(完整版)相似三角形几种基本模型(可编辑修改word版)

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BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
A
F
D
BEC
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E
是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同
时交直线AD于点M，那么
x
①当点
F
在线段
的延长线上时，设
=
，
=
y
，求
y
关于
的函数解析式，并写出函数的定义
CD
BPx
DF
域；
②当SDMF
9SBEP时，求BP的长．
4
D
A
A
标准文案
实用文档
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E
是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△∽△
；
（2）
BC
2
2BE C形
C
BDE
A
标准文案
EF
实用文档
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
M

相似三角形常见模型(总结材料)

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

相似三角形常见模型(地总结)

例 2：已知：如图，△ ABC中，点 E在中线 AD上, DEB 求证：（ 1） DB 2 DE DA ；（ 2） DCE
ABC ． DAC ．
A
B
D E
C
例 3：已知：如图，等腰△ ABC中， AB＝ AC， AD⊥ BC于 D， CG∥AB， BG分别交 AD、AC于 E、F．求证： BE 2 EF EG ．
A
B
5．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各已知：如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=2，AC=4， P 是斜边 AB
一个动点， PD⊥ AB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、 C都不重合），E 是射线 DC上一点，且∠ EPD=∠A．设 A、P 两点的距离为 x，△ BEP的面积为 y．
（ 1）如图 8， P 为 AD上的一点，满足∠ BPC＝∠ A．
①求证；△ ABP∽△ DPC
AP
D
②求 AP的长．
B
C
（ 2）如果点 P 在 AD边上移动（点 P 与点 A、D不重合），且满足∠ BPE＝∠ A，PE交直线 BC于点 E，
同时交直线 DC于点 Q，那么
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实用标准文案
①当点 Q 在线段 DC的延长线上时，设 AP＝ x， CQ＝ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定
长. A
D
B
C
E
2、已知：如图，在 Rt △ ABC中， AB=AC，∠ DAE=45°．
求证：（ 1）△ ABE∽△ ACD；
（ 2） BC 2 2BE CD ．
A
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一线三等角型相似三角形
B

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的根本模型〔一〕 A 字型、反 A 字型〔斜 A 字型〕〔平行〕〔不平行〕〔二〕 8 字型、反 8 字型AA BBO JC DC D〔蝴蝶型〕〔平行〕〔不平行〕〔三〕母子型〔四〕一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如下图：〔五〕一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角〞中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的根本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

〔六〕双垂型：二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到8 字型拓展AE FGB C共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题〔 1〕母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE∥ CD 交 CA 延长线于 E．求证： OC 2OA OE．例 2：：如图，△ABC 中，点 E 在中线 AD 上 ,DEBABC ．求证：〔 1〕DB2DE DA ；〔2〕 DCE DAC ．BDEA C例 3：：如图，等腰△ABC 中， AB＝ AC，AD⊥ BC 于 D， CG∥ AB， BG 分别交 AD 、 AC 于 E、 F．求证： BE 2EF EG ．1、如图，AD 为△ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线．求证：FD2FB FC．2、： AD 是 Rt△ABC 中∠ A 的平分线，∠ C=90°，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M ，EF、BC 的延长线交于一点 N。

