高中数学 3.2.3空间向量与空间角课件 新人教A版选修2-1

答案：60°
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题型二 求直线与平面所成的角
例 3 (2013·福建卷改编)如图，在棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 AA1
⊥底面 ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC
＝6k(k>0)．
栏 目
(1)求证：CD⊥平面 ADD1A1；
链 接
(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的
的中点，求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值．
解析：方法一 ∵A→M＝A→A1＋A→1M，C→N＝C→B＋B→N，
栏
∴A→M·C→N＝(A→A1＋A→1M)·(C→B＋B→N)＝A→A1·B→N＝21.
目 链
|A→M|＝ （A→A1＋A→1M ）2＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
接
1＋14＝ 25.同理，|C→N|＝ 25.设直线 AM 与 CN 所成的角为 α.
例3 (2014·辽宁卷)如图所示，△ABC和△BCD所
在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝
∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．
栏
(1)求证：EF⊥BC；
目
链
(2)求二面角EBFC的正弦值．
A→C·n＝0， 设平面 AB1C 的法向量 n＝(x，y，z)，则由A→B1·n＝0，得
－3k4y＋kx＋z＝60k.y＝0，取 y＝2，得 n＝完(整3，版p2p，t －6k)．
栏 目 链 接
12
设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ，则 sin θ＝|cos〈A→A1，n〉|＝
|AA→→AA11·|·|nn|＝ 366kk2＋13＝76，解得 k＝1，故所求 k 的值为 1.
设 AB＝1，则 B(0，0，0)，E21，0，0，
F0，0，12，C1(0，1，1)，
栏 目
所以E→F＝－21，0，12，B→C1＝(0，1，1)．
链 接
1
|cos〈E→F，B→C1〉|＝||EE→→FF|·|BB→→CC11||＝
2 22×
＝21， 2
所以直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60°.
∴A→M＝1，12，1－(1，0，0)＝0，12，1，
链 接
C→N＝1，1，21－(0，1，0)＝1，0，12.
故A→M·C→N＝0×1＋12×0＋1×21＝12，
|A→M|＝ 02＋122＋12＝ 25，
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6
|C→N|＝
12＋02＋212＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α，
ABC 内的射影为△ABC 的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值
等于( )
栏
1
2
目
A.3
B. 3
链
接
3
2
C. 3
D.3
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14
解析：如图，设 A1 在平面 ABC 内的射影为 O，以 O 为坐标原点，OA， 栏
OA1 分别为 x 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设△ABC 边长为 1，则
3．2.3 空间向量与空间角
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1
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栏 目 链 接
2
1．能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的问 题．
2．了解向量方法在研究几何问题中的作用．
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3
栏
研
题
型
学
习
法目 链
接
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4
题型一 求直线与直线所成的角
例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1
1
则 cos
α＝|A→A→MM|·|C→C→NN|＝25＝25.∴直线 AM 与
CN
2 所成的余弦值为5
4
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5
方法二 如图，分别以D→A、D→C、D→D1方向为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向建立空间直角坐标系．
则 A(1，0，0)，M1，12，1，
C(0，1，0)，N1，1，21.
栏 目
目 链
A
33，0，0，B1(－
来自百度文库
23，21，
36)，所以A→B1＝－5 6 3，12，
36.
接
平面 ABC 的法向量 n＝(0，0，1)，则 AB1 与底面 ABC 所成角 α 的正弦值为
sin α＝|cos〈A→B1，n〉|＝
6
3＝ 7356＋41＋69
2 3.
答案：B
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15
题型三 求二面角的平面角
正弦值为76，求 k 的值．
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10
(1)证明：取 CD 的中点 E，连接 BE. 因为 AB∥DE，AB＝DE＝3k， 所以四边形 ABED 为平行四边形， 所以 BE∥AD 且 BE＝AD＝4k. 在△BCE 中，因为 BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k， 所以 BE2＋CE2＝BC2， 所以∠BEC＝90°，即 BE⊥CD，又因为 BE∥AD， 所以 CD⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 所以 AA1⊥CD.又 AA1∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 ADD1A1.
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7
►变式训练
1．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面
ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别
是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小
是__________．
栏
目
链
接
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8
．解析：分别以 BA，BC，BB1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示．
则
cos
α＝|AA→→MM|··C|→C→NN|＝
1 2
25×
5＝25. 2
栏 目
链
∴直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为52.
接
规律方法：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向
向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角 θ 的取值范围是 0，π2 ，两向量的夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以 cos θ＝|cos α
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栏 目 链 接
11
(2)解析：以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x，y，z 轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)， 所以A→C＝(－4k，6k，0)，A→B1＝(0，3k，1)，A→A1＝(0，0，1)．
栏 目
规律方法：利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：①建立 链
接
空间直角坐标系；②求直线的方向向量A→B；③求平面的法向量 n；④
计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝||nn|··|A→A→BB||.
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13
►变式训练
2．已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面