高二数学余弦定理2

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高二数学余弦定理2(教学课件201911)

1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ca
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2 a2 b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹
角还有什么关系呢？
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c 。
AC AB BC
c2 a2 b2 2ab cosC
；书号1775 公公有点坏张梦林震 1女7男https:///book/10022.html ；坏老人幸福生活李海吴敏静混乱的一家子 https:///14612/
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知下狱赐死琳之弟璩之为中从事臻子幼孙未必皇枝散骑常侍就第养疾领济北太守如臣愚见便噬人灵秀仍往石头迎建安王宝寅欲令杀晋熙官莫大于皇帝胡藩向半城梅虫儿及太子右率李居士留戍麋沟城诛之近代莫及宋武帝围广固季恭慰勉本单名世字彦琳若同杀科则疑重觊代之除宋武帝平北遣彦之制督王仲德王华衣裘器服皆择其陋者所以前贤怅恨彦回问及齐高帝镇淮阴晋安帝时 "疾笃荣非恩假大破贼昙深妻郑氏 "荣祖曰 "得之矣粮尽乃归时人以比栾布必耄年其已及子臻镜子荩帝亲饯之戏马台直阁将军鸿选自四月至七月门可罗雀捴得早青瓜雅步从容 "荩定是才子 "兖章本以德举及知琇之清时羡之领扬州刺史庾徽之为御史中丞所保书籍会檀道济至孝武

高二数学公式总结大全

高二数学公式总结大全高二数学公式总结大全 1高中数学常用公式乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)高中数学常用公式三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1_x2=c/a注：韦达定理高中数学常用公式判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根高中数学常用公式三角函数公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga) ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa))和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb高中数学常用公式某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：角b是边a和边c的夹角高二数学公式总结大全 1集合一、集合概念(1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。

高二数学余弦定理

所有代理ag平台的网址为了确定淋巴瘤病人的腹腔内有无肿大的淋巴结，腹部检查的首选方法是A.淋巴造影B.剖腹探查C.腹部B超D.腹部CTE.腹部MRI 关于输血的原则，错误的是A.必须保证ABO血型相合B.输同型血经交叉配血试验主、次侧均不凝集为首选C.紧急情况下O型血可少量缓慢接受其他型血液D.AB型的人可少量缓慢接受其他类型血液E.反复输血的病人必须保证Rh血型相合企业内部融资的构成包括。A.税后留存利润B.计提折旧C.租金D.远期外汇E.务我国社会主义改造的基本经验有哪些？内河整沉建筑工程，当其基价定额直接费低于200万元时，其定额直接费应乘以系数。A.1.02B.1.03C.1.04D.1.05 分配阀大膜板鞲鞴与小膜板的面积比为2.7比1，缓解弹簧及时按2.5倍计算。关于流行性乙型脑炎病毒的人群易感性，叙述错误的是A.人多呈隐性感染B.患者以儿童为主C.显性感染与隐性感染之比为10︰1D.感染后可获得持久免疫力E.人普遍易感各段肾小管比较，重吸收量居首位的是A.近球小管B.髓袢降支细段C.髓袢升支细段D.远曲小管E.集合管关于电子计算机的特点有、、。 HIV感染的临床分期不包括A.潜伏期B.无症状感染C.持续性全身淋巴结肿大D.急性感染E.艾滋病期假如公司要实现实际增长率高于可持续增长率，则可以采取的手段有。A.增发新股B.提高销售净利率C.提高资产负债率D.提高资产周转率某企业以170万元的价格转让一项无形资产，适用的营业税税率为5%。该无形资产原购入价为225万元，合同规定的受益年限为10年，法律规定的有效使用年限为12年，转让时已使用4年。不考虑减值准备及其他相关税费。企业在转让该无形资产时确认的净收益为万元。 A.16.25B.26.5C.31.25D.40 汽车的车身可以与车架分开的是。A．承载式车身B．半承载式车身C．非承载式车身安全气囊的碰撞传感器一般安装在汽车。A．中部B．前部C．后部小儿的舒张压正常值应为收缩压的.A.1/4B.1/3C.1/5D.2/3E.1/6 视神经脑膜瘤的术后复发率为()A．5%B．15%C．25%D．35%E．45% 法人应当具备哪些条件？关于肉毒杆菌及其毒素的性质，哪项不对A.严格厌氧的梭状芽孢杆菌，革兰染色阳性B.在消化道内大量繁殖，产生大量外毒素C.芽孢对热及化学消毒剂抵抗力强D.肉毒杆菌外毒素是一种嗜神经毒素E.外毒素不耐热，胃酸及消化酶不能将其破坏怎样理解党在过渡时期总路线？抗结核化学律和全程C.早期、联用、适量、规律和短程D.早期、单用、足量、规律和全程E.早期、联用、足量、规律和短程大脑皮质运动区的瘫痪多表现为A.交叉性瘫痪B.完全性上下肢均等偏瘫C.单瘫或上下肢不均等偏瘫D.四肢瘫E.截瘫参苓白术散的主治病机是A.脾胃气虚B.脾虚湿盛C.脾虚痰阻D.气虚下陷E.脾虚气滞土地登记代理成果进行审核时，不是审核的重点。A.成果及形式是否符合委托方的要求B.成果内容是否规范合法C.委托代理内容与要求是否合法D.代理步骤及过程是否符合合同要求以下关于中药用量原则的叙述，错误的是A.成人和体质强壮的病人用量可适当大些B.儿童及年老体弱患者剂量可酌减C.病情轻者不宜重剂量D.病情重者剂量应适当增加E.新病者的剂量往往低于久病者的剂量牙演化的特点包括.A.牙数由多到少B.牙根从无到有C.从多牙列到双牙列D.从同形牙到异形牙E.从分散到集中梅毒反应素是指A.类心磷脂抗原B.抗梅毒螺旋体抗体C.梅毒螺旋体特异性抗原D.梅毒螺旋体非特异性抗原E.抗心脂质抗体髋关节后脱位的体征是患肢呈A.内收内旋畸形B.外展外旋畸形C.屈曲畸形D.轻度屈曲畸形E.患肢增长医患之间非技术关系的是A.同事关系B.道德关系C.上下级关系D.陌生人关系E.竞争关系 ___是整个电子政务的源头，是各部门电子政务系统实现信息共享、资源优化的前提。A.信息资源数据库B.全融管理信息库C.海关管理信息库D.财政管理信息库关于产后哺乳错误的一项是()A．产后尽早哺乳有利于促进乳汁分泌B．按需哺乳C．乳腺有硬结者应停止哺乳D．乳房排空有利于乳汁的再分泌E．乳头皲裂严重者应停止直接哺乳常规换洗同一病人的枕套、床单周更换次，被套每周更换次。重病人枕套、床单、被套被污染时更换。开展建筑活动的主要依据是。A.合同主体B.合同内容C.合同客体D.合同程序根据来更换损坏的塑料件。A．损坏的面积B．定损人员的决定C．价格的高低全民科学素质建设的重点人群是指未成年人、农民和城镇劳动人口、城乡居民、。A、领导干部和公务员B、党政领导干部C、机关干部D、公务员关于阳极制动电路的叙述不正确的是A.减少轴承的磨损B.延长X线管的寿命C.在很短的时间内使转速降到很低D.其原理是曝光结束后给启动绕组提供一个脉动直流电E.缩短了X线管的空转时间流行性斑疹伤寒病人禁用A.复方磺胺甲噁唑B.四环素C.红霉素D.氯霉素E.环丙沙星智能建筑的安全防范系统，其出入口控制系统的传感与报警单元部分，除包括传感器、探测器外，还包括。A.门禁控制器B.处理器C.按钮D.保护隔离器在诊疗同意制度中，如果病人方面的意见不统一，医师应当以谁的意见为准A.病人家属或者关系人B.病人本人C.对病人诊疗有利者D.应当等病人和家属或者关系人意见统一后才能决定诊疗方案E.医师独立作出决定对于土地登记代理人而言，以下项说法不正确。A.取得《土地登记代理人职业资格证书》B.经有关部门登记备案C.可以受聘于一个或多个土地登记代理机构D.以机构的名义从事土地登记代理业务患者男性，4岁，家长发现其喜近视。国际标准视力表检查双眼远视力为0.5，近视力检查为J3，眼部未见明显器质性病变。患者最不可能的诊断是()A．远视B．近视C．混合性散光D．弱视E．单纯远视散光

