2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题4平面向量学案
高考数学南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量
专题4：平面向量问题归类篇类型一：向量的运算一、前测回顾1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.答案：－3．2． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b |＝2，则|a －b |的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是 ．(3) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案：(1)[0,4]； (2)[0,1]； (3) 90°．3．(1)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________． (2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝1，|a －2b |＝19，则向量a ，b 的夹角是 ． (3) 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． (4)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于____ __． 答案：(1)－32； (2)2π3； (3) 32； (4)12．4．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ．则−→AD ·−→BC ＝ ．(2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝2，OB ＝23, −→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60︒，则−→AB ·−→OC ＝________________．(4)在△ABC 中，∠BAC ＝120︒，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且−→AE ·−→BC ＝0．则−→AD ·−→BC ＝ ；−→AD ·−→AE ＝ ． 答案：(1)－83； (2)1； (3)4； (4)－83, 37．二、方法联想1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 三、归类巩固*1．已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则a 的模的取值范围是 答案：（0，233]．提示：结合向量的几何图形求解．A BCD E**2．在等腰梯形ABCD 中,已知AB 平行于DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝π3，动点E ，F 分别在线段BC ，DC 上，且−→BE ＝λ−→BC ，−→DF ＝19λ−→D C ，则−→AE ·−→AF 的最小值为 .答案：1829． 提示：数量积−→AE ·−→AF 标示为λ的函数．***3．△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3， 则AO →·BC →＝________. 答案：52．提示：外心隐含着垂直关系．类型二：形如AD →＝x AB →＋y AC →等式中系数x ，y 值的确定一、前测回顾1．在△ABC 中，点M ，N 满足−→AM ＝2−→MC ,−→BN ＝−→N C ．若MN →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为． 答案：13．2．平面内有三个向量−→OA ，−→OB ，−→OC ，其中−→OA 与−→OB 的夹角为2π3，−→OA 与−→OC 的夹角为π6，且，|−→OA |＝|−→OB |＝2，|−→OC |＝43，若(),OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的值为_______．答案：6．3．已知在△ABC 中，O 为△ABC 的外心，AB ＝16，AC ＝102，AO →＝x AB →＋y AC →，且32x ＋25y ＝25，则|AO →|等于___________．答案：10．提示：由AO x AB y AC =+，可得AO AO x AB AO y AC AO ⋅=⋅+⋅，211282AB AO AM AB AB ∴⋅===，同理：211002AC AO AN AB AC ∴⋅===，所以()212810043225100AO x y x y =+=+=， 所以|AO →|＝10． 二、方法联想方法1 通过平面向量运算，完成向量AD →用AB →，AC →表示，进而确定x ，y 的值．方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式AD →＝x AB →＋y AC →，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解．方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x ，y 的方程，再进行求解． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则x ＋4y 的最小值是________．答案：94．***2．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2， AB →·AC →＝－1，O 是△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋y AC →，则x ＋y 的值为________．答案：136． 类型三：平面向量的综合应用 一、前测回顾1．平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若1233MC MA MB =+，则MC的最小值为___________．答案：4． 2．已知a ，b 是单位向量，且a ，b 的夹角为60°，，若向量c 满足|c －a ＋2b|＝2，则|c|的最大值为_____．答案：2+3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ．答案：－3．二、方法联想方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决． 三、归类巩固**1．在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是_____． 答案:2．提示：以BC 所在直线为x 轴, 中点O 为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)。
2018高考数学理二轮备考教学案—08平面向量
2018高考数学理二轮备考教学案— 平面向量【考情解读】高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．预测2018年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力． 【重点知识梳理】 1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理向量a(a≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa. 3．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2. 4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算(1)设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa ＝(λx1，λy1)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积 设θ为a 与b 的夹角． (1)定义：a²b＝|a||b|cos θ.(2)投影：a²b|b|＝|a|cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．8．数量积的性质 (1)a⊥b ⇔a²b＝0；(2)当a 与b 同向时，a²b＝|a|²|b|；当a 与b 反向时，a²b＝－|a|²|b|；特别地，a²a＝|a|2； (3)|a²b|≤|a|²|b|； (4)cos θ＝a²b|a|²|b|.9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2) (1)a²b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝x21＋y21； (3)a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0； (4)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21²x22＋y22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是0，π]，a²b>0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a²b<0与〈a ，b 〉为钝角不等价．2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在b 方向上的投影为a²b |b|，而不是a²b|a|.4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0. 【高频考点突破】考点一 平面向量的概念及线性运算例1．（1）(2016²高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a∥b，则m ＝________. 【答案】：－6【解析】：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a∥b ∴m³(－2)－4³3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m＝－6.【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC→＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC → 【答案】：A【解析】：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b)＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12²2AD →＝AD →. 考点二 平面向量数量积的计算与应用例2．【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b)²a＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】：C【解析】：基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b)²a＝(1,0)²(1，－1)＝1³1＋0³(－1)＝1.故选C. 速解法：∵a＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a2＝2，a²b＝－3， 从而(2a ＋b)²a＝2a2＋a²b＝4－3＝1.故选C.【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →²BD →＝________. 【答案】：2【解析】：基本法：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →²BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →²(AD →－AB→) ＝|AD→|2－12|AB →|2＝22－12³22＝2.【真题感悟】1.（2017全国卷Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A.2-B.32-C. 43-D.1- 【答案】B【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)Pxy ，所以()PA x y =- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--所以(2,2)PB PC x y +=-- ，22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-≥-当P 时，所求的最小值为32-，故选B 。
(通用版)2018年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 平面向量、三角函数与解三角形教学案 理
专题一 平面向量、三角函数与解三角形[研高考·明考点]2016卷Ⅱ ———T 9·诱导公式、三角恒等变换求值问题T 13·同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－6(2)(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.(2)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)C[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．[演练冲关]1．(2017·南昌调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，结合各选项可知选C.2．(2017·福州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，所以AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3，故选B. 3．(2017·沈阳质检)已知向量AC ―→，AD ―→和AB ―→在正方形网格中的位置如图所示，若AC ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λμ＝( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4解析：选A 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，设网格中小正方形的边长为1，则AC ―→＝(2，－2)，AB ―→＝(1,2)，AD ―→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·广西三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )＝( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1(3)(2018届高三·湖北七市(州)联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.[解析] (1)∵|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.(3)∵平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2|a ||b |·cos120°＋2|b ||c |cos 120°＋2|a ||c |cos 120°＝22＋22＋12＋2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故|a ＋b ＋c |＝1.[答案] (1)D (2)B (3)1[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2017·云南调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.2．(2018届高三·湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.3．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：311[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R)，则mn＝________.解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B.23C.38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选A 设c ＝(x ，y )，由题可得a ＋b ＝(3，－1)，a －c ＝(1－x,2－y )．因为c ⊥(a ＋b )，b ∥(a －c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－y ＋－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝73，故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73.3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.4．(2017·西安模拟)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B 因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，即9＋2×3×|b |cos 120°＋|b |2＝13，得|b |＝4.5．(2018届高三·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→，故选D. 7．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：选B 设b ＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a ·b ＝(3，1)·(cos α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sin π3＋α＝3，得α＝π3，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 由|a ＋b |＝|a －b |可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，即a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.9．(2017·惠州调研)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A (OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A.10．