法运算，得到编码后的码字。
循环码的解码过程是将接收到的码字与校验多项式进行模2除法运算，得到校验结果。
如果校验结果为0，则认为接收到的码字没有错误；如果校验结果不为0，则认为接收到的码字存在错误，并进行纠错操作。
总之，循环码是一种具有循环移位不变性的线性块码，通过生成多项式和校验多项式实现编码和解码操作，具有较好的容错性能。
通信原理课程设计循环码
通信原理课程设计循环码循环码是一种在通信原理中广泛应用的编码技术，用于在数字通信中实现错误检测和纠正。
循环码通过在发送数据中添加冗余位来检测和纠正传输中的错误。
在本文中，我将详细介绍通信原理课程设计中循环码的标准格式以及相关内容。
一、引言循环码是一种线性块码，它通过在数据中添加冗余位来实现错误检测和纠正。
循环码的特点是具有循环性质，即码字中的位可以通过移位运算循环生成。
循环码的设计和分析是通信原理课程中的重要内容之一。
二、循环码的定义循环码可以用生成多项式来定义。
生成多项式是一个二进制多项式，它确定了循环码的结构和性能。
循环码的生成多项式可以用多项式系数表示，例如G(x) = g0 + g1x + g2x^2 + ... + gkx^k。
三、循环码的编码过程循环码的编码过程可以分为以下几个步骤：1. 将待发送的数据按照信息位和冗余位的顺序排列。
2. 使用生成多项式进行除法运算，得到校验位。
3. 将校验位添加到数据中，形成循环码。
四、循环码的解码过程循环码的解码过程可以分为以下几个步骤：1. 接收到循环码后，使用接收到的码字和生成多项式进行除法运算。
2. 如果除法运算的余数为0，则认为接收到的码字没有错误。
3. 如果除法运算的余数不为0，则认为接收到的码字存在错误，并进行纠正。
五、循环码的性能分析循环码的性能可以通过误码率和纠错能力来评估。
误码率是指接收到的码字中错误位的比例，纠错能力是指循环码能够纠正的最大错误位数。
六、循环码的应用循环码在通信原理中有广泛的应用。
它可以用于数据传输中的错误检测和纠正，提高通信系统的可靠性和稳定性。
循环码也可以用于存储介质中的数据纠错，例如光盘和硬盘等。
七、循环码的改进为了提高循环码的性能，可以采用一些改进技术。
例如，可以使用更复杂的生成多项式来增加纠错能力；可以采用交织技术来减小错误传播的影响；可以使用迭代译码算法来提高解码的准确性。
八、总结循环码是通信原理中重要的编码技术，用于实现错误检测和纠正。
循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码原理
循环码原理循环码是一种在通信领域中被广泛应用的编码技术，它通过在数据中添加冗余信息来实现错误检测和纠正的功能。
在本文中，我们将深入探讨循环码的原理，以及它在通信系统中的应用。
循环码的原理基于多项式除法。
假设我们有一个k位的数据块，我们希望在传输过程中添加一些冗余信息，以便在接收端能够检测并纠正错误。
为了实现这一目的，我们可以使用一个n位的生成多项式G(x)来对数据进行编码，生成一个n位的循环冗余校验码(CRC)。
这个CRC码可以被添加到数据块中，形成一个n位的编码块。
接收端在接收到编码块后，可以使用同样的生成多项式G(x)来进行除法运算。
如果余数为0，那么说明数据没有出现错误；如果余数不为0，那么说明数据出现了错误。
通过这种方式，接收端可以检测出错误的位置，并进行纠正。
循环码的一个重要特性是它可以通过移位寄存器来高效地实现。
在编码过程中，数据块会被送入移位寄存器中，然后通过与生成多项式G(x)进行模2加法来生成CRC码。
在解码过程中，接收端也可以使用相同的移位寄存器结构来进行除法运算，从而检测并纠正错误。
在通信系统中，循环码被广泛应用于数据传输和存储。
它可以在数字电视、移动通信、卫星通信等领域中起到重要的作用。
通过添加循环冗余校验码，通信系统可以提高数据传输的可靠性，从而减少数据传输过程中的错误率。
除了在通信系统中的应用，循环码还被广泛应用于存储系统中。
例如，光盘、硬盘等存储介质都会使用循环码来进行错误检测和纠正。
这些应用都充分展示了循环码作为一种强大的编码技术的重要性。
总之，循环码作为一种重要的编码技术，在通信和存储领域中发挥着重要作用。
它通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正的功能，从而提高了数据传输和存储的可靠性。
希望本文对循环码的原理有所了解，并对其在通信系统中的应用有更深入的认识。
循环码