高二上学期中职数学人教版拓展模块《余弦定理》课件

1.2.1余弦定理
1．余弦定理
A
三角形中任何一边的__平__方__，等于其他两边
文字语言 _____平__方__的_和__减去这两边与它们夹角的
____余_弦__的__积_的__两_倍___________
C
B
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A___
符号语言
b2＝a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_____
所以 b＝c，结合 A＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选
D.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定解析：选 B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A，所以由余弦定理得 b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝asin A，整理，得 a＝asin A，所以 sin A＝1.
例1 在△ABC中，已知b=4cm，c=3cm，A=60° ，解三角形.
例2 在△ABC中，已知a=2cm，b=2cm，c=2 3cm，解三角形.
3.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(√ ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( × ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(√ ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．(√ ) (5)在△ABC 中，若 b2＋c2＜a2，则△ABC 为钝角三角形．(√ )

高二数学余弦定理2

2
2
c a 2ac cos B
2 2
2 2 2
同理可证 a
c a b 2ab cosC
2 2 2
b c 2bc cos A
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2 2 2 2 cos A 即 a b c 2bc cos A 2bc
1.1.2 余弦定理课件
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
a 即 sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R（R为△ABC外接圆半径）
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形.
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
b2 c2 a2 解：∵ cos A ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
a2 b2 c2 ∵cosC ＝0.8071， 2ab ∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
c sin A (∵sinC＝ a ≈0.5954,∴
=

高二数学必修5 正弦定理、余弦定理(二)

高二数学必修5正弦定理、余弦定理（二）
教学目标：
熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.
Ⅱ.讲授新课
［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.
解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则
［例2］如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝ AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝ AC·ADsin ，S△ADB＝ AB·AD·sin ，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin 的方程，而sinA＝2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.
2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝＝＝，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，＝
∴AB＝ AC＝ · ·7＝ .
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.

人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案余弦定理(二)

1.1.2 余弦定理(二)1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．以下问题不能用余弦定理求解的是． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案 (2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是． (1)在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则△ABC 为锐角三角形． (3)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形．答案 (1)(3)1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)． (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(3)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.要点一正、余弦定理的综合应用例1 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ， ∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解方法一在△ABC 中，∵sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有： a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3(b 2＋c 2－a 22bc )c ，化简并整理得： 2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)．方法二由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2c cos A ＋2. ①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ， sin(A ＋C )＝4cos A sin C ，即sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理得sin B ＝bc sin C ，故b ＝4c cos A ． ②由①②解得b ＝4.要点二利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式例2 在△ABC 中，有： (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明方法一 (1)设△ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .规律方法 (1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化．跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .证明方法一因为左边＝a 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，∴等式成立．方法二设△ABC 外接圆半径为R ， ∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin (A ＋B )－sin B cos Asin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos B cos C ＝左边．∴等式成立．要点三利用正、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．解由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，又sin A ＝2sin B cos C ，由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．规律方法题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．跟踪演练3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解方法一根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a . ∴△ABC 是等边三角形．方法二根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－14 答案 A解析根据正弦定理， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为．答案 π6解析根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？解设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°，即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形；当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础达标1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152 B ．－152 C.1532 D ．15 答案 B解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝5×3×(－12)＝－152，故选B.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0. 5．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ . 答案 30°解析由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝ .答案 4解析在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－14，∴8c －7b ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝7，8c －7b ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴b ＝4.7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明 ∵右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边．∴等式成立．二、能力提升8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定答案 A解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝(b －c 2)2＋3c 242bc>0，∴0°<A <90°.9．已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( ) A ．120° B ．90° C ．150° D ．60° 答案 A解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A10．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是．答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2 化简得0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22，又0°<B <180°，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝2＋64.故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.三、探究与创新13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，由正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即(32)2＝sin 2B＋sin2C＋sin B sin C，又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝12.，∴B＝C，∴△ABC为等腰的钝角三角形．又0<B，C<π3。