(2017·日照模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：选B 因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2，所以AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AD ―→·AB ―→＝2×4×cos 60°＝4，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 12．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝7，BC ＝3，则AO ―→·BC ―→的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 取BC 的中点为D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD ―→＝12(AB―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，所以AO ―→·BC ―→＝(AD ―→＋DO ―→)·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＋DO ―→·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12(AC―→2－AB ―→2)＝12×(7)2－22＝32.故选A.二、填空题13．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，所以cos 60°＝3e 1－e 2e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案：3314．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，且m ，n 夹角的余弦值为13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.答案：－415．(2017·石家庄质检)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：1416．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：6B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋34AC ―→ · (AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.2．(2017·长春质检)已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p ·b＝12，则|p |＝( ) A.12B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.∴|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.3．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于点G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.4．(2018届高三·湖北八校联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵M 是BC 边的中点，∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AM ―→·AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·AO ―→＝12AB ―→·AO ―→＋12AC ―→·AO ―→＝AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→.由数量积的定义可得AD ―→·AO ―→＝|AD ―→||AO ―→|·cos〈AD ―→，AO ―→〉，而|AO ―→|cos 〈AD ―→，AO ―→〉＝|AD ―→|，故AD ―→·AO ―→＝|AD ―→|2＝4，同理可得AE ―→·AO ―→＝|AE ―→|2＝1，故AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→＝5，即AM ―→·AO ―→＝5，故选D.5．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：依题意，设BO ―→＝λBC ―→，其中1<λ<43，则有AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→.又AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，且AB ―→，AC ―→不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43知，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－13，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，06．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：3第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质考点(一) 主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数三角函数的图象及应用[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2017·贵阳检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6(3)(2017·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2B ． 2C ．－22D ．－24[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)依题意得，T ＝2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向左平移π3个单位长度得到函数fx ＋π3＝sin2x ＋2π3＋φ的图象关于y 轴对称，于是有2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z.又|φ|<π2，因此φ＝－π6，故选D.(3)依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1.因为0<φ<π，所以3π4<3π4＋φ<7π4，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，故f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. [答案] (1)B (2)D (3)D[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.2．(2017·云南模拟)函数f (x )＝sin ωx ()ω>0的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32B ．2C ．1 D.12解析：选 C 依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ωx ＋π3(ω>0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f2π3＋π3＝sin ω2π3＋ π3＝sin ωπ＝0(ω>0)，则ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，故选C.3．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π64.(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)(2017·沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (3)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B.(2)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)B (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2xC ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2解析：选B 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝121－cos 2x －32(1＋cos 2x )＝1－32－1＋32cos 2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.2．(2017·长春质检)关于函数y ＝2sin3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( )A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3]解析：选C 由3x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝－1，得函数y ＝2sin3x＋π4＋1的一个对称轴为x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝3，得x＝11π12，此时y ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，1，故C 错误；由于－1≤sin3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确．3．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π()k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z.答案：－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7822．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________． 解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，所以函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x ≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故函数的最大值为33. 答案：33 3．(2017·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质2．三角函数的两种常见的图象变换 (1)y ＝sin x ――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x 错误!y ＝sin ωx ――→向左φ或向右φ 平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin x －π3的单调增区间．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan2x －π3的单调递增区间为k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin2x＋π4，故选A. 3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3 D.π6解析：选 D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin2x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选 B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.。
【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及
2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →答案 D解析 由题图，知DB →＝AD →，则AF →－DB →＝AF →－AD →＝DF →.由三角形中位线定理，知DF →＝BE →.故选D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，则点A ，B ，C 三点共线应满足 ( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1答案 D解析 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，所以λa ＋b ＝k a ＋μk b ，所以λ＝k,1＝μk ，故λμ＝1.3．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A ．OA →＝13AB →＋23BC →B ．OA →＝23AB →＋13BC →C ．OA →＝13AB →－23BC →D ．OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →＝( )A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD ．b ＋13a答案 C解析 因为BE →＝AE →－AB →＝AD →＋DE →－AB →，所以BE →＝BC →＋23AB →－AB →＝AC →－AB →＋23AB →－AB →＝b －43a ，故选C.5．如图，在△ABC 中，|BA →|＝|BC →|，延长CB 到D ，使AC →⊥AD →，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由题意可知，B 是DC 的中点，故AB →＝12(AC →＋AD →)，即AD →＝2AB →－AC →，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.6．在△ABC 中，D 为边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 因为AD →＝2DB →，所以AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)．在△ACD 中，因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.答案 2解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.8．[2017·泉州四校联考]设e 1，e 2是不共线的向量，若AB →＝e 1－λe 2，CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．答案 2解析 ∵CB →＝2e 1＋e 2，CD →＝3e 1－e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝(3e 1－e 2)－(2e 1＋e 2)＝e 1－2e 2，若A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，存在μ∈R 使得AB →＝μBD →，即e 1－λe 2＝μ(e 1－2e 2)，由e 1，e 2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.9．[2017·合肥模拟]已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，求实数λ的值．解 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0, 故λ＝－12.10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，∠AOB ＝90°，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求mn的值．解 如图所示，因为OB ⊥OA ，不妨设|OC →|＝2，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，所以四边形ODCE 是矩形，OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.因为|OC →|＝2，∠COD ＝30°，所以|DC →|＝1，|OD →|＝ 3. 又因为|OB →|＝3，|OA →|＝1，所以OD →＝3OA →，OE →＝33OB →，OC →＝3OA →＋33OB →，此时m ＝3，n ＝33，所以m n ＝333＝3. [B 级 知能提升](时间：20分钟)11．如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC →＝AB →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →C ．AO →＝12AB →＋12AD →D ．AE →＝53AB →＋AD →答案 D解析 由向量的加法和减法，知道A 、B 正确；由中点公式知道C 正确，而△DNE ∽△BNA ，所以DE BA ＝DN NB ＝13，所以AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13AB →，故D 错误．12．[2014·福建高考]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A ．OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →答案 D解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.13. 如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 以OC 为对角线，OA →，OB →的方向为边的方向作平行四边形ODCE (图略)． 由已知，得∠COD ＝ 30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°. 在Rt △OCD 中，|OC →|＝23，|OD →|＝|OC →|cos30°＝4.在Rt △OCE 中，|OE →|＝|OC →|tan30°＝2.OD →＝4OA → ，OE →＝2OB →.因为OC →＝OD →＋OE →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2. 所以λ＋μ＝6.14．设点O 在△ABC 内部，且有4OA →＋OB →＋OC →＝0，求△ABC 与△OBC 的面积之比．解 取BC 的中点D ，连接OD ， 则OB →＋OC →＝2OD →，∵4OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴4OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →， ∴OA →＝－12OD →.∴O 、A 、D 三点共线，且|OD →|＝2|OA →|， ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点， ∴S △ABC ∶S △OBC ＝3∶2.。