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常用CRC码
CRC码 生成多项式 CRC－12 x12+x11+x3+x2+x+1 CRC－16 x16+x15+x2+1 CRC－CCITT x16+x12+x5+1 BCH码 BCH码是循环码的一个重要的子类，它是一种能纠正多个随机错误的应用最为广泛和有效的差错控制码。 定义：对于任意正整数m(m≥3)和t(t<2m－1=一定存在一个具有下列参数的二进制BCH码：
编码种类
十六进制数 自然二进制码 循环二进制码 十六进制数 自然二进制码 循环二进制码 0 0000 0000 8 1000
特征
为了探讨循环码的特征，把码字C=(Cn－1 Cn－2…C1C0)用如下的码多项式C(x)来表示。 （1）特性一 在一个(n,k)循环码中，存在惟一的一个n－k次码多项式： 每一个码多项式C(x)都是g(x)的一个倍式，反之每个为g(x)倍式，且次数小于等于n－1的多项式必是一个码 多项式。 由此可见，(n,k)循环码中的每一个码多项式C(x)均可由下式表示： 如果m(x)的系数(mk－1…m1m0)就是表示待编码的k位信息位，则C(x)就是对应于此信息组m(x)的码多项式。 因此(n,k)循环码完全可由g(x)确定。g(x)也称为循环码(n,k)的生成多项式。g(x)的次数n－k等于码中一致校 验位的位数。
译码器
缩短循环码
循环码的生成多项式g(x)应该是xn+1的一个(n－k)次因子，但有时在给定码长n时，xn+1的因子不能满足设 计者的需要，为了增加选择机会，往往采用缩短循环码。
在(n,k)循环码的2k个码字中选择前i位信息位为0的码字，共有2k－i个，组成一个新的码字集。这样就构成 了一个(n－i,k－i)缩短循环码。
循环码
可见，一致校验矩阵的第一行是码的校验多项式 的系数 的反序排列，而第二、三、四行分别是第一行的移位，由 此得到用校验多项式的系数来构成的一致校验矩阵：
H (7,3)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6.3.3 系统循环码
1 0 G 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4)
对矩阵G的行进行运算，将第⑴、⑶、⑷行相加后 作为第1行，第⑵、⑷行相加后作为第2行，得：
1 0 G0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 (1) (3) (4) 1 (2) (4) 0 1
个码字的每一次循环移位仍然是C中的一个码字， 则称C为循环码。也即，如果C=(cncn-1…c2c1)是循 环码C的一个码字，那么C=(cn-1cn-2…c1cn) 等也都是 C的码字时，则所有这些具有循环特性的码字的全 体便构成了循环码C。
表6.3.1 循环码的例子
信息码元 000 001 010 011 100 101 110 111
0 0 0 h0 0 0 h0 h1 0 h0 h1 h2 h0 h1 h2 h3 h1 h2 h3 0 h2 h3 0 0
0 0 h3 g4 0 g3 0 0 g2 0 g1 g 0
n k
9
8
x 4 x3 x 2
对
在接收端，CRC校验实际上就是做除法运算：如果传输过 程无差错，则 r ( x) g ( x被整除，余式为“0”；如果余式不为 能 ) “0”，则说明一定有差错。 1 例6.3.8 假设 m( x) x x x ，即信息码字为 1 (1011001)， g ( x) x x ，求CRC校验码。由题得：
循环码
在抽象代数学中， F [ x] / ( g ( x)) 表示域 F 上的多项式剩余类环，其模是 g ( x) 。因 此，循环码 C[ x] 是域 GF (2) 上以 x − 1 为模的多项式剩余类环 GF (2)[ x] / ( x n − 1) 。
n
定理【生成多项式】 i. ii. iii. 循环码 C[ x] 存在唯一的次数最低的首一多项式 g ( x) （称为生成多项式） 每个码字多项式 c( x) 都是 g ( x) 的倍式
= c( x) [u0b0 ( x) + u1b1 ( x) + . .+ u . k −1bk −1 ( x)]g ( x)
（ii） 考察 x n − k u ( x) u0 x n − k + u1 x n − k +1 + ... + uk −1 x n −1 =