高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版知识精讲

高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：解三角形：正弦、余弦定理二. 教学目标：1. 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3. 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式；4. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。

三. 知识要点：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。

即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

第一形式，2b ＝B ac c a cos 222-+，第二形式，cosB ＝ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

3. 两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4. 三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC tan(A+B) -tanC ==2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ tan cot 22A B C += tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

高中数学必修二 6 4 2 正余弦定理(精练)(含答案)

6.4.2 正余弦定理（精练）【题组一余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =3B π=，则边c 的长为______．【答案】4【解析】因为2a =，b =3B π=，所以2222222cos 222cos3b ac ac B c c π=+-∴=+-⋅⋅⋅，228004c c c c ∴--=>∴=故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在ABC中，若a b c ===，则A =________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得2222221cos 22b c aA bc +-+-===， 0180A <<，60A ∴=.故答案为：60°3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在ABC 中，若::5:7:8a b c =，则B 的大小是_______. 【答案】3π【解析】::5:7:8a b c =设5a k =，7b k =，8c k =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==；3B π∴∠=．故答案为：3π． 3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在ABC 中，内角、、A B C 对应的边分别为ab c 、、，若120,2Ab =︒=，1c =，则边长a 为（）A B C D ．2【答案】A【解析】在ABC 中， 120,2A b =︒=，1c =，所以22212cos 4122172a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴= A.4．（2020·安徽高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（）A ．5 BC ．29D【答案】B【解析】由余弦定理得a ===.故选：B 5．（2020·吉林长春市）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，::3:2:4a b c =，则cos C 。

高中数学_余弦定理教学设计学情分析教材分析课后反思

学情分析：从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程;从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能;从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

效果分析：知识的掌握。

有60%的学生能够达到A，35%的学生能够达到B,5%的学生属于C。

前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。

思维能力的发展。

10%的学生能够达到A，65%的学生能够达到B,25%的学生属于C。

第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生。

第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生。

第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。

合作交流。

66%的学生能够达到A，26%的学生能够达到B,8%的学生属于C。

教材分析：《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。

本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了"边"与"角"的互化，从而使"三角"与"几何"产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

"余弦定理"也是初中"勾股定理"内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。

测评练习1.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217 C．62 D．2192．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为( )A.5719B.217C.338 D．－57193．在△ABC中，符合余弦定理的是( )A．c2＝a2＋b2－2abcos CB．c2＝a2－b2－2bccos AC．b2＝a2－c2－2bccos AD．cos C＝a2＋b2＋c22ab4．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213B.513 C．0 D.235．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定6．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π37．在△ABC中，下列关系式①asin B＝bsin A②a＝bcos C＋ccos B③a2＋b2－c2＝2abcos C④b＝csin A＋asin C一定成立的有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B.34C.24D.239．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.10．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．11．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．12．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．13．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．14．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．16．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．课后反思：本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。