2018年高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题4平面向量学案
专题四 平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第12页)1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.图4－13 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin (180°－α－∠OCD ) ＝sin (α＋∠OCD )＝45，即n7210＝m22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n2，cos ∠AOB ＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35， 则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.] 2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图4－278[由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →) ＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →)＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.]3．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为______．－3 [∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.]4．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.]5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.【导学号：56394021】图4－322 [由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.] [命题规律]平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第12页) [第1步▕ 核心知识再整合]1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】 (ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝3332，则AB 的长为________．[解析] 根据条件：AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(BC →＋CE →) ＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋AD →2＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝3332. ∴16|AB →|2－8|AB →|＋1＝0，解得|AB →|＝14.故答案为14.[答案] 14[规律方法] 向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”． [举一反三](江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)如图4－4，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝________.(用AB →和AD →表示)图4－412AB →－23AD → [EF →＝ED →＋DA →＋AB →＋BF →＝12CD →＋DA →＋AB →＋13BC →＝－12AB →－AD →＋AB →＋13AD →＝12AB →－23AD →.]【例2】 (1，x )，c ＝a ＋3b ，若a ∥c ，则实数x 的值是________.【导学号：56394022】[解析] 由题意得(1，－4)∥(－2，－4＋3x )⇒8＝－4＋3x ⇒x ＝4. [答案] 4[规律方法] 向量a ，b (a ≠0)共线的充要条件是b ＝λa ，λ∈R ，用坐标表示就是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. [举一反三](2017届高三七校联考期中考试)如图4－5，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.图4－5－2 [AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD → ＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2.]【例3】 (＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →，若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．[解析] AD →＝13AB →⇒|AD →|＝1，|DB →|＝2；DB →·DC →＝3⇒DC →cos θ＝32，所以AC →2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322⇒|AC →|＝10.[答案]10 [规律方法] 向量a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. [举一反三](江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设平面向量a ＝(x,4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2,1)(其中x ＞0，y ＞0)，若(a －c )⊥(b －c )，则|a ＋b |的最小值为________．226 [∵a ＝(x,4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2,1)， ∴a －c ＝(x －2,3)，b －c ＝(y －2，－3)， 由(a －c )⊥(b －c )，得(x －2)(y －2)－9＝0，即xy －2(x ＋y )－5＝0.又x ＞0，y ＞0，∴2(x ＋y )＋5＝xy ≤ x ＋y24，解得x ＋y ≤－2(舍)，或x ＋y ≥10.|a ＋b |＝ x ＋y 2＋4≥104＝226.]【例4】 (2017a 和b 是起点和终点均在格点的向量，则向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是________．图4－6[解析] a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，所以2a ＋b ＝(7,0)，a －b ＝(－1，－3)，因此向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是 7，0 · －1，－3 7×10＝－1010.[答案] －1010[规律方法] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，a 2＝|a |2. [举一反三](泰州中学2017届高三上学期期中考试)在△ABC 中，(AB →－3AC →)·CB →＝0，则角A 的最大值为________．π6[由题设可得ac cos B ＋3ab cos C ＝0，即c cos B ＝－3b cos C ，也即sin C cos B ＝－3sin B cos C ，故tan C ＝－3tan B ，由于tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC ，因此3tan A tan 2B －2tan B ＋tan A ＝0，故4－12tan 2A ≥0，所以－33≤tan A ≤33，所以A max ＝π6.]，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________.【导学号：56394023】[解析] 由点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，3x ＋34，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2，3x ＋34－3，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，3x ＋34＋3， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －6)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋342－9＝116(25x 2－110x ＋57)，又AP →·BP →＋2λ＝0，∴116(25x 2－110x ＋57)＋2λ＝0， 化简得25x 2－110x ＋57＋32λ＝0，根据题意Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)＞0， 解得λ＜2，∴实数λ的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[规律方法] 平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题． [举一反三](泰州中学2016－2017年度第一学期第一 次质量检测文科)已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于________．3∶2∶1 [OA →＋2OB →＋3OC →＝0⇒－OC →＝OC ′→＝13OA →＋23OB →，所以C ′为AB 三等分点(靠近B )，如图，所以S △AOC ＝S △AOC ′；S △BOC ＝S △BOC ′；S △AOC ＝2S △BOC ′；S △AOB ＝S △AOC ′＋S △BOC ′，即△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于3S △BOC ′∶2S △BOC ′∶S △BOC ′＝3∶2∶1.][第3步▕ 高考易错明辨析]1．误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件已知|a |＝2，|b |＝3，a ，b 的夹角为45°，当向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角时，求实数λ的取值范围．[错解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，＋∞.[正解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，当向量a ＋λb 与a ＋b 方向相同时，λ＝1，即当λ＝1时，虽然(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，但向量a ＋λb 与a ＋b 夹角为0°，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，1∪(1，＋∞)．2．忽视两向量夹角的概念导致错误在△ABC 中，AB →＝(1，3)，BC →＝(3,0)，则角B 的大小为________． [错解] 因为cos B ＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，且B ∈(0，π)，所以B ＝π3.[正解] 根据向量的夹角的定义，向量AB →与BC →的夹角应是角B 补角，所以cos(π－B )＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，又π－B ∈(0，π)，所以π－B ＝π3，从而B ＝2π3.3．忽视变量取值范围导致错误如图4－7，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点，DC →＝λBD →，则AD →·BC →的取值范围为________．图4－7[错解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0,1]，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ＝1时，7λ＋1－2，所以AD →·BC→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5.[正解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0，＋∞)，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ→＋∞时，7λ＋1－2→－2取最小值32，所以AD →·BC →的取值范围为(－2,5]．———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第14页)1．(改编题)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若BO →＝12(BA →＋BC →)，则BA →与BC →的夹角为________．90° [由BO →＝12(BA →＋BC →)，故O ，A ，C 三点共线，且O 是线段AC 中点，故AC 是圆O的直径，从而∠ABC ＝90°，因此BA →与BC →的夹角为90°.]2．(改编题)△ABC 中，|AB |＝10，|AC |＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________.【导学号：56394024】37 [法一 如图， AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋λBN → ＝AB →＋λ(BA →＋AN →) ＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋13AC →＝(1－λ)AB →＋λ3AC →，AP →＝AC →＋CP → ＝AC →＋μCM → ＝AC →＋μ(CA →＋AM →) ＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋12AB →＝(1－μ)AC →＋μ2AB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，即AP →＝25AB →＋15AC →，∴|AP →|2＝125(4×|AB →|2＋2×2AB →·AC →＋|AC →|2)＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫4×100＋2×2×10×15×12＋225 ＝37，故|AP →|＝37.法二 因为B 、P 、N 三点共线，有AP →＝xAB →＋(1－x )AN →＝xAB →＋ 1－x 3AC →，同理，因为C 、P 、M 三点共线，有AP →＝yAM →＋(1－y )AC →＝y 2AB →＋(1－y )AC →，根据向量相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，1－x3＝1－y ，解得：x ＝25，y ＝45，于是，AP →＝25AB →＋15AC →.(下同法一)法三 以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系：由已知可得：C (15,0)，N (5,0)，B (5,53)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，于是BN 所在直线方程为x ＝5，CM 所在直线方程为y ＝－35(x －15)， 解得P (5,23)，故|AP |＝52＋ 23 2＝37.]3．(新颖题)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________．[2,3] [由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0，2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.]4．(原创题)△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是________．[－5,2] [∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，(0≤λ≤1)． ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， ∴AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1.∴AD →·BC →＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AC →－AB →)＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2＝－(2λ－1)－4λ－λ＋1＝－7λ＋2. ∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]． ∴AD →·BC →的取值范围是[－5,2]．]。
2018年高考数学(文)二轮复习：1.4-平面向量题专项练ppt课件(含答案)
-6一、选择题 二、填空题
3.(2017 北京海淀一模,文 6)在△ABC 上,点 D 满足������������ =2������������ − ������������ ,则
B. ������������
解析:因为D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,
所以������������ + ������������=- (������������ + ������������)- (������������ + ������������ )=- (������������ + ������������)= (������������ + ������������ )= ×2������������ = ������������ ,故选 A.