n−k x = u ( x) q( x) g ( x) + r ( x)
n
再设 h( x) 是 C[ x] 中次数最低的首一多项式，则由（2）可知， h( x) 是 g ( x) 的因式。于 是 h( x) 是 g ( x) 和 x − 1 的公因式。
n
由 Euclids 除法知，存在多项式 s ( x) 和 t ( x) ，使得 h( x) = s ( x) g ( x) + t ( x)( x n − 1) 于是 h = ( x) ( s ( x) + t ( x)b( x)) g ( x) ， 即 g ( x) | h( x) ，这个式子表明了两种可能： （i） （ii）
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2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
第5章循环码
性空间， 称为剩余类线性结合代数。
在[n, k]循环码中，码字(an-1, an-2, …, a1, a0) 的多项式：a(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0， 它 的循环移位一次后所得码字为(an-2, …, a1, an-1)， 相对应的码多项式表示为
问题 如何寻找k维循环子空间？
如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
二、 码的多项式描述
从第二章可知，GF(p)上的所有n重构成一 个 线 性 空 间 Vn ， 其 中 每 个 矢 量 是 分 量 取 自 GF(p)上n重， 若将每个n重和系数取自GF(p)上 的多项式相对应：
定理 5.1.1 以多项式xn-1为模的剩余类线性 结合代数中， 其一个子空间V n，k是一个循环子空 间(循环码)的充要条件是：V n，k是一个理想。
结论：一个循环码是模xn-1多项式剩余类线性结合 代数中的一个理想；反之，其中的一个理想必是一 个循环码。
(Review)引理4.2.2 多项式环Fp[x]中的一切理想均是主 理想。
循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，具 有如下性质：
严谨代数结构，性能易于分析；大部分线性码 是循环码；
其循环结构有利于编译码实现； 实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几
乎都是循环码。
(Review)定义3.3.1 GF(2)上汉明码的H矩 阵的列， 是由不全为0， 且互不相同的二进制 m重组成。 该码有如下参数： n =2m-1， k =2m1-m， R=(2m-1-m)／(2m-1)， d=3。
通信原理课程设计循环码
通信原理课程设计循环码在通信原理课程中，循环码是一个重要的概念和技术。
循环码是一种通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正的编码方式。
它在数字通信系统中起着至关重要的作用，能够提高数据传输的可靠性和稳定性。
本文将介绍循环码的原理、应用和设计过程。
一、循环码的原理循环码是一种线性块码，它的编码和解码过程都可以用线性代数的方法进行描述和计算。
循环码的编码过程是将数据位序列与生成多项式进行异或者运算，得到编码位序列。
而解码过程则是将接收到的编码位序列与校验多项式进行异或者运算，通过计算得到的余数来判断是否存在错误并进行纠正。
循环码的核心概念是生成多项式和校验多项式。
生成多项式是一个二进制多项式，通过它可以生成循环码的编码位序列。
校验多项式是一个用于检测和纠正错误的多项式，通过它可以进行解码操作。
生成多项式和校验多项式的选择对循环码的性能有着重要的影响，需要根据具体的应用场景进行选择和设计。
二、循环码的应用循环码在通信系统中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是在数据存储和传输中的错误检测和纠正。
通过使用循环码，可以在数据传输过程中检测和纠正错误，提高数据的可靠性和完整性。
循环码还可以应用于数字电视、无线通信、光纤通信等领域，为这些领域中的数据传输提供保障。
除了错误检测和纠正，循环码还可以用于数据压缩和加密。
通过设计合适的生成多项式和校验多项式，可以在编码过程中实现数据的压缩，减少数据传输的带宽和存储空间。