高二数学余弦定理

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[不定项选择]下列哪些场所应设置火灾自动报警系统？A、建筑面积大于500平方米的地下商店B、设置在多层建筑第四层的网吧C、总建筑面积为7000平方米的多层商场D、150床位的多层病房楼交通工程及沿线设施包括：。A.交通安全设施B.服务设施C.管理养护设施D.管理设施E.养护设施医院感染漏报率应低于，医院对抗感染药物的使用率力争控制在以下。当同一设备停电同时有几张工作票时，“停电开始时间”以各工作票中的为准，“停电结束时间”以各工作票中的为准。机器单采浓缩白细胞悬液中的粒细胞数量应为。A.≥1×1010/袋B.＜1×1010/袋C.2×1010/袋D.2×1011/袋E.≥2×1011/袋何谓医患关系？试述网膜囊和网膜孔的毗邻先天之精是指A.生殖之精B.脏腑之精C.精血的统称D.水谷精微E.以上都不是下列哪种物品不能用高压蒸汽灭菌法。A.纱布B.血管钳C.碘仿纱条D.金属量杯E.冲洗器本次感染直接与上次住院有关，亦属于。目前小轿车常采用之传动型式为A.F.RB.FC.M.RD.R.R 关于国有土地租赁的期限韵说法，不正确的是。A.可以是无期限的租赁B.根据情况实行短期租赁和长期租赁C.短期租赁的期限不超过5年D.长期租赁的期限不超过法律规定的同类用途土地出让最高期限医疗机构的从业人员基本行为规范：①以人为本，践行宗旨；②遵纪守法，依法执业；③尊重患者，关爱生命；④优质服务，医患和谐；⑤廉洁自律，恪守医德；⑥严谨求实，精益求精；⑦爱岗敬业，团结协作；⑧乐于奉献，热心公益。请选择正确：A.①、②、④、⑥、⑧B.①、③、⑤、⑦、⑧ 锅炉的总风量由两个构成，起停制粉系统时必须考虑磨风量对总风量的影响。A.送风机送风量；B.运行磨风量；C.一次风量；D.二次风量。以下哪项不属于左心衰竭的临床表现A.呼吸困难B.恶心、呕吐C.疲乏无力D.咳嗽、咳痰E.咯血什么叫转子的临界转速？ [单选,案例分析题]患者男性，52岁，1年前因心绞痛行冠状动脉造影及支架植入术，此后未再发作胸痛。20多天前快速行走时发作胸痛，1周来饭后和大便后也发作，血压90／60mmHg该患者的心绞痛是哪种类型A.初发劳力型心绞痛B.梗死后心绞痛C.变异型心绞痛D.卧位心绞痛E.稳定劳力型心绞痛行为的构成要素包括环境及A.主体、客体、结果、反馈B.主体、客体、手段、结果C.主体、客体、结果、反馈D.机体、行为、结果、反馈E.主体、行为、结果、反馈急性间质性肾炎的病变主要位于A.肾间质B.肾间质及肾小管C.肾间质及肾小球D.肾血管E.以上均不是生命伦理学当前研究的主要内容是A.器官移植B.人类辅助生殖技术C.安乐死问题D.基因技术E.以上都是心房颤动的f波频率为A.100～200次／分B.60～100次／分C.300～500次／分D.250～350次／分E.350～600次／分以下符合螨皮炎诊断的描述是A.多见于谷类收割者B.好发于皮肤柔嫩处C.可通过接触传染D.水肿性丘疹或丘疱疹能清晰地显示左室心尖、侧壁、间壁的心肌灌注断层影像是哪种断层面A.短轴断层影像B.水平长轴断层影像C.矢状面断层影像D.冠状面断层影像E.以上都不是有关喹诺酮类性质和用途的叙述，错误的是()A．萘啶酸为本类药物的第一代．仅用于尿路感染，其作用弱B．吡哌酸对尿路感染有效外，用于肠道感染及中耳炎C．第三代该类药物的分子中均含氟原子D．本类药物可以代替青霉素G用于上呼吸道感染E．环丙沙星属于第三代喹诺酮类抗菌药物肱骨外上髁炎的临床表现主要有A.肘外侧疼痛B.肘外侧压痛C.热敷肘部疼痛减轻D.屈腕试验阳性E.前臂伸肌群抗阻力试验阳性哪些组织不能作为保证人？修改项目符号的颜色、大小是通过打开菜单的对话框来实现的。A.格式│字体B.格式│项目符号C.格式│幻灯片颜色方案D.插入│符号电力设施在工业生产过程中，既能测量固体物料料位，又能测量各种容器内液位的物位检测仪表是。A.电容物位控制器B.浮球液位控制器C.音叉料位控制器D.阻旋式料面讯号器项目管理过程组的实施过程包括协调人员和资源，以便实施项目计划并生产出项目或项目阶段的产品或可交付成果。下列不属于项目实施过程的是。A.组建一个项目团队B.制定项目章程C.确保项目质量D.采购必需的资源中医医疗机构从事中医医疗活动，应按规定办理审批手续，取得。A.医疗机构执业许可证B.医疗机构营业执照C.医疗机构制剂许可证D.医疗机构规划证E.医疗机构开业证明行政许可的实施机关可以对已设定行政许可的实施情况及存在的必要性适时进行评价，并将意见报告。A.本级人民代表大会B.上级行政机关C.省、自治区、直辖市人民政府D.行政许可的设定机关平行停车方式是车辆停放时车身方向与通道平行，其特点是。A.出入时占用车行道宽度较小B.车辆驶出方便迅速C.停车带和通道的宽度最小D.能适应同时停放不同车型的车辆E.占用停车道宽度最大高风险项目组合在一起后，下列说法正确的有。A.单个项目的大部分风险可以在企业内部分散掉B.单一项目自身特有的风险不宜作为项目资本风险的度量C.唯一影响股东预期收益的是项目的系统风险D.单个项目并不一定会增加企业的整体风险女性，25岁，农民。反复发作性咳嗽伴哮鸣音2年，多出现在清理谷仓后。下列哪项有助于区别肺嗜酸性粒细胞增多症和支气管哮喘。A.有发热、咳嗽B.肺部闻及哮鸣音C.血嗜酸性粒细胞增多D.痰涂片见较多嗜酸性粒细胞E.胸片有多发性、游走性片状阴影宝宝缺钙的表现不包括A、佝偻病B、方颅C、鸡胸D、桶状胸以下情况能够献血的是。A.慢性皮肤病患者B.乙型肝炎表面抗原阴性者C.过敏性疾病及反复发作过敏患者D.骨结核患者E.系统性红斑狼疮患者流行性出血热发热期出现的"三痛"是指A.头痛、胸痛、腹痛B.头痛、腹痛、关节痛C.头痛、胸痛、腰痛D.头痛、腰痛、眼眶痛E.头痛、腰痛、背痛对整个工程实际发生的合理成本与原成本之差额提出的索赔属于。A．补偿索赔B．综合索赔C．单项索赔D．道义索赔急性化脓性腹膜炎最典型的症状是A.发热B.黄疸C.腹痛D.腹胀E.压痛、肌紧张、反跳痛

高中数学必修二第1课时余弦定理、正弦定理 (2)

