新浙教版八年级数学上册基础训练：第2章 单元测试卷

第2章一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形中，是轴对称图形的是(A)2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)A. a＝1，b＝2，c＝3B. a＝2，b＝3，c＝4C. a＝2，b＝4，c＝5D. a＝3，b＝4，c＝53．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)A．20°B．35°C．40°D．70°(第4题)(第5题)5．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于(B)A. 65°B. 50°C. 60°D. 57.5°【解】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来的，∴DF＝A D.∵D是AB的中点，∴AD＝B D.∴BD＝DF.∴∠B ＝∠BF D. ∵∠B ＝65°，∴∠BDF ＝180°－∠B －∠BFD ＝180°－65°－65°＝50°.(第6题)6．如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB ＝60°，CP ＝2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E .如果M 是OP 的中点，那么DM 的长是(C )A. 2B. 2C. 3D. 2 37．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝(B )A ．25B ．31C ．32D ．40,(第7题)) , (第8题))8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，则下列说法中，正确的个数是(D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ∶S △ABC＝1∶3.A. 1B. 2C. 3D. 4(第9题)9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C) A．20°B．25°C．30°D．45°(第9题解)【解】如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠AC B.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4.∴∠AME＝∠AEM＝60°.∴AM＝AE＝2.∴BM＝AB－AM＝2.∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥B C.∵EM∥BC，∴AD⊥EM.∴点E和点M关于AD对称．连结CM交AD于点F，连结EF，则此时EF＋CF的值最小．∵AC＝BC，AM＝BM，∴∠ECF＝12∠ACB＝30°.10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE.其中正确的是(C)A. ②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④(第10题)(第10题解)【解】 如解图，在EA 上取点F ，使EF ＝BE ，连结CF . ∵CE ⊥AB ，EF ＝BE ， ∴CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B.∵∠AFC ＋∠CFB ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠AF C. ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠FA C. 在△ACD 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠AFC ，∠DAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACF (AAS )．∴AD ＝AF ，CD ＝CF .∴CD ＝CB ，故①正确．AD ＋AB ＝AF ＋(BE ＋AE )＝AF ＋EF ＋AE ＝AE ＋AE ＝2AE ，故②正确． 根据已知条件无法证明∠ACD ＝∠BCE ， 故③错误．AB －AD ＝AB －AF ＝BF ＝2BE ，故④正确． 综上所述，正确的是①②④. 二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线．若∠B ＝60°，则∠BAD ＝30°．,(第11题)),(第12题))12．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则BC 边上的高AD 是__8__ cm.13．如图，在△ABC 中，∠C ＝31°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么∠A ＝87°．,(第13题)) ,(第14题))14．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．15．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝102°，则∠ADC ＝__52°__．(第15题)【解】 ∵AC ＝AD ＝DB ， ∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C. 设∠ADC ＝α，则∠B ＝∠BAD ＝α2.∵∠BAC ＝102°，∴∠DAC ＝102°－α2.∵∠ADC ＋∠C ＋∠DAC ＝180°， ∴2α＋102°－α2＝180°，解得α＝52°，即∠ADC ＝52°.16．如图，已知△ABC 的周长是21，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，垂足为D ，且OD ＝3，则△ABC 的面积是632．, (第16题)) , (第16题解))【解】 如解图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连结OA ，由角平分线的性质知OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12(AB ＋BC ＋AC )·OD ＝12×21×3＝632.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6.若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是245．,(第17题)),(第17题解))【解】 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如解图． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6， ∴BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4.易得当BP ⊥AC 时，BP 有最小值． 此时12AD ·BC ＝12BP ·AC ，得4×6＝5BP ，∴BP ＝245.18．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A ′B ′C ′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A ′B ′C ′的斜边A ′B ′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C ′间的距离是__5__．(第18题)(第18题解)【解】 如解图，连结C ′C.∵M 是AC ，A ′C ′的中点，AC ＝A ′C ′＝10， ∴CM ＝A ′M ＝C ′M ＝12AC ＝5，∴∠A ′CM ＝∠A ′＝30°，∴∠CMC ′＝60°. ∴△MCC ′为等边三角形．∴C ′C ＝CM ＝5.(第19题)19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB ＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2……则第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝52n ＋1．【解】 ∵第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫221＝22，第三个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫222＝12， ……第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫22n －1， ∴第n 个正方形的面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫22n －12＝12n －1， 第n 个等腰直角三角形的面积为12n －1×14＝12n ＋1，∴第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝12n －1＋12n ＋1＝52n ＋1.