1.4 平面向量题专项练
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1.平面向量的两个定理及一个结论 (1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实 数λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底. (3)三点共线的充要条件:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,使
( D ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
解析:������������ =2������������ − ������������ = ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������,如图, 作������������' = ������������,连接 AD',则������������ + ������������ = ������������ + ������������' = ������������' = ������������ ,
高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案
高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案4、4 平面向量的应用学考考查重点1、考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2、考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题、本节复习目标1、掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2、体会数形结合思想，重视向量的工具性作用、教材链接自主学习1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0、(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0、(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)、2、平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式、在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题、此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质、基础知识自我测试1、平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____、2、已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c ＝(cos α，sin α)，α∈R，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________、3、已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上的两点，且||＝，则等于()A、－B、C、0D、4、 a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)为一次函数”的()A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题型分类深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4、向量＝x＋y (x，y∈R)，且a22＋b22＝1、(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求||的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值、变式训练1: 在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△P AB与△ABC的面积之比是 ( )A、B、C、D、题型二平面向量与三角函数的交汇例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量、(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小、变式训练2 :△ABC 的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________、题型三平面向量与解析几何的综合问题例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且＝0、(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求的最小值、变式训练3 :已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程、题型四直击高考例4 已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n、(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cos B＝，求b的长、变式训练4：（1）（xx辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c。
2018届高考数学二轮复习(理)专题一 1.3 平面向量与复数 新课标 课件
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∵ ������������ = ������������ + ������������ , ������������=3������������ ,∴ ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + (������������ − ������������ A )=-3 ������������ + 3 ������������ .
2 +������ ������������ -������������ ������������ +λ(������������ − ������������ )=������������ 3 点,若 ������������ =m������������ + ������������ ,则实数 m 的值是 . 9 ������ 1 =(1-λ)������������ + ������������ . 3 (2)已知 A ,B,C 为圆 O 上的三点,若������������ = (������������ + ������������ ),则������������ 与������������ 2 ������ 2 2 因为 = ,所以 λ= , . 的夹角为
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试题统计 (2016 全国Ⅰ,理 2) (2016 全国Ⅰ,理 13) (2016 全国Ⅱ,理 1) (2016 全国Ⅱ,理 3) (2016 全国Ⅲ,理 2) (2016 全国Ⅲ,理 3) (2017 全国Ⅰ,理 3) (2017 全国Ⅰ,理 13) (2017 全国Ⅱ,理 1) (2017 全国Ⅱ,理 12) (2017 全国Ⅲ,理 2) (2017 全国Ⅲ,理 12)
2018届高考数学(全国通用)二轮复习基础小题精品讲义 第4讲 平面向量
第4讲 平面向量[明考情]向量是高考的必考考点，难度不大，一般以选择、填空题的形式考查，也会与三角函数、解析几何知识交汇命题. [知考向]1.平面向量的线性运算.2.平面向量的数量积.3.平面向量的综合应用.考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘. (2)共线向量定理. (3)平面向量基本定理.方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决. 1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.又B ，N ，P 三点共线， ∴m ＝13.3.在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x 等于( )A.－2B.－4C.－3D.－1 答案 D解析 ∵a －12b ＝(3，1)，∴a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)，∴2a ＋b ＝(－2，6). 又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，解得x ＝－1.4.已知AB ，DC 为梯形ABCD 的两腰，若AD →＝(－1，3)，BC →＝(1－x ，2x )，则x ＝______. 答案 3解析 由梯形的性质知，AD →∥BC →，且同向， 则－1·2x －3(1－x )＝0，解得x ＝3.5.在△ABC 中，点M 是线段BC 延长线上一点，且满足|BM |＝3|CM |，若AM →＝xAB →＋yAC →，则x －y ＝________. 答案 －2解析 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋12BC →，BC →＝AC →－AB →，所以AM →＝AC →＋12(AC →－AB →)＝32AC →－12AB →，所以x ＝－12，y ＝32，则x －y ＝－2.考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)|a |2＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a ||b |. 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法. (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.6.已知三点A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，4)，则向量BC →在向量BA →方向上的投影为( ) A.55B.－55C.21313D.－21313答案 A解析 BC →＝(－2，3)，BA →＝(－4，－2)，向量BC →在向量BA →方向上的投影为BC →·BA →|BA →|＝－2×(－4)＋3×(－2)(－4)2＋(－2)2＝55，故选A. 7.(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥b D.|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则. 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.8.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 A解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32.又∵0°≤∠ABC ≤180°， ∴∠ABC ＝30°.9.已知在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|BC →|＝2且|AC →|＝1，则函数f (t )＝|tAB →＋(1－t )AC →|的最小值为( )A.12B.32C.233D. 3 答案 B解析 由|AB →＋AC →|＝|BC →|＝|BA →＋AC →|＝2及|AC →|＝1知，在△ABC 中，∠A ＝90°，|AB →|＝3，则f 2(t )＝t 2AB →2＋2t (1－t )AB →·AC →＋(1－t )2AC →2＝4⎝⎛⎭⎫t －142＋34， 故当t ＝14时，f (t )min ＝32.10.(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________. 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2，0)，P (x ，y ).由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x ，0). AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQAP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1，1]. 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2，0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)， AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1，0)时“＝”号成立. 考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.11.向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.13B.－13C.－23D.－223 答案 B 解析 ∵a ∥b ， ∴tan α·cos α＝13.∴sin α＝13.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－13. 12.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →等于( )A.6B.4C.－4D.－6 答案 A解析 由y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，得π4x －π2＝k π， 解得x ＝4k ＋2，由题图得A (2，0). 