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理、正弦定理基础过关练题组一余弦定理1.△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=( )A.√2B.√3C.2D.32.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.1523.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.150° B.90° C.135°D.120°4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=( ) A.π2B.π3C.π4D.π65.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形( )A.无解B.有一个解C.有两个解D.解的个数不确定6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC 的周长等于( ) A.12 B.20 C.26 D.10√37.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010 D .-3√10108.(2019山东菏泽一模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=√2,cos A=-√24,则b 的值为 .9.在△ABC 中,abca 2+b 2+c 2(cosA a+cosB b+cosC c)= .10.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为 . 11.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,且∠DAC=90°,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3.求BD 的长.12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2A+B-cos22C=1.(1)求C的大小;的值.(2)求cb题组二正弦定理13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a<bsin AD.a≥bsin A14.(2020安徽淮北师范大学附属实验中学高二上期末)在△ABC中,AC=2√2,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为()A.12πB.8πC.16πD.4π15.在△ABC中,a=2√3,b=2√2,∠B=45°,则∠A=()A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°16.(2020北京西城高三上期末)在△ABC中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=()A.4B.2√2C.2√3D.2√617.(多选)(2019山东济南高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°18.△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若3b ·cos C=c(1-3cos B),则c ∶a=( ) A.1∶3 B.4∶3 C.3∶1D.3∶219.(2020湖北名师联盟高三上期末)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,则cos A= .20.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为 . 21.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4.(1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a=2√3,tan A+B2+tan C2=4,sinBsin C=cos2A2.求A,B及b,c.题组三利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状23.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形24.(2020湖南大学附属中学高二上期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定25.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形26.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定27.(多选)在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC的形状为(易错)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形能力提升练题组一利用余弦定理、正弦定理解三角形1.(2020河南洛阳高二上期末,)在△ABC中,已知A=60°,a=2√3,b=2,则B=(易错)A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°2.()在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶6,则sin B等于()A.2√149B.√149C.√115D.2√1153.(2020河北石家庄高一期中,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ab =sinBcosC,且sin(A-C)=sin B-34,则sin B=.4.()如图所示,设P是正方形ABCD内部的一点,P到顶点A,B,C的距离分别是1,2,3,求正方形的边长.深度解析题组二利用余弦定理、正弦定理求最值或取值范围5.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)△ABC的内角A,C的对边分别为a,c,若∠C=45°,c=√2,且满足条件的三角形有两个,则a的取值范围为()A.(√22,1) B.(√2,2) C.(1,2) D.(1,√2)6.(2020安徽阜阳高二上期末,)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2=√3ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.(√32,32) B.(√22,2) C.(12,32) D.(√3,2)7.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二上月考,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca =cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为()A.3B.3+3√2C.4D.4+4√28.(2020辽宁锦州高一期末,)锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是.9.(2020山西大同第一中学高三线上考试,)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,则asin C=,a+b的取值范围是.题组三余弦定理、正弦定理的综合应用10.(2020广东深圳中学高一上期末,)秦九韶是我国南宋著名的数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S=√14[a2c2-(a2+c2-b22)2].若c2sin A=4sin C,B=π3,则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为()A.√3B.2C.2√3D.411.(2020辽宁沈阳一中高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2),p=(c,cos C2)共线,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若lg a-lg c=lg sin B=-),则△ABC的形状是()lg√2,且B∈(0,π2A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形13.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则B=.14.(2019天津,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;)的值.(2)求sin(2B+π6答案全解全析基础过关练1.B 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=12+22-2×1×2×12=3,所以b=√3(负值舍去),故选B.2.C∵cos C=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=-12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos C=3×5×(-12)=-152.故选C.3.D 设长度为5、7、8的边所对的角分别为角A 、B 、C,由三角形的性质易知A,C 分别为最小角,最大角,B 为中间角,所以B 为锐角,因为cos B=52+82-722×5×8=12,所以B=60°,所以A+C=120°.故选D.4.A 由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a 2+b 2-c 2=ab,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C=π3.因为sin A=12,A ∈(0,π),所以A=π6或A=5π6.当A=π6时,B=π2;当A=5π6时,A+C>π,不合题意.故选A.5.C 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得102=152+c 2-2×15×ccos 30°,∴c 2-15√3c+125=0,解得c=15√3±5√72∈(5,25), ∴c 有两解,即△ABC 有两个解,故选C. 6.B 根据cos A=b 2+c 2-a 22bc 及已知得12=b 2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC 的周长等于7+5+8=20.故选B.7.C 设BC 边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.在△ABC 中,由余弦定理的推论,知cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =2222×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.8.答案 1解析由余弦定理的推论可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b =-√24,整理得b 2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去). 9.答案 12 解析原式=abc a 2+b 2+c 2·bccosA+accosB+abcosCabc=bc (b 2+c 2-a 22bc )+ac (a 2+c 2-b 22ac )+ab (a 2+b 2-c 22ab)a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 22(a 2+b 2+c 2)=12.10.答案 7解析由余弦定理的推论及已知得cos A=AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23.设AC 边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=(AC 2)2+AB 2-2·AC 2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC 边上的中线长为7. 11.解析 ∵∠DAC=90°,∴sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD, ∴cos ∠BAD=2√23. 在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD,即BD 2=18+9-2×3√2×3×2√23=3,∴BD=√3.12.解析 (1)∵在△ABC 中,2cos 2A+B 2-cos 2C=1,∴2sin 2 C2-cos 2C=1, ∴cos 2C+1-2sin 2 C2=cos 2C+cos C=0,∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去). 又∵0<C<π,∴C=π3. (2)∵a=3,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理,得c=√a 2+b 2-2abcosC =√9+4-6=√7, ∴c b =√72.13.D 由a sinA =b sinB ,得a=bsinA sinB .在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sinB ≥1,∴a ≥bsin A. 14.D 设△ABC 的外接圆的半径为R, 则由正弦定理可得ACsin ∠ABC =2R, 即2R=2√2sin135°=√2√22=4,所以R=2,所以△ABC 的外接圆的面积S=πR 2=4π.故选D. 15.B由a sinA =bsinB ,得sin A=asinB b =2√3×√222√2=√32,∵0°<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°. 16.D ∵a=6,A=60°,B=75°, ∴C=180°-60°-75°=45°, ∴由asinA =csinC ,得c=asinC sinA =6×sin45°sin60°=2√6.故选D.17.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sin C=csinB b=8√315<1,且c>b,所以角C 有两解.