(第20题)20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是BC 边上的点，CD ＝1，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处．若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是【解】 ∵将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 与点E 重合， ∴∠AED ＝∠ACD ＝90°，ED ＝CD ＝1.易得当点P 与点D 重合时，△PEB 的周长最小，最小值为BD ＋ED ＋E B. ∵∠ABC ＝60°，∠DEB ＝90°，∴∠BDE ＝30°， ∴BD ＝2BE .设BE ＝x ，则BD ＝2x .由勾股定理，得12＋x 2＝(2x )2，解得x ＝33，即BE ＝33.∴BD ＝2 33. ∴BD ＋ED ＋EB ＝1＋3，即△PEB 的周长的最小值是1＋ 3. 三、解答题(共40分)21．(6分)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C ＝2∠D.(第21题)【解】 ∵AB ＝AC ＝AD ， ∴∠C ＝∠ABC ，∠D ＝∠AB D. ∴∠ABC ＝∠CBD ＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.(第22题)22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．【解】△DEF是等边三角形．理由如下：∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，∴∠AFD＝30°，∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°.同理，∠FDE＝∠DEF＝60°.∴△DEF是等边三角形．(第23题)23．(8分)如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD 与OE交于点F.(1)求证：∠1＝∠2.(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．【解】 (1)∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ， ∴CE ＝DE ，∴∠1＝∠2.(2)在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE ，EC ＝ED ，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL )．∴OC ＝O D.又∵CE ＝DE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线． (3)∵∠1＝30°，∠OCE ＝90°，∴∠OCD ＝60°. ∵OC ＝OD ，∴△OCD 是边长为2的等边三角形， ∴CD ＝OC ＝2，∠COD ＝60°， ∴∠COE ＝∠DOE ＝12∠COD ＝30°，∴OE ＝2CE .设CE ＝x ，则OE ＝2x . 由勾股定理，得(2x )2＝x 2＋22， 解得x ＝233，即CE ＝233，OE ＝433.∵∠1＝30°，∠EFC ＝90°，∴EF ＝12CE ＝33，∴OF ＝OE －EF ＝3，∴S △OCD －S △CDE ＝12·CD ·OF －12·CD ·EF ＝233.24．(10分)已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE的中点，连结DF ，CF .(1)如图①，当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系．(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°，若AD ＝1，AC ＝22，求此时线段CF 的长(直接写出结果)．(第24题)【解】 (1)∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，∴DF ＝BF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF . ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°.∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF .∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF .同理，∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠DFE ＋∠CFE ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，∴DF ⊥CF .(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①，延长DF 交BC 于点G .∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∴DE ∥B C.∴∠DEF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF .∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF .∴△DEF ≌△GBF (AAS )．∴DE ＝GB ，DF ＝GF .∵AD ＝DE ，∴AD ＝G B.∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，即DC ＝G C.∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .(第24题解) (3)如解图②，延长DF交BA于点H.∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°.由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.∵F是BE的中点，∴EF＝BF.又∵∠DFE＝∠HFB，∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED＝BH.∵BC＝AC＝22，∠ACB＝90°，∴AB＝4.∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3.∵∠BAD＝90°，∴DH＝10，∴DF＝102.∴CF＝102.25．(10分)问题探究：(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．深入探究：(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．(第25题)【解】 (1)BD ＝CE .理由如下：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BA D.在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD (SAS )．∴BD ＝CE .(2)如解图①，在△ABC 的外部作等腰直角三角形BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连结EA ，EB ，E C.∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BA D.在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD (SAS )．∴EC ＝B D.∵AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72＝7 2.易知∠ABE ＝45°，又∵∠ABC ＝45°，∴∠CBE ＝45°＋45°＝90°.∴EC ＝BE 2＋BC 2＝（7 2）2＋32＝107.∴BD ＝EC ＝107.(第25题解)(3)如解图②，在线段AC 的右侧过点A 作AE ⊥AB ，交BC 的延长线于点E . ∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°.又∵∠ABC ＝45°，∴∠E ＝∠ABC ＝45°.∴AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72＝7 2.∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴∠DAC ＝90°＝∠BAE ，∴∠BAE －∠BAC ＝∠DAC －∠BAC ，即∠EAC ＝∠BA D.在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD (SAS )．∴EC ＝B D.又∵BC ＝3，∴BD ＝EC ＝BE －BC ＝7 2－3.。