由y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，得π4x －π2＝k π＋π4，解得x ＝4k ＋3.由题图得B (3，1). 所以OA →＋OB →＝(5，1)，AB →＝(1，1). 所以(OA →＋OB →)·AB →＝5×1＋1×1＝6.13.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2).已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是( ) A.2 2 B.23 C.2 D.4答案 D解析 设点P (x 0，cos x 0)，点Q (x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0 ＝⎝⎛⎭⎫12x 0，4cos x 0＋⎝⎛⎭⎫π6，0＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0， 所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0. 由向量的坐标运算，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，解得y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，π3， 由余弦函数的单调性知，当2x －π3＝0即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值4.14.(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________. 答案311解析 由题意知，|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 15.(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是__________. 答案 [0，1＋2]解析 由题意知y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆. 设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)， 所以BP →·BA →＝cos α＋sin α＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1∈[0，1＋2]， 所以BP →·BA →的取值范围是[0，1＋2].1.对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.|a －b |≤||a |－|b || C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2答案 B解析 选项B 中，当向量a ，b 反向及不共线时， 有|a －b |＞|||a |－|b |，故B 中关系式不恒成立.2.已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( ) A.k ＝－2 B.k ＝12C.k ＝1D.k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线， ∴AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1). ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎫－53，0∪()0，＋∞ 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)， 由a ·(a ＋λb )＞0，可得λ＞－53.又a 与a ＋λb 不共线，∴λ≠0. 故λ＞－53且λ≠0.4.在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是____________.(填序号) ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AB →·BC →＞0，则△ABC 为锐角三角形. 答案 ②③解析 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →＞0，则B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质. (2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC 中，AB →和BC →的夹角为π－B ；向量a ，b 的夹角为锐角要和a ·b ＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.已知向量a 和b 满足a ＝(2，5)，|b |＝1，且a ＋λb ＝0，则λ的值为( ) A.2B.±2C.±3D.3 答案 C解析 由已知得a ＋λb ＝0， 得a ＝－λb ，故|λ|＝|a||b |＝3，故λ的值是±3，故选C.2.设向量a ＝(－2，1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3，1)，若(a ＋b )⊥c ，则cos 〈a ，b 〉等于( ) A.－35B.35C.55D.－255答案 D解析 由(a ＋b )⊥c ，可得m ×3＋(－3)×1＝0， 解得m ＝1，所以a ＋b ＝(1，－3)， 故b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－4).所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－2×3＋1×(－4)(－2)2＋12×32＋(－4)2＝－255，故选D.3.设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A.2B.1C.12D.13答案 B解析 设AB 的中点为D ，∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴O 为中线CD 的中点， ∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等， ∴△AOC 与△AOB 的面积之比为1∶2， 同理△BOC 与△AOB 的面积之比为1∶2， ∴△AOC 是△ABC 面积的14，∴△AOC 的面积为1.4.在平面直角坐标系内，OA →＝(1，4)，OB →＝(－3，1)，且OA →与OB →在直线l 的方向向量上的投影长度相等，则直线l 的斜率为( ) A.－14B.25C.25或－43D.52答案 C解析 直线l 的一个方向向量可设为l ＝(1，k )， 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·l |l |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·l |l |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |， 解得k ＝25或k ＝－43.5.已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( ) A.255B.2C.5D.2 5 答案 C解析 由题意得AB →⊥BC →，AD →⊥DC →，故点B ，D 都在以AC 为直径的圆上.又|AC →|＝5， ∴|BD →|的最大值为 5.6.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π； p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3； p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π， 其中的真命题是( )A.p 1，p 4B.p 1，p 3C.p 2，p 3D.p 2，p 4 答案 A解析 由||a ＋b ＞1，可得cos θ＞－12，∴θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3. 由|a －b |＞1，可得cos θ＜12，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 故p 1，p 4正确.7.已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则2sin2θ＋cos 2θ的值为( ) A.1B.2C.95D.3答案 C解析 由已知可得a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以2sin2θ＋cos 2θ＝4sin θcos θ＋cos 2θ＝4sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ＋1tan 2θ＋1＝8＋14＋1＝95.8.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21 答案 A解析 以点A 为原点，AB →，AC →所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)， ∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当1t＝4t ，即t ＝12时取“＝”， ∴PB →·PC →的最大值为13.故选A.9.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2) 解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2). 10.已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎤0，233 解析 如图，由正弦定理，得|β|sin60°＝|α|sin θ(0°＜θ＜120°)， ∴|α|＝233sin θ， ∴0＜|α|≤233. 11.(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.答案 78解析 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝4，(a ＋b )·(－a ＋b )＝－1， 得b 2＝58，a 2＝138. ∴BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝－a 2＋4b 2＝－138＋4×58＝78. 12.如图，给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，点C 在以O 为圆心的劣弧 AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则xy 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 若以OA →为x 轴正方向，OB →为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则有A (1，0)，B (0，1).因为OC →＝xOA →＋yOB →，所以C (x ，y )，且x 2＋y 2＝1(x ，y ≥0).又x 2＋y 2＝1≥2xy ，所以0≤xy ≤12.。
2018年高考数学总复习教材复习课“平面向量”相关基础知识课件理
1．向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得
__b_＝__λ_a___.
2．平面向量的基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一 平面内的任意向量 a，有且只有 一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底．
答案：D
2．设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使|aa|＋|bb|＝0 成
立的是
()
A．a＝2b
B．a∥b
C．a＝－13b
D．a⊥b
解析： “|aa|＋|bb|＝0，且 a，b 都是非零向量”等价于“非零
向量 a，b 共线且反向”，故答案为 C.
答案：C
向量共线定理及平面向量基本定理
1．(2017·大连双基测试)给出下列四个命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①错误，两向量是否共线是要看Fra bibliotek方向而不是起点或终
∴λ1＝＝mm，μ， ∴λμ＝1，故选 D. 答案：D
2．(2017·南宁模拟)已知 e1，e2 是不共线向量，a＝me1＋2e2，b ＝
ne1－e2，且 mn≠0，若 a∥b，则mn 等于
()
A．－12
B．12
C．－2
D．2
解 析 ： ∵ a∥b ， ∴ a ＝ λb ， 即 me1 ＋ 2e2 ＝ λ(ne1 － e2) ， 则
2018届高三数学二轮复习课件：专题一1.2平面向量
二轮数 学· 理
第一部分 题密码
专题突破——破译命
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
→ → (1)已知 a、b 是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ、μ∈R)，当 A、B、C 三点共线时，λ 的取值不可能为( A．1 C．－1 B．0 D．2 )
→ → → (2)(2017· 江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1,1， → → → → → → → 2，OA与OC的夹角为 α，且 tan α＝7，OB与OC的夹角为 45° .若OC＝mOA＋nOB (m，n∈R)，则 m＋n＝________.