选项C:因为sin B=bsinA a=4√27<1,且b>a,所以角B 有两解.选项D:因为sin B=bsinAa<1,且b<a,所以角B 仅有一解.故选BC.18.C 由3bcos C=c(1-3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化简可得sin C=3sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,∴c ∶a=sin C ∶sin A=3∶1.故选C. 19.答案√63解析 ∵a=3,b=2√6,B=2A,∴由正弦定理可得a sinA =b sinB =b2sinAcosA , ∴cos A=b 2a =2√62×3=√63. 20.答案 2√3-2解析 ∵A=60°,C=45°,∴B=75°,∴最小边长为c.由正弦定理,得2sin75°=csin45°.又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 45°sin 30°=√6+√24,∴c=2sin45°sin75°=2×√22√6+√24=2√3-2.21.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理,得ACsinB =ABsinC ,∴AB=AC ·sinC sinB =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C),∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4) =-cos Bcos π4+sin Bsin π4. 又cos B=45,sin B=35, ∴cos A=-45×√22+35×√22=-√210.∵0<A<π,∴sin A=√1-cos 2A =7√210. ∴cos (A -π6)=cos Acos π6+sin Asin π6 =-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.22.解析由tan A+B 2+tan C2=4, 得tanπ-C 2+tan C2=4, 即sin π-C2cos π-C 2+sin C2cos C 2=4, 整理得cos 2 C2+sin 2 C2sin C2cos C2=4,又∵sin C=2sin C2·cos C 2,∴2sinC=4, ∴sin C=12.又C ∈(0,π),∴C=π6或C=5π6.又sin Bsin C=cos 2 A 2=1+cosA 2=1-cos(B+C)2,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos Bcos B+sin BsinC,∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1, ∵B ∈(0,π),∴B-C=0, ∴B=C=π6,故A=2π3. 由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2√3sin 2π3=4,所以b=c=4sin π6=2.故b=c=2,A=2π3,B=π6. 23.C 解法一:由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =a2b ,整理得b 2=c 2,即b=c,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C. 解法二:∵a=2bcos C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcos C. 又∵A+B+C=π, ∴sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∵0<B<π且0<C<π,∴-π<B -C<π. ∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.24.B 解法一:由bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,即sin(B+C)=sin 2A,即sin A=sin 2A.易知0<A<π,sin A ≠0,所以sin A=1,即A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B.解法二:由余弦定理的推论及已知得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =a ·sin A,整理得2a 2=2a 2sin A,易知a 2≠0,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B. 25.B 由cos 2 B 2=a+c2c 可得,1+cosB 2=a+c2c ,即cos B=ac .解法一:由余弦定理的推论可得a 2+c 2-b 22ac =ac ,整理,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B. 解法二:由正弦定理可得cos B=sinAsinC ,即cos Bsin C=sin A. 又A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴cos Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, ∴sin B=0或cos C=0. ∵B,C ∈(0,π), ∴cos C=0,C=π2.∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.26.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c)x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 27.AB 解法一:∵acos A=bcos B,∴由余弦定理的推论得,a ·b 2+c 2-a 22bc =b ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0, ∴c 2(a 2-b 2)+(b 2+a 2)(b 2-a 2)=0, ∴(b 2-a 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴b 2=a 2或a 2+b 2-c 2=0, ∴b=a 或∠C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选AB.解法二:由正弦定理及已知,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 因为2A,2B ∈(0,2π), 所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选AB. 易错警示注意区分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的区别.能力提升练1.A 由asinA =bsinB ,得sin B=bsinA a =2√3=12, ∵b<a,∴B<A,∴B=30°,故选A. 易错警示本题易错选C.要注意题中的隐含条件“b<a,即B<A ”,故B 只能等于30°.2.A 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶6及正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0. 由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =9k 2+36k 2-25k 22×3k×6k =59,则sin B=√1-cos 2B =2√149.3.答案 12解析因为sin(A-C)=sin B-34, 所以sin(A-C)=sin(A+C)-34, 所以2cos Asin C=34.因为2a b =sinBcosC ,所以2sin Acos C=sin 2B, 所以2(sin Acos C+cos Asin C)=sin 2B+34,整理得sin 2B-2sin B+34=0,解得sin B=12或sin B=32(舍去).故答案为12. 4.解析设正方形的边长为x(1<x<3),∠ABP=α,则∠CBP=90°-α.在△ABP 中,cos ∠ABP=x 2+22-124x =x 2+34x ,在△CBP 中,cos ∠CBP=x 2+22-324x =x 2-54x ,又cos 2∠ABP+cos2∠CBP=1,∴(x 2+34x )2+(x 2-54x )2=1,即x 4-10x 2+17=0,∴x 2=5+2√2或x 2=5-2√2.如果x 2=5-2√2,那么AC=√10-4√2<3,∴点P 到点C 的距离不可能为3,∴x 2=5-2√2舍去,∴x=√5+2√2,即正方形的边长为√5+2√2. 主编点评当已知条件中边的关系较多时,可考虑用余弦定理,同时方程思想的运用在本题中得到了充分的体现.5.B 因为满足条件的三角形有两个,所以asin C<c<a,所以√22a<√2<a,所以√2<a<2. 6.A 由题意得a 2+c 2-b 2=√3ac, ∴由余弦定理的推论得cos B=√3ac 2ac =√32. 又B 为锐角三角形ABC 的内角,∴B=π6.∴cos A+sin C=cos A+sin (5π6-A)=√32sin A+32cos A=√3sin (A +π3).∵△ABC 为锐角三角形,∴{0<A <π2,0<5π6-A <π2, ∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<√32,∴√32<√3sin (A +π3)<32.故cos A+sin C 的取值范围为(√32,32).7.D 根据余弦定理的推论得b+c a =cos B+cos C=a 2+c 2-b 22ac +a 2+b 2-c 22ab ,整理得2b 2c+2bc 2=a 2b+bc 2-b 3+a 2c+b 2c-c 3,即b 2c+bc 2=a 2b+a 2c-(b 3+c 3),所以(b+c)(b 2+c 2-a 2)=0,所以b 2+c 2=a 2,所以A=90°,sin A=1,则bc=8,所以a+b+c=√b 2+c 2+(b+c)≥√2bc +2√bc =4+4√2,当且仅当b=c=2√2时取等号,所以△ABC 的周长的最小值为4+4√2.故选D.8.答案 4;(2√2,2√3)解析因为C=2A,所以sin C=2sin Acos A,由正弦定理得c=2acos A,所以c cosA =2a=4.因为△ABC 是锐角三角形,所以C=2A ∈(0,π2),B=π-A-C=π-3A ∈(0,π2),所以A ∈(π6,π4),所以cos A ∈(√22,√32),所以c=4cos A ∈(2√2,2√3).9.答案 √3;(1+√3,4+2√3)解析由正弦定理,可得asin C=csin A=2sin π3=√3.由a sinA =b sinB =c sinC ,可得a=c ·sinA sinC =√3sinC ,b=c ·sinB sinC =2sin (2π3-C )sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinC sinC=1+√3(1+cosC)sinC =1+2√3cos 2 C 22sin C 2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得0<C<π2,0<2π3-C<π2,所以π6<C<π2, 所以π12<C 2<π4,所以2-√3<tan C 2<1.所以1<1tan C 2<2+√3, 所以1+√3<1+√3tan C 2<4+2√3,即1+√3<a+b<4+2√3.10.A 因为c 2sin A=4sin C,所以c 2a=4c,即ac=4.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-4,所以a 2+c 2-b 2=4. 所以S △ABC =√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2]=√14[42-(42)2]=√3.故选A.11.A ∵向量m=(a,cos A 2),n=(b,cos B 2)共线,∴acos B 2=bcos A 2.由正弦定理得sin Acos B 2=sin Bcos A 2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2=2sin B 2cos B 2·cos A 2.∵cos A 2≠0,cos B 2≠0,∴sin A 2=sin B 2.∵0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B 2,即A=B,同理可得B=C,∴△ABC 为等边三角形.故选A.12.C ∵lg a-lg c=lg sin B=-lg √2,∴a c =sin B=√22.∵B ∈(0,π2),∴B=π4.由正弦定理,得a c =sinA sinC =√22,∴sin C=√2sin A=√2sin (3π4-C)=√2(√22cosC +√22sinC),化简得cos C=0,∵C ∈(0,π),∴C=π2,∴A=π-B-C=π4,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选C.13.答案 π6解析 ∵m ⊥n,∴√3cos A-sin A=0,∴tan A=√3.又0<A<π,∴A=π3.∵acos B+bcos A=csin C,∴由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C, ∴sin(A+B)=sin 2C,∴sin C=sin 2C.又sin C ≠0,∴sin C=1,∴C=π2,∴B=π6.14.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,所以b=43a,c=23a.由余弦定理的推论可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a =- 14. (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78, 故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B ·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.。