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相似三角形经典模型总结【精选例题】 “平行型”【例 1】如图，EEJ / FFJ / MM 1，若 AE EF FM MB ,•则S AE® :瓯边形EE^F：乐边形FF 1M 1M :乐边形MM 1CB -----------------------------------------经典模型斜交型平行型斜交型双垂直斜交型平行型一般特殊翻折180°平移双垂直平移特殊一般旋转180°一般特殊翻折180°翻折180°1C【例4】已知：在ABC中，D为AB中点,BF求的值EFE为AC上一点，且AEEC2, BE、CD相交于点F，【例2】如图，AD// EF// MN // BC ,若AD 9 , BC 18 , AE:EM:MB 2:3:4，则EF ______ , MN _______长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H【例3】已知, P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD , BC , CD的延NCPE PH 求证：PF PG1 1【例5】已知：在ABC中，AD -BD，延长BC到F,使CF - BC ,连接FD交AC于点E 2 3 求证：①DE EF②AE 2CE【例6】已知：D , E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F , BD: DE AB: AC求证：CEF为等腰三角形EF 【例7】如图，已知AB//EF //CD，若AB a，CD b，【例8】如图，找出SABD 、S BED 、S BCD 之间的关系，并证明你的结论于点F如图，在 ABC 中，D 是AC 边的中点，过 D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于 F 求证：AE BFBE CF【例11】如图，在线段 AB 上，取一点C ，以AC , CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形【例9】如图，四边形ABCD 中，BD 90，M 是 AC 上一点，ME AD 于点 E ，MF BCMF ABME CD【例10】 CADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q, 求证：CP CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G 第五步：过G点作GD BC，垂足为点D 四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC 6 . 3 , ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG的边长“平行旋转型”图形梳理：【例13】已知梯形ABCD ,AD // BC ，对角线 AC 、 BD 互相垂直，则①证明：AD 2 BC 2 AB 2 CD 2△AEF 旋转到 /\AE ‘ F 'AAEF 旋转至U f .AE ''AAEF 旋转到 AAE ' F '色AEF 旋转到己AE 'F '丄AEF 旋转至U 」AE ' F '△AEF 旋转至U 匚AE 'F△A EF 旋转至U 丄AE 'F“斜交型”【例16】如图， ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD 2 AF AB ,求证：AEF : ACD【例14】当 AOD ，以点0为旋转中心，逆时针旋转度（0说明理由90），问上面的结论是否成立，请D【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形AG : DF : CE __________ .ABCD 和BEFG 均为正方形，求GFBEDC【例17】如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别在BC , AB 上，且CD BE , AD , CE 相交于M , 求证：EAM : ECAAB BC CA【例19】如图，设=-BC CA ，贝y 12吗?AD DE EA【例18】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , BAC CDB ,求证： DAC CBDDE【例20】在锐角三角形ABC中，AD , CE分别为BC, AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2 , DE 2，求AC边上的高BD 【例21】如图，在等边ABC的边BC上取点D，使 - -，作CH AD，H为垂足，连结BH 。

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相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特别翻折 180°斜交型斜交型特别一边平移一般平移特别双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型〞【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，假设AEEF FM MB ，那么S AEE: S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形MM CB_________111111AE E1FF 1MM1B C【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，假设AD9，BC18 ， AE:EM :MB2:3:4,那么EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别订交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD订交于点 F ，EC求BF的值EFADF EB C【例 5】：在ABC 中， AD 1BD，延长 BC到F ,使CF1B C,连接FD交 AC于点 E 23求证：① DE EF ② AE2CEADEBFC【例 6】：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例 7】如图， AB / / EF / /CD ，假设 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bC AEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，BD90，M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，于点 FMF ME求证：1DEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法以下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个极点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，若是BC63，ABC45 ,BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'B D' E'D EC“平行旋转型〞图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特别情况： B 、 E'、 F '共线AAEF'EF'E'FE'FBCBCAEF 旋转到AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，那么①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB C(word完满版)相似三角形经典模型总结(更正版),文档【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度〔090 〕，问上面的结论可否成立，请说明原由DAOB C【例 15】〔全国初中数学联赛武汉选拔赛试题〕如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型〞【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C AGF BE【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CD BE，AD CE订交于M，，求证 :EAM :ECAAEMB D C【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线订交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，那么 1 2 吗？AD DE EAA1DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连接BH。

完整版相似三角形几种基本模型

则Rt△ABC^ Rt△ACB Rt△CBD且AC=AD・AB,cD=AD・BD, BC=BD・AB;
(3)满足1、
(
AC2=AD- AB, 2、/ACD=/ B,
AE
AB
3、/ACB=/ ADC都可判定^ADBA ACB
或AD - AB=AC- AE时，△AD0A ACB
△
(1)
(2)如图：其中/仁/2,
则^ADE^A ABC称为“斜交型”的相似三角形。
(有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、
“蝶型”)
D
E
直型”)
D
C
C(D)
(4)如图：/仁/2,
/B=/。，则^AD0A ABC称为“旋转型”
的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用:
(1)若DE// BC( A型和X型)则^AD0A ABC
相似三角形几种基本模型
经典模型
平移
A
/平行型\
翻折180°
一般
特殊
匚
斜交型
A翻折180°
斜交型
一边平移
特殊
般
/】/双垂直』
斜交型
特殊
双垂直
般
“平行旋转型”
图形梳理:
E'
F'
BC
△AEF旋转到△AE ‘ F'
E'
F'
BC
AaEF旋转到△AE ‘ F'
BC
AAEF旋转到△AE ‘ F'
A
E'
BC
△AEF旋转到△AE ‘ F'
特殊情况：B、E'、F'共线
A
F'

相似三角形分类整理(超全)

nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。

相似三角形常见模型(总结)1

相似三角形第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

相似三角形常见模型[总结]