同时，循环码也可以用于数据的加密，通过添加冗余信息和校验多项式，提高数据的安全性和隐私性。
三、循环码的设计过程循环码的设计过程包括选择生成多项式和校验多项式，以及确定编码和解码的算法。
在选择生成多项式和校验多项式时，需要考虑到循环码的性能要求和应用场景。
普通情况下，生成多项式的次数越高，循环码的纠错能力越强，但编码和解码的复杂度也会增加。
确定编码和解码的算法是循环码设计中的另一个重要环节。
常见的编码算法包括直接编码、循环系统编码和移位寄存器编码等。
通信原理循环码
通信原理循环码通信原理循环码循环码是一种特殊的线性码，它具有循环移位不变性和线性可加性。
在通信原理中，循环码被广泛应用于纠错编码和加密传输等领域。
循环移位不变性是指循环码的编码和解码过程中，对于输入数据的循环移位操作不会影响编码结果和解码正确性。
这种特性使得循环码在传输过程中具有较强的容错能力，可以有效地纠正传输中出现的错误。
线性可加性是指循环码的编码和解码过程中，对于输入数据的线性组合操作也不会影响编码结果和解码正确性。
这种特性使得循环码可以通过多个编码器进行编码，通过多个解码器进行解码，从而实现分布式传输和解码。
循环码的编码过程可以通过生成矩阵来描述。
生成矩阵是一个k×n 的矩阵，其中 k 表示输入数据的长度，n 表示编码后数据的长度。
生成矩阵的每一行表示一个编码器，每一列表示一个输入数据位。
通过将输入数据乘以生成矩阵，即可得到编码后的数据。
循环码的解码过程可以通过校验矩阵来描述。
校验矩阵是一个 (n-k)×n 的矩阵，其中 n 表示编码后数据的长度，k 表示输入数据的长度。
校验矩阵的每一行表示一个校验器，每一列表示一个编码后数据位。
通过将编码后数据乘以校验矩阵的转置，即可得到校验结果。
如果校验结果为零向量，则说明解码正确；否则，说明存在错误，需要进行纠错操作。
循环码的纠错能力可以通过最小距离来衡量。
最小距离是指循环码中任意两个编码后数据之间的汉明距离的最小值。
汉明距离是指两个数据之间不同位数的个数。
循环码的纠错能力与最小距离成正比，即最小距离越大，纠错能力越强。
循环码的加密传输可以通过置换矩阵来实现。
置换矩阵是一个n×n 的矩阵，其中 n 表示编码后数据的长度。
置换矩阵的每一行和每一列都是一个置换向量，表示对应位置的数据位在加密传输中的置换关系。
通过将编码后数据乘以置换矩阵，即可得到加密后的数据。
总之，循环码作为一种特殊的线性码，在通信原理中具有广泛的应用。
它具有循环移位不变性和线性可加性，可以实现分布式传输和解码。
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第5章 循环码
定理 5.1.2
GF(q)(q为素数或素数的幂)上的
［n，k］循环码中， 存在有唯一的n-k次首一多项式
g(x)=x n-k+g n-k-1x n-k-1+…+g1x+g0， 每一码多项式C(x)都 是g(x)的倍式， 且每一个≤(n-1)次的g(x)倍式一定是码 多项式。
g(x)=g n-k x n-k+g n-k-1 x n-k-1+…+g1x+g0 xg(x)=g n-k x n-k+1+g n-k-1 x n-k+…+g1x2+g0x
… xk-1g(x)=g n-k x n-1+g n-k-1 x n-2+…+g0x k-1
第5章 循环码
所以
gnk
G
0
第5章 循环码
第5章 循环码
5.1 循环码与理想 5.2 由生成多项式的根定义循环码 5.3 幂等多项式和最小循环码 5.4 缩短循环码与准循环码 5.5 平方剩余码 5.6 多项式及域元素运算电路 5.7 循环码的编码电路 习题
第5章 循环码
5.1 循环码与理想
一、 ［7， 4］汉明码CH的H矩阵为
第5章 循环码
定理 5.1.3 GF(q)上［n，k］循环码的生成多项 式g(x)一定是xn-1的因式：xn-1=g(x)h(x)。 反之， 若 g(x)为n-k次， 且g(x)｜(xn-1)， 则该g(x)一定生成一个 ［n，k］循环码。
第5章 循环码
例 5.1 在GF(2)上， x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)， 求［7， 4］循环码。 找一个能除尽x7-1的n-k=3次首一 多项式g(x)， 可在x3+x+1与x3+x2+1中任选一个， 现在 选g(x)=x3+x2+1， 则
第5章 循环码