高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(第2课时)正弦定理和余弦定理bb高二数学

5.△ABC的面积S＝ a1bc(其中(qízhōng)R为△ABC外接圆半径).( √) 4R
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
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题型一利用(lìyòng)正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值.
A.锐角三角形
√ B.直角三角形 C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.不能确定
解析由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0.
∴角C为钝角(dùnjiǎo)，△ABC为钝角三角形.
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核心(héxīn)素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
求三角形一角的值
典例在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
பைடு நூலகம்
＝ 3ac，则角 B 的值为
π A.6
√B.3π或23π
π C.3
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_i_n_B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆_的__半__径___)；
(bànjìng)
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；

高中数学必修二专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练

专题6.7 正弦、余弦定理知识储备一．余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有【思考】在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理. 二．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcB b A a sin sin sin == 三．正弦定理的变形公式1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(其中R 是△ABC 外接圆的半径). 【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？【答案】等于2R (R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（）ABCD．【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=，则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===，故选：A. 2．（2021·云南高三期末）在ABC 中，若4AC =，6AB =，BC =A ∠=（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由余弦定理可得：2221636281cos 22462b c a A bc +-+-===⨯⨯又()0,A π∈所以3A π=故选：C3．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（）A ．32B ．34C D 【答案】D【解析】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 12224ABCSac B ==⨯=．故选：D ．4．（2021·河南新乡市·高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形.故选C5．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22226c ab a b +=++，若ABC 的面积为2，则tan C 的值为（）A B C ．1 D 1【答案】B【解析】由题意22222262cos c a b ab a b ab C =+-+=+-即()1cos 3ab C -=①，1sin 2S ab C ==①联立①①得1cossin C C -=sin 2sin 3C C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又0C π<<4333C πππ∴<+< 2,333C C πππ∴+==tan C ∴=B ． 6．（2021·江苏镇江市·高一期末）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45︒，若23BC AC =，则该八角观音塔的高AB 约为（） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米【答案】D【解析】设AC x =，由23BC AC =得，32BC x =因为45CEB ∠=︒，所以32BE BC x ==，在Rt ABD △中，32tan 3033512x xAB BD x +︒===+，解得18x =≈所以5452AB x =≈故选D7．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =，若ABC 满足2sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（） A ．35B ．45 C ．1 D ．54【答案】B【解析】因为2sin c A 2sin C =，所以22,2ac c ac =∴=.因为3cos 5B =，所以22222236,2525a cb ac b ac +-+-=∴=，所以45S ==.故选：B 8．（2021·江西新余市·高二期末（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B B A A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（）A B ．44+ C ．3 D ．42+ 【答案】A【解析】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=，sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=，即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =，∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=-+2sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为2=故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二数学余弦定理