相似三角形常见模型[总结]相似三角形常见模型相似三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解题过程中常见的模型。

通过研究和总结相似三角形的常见模型，可以帮助我们更好地理解和应用这个概念。

本文将从角度相似、边长比例和投影相似三个方面进行内容阐述。

一、角度相似在相似三角形中，角度是最直观的相似特征。

如果两个三角形的对应角相等，那么它们就是相似三角形。

根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. AA相似模型当两个三角形中角的对应边分别相等时，这两个三角形相似。

这个模型常用于证明和构造相似三角形。

例如，在已知一个角相等的情况下，可以通过构造等腰三角形来证明相似。

2. AAA相似模型当两个三角形的三个角分别相等时，这两个三角形相似。

这个模型常用于解题中，当我们已知两个三角形的三个角分别相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。

二、边长比例在相似三角形中，边长的比例关系也是常见的模型。

如果两个三角形的对应边的比值相等，那么它们是相似三角形。

根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 直角三角形边长模型在一个直角三角形中，由勾股定理可知，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果两个直角三角形斜边的比例相等，那么它们是相似的。

这个模型常用于解决与直角三角形相关的问题。

2. 形状类似三角形边长模型当两个三角形形状相似时，它们的对应边长之比也相等。

例如，当一个等边三角形与一个正三角形形状相似时，它们的对应边长比例为1:2。

这个模型常用于解决与形状类似三角形相关的问题。

三、投影相似在相似三角形中，投影的相似关系也是一种常见的模型。

当两个三角形的两直角边分别成比例时，它们是相似三角形。

根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 倒影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的斜边成比例时，它们是相似的。

这个模型常用于解决与倒影相似三角形相关的问题。

2. 旁影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的直角边成比例时，它们是相似的。

(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)

1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。

二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。

三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e ）相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

相似三角形的八大基本模型

相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。

它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。

它也有着金字塔形状。

2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。

由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。

此外，它也有着正三角形的特性。

3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。

直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。

4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。

它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。

由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。

5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。

由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。

6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。

正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。

7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。

它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。

8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。

其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。

相似三角形的九大模型

相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。

这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。

本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。

相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。

相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。

平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。

这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。

共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。

这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。

这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。

这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。

位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。

这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。

旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。

镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。

(完整word)初二超经典相似三角形模型分析大全(可编辑修改)

动点， PQ OP 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B，C 重合）,设 AP x,CQ y ，试求 y 关于 x 的函
数关系，并写出定义域。
C
Q
P
11
B
O
A
(完整 word)初二超经典相似三角形模型分析大全(word 版可编辑修改)
【练习 1】
在直角 ABC 中, C 90o , AB 5, tan B 3 ,点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DF DE 4
（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C,PF 交直线 CD 于
点 F,同时交直线 AD 于点 M,那么
①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函
数的定义域；
②当 S 9 S 时，求 BP 的长．
点 B 重合）,且保持 APQ ABC .
①若点 P 在线段 CB 上（如图）,且 BP 6 ，求线段 CQ 的长；
②若 BP x ， CQ y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A Q
B
P
C
A
A
B
C
B
C
备用图
备用图
（2）正方形 ABCD 的边长为 5 （如下图），点 P 、 Q 分别在直线 CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B
是腰 BC 上一个动点(不含点 B 、 C ),作 PQ AP 交 CD 于点 Q .(图 1) (1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；（2）当 PQ DQ 时，求 BP 的长;（图 2)
不重合）， DF DE, DF 与射线 BC 相交于点 F。

（完整版）相似三角形模型分析大全（精）.doc

（完整版）相似三角形模型分析大全（精）.doc第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1. ．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。

因为它们的形状相同，大小不一定相同．例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________( 填序号 ) ．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．知识点 2．比例线段对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bd解读：（ 1）四条线段 a,b,c,d成比例，记作a c（或 a:b=c:d ），不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性．（ 2）在比例式a c（或 a:b=c:d ）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项， dbd是第四比例项．（ 3）如果比例内项是相同的线段，即a bb或 a:b=b:c ，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。

c(4) 通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a． b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．b例 4．已知 a,b,c,d成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= 3dm ，求 c 的长度．2分析：由 a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d ，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c ．知识点 3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6，8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B 1C 1D 1 的最大边长为 30，则四边形 A 1B 1C 1D 1 的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知识点 4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（ 4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△ A 1B 1C 1，相似比为 k, 若△ A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为1。

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《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：51-长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ΛΛ，那么ban f d b m e c a =++++++++ΛΛ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”FE D CB A E BD（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。