则它们之间建立了一一对应关系。 在第四章中已指出， 所有次数小于n次的多项式一定在模n次多项式
F(x)∈Fp［x］的不同剩余类中， 即 f(x)∈{a n-1 x n-1+a n-2 x n-2+…+a1x+a0}(mod F(x))
第5章 循环码
因此， Vn中每一个n重都与GF(p)上的次数低于n次 的一个多项式相对应， 并必在模F(x)的某一剩余类中。 第四章中（p107）已证明， 在模F(x)运算下， 模F(x) 的剩余类构成一多项式剩余类环Fp［x］／F(x)， 若在 该环中再定义一个数乘， 即
第5章 循环码
二、 码的多项式描述 从第二章可知，GF(p)上的所有n重构成一个线性 空间Vn， 其中每个矢量是分量取自GF(p)上n重， 若 将每个n重和系数取自GF(p)上的多项式相对应：
n 重： (a n-1， a n-2， …， a1， a0) ai∈GF(p)
多项式：(a n-1 x n-1+a n-2 x n-2+…+a1x+a0)=f(x)
1 1 0 1 0 0 0 G 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
第5章 循环码
三、 循环码的生成矩阵、 校验矩阵 由前知， xn-1=g(x)h(x)。 若g(x)为n-k次， 则h(x) 为k次多项式。 以g(x)作为生成多项式所组成的［n，k］ 循环码中g(x)， xg(x)， …， xk-1 g(x)等k个码多项式必 是线性无关的， 设可以由这些码多项式所对应的码字， 构成循环码的生成矩阵G， 则
ca(x)={ca n-1 x n-1+ca n-2 x n-2+…+ca0} c∈GF(p) 则可以证明模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间， 称为 剩余类线性结合代数。 (线形空间有数乘的要求)
第5章 循环码
定理 5.1.1 以多项式xn-1为模的剩余类线性结合 代数中， 其一个子空间V n，k是一个循环子空间(循环 码)的充要条件是：V n，k是一个理想。
0
gnk1 g1
gnk g2
0
0 gnk
g0 0
Байду номын сангаас
0
g1
g0
0
0
gnk1
g1
g0
xn-1=g(x)h(x) =(g n-k x n-k+…+g1x+g0)(hkxk+…+h1x+h0)
线性分组码的任一码字都是其它码字的线性组合，因此只 需找一个基底作为其它码字的生成基底
0 0 0 1 1 1 1 H 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
第5章 循环码
由第二章可知， 交换H矩阵各列， 并不会影响码 的纠错能力。 把上述H矩阵的列进行交换后变为
1 0 1 1 1 0 0 H 0 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1
第5章 循环码
由此矩阵可明显看出， 第二行是第一行循环右移 一位得到， 第三行是第二行循环右移一位。 由此矩阵 编出的16个码字为：1000110， 0100011， 1010001， 1101000， 0110100， 0011010， 0001101； 1001011， 1100101， 1110010， 0111001， 1011100， 0101110， 0010111； 1111111； 0000000。
由这些码字看出， 若C1∈CH， 则它的右(左)移循环移 位所得到的n重也是一个码字， 具有这种特性的［n，
k］分组码称为循环码。 由于［n， k］线性分组码是n 维线性空间Vn中的一个k维子空间， 因此［n， k］循
环码是n维线性空间中的一个k维循环子空间。
第5章 循环码
定义 5.1.1 一个n重子空间V n， k∈Vn， 若对任何 一个V=(a n-1， a n-2， …， a0)∈V n，k， 恒有v1=(a n-2， a n-3， …， a0， a n-1)∈V n，k， 则称V n，k为 循环子空 间或 循环码。
{xg(x)}： xg(x)=x4+x3+x {x2g(x)}： x2g(x)=x5+x4+x2 {x3g(x)}： x3g(x)=x6+x5+x3
第5章 循环码
它们相应的n重为：(0001101)， (0011010)， (0110100)， (1101000)， 把它们作为生成矩阵的行， 就得到了［７， 4］码的生成矩阵。