(2)法一： 以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则 A(1,0)， 由 tan
π α＝7，α∈0，2，得 sin
α＝
，cos α＝ ，设 C(xC，yC)，B(xB，yB)， 5 2 5 2
7
1
1 7 1 1 7 7 → → 则 xC＝|OC|cos α＝ 2× ＝5，yC＝|OC|sin α＝ 2× ＝5，即 C5，5.又 cos(α 5 2 5 2
二轮数 学· 理
第一部分 题密码
专题突破——破译命
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
→ → → 2．设 D，E，F 分别是△ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且DC＝2BD，CE → → → → → → → ＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC( A．反向平行 C．互相垂直 )
二轮数 破——破译命
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
◎ 变式训练 1．已知向量 a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)” 的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件 B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2018年浙江高考数学二轮复习教师用书：第1部分 重点强化专题 专题1 突破点3 平面向量 Word版含答案
突破点3 平面向量(对应学生用书第14页)[核心知识提炼]提炼1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 提炼2 数量积常见的三种应用已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)求向量的长度：|a |＝a·a ＝x 21＋y 21. (3)求向量的夹角：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA →＝λOB →＋μOC →，且λ＋μ＝1. (2)C 是线段AB 中点的充要条件是OC →＝12(OA →＋OB →)．(3)G 是△ABC 的重心的充要条件为GA →＋GB →＋GC →＝0，若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.(4)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PA →·PC →⇔P 为△ABC 的垂心．(5)非零向量a ，b 垂直的充要条件：a⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a ＋b|＝|a －b|⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (6)向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ＝a·b|a |， 向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ＝a·b|b|. [高考真题回访]回访1 平面向量的线性运算1．(2018·浙江高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．4 25 [设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b2＋a －b2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]， ∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．] 2．(2018·浙江高考)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2D [由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a－b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.]3．(2018·浙江高考)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )【导学号：68334048】A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定B [|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定．] 回访2 平面向量的数量积及其应用4．(2018·浙江高考)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P, 恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BCD [A 项，若∠ABC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|cos ∠BPC ＝|PB →|2，P 0B →·P 0C →＝|P 0B →|2.当点P 落在点P 0的右侧时，|PB →|2＜|P 0B →|2，即PB →·PC →＜P 0B →·P 0C →，不符合；B 项，若∠BAC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|cos ∠BPC ＝－|PB →|·|PA →|，P 0B →·P 0A →＝－|P 0B →||P 0A →|＝－3.当P 为AB 的中点时，PB →·PC →＝－4， PB →·PC →＜P 0B →·P 0C →，不符合；C 项，若AB ＝AC ，假设∠BAC ＝120°，如图，则AC ′＝2，PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|cos ∠BPC ＝－|PB →||PC ′→|，P 0B →·P 0C →＝|P 0B →||P 0C →|cos ∠BP 0C ＝－|P 0B →||P 0C ′→|＝－5.当P 落在A 点时，－|PB →||PC ′→|＝－8，所以PB →·PC →＜P 0B →·P 0C →，不符合．故选D.]5．(2018·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________. 【导学号：68334049】7 [∵a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×2×cos〈a ，b 〉＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.以a 的起点为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则a ＝(1,0)，b ＝(1，3)． 设e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋|3sin θ| ＝2|cos θ|＋3|sin θ| ≤θ|2＋|sin θ|22＋＝7.]6．(2018·浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.233 [∵e 1·e 2＝12， ∴|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1>0，∴〈b ，e 1〉＝〈b ，e 2〉＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.]7．(2018·浙江高考)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 2 [根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b |2＝x 2x e 1＋y e 22＝x 2x e 12＋y e 22＋2xy e 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋3y x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋322＋14.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫yx ＋322＋14≥14，所以0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ||b|2≤4，所以0＜|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.](对应学生用书第15页) 热点题型1 平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等. 【例1】 (1)(2018·杭州第二次调研)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2.若AP →＝16AD →＋56AB →，则|BC →＋tPB →|(t ∈R )的取值范围是( )【导学号：68334050】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，＋∞ B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，1 D ．[1，＋∞)(2)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118(1)A (2)B [(1)以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系(图略)，则D (0,1)，B (2,0)，C (1,1)，设P (x ，y )，由AP →＝16AD →＋56AB →得(x ，y )＝16(0，1)＋56(2,0)，x ＝53，y ＝16，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，16， ∴PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－16，BC →＝(－1,1)，即|BC →＋tPB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 62＝536t 2－t ＋2≥55，当且仅当t ＝185时等号成立，故选A.(2)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.][方法指津]1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．[变式训练1] (1)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(x,4)，若(a －b )⊥c ，则c·(a ＋b )＝( )A ．(2,12)B ．(－2,12)C ．14D ．10(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn＝__________. 【导学号：68334051】(1)C (2)－2 [(1)易知a －b ＝(－4,1)，由(a －b )⊥c ，可得(－4)×x ＋1×4＝0，即－4x ＋4＝0，解得x ＝1， ∴c ＝(1,4)．而a ＋b ＝(2,3)，∴c·(a ＋b )＝1×2＋4×3＝14.故选C.(2)∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得m n＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题题型分析：平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件. 【例2】 (名师押题)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围．[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，2分 ∴tan x ＝－34，4分 ∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. 6分 (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32，8分由正弦定理得a sin A ＝bsin B，可得sin A ＝22. 9分 ∵b ＞a ，∴A ＝π4，10分 y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12.13分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12，∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.15分[方法指津]平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式，多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合，计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点．[变式训练2] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， 4分 ∴tan x ＝1.6分(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，8分∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.12分又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.15分。