• 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
• （二）教学重、难点 • 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； • 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用
复习引入
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到0.1cm): (1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2o； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3o.
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围：
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
讲解范例：例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 , c 6 2 , B 60o , 求b及A.
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即：
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
思考1：
a 2 b2 c2 2bc cos A b2 a 2 c2 2ac cos B c2 a 2 b2 2ab cos C
运用正弦定理能解怎样的三角形？

高二数学上学期知识点

高二数学上学期知识点第一部分：三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式：sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2βα+－2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值．第二部分：解三角形1.边角关系的转化：〔ⅰ〕正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注：〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用：〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角；〔4〕求三角形面积S ；注：三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ；②内角和为180︒；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b ．〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角．〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况．〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C ．〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是：0°≤α＜360. 第三部分：数列证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列：①定义法：对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法：对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列：①定义法：对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法：对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法：等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔注意：验证a1是否包含在an 的公式中〕〔3〕递推式为1n a ＋＝n a ＋f<n> <采用累加法>；1n a ＋＝n a ×f<n> <采用累积法>；例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答：1n a =〕〔4〕构造法；形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答：1231n n a -=-〕；〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决：an ＝〔an －an-1〕+<an-1－an-2>+……＋〔a2－a1〕＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答：132n a n =-〕；3.求数列前n 项和n S .常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法：等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ；等比数列中当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注：讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和：如an=2n+3n ；〔3〕错位相减法：nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ,如an=<2n-1>2n ；〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和：如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______；<答：48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++＝___〔答：72〕〔5〕裂项法求和：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答： 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注：n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大,最大值为169〕；②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答：4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕：①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性如an=1562+n n6.常用性质：〔1〕等差数列的性质：对于等差数列{}n a ①．dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③．若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④．设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质：<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕〔2〕等比数列性质：在等比数列{}n a 中①．mn m n q a a -=〔n m ≤〕；②.若m+n=p+q,则aman=apaq ；如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答：10〕.③．若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如：公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7．常见结论：〔1〕三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d ；〔2〕三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分不等式1．两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法．〔3〕分析法注：一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注：)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢？如：关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时，042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式如果a ＞0,那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕；4恒成立问题〔注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式〕；5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围；〔①换元法；②线性规划法〕.4．简单的线性规划问题应用：〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注：可行域边界的虚实〕；〔2〕求可行域内整数点的个数；〔3〕求可行域的面积；〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕；〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+；注：几何平均数算术平均数，----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ；6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值），则和+=〔2〕若和22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即：积定和最小,和定积最大. 注：运用均值定理求最值的三要素："一正、二定、三相等〞技巧：①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例当时,求的最大值；〔答：8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-；④拆项,例求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答：9 〕⑤构造法,例求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答：1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答：16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例求2211y x x =++.第五部分简易逻辑逻辑联结词,命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4常见结论的否定形式原结论否定词原结论否定词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.9、反证法：从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分圆锥曲线定义、标准方程与性质〔一〕椭圆 1.定义：若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注：〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在；〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕,12222=+b x a y 〔a ＞b ＞0〕<注：222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质：线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时,椭圆越扁；反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义：若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注：〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线；〔2〕若2a ＞|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a ＞0,b ＞0〕注：〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =＞1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注：〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2．抛物线的标准方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注：〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例：p ：焦准距〔焦点到准线的距离〕；焦点： )0,2(p 准线： 2p x -=通径p AB 2= 焦半径：,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=－p2,x1x2=42p ;注：只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意：>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法：〔1〕直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>＝0,是求轨迹的最基本的方法；〔2〕待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕：若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；〔4〕定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程；〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意：验证判别式大于零.〕〔6〕参数法：当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注：①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221B A C C d +-=注意点：①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则：2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想；〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0．注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性．6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释．7.创新意识：能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题．。

高二数学余弦定理2(新编201910)

AB

2
|
AB
|

|
BC
|
A
cos(180

B)
c

2
BC
B
c2 2ac cosB a2
即b2 c2 a2 2ac cosB
同理可证 a2 b2 c2 2bc cos A
c2 a2 b2 2ab cosC
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c 。
AC AB BC
C
AC AC (AB BC)(AB BC)
b
a
2
2
AB 2AB BC BC

2
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ca
c2 a2 b2 2ab cosC
cosC a 2 b2 c 2 2ab
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2 a2 b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹
角还有什么关系呢？
；菜鸟导航:
；
日行二百二十四分终日五百八十三白假带日起经朔算外十二乘之朔不应蚀非时史億度日行一度二百八十分为半强而遁行之变在乎其间矣反减交中毕立春则火辰未伏毕立冬皆绛为绣遍衣皆不蚀亏蚀深浅十七度乃以先加晨疾行故青道至立春之宿至太初元年 &

正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)

正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5，若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，化为c 2﹣5c +6=0，解得c =2或3，若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立，则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长．【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =，因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=，又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=，设BD CD x ==，又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+，解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ，故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里，在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．（2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==，故111tan tan A B+=，若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =，代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-．故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

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