2018年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 突破点3 平面向量 精品
心
知
识
·
聚
焦
专
题
专题一 三角函数与平面向量
限 时
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热 点
突破点 3 平面向量
训
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型
·
探
究
平面向量共线、垂直的两个充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔__x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0__. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔__x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0__.
数量积常见的三种应用
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)证明向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的长度：|a|＝___a_·_a__＝___x_21_＋__y_21 . a·b
x1x2＋y1y2
(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝__|_a_||_b_| _＝___x_21＋__y_12_·__x_22＋__y_22_.
＝
3 2 sin
2x＋12－12cos
2x7
分
＝sin2x－π6＋12.8 分
将 f(x)图象向左平移π6个单位得到函数 g(x)＝sin2x＋π6＋12.10 分 因为 x∈0，π2，所以 2x＋π6∈π6，76π， 从而当 2x＋π6＝π2即 x＝π6时，sin2x＋π6取最大值 1，11 分 所以 x＝π6时，g(x)的最大值为32.12 分
即 λa＋b＝ta＋2tb，∴λ1＝＝t2，t， 解得tλ＝＝1212.，
]
回访 2 平面向量的数量积
3．(2015·山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝
[推荐学习]高考数学二轮复习 平面向量1学案 理
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二轮复习专题：平面向量§1平面向量的基本概念和运算【学习目标】1.理解平面向量的基本概念2.掌握向量的线性运算，并理解其几何意义3.理解平面向量的两个定理，会用坐标表示平面向量的线性运算和共线条件4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：平面向量的线性运算（数形方面的不同处理）、两个基本定理的应用。
【高考方向】1.向量的线性运算、共线问题。
2.向量的坐标运算尤其是向量共线的坐标表示。
【课前预习】：一、知识网络构建1.平面向量的有关概念有哪些？2.平面向量的线性运算3.平面向量的两个基本定理4.平面向量的坐标表示和坐标运算二、高考真题再现[2014·浙江卷] 记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+三、基本概念检测1．下列命题正确的是__________①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 ②若a b =，则a b =或a b =- ③若AB DC =,则ABCD 为平行四边形 ④若a b ，b c ，则a c2．已知向量a 、b 满足||1a =，(2,1)b =，且0a b λ+=（R λ∈），则||λ= .3.在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．1e ＝(0,0)，2e ＝(1,2) B ．1e ＝(－1,2)，2e ＝(5，－2) C ．1e ＝(3,5)，2e ＝(6,10) D ．1e ＝(2，－3)，2e ＝(－2,3)4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)、(1,-5)，求第四个顶点的坐标【课中研讨】：例1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在线段BC 外，216BC =,AB AC AB AC +=-,求AM例2．设(1,2)OA =-,(,1)OB a =-,(,0)OC b =-,a>0,b>0,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b +的最小值是__________。
2018年江苏高考数学二轮复习教师用书第1部分 知识专题突破 专题4 平面向量 Word版含答案
专题四平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第页)．(·江苏高考)如图－，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，与的夹角为α，且α＝，与的夹角为°.若＝＋(，∈)，则＋＝.图－[法一因为α＝，所以α＝，α＝.过点作∥交的延长线于点，则＝＋，∠＝°.又因为＝＋，所以＝，＝，所以＝，＝.在△中，由正弦定理得α)＝＝，因为∠＝(°－α－∠)＝ (α＋∠)＝，即＝＝，所以＝，＝，所以＋＝.法二由α＝可得α＝，α＝，则＝＝，由∠＝可得＝＝，∠＝ (α＋°)＝α°－α°＝×－×＝－，则·＝－，则－＝，－＋＝，则＋＝，则＋＝.]．(·江苏高考)如图－，在△中，是的中点，，是上的两个三等分点，·＝，·＝－，则·的值是．图－[由题意，得·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝－，①·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝.②由①②得＝，＝.∴·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋)＝－＝－＝×－＝.]．(·江苏高考)已知向量＝()，＝(，－)，若＋＝(，－)(，∈)，则－的值为．－[∵＋＝(＋，－)＝(，－)，∴(\\(＋＝，－＝－，))∴(\\(＝，＝，))∴－＝－＝－.]．(·江苏高考)设，分别是△的边，上的点，＝，＝.若＝λ＋λ(λ，λ为实数)，则λ＋λ的值为．[由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ＝－，λ＝，故λ＋λ＝.] ．(·江苏高考) 如图－，在平行四边形中，已知＝，＝，＝，·＝，则·的值是.【导学号：】图－[由＝，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝，所以·＝，即－·－＝.又因为＝，＝，所以·＝.][命题规律]平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．。
河北省石家庄市复兴中学2018届高考数学复习平面向量基本概念 学案
2.1平面向量基本概念教学案班级姓名小组号【学习目标】1、 了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量2、 理解向量的概念，相等向量的概念及向量的几何表示3、 掌握向量的概念及共线向量的概念 【教学重点】1. 运用旧知等知识方法解决一些三角函数的综合问题。
【自主学习探究】阅读教材第74—76页，回答以下问题：1.我们把既有又有的量叫做向量。
如：力、位移、速度、加速度等。
2.我们把的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作。
注意起点一定写在终点的前面，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作。
有向线段包括三个要素：、、。
3.向量可以用有向线段来表示，向量的大小，也就是向量的长度（或称模）记作。
4.向量的两种表示:几何表示和字母表示5.向量的几个特殊概念:零向量: 单位向量: 相等向量:平行向量(共线向量): 注：零向量与任意向量平行。
反思1、”零向量没有方向”的说法正确么?反思2、所有单位向量都相等”说法正确吗?反思3、向量平行CD AB //与直线平行CD AB //有什么区别与联系？【课堂精讲】例1.判断下列命题是否正确：（1）若a //b ，则a 与b的方向相同或相反；（2）AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；（3）|a |=|b |，a ，b 不一定平行；若//a b ，|a |不一定等于|b |；（4）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
（5）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．（6）若a 与b 平行同向,且a ＞b，则a ＞b例2.给出下列六个命题：其中不正确的是命题个数是（）○1两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；○2若|a |=|b |，则a =b； ○3若AB =DC，则四边形ABCD 是平行四边形； ○4平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC；○5若m n = ，n k = ，则m k = ； （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5例3.如右图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，写出与→→→FD EF DE 、、相等的向量．例4.如图，已知四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，又DC AB =。
2018版高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法导学案新人教A版必修4_132
平面几何中的向量方法学习目标.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题.知识点一几何性质及几何与向量的关系设＝(，)，＝(，)，，的夹角为θ.思考证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：∥⇔＝λ⇔－＝(≠).思考证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量垂直的相关知识：⊥⇔·＝⇔＋＝.梳理平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题..通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题..把运算结果“翻译”成几何关系.类型一用平面向量求解直线方程例已知△的三个顶点(，－)，(，)，(－，)，点，，分别为边，，的中点.()求直线，，的方程；()求边上的高线所在的直线方程.解()由已知得点(－，)，(－，－)，(，－)，设(，)是直线上任意一点，则∥.＝(＋，－)，＝(－，－).∴(－)×(＋)－(－)×(－)＝，即－＋＝为直线的方程.同理可求，直线，的方程分别为＋＋＝，＋＝.()设点(，)是所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝.又＝(＋，－)，＝(，).∴(＋)＋(－)＝，即＋＋＝为所求直线的方程.反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练在△中，(，)，(，)，(－，)，求∠的平分线所在的直线方程.解＝(，)，＝(－，)，∠的平分线的一个方向向量为＝＋＝＋＝.设(，)是角平分线上的任意一点，∵∠的平分线过点，∴∥，∴所求直线方程为－(－)－(－)＝.整理得＋－＝.类型二用平面向量求解平面几何问题例已知在正方形中，、分别是、的中点，、交于点.求证：()⊥；()＝.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设＝，则(，)，(，)，(，)，(，)，(，).()∵＝(－，)，＝(－，－).∴·＝(－)×(－)＋×(－)＝，∴⊥，即⊥.。
2018届高三数学二轮题复习课件：-平面向量
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x，
∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6＝0. ∵0≤x≤π，∴π6≤x＋π6≤76π，∴x＋π6＝π，∴x＝56π. (2)f(x)＝a·b＝3cos x－ 3sin x＝－2 3sinx－π3. ∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，23π，∴－ 23≤sinx－π3≤1， ∴－2 3≤f(x)≤3，
＝－3
2
3，则向量
a，b
π 的夹角为___6_____.
解析 (1)建立如图所示坐标系，则 B1t ，0，C(0， t)，A→B＝1t ，0，A→C＝(0，t)，
→→
→ 则AP＝
AB →
＋4→AC＝t1t ，0＋4t (0，t)＝(1，4).
|AB| |AC|
∴点 P(1，4)， 则P→B·P→C＝1t －1，－4·(－1，t－4)
【训练 2】 (1)(2015·福建卷)已知A→B⊥A→C，|A→B|＝1t ，|A→C|＝t，若点 →→
→ AB 4AC → → P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP＝ → ＋ → ，则PB·PC的最
|AB| |AC|
大值等于( A )
A.13
B.15
C.19
D.21
(2)(2017·郴州二模)已知 a，b 均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)
（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
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专题四 平面向量———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第12页)1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.图4－13 [法一 因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin (180°－α－∠OCD ) ＝sin (α＋∠OCD )＝45，即n7210＝m22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n2，cos ∠AOB ＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35， 则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.] 2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．图4－278[由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →) ＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.]3．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为______．－3 [∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3.]4．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.]5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.图4－322 [由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.] [命题规律]平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第12页) [第1步▕ 核心知识再整合]1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[第2步▕ 高频考点细突破]＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋AD →2＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝3332. ∴16|AB →|2－8|AB →|＋1＝0，解得|AB →|＝14.故答案为14.[答案] 14[规律方法] 向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”． [举一反三]图4－412AB →－23AD → [EF →＝ED →＋DA →＋AB →＋BF →＝12CD →＋DA →＋AB →＋13BC →＝－12AB →－AD →＋AB →＋13AD →＝12AB →－23AD →.]3b ，若a ∥c ，则实数x 的值是________.[解析] 由题意得(1，－4)∥(－2，－4＋3x )⇒8＝－4＋3x ⇒x ＝4. [答案] 4[规律方法] 向量a ，b (a ≠0)共线的充要条件是b ＝λa ，λ∈R ，用坐标表示就是a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. [举一反三](2017届高三七校联考期中考试)如图4－5，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.图4－5－2 [AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD → ＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2.]AD →＝13AB →，若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．[解析] AD →＝13AB →⇒|AD →|＝1，|DB →|＝2；DB →·DC →＝3⇒DC →cos θ＝32，所以AC →2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋322＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322⇒|AC →|＝10.[答案]10 [规律方法] 向量a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. [举一反三]226 [∵a ＝(x,4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2,1)， ∴a －c ＝(x －2,3)，b －c ＝(y －2，－3)， 由(a －c )⊥(b －c )，得(x －2)(y －2)－9＝0，即xy －2(x ＋y )－5＝0.又x ＞0，y ＞0，∴2(x ＋y )＋5＝xy ≤x ＋y24，解得x ＋y ≤－2(舍)，或x ＋y ≥10.|a ＋b |＝x ＋y 2＋4≥104＝226.]点和终点均在格点的向量，则向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是________．图4－6[解析] a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，所以2a ＋b ＝(7,0)，a －b ＝(－1，－3)，因此向量2a ＋b 与a －b 的夹角余弦值是，－1，－7×10＝－1010. [答案] －1010[规律方法] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，a 2＝|a |2. [举一反三]π6[由题设可得ac cos B ＋3ab cos C ＝0，即c cos B ＝－3b cos C ，也即sin C cos B ＝－3sin B cos C ，故tan C ＝－3tan B ，由于tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tanC ，因此3tan A tan 2B －2tan B ＋tan A ＝0，故4－12tan 2A ≥0，所以－33≤tan A ≤33，所以A max ＝π6.][解析] 由点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，4，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2，3x ＋34－3，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6，3x ＋34＋3， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －6)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋342－9＝116(25x 2－110x ＋57)，又AP →·BP →＋2λ＝0，∴116(25x 2－110x ＋57)＋2λ＝0， 化简得25x 2－110x ＋57＋32λ＝0，根据题意Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)＞0，解得λ＜2，∴实数λ的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[规律方法] 平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题． [举一反三]3∶2∶1 [OA →＋2OB →＋3OC →＝0⇒－OC →＝OC ′→＝13OA →＋23OB →，所以C ′为AB 三等分点(靠近B )，如图，所以S △AOC ＝S △AOC ′；S △BOC ＝S △BOC ′；S △AOC ＝2S △BOC ′；S △AOB ＝S △AOC ′＋S △BOC ′，即△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于3S △BOC ′∶2S △BOC ′∶S △BOC ′＝3∶2∶1.][第3步▕ 高考易错明辨析]1．误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件已知|a |＝2，|b |＝3，a ，b 的夹角为45°，当向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角时，求实数λ的取值范围．[错解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，＋∞.[正解] a ·b ＝|a ||b |cos 45°＝3，因为向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角，所以(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，由(a ＋λb )·(a ＋b )＝a 2＋(λ＋1)a ·b ＋λb 2＝12λ＋5＞0，得λ＞－512，当向量a ＋λb 与a ＋b 方向相同时，λ＝1，即当λ＝1时，虽然(a ＋λb )·(a ＋b )＞0，但向量a ＋λb 与a ＋b 夹角为0°，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－512，1∪(1，＋∞)．2．忽视两向量夹角的概念导致错误在△ABC 中，AB →＝(1，3)，BC →＝(3,0)，则角B 的大小为________． [错解] 因为cos B ＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，且B ∈(0，π)，所以B ＝π3.[正解] 根据向量的夹角的定义，向量AB →与BC →的夹角应是角B 补角，所以cos(π－B )＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝32×3＝12，又π－B ∈(0，π)，所以π－B ＝π3，从而B ＝2π3.3．忽视变量取值范围导致错误如图4－7，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝1，AC ＝2，D 为BC 边上一点，DC →＝λBD →，则AD →·BC →的取值范围为________．图4－7[错解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0,1]，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ＝1时，7λ＋1－2，所以AD →·BC→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5.[正解] AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－1，BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋1λ＋1BC →＝λλ＋1AB →＋1λ＋1AC →，AD →·BC →＝1λ＋1AC →2－λλ＋1AB →2＋λ－1λ＋1AB →·AC →＝5－2λλ＋1＝7λ＋1－2，因为DC →＝λBD →，所以λ∈[0，＋∞)，当λ＝0时，7λ＋1－2取最大值5，当λ→＋∞时，7λ＋1－2→－2取最小值32，所以AD →·BC →的取值范围为(－2,5]．———————专家预测·巩固提升———————(对应学生用书第14页)1．(改编题)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若BO →＝12(BA →＋BC →)，则BA →与BC →的夹角为________．90° [由BO →＝12(BA →＋BC →)，故O ，A ，C 三点共线，且O 是线段AC 中点，故AC 是圆O的直径，从而∠ABC ＝90°，因此BA →与BC →的夹角为90°.]2．(改编题)△ABC 中，|AB |＝10，|AC |＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________.37 [法一 如图， AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋λBN → ＝AB →＋λ(BA →＋AN →) ＝AB →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫－AB →＋13AC →＝(1－λ)AB →＋λ3AC →，AP →＝AC →＋CP → ＝AC →＋μCM → ＝AC →＋μ(CA →＋AM →) ＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC →＋12AB →＝(1－μ)AC →＋μ2AB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，即AP →＝25AB →＋15AC →，∴|AP →|2＝125(4×|AB →|2＋2×2AB →·AC →＋|AC →|2)＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫4×100＋2×2×10×15×12＋225 ＝37，故|AP →|＝37.法二 因为B 、P 、N 三点共线，有AP →＝xAB →＋(1－x )AN →＝xAB →＋－x 3AC →， 同理，因为C 、P 、M 三点共线，有AP →＝yAM →＋(1－y )AC →＝y 2AB →＋(1－y )AC →，根据向量相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，1－x3＝1－y ，解得：x ＝25，y ＝45，于是，AP →＝25AB →＋15AC →.(下同法一)法三 以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系：由已知可得：C (15,0)，N (5,0)，B (5,53)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，于是BN 所在直线方程为x ＝5，CM 所在直线方程为y ＝－35(x －15)， 解得P (5,23)， 故|AP |＝52＋32＝37.]3．(新颖题)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6.若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________．[2,3] [由AP →＋AQ →＝0知A 是PQ 的中点，设P (x ，y )，则Q (2m －x ，－y )，由题意－2≤x ≤0，2m －x ＝6，解得2≤m ≤3.]4．(原创题)△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是________．[－5,2] [∵D 是边BC 上的一点(包括端点)，11 ∴可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，(0≤λ≤1)．∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，∴AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1.∴AD →·BC →＝[λAB →＋(1－λ)AC →]·(AC →－AB →)＝(2λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋(1－λ)AC →2＝－(2λ－1)－4λ－λ＋1＝－7λ＋2.∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]．∴AD →·BC →的取值范围是[－5,2]．]。